SKKN toán 6- Tìm BCNN

Phòng GD & ĐT phú xuyên Trờng THCS Chuyên Mỹ ----------------------- Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập Tự do Hạnh phúc Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2007 2008 I. Sơ yếu lý lịch Họ và tên : Đinh Việt cờng Sinh ngày : 01 tháng 11 năm 1973 Năm vào ngành : 1994 Chức vụ công tác : Giáo viên - Tổ trởng chuyên môn Trờng THCS Chuyên Mỹ Phú Xuyên Hà Tây Trình độ chuyên môn : Đại học . Hệ đào tạo : Từ xa Bộ môn giảng dạy : Toán 8. Trình độ ngoại ngữ: II. Nội dung 1. Tên đề tài : Giúp học sinh nhanh chóng tiếp thu và giải thành thạo loại bài toán về ƯCLN và BCNN 2. Lý do chọn đề tài Việc đổi mới phơng pháp dạy học đã và đang phát huy tính tích cực của nó, bởi đây là phơng pháp phù hợp với sự suy nghĩ, cách làm việc của con ngời trong thời đại mới. Tuy vậy đây là một công việc không thể tiến hành trong một sớm một chiều mà có thể hoàn thành ngay đợc bởi để làm tốt việc này nó đòi hỏi một sự thay đổi ở chính suy nghĩ của mỗi giáo viên và học sinh. Hiểu rõ mục đích của sự đổi mới phơng pháp, hiểu rõ sự đòi hỏi của xã hội đối với giáo dục thì mới đem lại hiệu quả mong muốn . Đối với ngời giáo viên sự thay đổi đó thể hiện ở khả năng nắm bắt yêu cầu kiến thức + hiểu rõ đối tợng học sinh + vận dụng phơng pháp hợp lý. Theo cá nhân tôi việc đổi mới này không phải từ những điều gì to tát mà là chính những vấn đề đơn giản nhất, phục vụ đông đảo học sinh nhất. Bài toán vận dụng tìm ƯCLN và BCNN là một dạng bài toán cơ bản trong chơng trình lớp 6, và trong chơng trình toán THCS. Các bài toán loại này rất phong phú, đa dạng, nếu nắm vững kiến thức, dạng bài toán cơ bản học sinh có điều kiện để giải rất nhiều bài tập liên quan tới kiến thức này. 1 Việc giải tốt loại bài toán này giúp cho học sinh hình thành thói quen làm việc một cách khoa học, hình thành thói quen tìm ra các quy luật trong toán học nói riêng và trong đời sống nói chung . Với học sinh đại trà yêu cầu của dạng bài tập này không quá phức tạp, có lẽ vì vậy mà thời gian dành cho học hai bài toán loại này không nhiều. Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất hay nhầm lẫn trong việc tìm ƯCLN với BCNN phải mất khá nhiều thời gian mới có thể phân biệt và giải thành thạo hai bài toán trên. Chính vì vậy tôi muốn tìm ra cho mình một cách dạy, một quy trình truyền đạt kiến thức cho học sinh để học sinh không mất nhiều thời gian mà vẫn nắm bắt chắc chắn và giải thành thạo hai loại bài toán này. Đây là đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đợc tôi thực hịên từ năm hoc trớc, khi ấy tôi trực tiếp giảng dạy môn toán 6. Tiếp tục khẳng định giá trị thực tế của đề tài, trong năm học này mặc dù chỉ dạy môn toán lớp 8 song tôi vẫn kết hợp với đồng nghiệp áp dụng đề tài. Với mục đích : - Giáo viên gây đợc hứng thú cho học sinh khi gặp hai loại bài toán này . - Có kỹ năng nhận diện , phân biệt chính xác hai loại bài toán này. - Có cách giải và cách trình bày chính xác khoa học, có kỹ năng thành thạo khi giải toán . - Giải đợc một số dạng bài toán mà cách giải vận dụng hai dạng toán cơ bản trên . 3. Phạm vi thực hiện đề tài Để thực hiện đề tài này tôi chọn đối tợng là học sinh đại trà lớp 6A trờng THCS Chuyên Mỹ , thực hiện trong học kì I năm học 2006 2007 . lớp 6B năm học 2007 2008. III-Quá trình thực hiện 1- Tình trạng thực tế khi cha thực hiện đề tài Khi dạy về ƯCLN ; BCNN sau mỗi bài dạy đều có một tiết luyện tập. Để đánh giá sự nắm bắt của học sinh về hai loại bài toán này tôi đã tiến hành khảo sát học học sinh sau khi học song phần lý thuyết bằng việc kiểm tra 15 phút. Với đề bài vừa gần với bài học vừa gần thực tế .Nội dung nh sau : Khối 6 của trờng có 96 học sinh nam và 36 học sinh nữ .Trong một buổi liên hoan ban tổ chức muốn chia đều học sinh ra thành từng nhóm, mỗi nhóm có cả nam và nữ . Có thể chia nhiều nhất bao nhiêu nhóm, mỗi nhóm có bao nhiêu nam bao nhiêu nữ . Đáp án Gọi a là số nhóm cần chia, ta phải có 96 a, 36 a 2 a là lớn nhất . Do đó a là ƯCLN ( 96, 36 ) Ta tính đợc a = 12. Chia nhiều nhất thành 12 nhóm Mỗi nhóm có 96 : 12 = 8 ( nam ) 36 : 12 = 3 ( nữ ) Kết quả kiểm tra nh sau Số học sinh Làm đợc bài Hiểu bài,có lỗi trình bày Giải sai Không làm đợc bài Tổng số bài Số bài 10 15 10 7 42 Tỷ lệ % 24 36 24 16 Lớp 6B năm học 2007 2008 Số học sinh Làm đợc bài Hiểu bài,có lỗi trình bày Giải sai Không làm đợc bài Tổng số bài Số bài 9 17 12 9 47 Tỷ lệ % 19 36 26 19 Kiểm tra việc làm bài tập ở nhà của học sinh, thông qua việc chấm vở bài tập của học sinh . Tôi nhận thấy : Số học sinh hiểu nội dung làm đợc bài tập : 19% Số học sinh hiểu nhng cha biết cách trình bày : 38% Số học sinh không giải đợc bài tập : 43,% Nh vậy rất nhiều học sinh không hiểu nội dung bài tập, không phân biệt đợc việc giải phải sử dụng ƯCLN hay BCNN dẫn đến học sinh giải sai hoặc không giải đợc loại bài tập trên. Điều này sẽ dẫn đến học sinh thiếu tự tin, thiếu hứng thú trong học toán và sẽ ảnh hởng trực tiếp đến chất lợng giáo dục . Vậy làm thế nào để giúp học sinh chủ động nắm kiến thức, phân biệt và nắm vững cách giải hai loại bài toán trên từ đó có thể giải những bài toán phức tạp hơn là việc cần đợc giải quyết kịp thời. 2- Những nội dung, biện pháp thực hiện 3 a/ Biện pháp chung B ớc 1 : Chuẩn bị cho tiết học Đối với giáo viên : Lựa chọn, sắp xếp các bài tập theo hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp cho mỗi loại tìm ƯCLN hay BCNN. Có bảng so sánh 2 bài toán cơ bản trên + Loại toán tìm ƯCLN có dạng Tìm m biết a m, b m, c m , với m là lớn nhất + Loại toán tìm BCNN có dạng Tìm m biết m a, m b , m c m là nhỏ nhất Đối với học sinh +Nắm vững cách tìm ƯCLN và BCNN. Trả lời câu hỏi sau : Điền từ thích hợp vào chỗ ( .) trong bảng so sánh cách tìm ƯCLN và BCNN Cách tìm ƯCLN BCNN Phân tích các số ra thừa số nguyên tố Xét các thừa số nguyên tố . Lập tích các thừa số đó, mỗi thừa số lấy với số mũ . + Ôn lại cách tìm ƯC ( BC ) thông qua việc tìm ƯCLN ( BCNN ). +Chuẩn bị một số bài tập mà giáo viên cho thao yêu cầu của bài học B ớc 2 Thực hiện trên lớp Giáo viên chỉ là ngời nêu vấn đề và hớng dẫn, dẫn dắt , còn học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức , sau đó giáo viên chốt lại những kiến thức quan trọng .Cụ thể trong bớc này tiến trình bài giảng đợc tiến hành nh sau : + Học sinh ôn lại cách tìm ƯCLN và BCNN + Học sinh giải bài tập cơ bản + Học sinh ra đề toán mà cách giải nh bài toán dạng cơ bản ( Đây là bớc có ý nghĩa quan trọng của đề tài, vì nó giúp học sinh tiếp cận gần với những bài toán dạng này một cách chủ động ) + Vận dụng giải các bài theo yêu cầu kiến thức *Đặc biệt trong bớc thứ hai này bảng sẽ đợc chia làm hai phần nh minh hoạ dới đây nhằm làm cho học sinh nhận rõ dấu hiệu và cách 4 giải của bài toán cơ bản, từ đó phân tích để đa các bài toán khác về dạng cơ bản này. b/ Tiến trình cụ thể Bài toán tìm ƯCLN Bài toán tìm BCNN Bài 1: Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 420 a và 700 a Phân tích : + 420 a + 700 a a ƯC ( 400,700) mà a lớn nhất thoả mãn điều kiện trên nên a là ƯCLN(400,700) Bài giải Theo bài ra a là ƯCLN(400,700) 400 = 2 4 .5 2 700 = 2 2 . 5 2 . 7 ƯCLN(400,700) = 2 2 . 5 2 = 100 Vậy a = 100 Bài 1 : Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15 và a 18 Phân tích + a 15 + a 18 a BC (15,18) mà a nhỏ nhất khác 0 a = BCNN(15,18) Bài giải Theo bài ra a là BCNN(15,18) 15 = 3.5 18 = 2.3 2 BCNN(15,18) =2.3 2 .5 Vậy a = 90 Từ bài toán cơ bản này có thể mở rộng giải các bài toán sau : Bài 2 Tìm số tự nhiên x biết rằng 112 x , 140 x và 10 < x < 20 Phân tích tìm lời giải Cơ bản vẫn giống nh bài 1 song x không phải là ƯCLN mà là một ớc thoả mãn điều kiện 10 < x < 20 Vì vậy cách giải phải tiến hành theo hai bớc sau : B 1 : Tìm ƯCLN ( 112, 140) B 2 : Tìm ƯC ( 112, 140) thoả mãn điều kiện 10 < ƯC < 20,thông qua ƯCLN. ƯC tìm đợc là giá trị x cần tìm Bài 2 Tìm số tự nhiên x biết rằng x 12 , x 21 , x 28 và 150 < x < 300 Phân tích tìm lời giải Cơ bản vẫn giống nh bài 1 song x không phải là BCNN mà là một bộ chung thoả mãn điều kiện 150 < x < 300 Vì vậy cách giải phải tiến hành theo hai bớc sau : B 1 : Tìm BCNN( 12, 21,28) B 2 : Tìm BC ( 12, 21,28) thoả mãn điều kiện 150 < BC < 300,thông qua BCNN. BC tìm đợc là giá trị x cần tìm 5 Bài 3 Tìm số tự nhiên a biết 264 : a d 24 363 : a d 43 Phân tích 264 : a d 24 240 a và a > 24 363 : a d 43 340 a và a > 43 Vì vậy a ƯC( 240, 340 ) và a>40 Đến đây việc giải bài toán này trở nên dễ dàng vì nó giống cách đã làm ở bài trên Một số bài có cách giải tơng tự Bài 4 : Tìm số tự nhiên a, biết rằng 398 chia cho a d 38, còn 450 chia cho a thì d 18 Bài 5 Tìm số tự nhiên a, biết rằng 350 chia cho a d 14, còn 320 chia cho a thì d 26. Bài 3 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà khi chia cho 3 d 1, chia cho 4 d 2, chia cho 5 d 3 chia cho 6 d 4 và chia hết cho 13 Phân tích Gọi x là số cần phải tìm thì x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6 nên x+2 là bội chung của 3,4,5,6 x+2 : 13 d 2 BCNN (3,4,5,6) = 60 Tìm BC (3,4,5,6) bằng cách lấy lần l, 2 ,3 . nhân với 60 ta thấy đến 10. 60 = 600 thì 600 :13 d 2 tức là x+2 = 600 x= 598 chia hết cho 13 Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 598. Một số bài có cách giải tơng tự Bài 4 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho5, cho7, cho 9 có số d theo thứ tự là 3, 4, 5. Bài 5 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho3, cho4, cho 5 có số d theo thứ tự là 1, 3, 1. Do thời gian trên lớp không nhiều nên một số bài sau có thể gợi ý để học sinh về nhà hoàn thiện. Thời gian tiếp theo để học sinh tự củng cố lại dạng cơ bản đã học thông qua việc học thi ra đề toán mà cách giải sẽ đợc trình bày nh hai bài toán cơ bản trên. Một số ví dụ đầu cũng cần đến sự giúp đỡ của giáo viên sau đo các em đã tự ra đợc nhiều đề bài sát với yêu cầu bài học và đặc biệt là không khí học tập rất sôi nổi. 6 Đề bài 1 Lớp 6A có 42 học sinh trong đó số học sinh nam là 26 em, số học sinh nữ là 16 em. Đầu năm lớp muốn chia thành các tổ sao cho số học sinh nam, nữ ở mỗi tổ là nh nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chia nh vậy Cách chia nào số học sinh nam , nữ ở mỗi tổ là ít nhất ? Đề bài 2 Trong một buổi liên hoan lớp 6A có mua một số bánh kẹo và hoa quả gồm :36 quả táo. 84 chiếc bánh, 168 chiếc kẹo. Có thể chia số bánh kẹo và hoa quả nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa sao cho mỗi đĩa có số bánh kẹo và hoa quả nh nhau. Đề bài 1 Tính số học sinh lớp 6A. Biết rằng nếu xếp hàng 6 hàng 7 hàng 14 đều vừa đủ và số học sinh của lớp là một số nhỏ hơn 50. Đề bài 2 Tính số học sinh lớp 6B. Biết rằng nếu xếp hàng 6 hàng 7 hàng 14 đều thừa 2 bạn và số học sinh của lớp là một số nhỏ hơn 50. Từ việc nắm chắc dạng cơ bản, cách giải của một số dạng bài học sinh sẽ tiến hành giải một số bài tập trong chơng trình. Ví dụ 1 Hùng muốn căt một tấm bìa hình chữ nhật có kích thớc 60 cm và 96 cm thàmh các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa đợc cắt hết . Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông ( Số đo cạnh hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là xentimet ) Phân tích Cắt nhỏ tấm bìa có nghĩa là tại các cạnh hình chữ nhật đợc chia nhỏ thành các đoạn, mà đoạn thẳng ấy ở chiều rộng bằng ở chiều dài , hay các đoạn nhỏ ấy chính là ớc chung lớn nhất của 60 và 96 Bài giải Gọi độ dài của cạnh hình vuông là a ( cm ). Ta phải có 60 a, 96 a và a là lớn nhất . Do đó a là ƯCLN ( 60,96 ). Ta tính đợc a = 12. Vậy độ lớn nhất của cạnh hình vuông là 12 cm. Ví dụ 2 Ba khối 6, 7, 8 theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinh xếp thành hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối là nh nhau. Có thể xếp nhiều nhất là mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng ? Khi đó mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang ? Phân tích 7 Mỗi khối sẽ xếp cùng một số hàng dọc , số học sinh khác nhau thì số học sinh ở mỗi hàng dọc khác nhau hay số hàng ngang mỗi khối khác nhau. Vậy số hàng dọc cần xếp thì phải là ớc của 300, của 276 , của 252 , mà số hàng dọc đợc xếp nhiều nhất thì số hàng đó phải là ƯCLN( 300, 276, 252 ) Bài giải Gọi số hàng dọc cần xếp là a. Thì 300 a, 276 a , 252 a mà là lớn nhất nên a là ƯCLN( 300, 276, 252 ) 300 = 2 2 .3 .5 2 276 = 2 2 .3.23 ƯCLN( 300, 276, 252 ) = 2 2 .3 = 12 252 = 2 2 .3 2 .7 Vậy nhiều nhất có thể xếp đợc 12 hàng dọc Khi đó khối 6 có số hàng ngang là 300 : 12 = 25 ( hàng ) Khối 7 có số hàng ngang là : 276 : 12 = 23 ( hàng ) Khối 8 có số hàng ngang là : 252 : 12 = 21 ( hàng ) Ví dụ 3 Bạn Tùng và Hải thờng đến th viện đọc sách. Tùng cứ 8 ngày đến th viện một lần, Hải 10 ngày một lần. Lần đầu cả hai bạn cùng đến th viện vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì cả hai bạn lại cùng đến th viện ? Phân tích Tùng cứ 8 ngày đến một lần .Vậy sau số ngày chia hết cho 8 Tùng lại đến th viện Hải cứ 10 ngày đến một lần . Vậy sau số ngày chia hết cho 10 Hải lại đến th viện Do đó số ngày mà hai bạn lại đến lần thứ hai phải là một số chia hết cho cả 8 và 10. Hay số ngày đó phải là BCNN (8,10 ). Bài giải Gọi số ngày mà hai bạn lại đến lần thứ hai là x thì x 8, x 10. Theo bài ra x phải là BCNN (8,10 ).Ta tìm đợc BCNN (8,10 ) = 40 Vậy sau 40 ngày cả hai bạn lại cùng đến th viện . Ví dụ 4 Nếu xếp một số sách vào từng túi 10 cuốn thì vừa hết, vào từng túi 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, vào từng túi 18 cuốn thì thừa 8 cuốn. Biết rằng số sách trong khoảng từ 715 đến 100, tính số sách đó. Phân tích Xếp vào túi 10 thì vừa đủ, vậy số sách chia hết cho 10 Xếp vào túi 12 thì thừa 2 cuốn, vậy muốn chia hết cho 12 phải thêm ít nhất 10 cuốn Xếp vào túi 18 thừa 8 cuốn, vậy muốn chia hết cho 18 cần có thêm ít nhất 10 cuốn 8 Do đó nếu thêm 10 cuốn thì số sách vẫn chia hết cho 10, đồng thời chia hết cho cả 12 và 18. Bài giải Gọi số sách là a thì a + 10 10, a + 10 12, a + 10 18 và 715 < a < 1000. a + 10 BC ( 10,12,18) và 715 < a < 1000. BCNN( 10,12,18) = 180 a + 10 = 180.n Do đó a = 180.n 10 . Cho n= 5 ta đợc a = 890 thoả mãn điều kiện đầu bài Vậy số sách cần tìm là 890 cuốn . Một số bài toán có cách giải t ơng tự Bài toán 1 Ngời ta muốn chia 200 hai trăm bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành một số phần thởng nh nhau. Hỏi có thể chia đợc nhiều nhất bao nhiêu phần thởng, mỗi phần thởng bao nhiêu bút bi, bút chì, tẩy. Bài toán 2 Ba con tàu cập bến theo lịch nh sau : Tàu I cứ 15 ngày thì cập bến, tàu II cứ 20 ngày thì cập bến, tàu III cứ 12 ngày thì cập bến. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến vào thứ sáu. Hỏi sau đó ít nhất bao lâu cả ba tàu lại cùng cặp bến vào thứ sáu. 3. Kết quả Qua một thời gian thực hiện tôi thấy không khí giờ học thay đổi, các em có hứng thú học tập, việc trao đổi tranh luận sôi nổi, mạnh dạn trình bày ý kiến của mình trớc lớp .Chất lợng bài giảng và khả năng giải bài tập loại này đợc nâng cao cụ thể : Qua khảo sát lần II lớp 6A kết quả nh sau : Lớp 6B năm học 2007 2008 nh sau Điểm 1 ; 2 3 ; 4 5 ; 6 7 ; 8 9 ; 10 Tổng số bài Số bài 0 8 16 9 8 41 Tỷ lệ % 0 19.5 40 21 19.5 Điểm 1 ; 2 3 ; 4 5 ; 6 7 ; 8 9 ; 10 Tổng số bài Số bài 0 6 20 10 11 47 Tỷ lệ % 0 13 42.5 21 23.5 9 Kiểm tra vở bài tập của học sinh kết quả nh sau Số học sinh hiểu nội dung làm đợc bài tập : 64 % Số học sinh hiểu nhng cha biết cách trình bày : 24% Số học sinh không giải đợc bài tập : 12 % Đánh giá chung Chất lợng bài kiểm tra cũng nh bài tập của học đợc nâng lên, theo tôi không hoàn toàn là do việc áp dụng đề tài này vào bài giảng, song chính những tác động này làm cho các em thay đổi rất nhiều về cách suy nghĩ, cách làm việc một cách chủ động tích cực cho nên nó tác động trực tiếp đến chất lợng khi giải loại bài toán về ƯCLN và BCNN. Quan trọng là đã góp phần giúp học sinh tiếp cận gần hơn với công cuộc đổi mới khoa học kỹ thuật trong thời đại mới, thời đại của những con ngời năng động dám nghĩ dám làm. IV- những kiến nghị và đề xuất sau khi thực hiện đề tài Bài toán về ƯCLN và BCNN nói riêng và chơng trình toán phổ thông nói chung rất phong phú đa dạng, để học sinh học tốt qua đó có điều kiện nâng cao kiến thức của mình trớc tiên giáo viên phải giúp các em nắm vững, sâu sắc những kiến thức cơ bản một cách có hệ thống một phơng pháp suy nghĩ hiện đại, hiệu quả. Làm tốt đợc điều đó ngời giáo viên phải thờng xuyên trau dồi kiến thức, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp, xây dựng kế hoạch giảng dạy khoa học trên cơ sở hiểu rõ đối tợng học sinh. Đặc biệt phải hiểu rõ mục đích, yêu cầu của việc đổi mới phơng pháp dạy học. Qua quá trình thực hiện đề tài cũng nh thực hiện nhiệm vụ giảng dạy của mình tôi cũng đã giúp cho học sinh có thói quen suy nghĩ và làm việc tích cực.Song chắc chắn còn có phần hạn chế. Rất mong nhận đợc sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp . Nhận xét, đánh giá, xếp loại của Hội đồng khoa học cơ sở ( Chủ tịch HĐ ký, đóng dấu ) Chuyên Mỹ, ngày 10 tháng 5 năm 2008 Đin h Việt Cờng 10 . loại tìm ƯCLN hay BCNN. Có bảng so sánh 2 bài toán cơ bản trên + Loại toán tìm ƯCLN có dạng Tìm m biết a m, b m, c m , với m là lớn nhất + Loại toán tìm. của bài toán cơ bản, từ đó phân tích để đa các bài toán khác về dạng cơ bản này. b/ Tiến trình cụ thể Bài toán tìm ƯCLN Bài toán tìm BCNN Bài 1: Tìm số