Một số bài toán tự luận cơ học rất hay

dao động ĐIềU HOà. Bài 1: a) Tìm tần số góc và biên độ A của dao động điều hoà dọc theo trục 0x của một vật nhỏ, biết rằng khi vật có li độ x 1 = 1cm thì nó có vận tốc là v 1 = 4 cm/s và khi vật có li độ x 2 = 2cm thì nó có vận tốc là v 2 = -1cm/s . b) Viết phơng trình dao động của vật, biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc v 0 = 3,24 cm/s và li độ x 0 không âm. Bài 2: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục 0x và có VTCB là gốc toạ độ 0 . Tần số góc của dao động là = 3 (rad/s) lúc đầu chất điểm có li độ x 0 = 4 cm và vận tốc v 0 = 12 3 cm/s. Hãy thiết lập phơng trình dao động của chất điểm và tính vận tốc của nó khi nó đi qua VTCB 0. Bài 3: Một vật nhỏ dao động điều hoà dọc theo trục 0x xung quanh VTCB 0 ( là gốc toạ độ) với tần số góc = 4,00 rad/s . Tại một thời điểm t 1 toạ độ của vật là x 1 = 15,0 cm và vận tốc tơng ứng của nó là v 1 = 80 cm/s. Tìm tọa độ x 2 và vận tốc v 2 của vật tại thời điểm t 2 = t 1 + 0,45 s. Bài 4: Một CLLX treo thẳng đứng gồm vật nhỏ có khối lợng m = 250 g và một lò xo có độ cứng k = 100N/m . Kéo vật m xuống dới theo phơng thẳng đứng đến vị trí lò xo giãn 7,5 cm rồi thả nhẹ. Chọn gốc toạ độ ở VTCB của vật, trục tọa độ thẳng đứng, chiều dơng hớng lên trên, chọn gốc thời gian là lúc thả vật. Cho g = 10m/s 2 , coi vật dao động điều hoà. Viết phơng trình dao động và tìm thời gian từ lúc thả vật đến thời điểm vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ nhất. Bài 5: Một lò xo có khối lợng không đáng kể , có độ giãn tỉ lệ với khối lợng của vật treo vào nó . Cứ treo 40 g thì lò xo giãn ra 1 cm. Bỏ qua mọi lực ma sát và lực cản của môi trờng. a) Tính độ cứng của lò xo. b) Treo vào lò xo một vật có khối lợng m = 400g , kéo vật theo phơng thẳng đứng hớng xuống dới VTCB một đoạn 3cm rồi buông ra không vận tốc đầu. Xác định chu kỳ dao động của vật và viết phơng trình dao động của vật với điều kiện lấy gốc toạ độ là VTCB của vật. Chiều dơng của trục tọa độ hớng lên trên và lấy gốc thời gian khi bắt đầu thả vật. Cho g = 9,8 m/s 2 . c) Xác định độ lớn của vận tốc, gia tốc của vật khi nó dao động qua vị trí có li độ x = + 1,5cm. Bài 6: Một lò xo có độ cứng k, khối lợng không đáng kể đợc treo thẳng đứng , chiều dài tự nhiên l 0 = 20cm, lò xo mang vật M có khối lợng m để tạo nên CLLX. Khi M đang đứng yên ở VTCB, truyền cho nó vận tốc có phơng thẳng đứng và có độ lớn v 0 = 31,4 cm/s thì M dao động điều hoà có chu kỳ T =0,4 (s). (Cho g = 10m/s 2 . 2 = 10.) 1) Tìm chiều dài của lò xo khi M ở VTCB. 2) Viết phơng trình dao động, chọn gốc thời gian khi vật qua VTCB theo chiều dơng. 3) Trong quá trình dao động lò xo có lực đàn hồi cực đại là 3N. Tính k và m. Bài 7: CLLX treo thẳng đứng, dao động điều hoà theo phơng trình x =2 Sin (20t + 2 ) cm. Cho độ dài tự nhiên của lò xo là l 0 = 30 cm. Bỏ qua khối lợng của lò xo. a) Tính độ dài ngắn nhất và dài nhất của lò xo khi vật dao động lấy g =10 m/s 2 . b) Tính vận tốc của vật tại thời điểm t = 8 ( s) Bài 8: Một chất điểm dđđh dọc theo trục 0x và có VTCB là gốc toạ độ 0. Chất điểm có khối l- ợng m = 150 g, chu kỳ dao động là T = 2,09 s lúc đầu chất điểm có li độ là 3cm và vận tốc là 9 3 cm/s. a) Viết phơng trình dao động của chất điểm. b) Tính vận tốc của chất điểm khi đi qua VTCB. c) Tính cơ năng của chất điểm trong dao động điều hoà. Bài 9: Một lò xo khối lợng không đáng kể treo thẳng đứng trong trọng trờng gia tốc g = 10m/s 2 . Treo quả cầu nhỏ có khối lợng 100g vào đầu còn lại của lò xo thì giãn thêm 2 cm. Chọn trục x thẳng đứng, chiều (+) hớng xuống, gốc tại VTCB. Quả cầu dao động điều hoà với cơ năng bằng 2.10 -3 J . Chọn t= 0 là lúc quả cầu đang đi lên qua vị trí x = -2cm. a) Viết phơng trình chuyển động của quả cầu. b) Tính giá trị cực đại và cực tiểu của lực đàn hồi của lò xo trong dao động điều hoà này. Bài 10: CLLX có cấu tạo nh hình vẽ. Cho biết k = 100N/m; m 1 = m 2 = 1kg; g = 10m/s 2 . Khi hệ cân bằng: a) Tính độ giãn của lò xo. b) Đốt dây nối hai vật m 1 và m 2 . Lập phơng trình chuyển động của mỗi vật. Bài 11: Một lò xo có chiều dài tự nhiên l 0 = 20cm. Một đầu của lò xo đợc gắn vào một điểm 0 cố định. Treo vào lò xo vật có khối lợng m = 100g. Khi vật cân bằng lò xo dài 24cm. Kéo vật xuống thẳng đứng cho tới khi lò xo có chiều dài 30cm, rồi thả ra. a) Lập phơng trình dao động của vật. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi qua VTCB và khi cách vị trí này 2cm. b) Treo thêm vào lò xo gia trọng m = 60 g , trớc khi kéo giống nh trên. Lập phơng trình chuyển động của hệ 2 vật và tính vận tốc, gia tốc của chúng khi lò xo có chiều dài 28,4cm. ( lấy 2 =10; g = 10m/s 2 ). Bài 12: Lò xo có độ cứng k = 100 N/m treo thẳng đứng có độ dài l 0 = 40cm. Móc vào đầu dới một vật m = 1kg rồi kích thích cho vật dao động. Ta thấy chiều dài lớn nhất của lò xo là l max = 55cm. Hãy xác định vận tốc của vật khi lò xo dài l 1 = 54cm. Bài 13: Một lò xo có khối lợng không đáng kể, độ dài tự nhiên l 0 = 20cm, đầu trên cố định, đầu dới nối vật m = 100g. Tại VTCB lò xo của con lắc có chiều dài l 1 = 21cm. Kéo vật xuống phía dới cách VTCB mọt đoạn bằng 1cm rồi truyền cho nó vận tốc 10 cm/s theo phơng thẳng đứng hớng xuống dới. Bỏ qua mọi ma sát, coi vật dao động điều hoà. Viết phơng trình dao động của vật. Chọn gốc thời gian t = 0 là thời điểm vật bắt đầu dao động, (coi g =10 m/s 2 . 2 =10) Bài 14: Một lò xo có khối lợng không đáng kể, độ dài tự nhiên l 0 = 40cm, đầu trên cố định, đầu dới gắn vào quả cầu nhỏ có khối lợng m thì khi cân bằng lò xo giãn ra một đoạn l = 10cm. Cho g =10 m/s 2 . 2 =10. a) Chọn 0x thẳng đứng hớng xuống, gốc 0 tại VTCB của quả cầu. Nâng quả cầu lên trên thẳng đứng cách 0 một đoạn 2 3 cm vào t = 0 và truyền cho quả cầu một vận tốc v = 20cm/s phơng thẳng đứng hớng lên trên. Viết phơng trình dao động của quả cầu. b) Tính chiều dài của lò xo sau khi quả cầu dao động đợc một nửa chu kỳ kể từ lúc bắt đầu dao động. Bài 15: Một CLLX gồm một quả cầu nhỏ khối lợng 50g treo ở đầu dới một lò xo L có khối lợng không đáng kể, đầu trên của lò xo đợc gắn cố định vào giá đỡ. Kích thích cho CLLX dao động điều hoà theo phơng thẳng đứng, chu kỳ của con lắc là 0,2s và độ dài của lò xo thay đổi từ 30cm đến 34 cm. Lấy g = 10m/s 2 . 2 = 10. 1) Lập phơng trình dao động. Chọn gốc toạ độ tại VTCB của con lắc, trục toạ độ hớng thẳng đứng xuống dới, chọn gốc thời gian tại thời điểm lò xo L có độ dài ngắn nhất. 2) a) Tính lực đàn hồi lớn nhất và độ dài tự nhiên của lò xo L. b) Vận tốc và gia tốc của quả cầu tại vị trí con lắc có độ dời x = -10mm. Bài 16: Một CLLX treo thẳng đứng mang khối lợng m. Kéo m khỏi VTCB 8cm rồi thả nhẹ, các lực đàn hồi có số đo cực đạivà cực tiểu hợp thành tỉ số 5. Lấy g = 2 (m/s 2 ). Lập phơng trình chuyển động với chiều dơng hớng xuống, thời điểm gốc lúc thả vật. Bài 17: Một lò xo khối lợng không đáng kể k =16N/m. Gắn vào đầu dới lò xo một vật m = 0,25kg, kích thích cho nó dao động điều hoà theo phơng thẳng đứng.Tại VTCB vật có vận tốc v = 40cm/s. 1) Viết phơng trình chuyển động của quả cầu, chọn trục toạ độ (hình vẽ), gốc thời gian t = 0 lúc vật ở VTCB hớng đi lên. 2) Tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của lò xo ( lấy g = 10m/s 2 ). Bài 18: Một CLLX gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có khối lợng m = 100g, đợc treo thẳng đứng vào một giá cố định tại VTCB O của vật lò xo giãn 2,5cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dới VTCB O một đoạn 2cm rồi truyền cho vật vận tốc ban đầu v 0 = 69,3cm/s ( Coi bằng 40 3 cm/s) có phơng thẳng đứng, hớng xuống dới. Chọn trục toạ độ Ox theo phơng thẳng đứng , gốc tại O, chiều dơng hớng lên trên, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Dao động của vật đợc coi là dao động điều hoà. Hãy viết phơng trình dao động của vật. Tính độ lớn của lực do lò xo tác dụng vào giá treo khi vật đạt vị trí cao nhất. Cho g= 10m/s 2 . Bài 19: Một vật khối lợng m dao động với li độ x đợc biểu diễn trên hình vẽ, cơ năng của vật E= 250mJ. 1) Viết phơng trình dao động của vật. 2) Tìm biểu thức vận tốc và vẽ đồ thị vận tốc trên cùng hệ trục toạ độ. 3) Tìm khối lợng m của vật. ( lấy 2 = 10) Bài 20: Cho 5 vật nhỏ khối lợng lần lợt là m 1 ; m 2 ; m 3 = m 2 - m 1 ; m 4 = m 2 +m 1 ;m 5 = 21 .mm . Gắn lần lợt từngvật trên vào một lò xo L khối lợng không đáng kể ta đợc các con lắc lò xo . Cho biết các con lắc lò xo L +m 1 và L + m 2 có các chu kỳ lần lợt là T 1 và T 2 . Hãy tính các chu kỳ T 3 ,T 4 ,T 5 của các con lắc còn lại theo T 1 và T 2 . Bỏ qua mọi lực cản và ma sát. áp dụng số T 1 = 0,3s; T 2 = 0,4s. Bài 21: Lò xo có chiều dài tự nhiên 20cm, đầu trên của lò xo đợc giữ cố định . Treo vào dầu dới của lò xo vật có khối lợng m = 100g. Khi vật cân bằng lò xo có chiều dài 22,5 cm. a) Từ VTCB, kéo vật thẳng đứng hớng xuống cho tới khi lò xo dài 26,5cm và buông không vận tốc đầu. Tính năng lợng dao động của hệ và động năng của hệ lúc vật ở cách VTCB 2cm. b) Thực hiện lại công việc trên nhng treo thêm vào lò xo 1 gia trọng m =20g trớc khi kéo cho lò xo có độ dài 26,5cm và buông. Tính năng lợng dao động của hệ và động năng lúc lò xo có chiều dài 25cm. ( lấy g = 10m/s 2 ) Phơng pháp giải bài toán lập phơng trình dao động của CLLX. I/Phơng trình dao động: x =Asin(t + ) . Trong đó: x: Li độ. A: Biên độ ( Chỉ giá trị x max ) : Tần số góc ( Xác định chu kỳ T, tần số f ) : Pha ban đầu. ( xác định trạng thái ban đầu ở t = 0) (t + ): Pha dao động.( Xác định trạng thái dao động ở thời điểm t) B ớc 1: *) Nếu đề bài đã chọn trớc trục toạ độ, gốc toạ độ, chiều dơng, gốc thời gian thì sử dụng tính toán theo đề). *)Nếu cha thì phải tự chọn: - Chọn trục toạ độ có phơng là phơng chuyển động ( thẳng đứng hoặc nằm ngang) -Chọn gốc toạ độ là VTCB 0. -Chiều dơng: hớng lên , hớng xuống, sang trái, sang phải tuỳ theo bài ) -Gốc thời gian khi thả vật,khi vật bắt đầu chuyển động hoặc khi đi qua VTCB tuỳ chọn). B ớc 2: Xác định biên độ A: Có thể tính biên độ A tuỳ theo điều kiện đề bài cho trong một số trờng hợp sau: a) Nếu biết trớc cơ năng E: Dùng công thức 222 2 1 2 1 kAAmE == *Chú ý: Đơn vị ở trong công thức này: E (J) ; m ( kg); A (m). b) Biết trớc x 0 và v 0 Dùng công thức * Trong công thức này đơn vị của x 0 và A là giống nhau. c) Nếu biết vận tốc của vật tại VTCB là V max thì có thể tính A theo công thức: * Chú ý: Nếu V max ( cm/s) thì A (cm). Nếu V max (m/s) thì A (m) d) Nếu biết chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động l max và l min thì : e) Nếu biết trớc chiều dài quỹ đạo là CD thì: A = CD/2. f) Nếu cho F max ( CLLX thẳng đứng) thì có thể tính theo công thức: 2 0 2 0 2 += v xA max V A = 2 minmax ll A = F max = k (l + A) Từ đó A * Chú ý: Đơn vị trong công thức này cả l, A có cùng đơn vị là (m) g) Nếu cho ở thời điểm ban đầu t = 0: biết x 0 và v 0 thì có thể giải hệ sau: h) Nếu biết tỉ số giữa lực đàn hồi cực đại và cực tiểu Thì có thể tính A: (đơn vị của A là m) B ớc 3: Xác định : a) Biết m,k thì có thể tính * Trong công thức này m (kg); ( rad/s) b) Biết T hoặc f: c) Biết độ giãn của lò xo ở VTCB l thì: ở VTCB có mg = kl * Chú ý : trong công thức này l ( m) B ớc 4 : Xác định : Dựa vào điều kiện ban đầu t= 0; x = x 0 ; v= v 0 giải hệ phơng trình sau để tìm . * Chú ý: Về dấu của x 0 và v 0 khi tìm . Các trờng hợp đặc biệt: khi t= 0: = = cos sin 0 0 Av Ax 0 )( )( min max = + = m Alk Alk F F m k = f T 2 2 == l g = * Khi tìm xong A, và thì thay vào phơng trình x =Asin(t + ) ( đvị) II/ Tìm các đại lợng liên quan: 1) Vận tốc của vật dao động điều hoà ở thời điểm t hoặc ở li độ x. + Biết x =Asin(t + ) thì v= Acos(t + ) thay t vào phơng trình vận tốc ta sẽ tìm đợc vận tốc của vật dao động. + Nếu biết x,A thì có thể tính giá trị của v qua biểu thức: ( chú ý lấy dấu ) 2) Tìm gia tốc của vật ở li độ x: a= - 2 Asin(t + ) = - 2 x 3) Xác định chiều dài của CLLX ở trong quá trình dao động: + Với chiều dài tự nhiên của lò xo là: l 0 + Chiều dài của lò xo ở VTCB là : l +Chiều dài lò xo cực đại: l max + Chiều dài cực tiểu của lò xo: l min + Độ giãn của lò xo ở VTCB là: l. Ta có sự liên hệ sau: l = l 0 + l. l max = l + A= (l 0 + l ) + A l min = l - A = ( l 0 + l ) - A 4) Tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động: ( Đối với con lắc lò xo thẳng đứng) Biểu thức: F = k (l + x) = = = = = = = = = 0 ; 2 0 ;0 0 0 0 0 0 0 0 0 v Ax v Ax v x )( 222 xAv = +) F max = k (l + A) +) F min : Nếu l > A F min = k (l -A) Nếu l < A F min = 0. ( khi vật m qua vị trí có li độ x= - l) Chọn câu đúng Câu 1: Dao động cơ học điều hoà đổi chiều khi: A. Lực tác dụng đổi chiều. B. Lực tác dụng bằng không. C. Lực tác dụng có độ lớn cực đại. D. Lực tác dụng có độ lớn cực tiểu. Câu 2: Chu kỳ dao động nhỏ của con lắc đơn phụ thuộc: A. Khối lợng của con lắc. B. Trọng lợng của con lắc. C. Khối lợng riêng của con lắc. D. Tỉ số của trọng lợng và khối lợng của con lắc. Câu 3: Động năng của dao động điều hoà biến đổi theo thời gian: A. Theo một hàm dạng sin. B. Tuần hoàn theo chu kỳ T. C. Tuần hoàn với chu kỳ 2 T . D. Không đổi. Câu 4: Trong dao động điều hoà thì li độ , vận tốc và gia tốc là ba đại lợng biến đổi nh những hàm cosin của thời gian. A. Có cùng biên độ. B. Có cùng pha. C. Có cùng tần số góc. D. Có cùng pha ban đầu. Câu 5: Trong dao động điều hoà, mối quan hệ giữa li độ , vận tốc và gia tốc là: A. Vận tốc và li độ luôn cùng chiều. B. Vận tốc và gia tốc luôn trái chiều. C. Gia tốc và li độ luôn trái chiều. D. Gia tốc và li độ luôn cùng chiều. Câu 6 : Dao động tự do khi có ma sát, và khi không có ma sát là dao động gì? - Có ma sát: . - Không có ma sát: Từ trờng của dòng điện. Bài 1:Hai dây dẫn thẳng dài vô hạn song song cách nhau a = 10cm trong không khí , trong đó lần lợt có hai dòng điện cùng cờng độ I 1 = I 2 = 5A chạy ngợc chiều nhau. Xác định cảm ứng từ tại điểm M cách đều hai dòng điện một khoảng a = 10cm. Bài 2:Hai dòng điện cờng độ I 1 = 2A; I 2 = 4A chạy trong hai dây dẫn thẳng dài vô hạn, đồng phẳng vuông góc nhau trong chân không. a) Xác định véc tơ cảm ứng từ tại những điểm nằm trong mặt phẳng hai dòng điện, cách đều hai dây dẫn những khoảng r = 4cm. b) Trong mặt phẳng của hai dòng điện tìm quỹ tích những điểm tại đó B =0. Bài 3:Cho ba dòng điện cờng độ lần lợt bằng I 1 = I 2 = 6A, I 3 = 12A chạy trong ba dây dẫn thẳng vô hạn, đồng phẳng song song nhau, cách đều nhau một khoảng a = 3cm trong chân không; I 1 và I 2 cùng ngợc chiều với I 3 . ( hình vẽ) I 1 I 2 I 3 Trong mặt phẳng của ba dòng điện hãy xác định: 1) Véc tơ cảm ứng từ tại điểm M cách đều hai dòng I 2 và I 3 . 2) Quỹ tích những điểm P tại đó B = 0. Bài 4: Bốn dòng điện cùng cờng độ I 1 = I 2 = I 3 = I 4 = 20A chạy trong bốn dây dẫn thẳng vô hạn đi qua bốn đỉnh của hình vuông MNPQ, cạnh a = 20cm và cùng vuông góc với mặt phẳng MNPQ. Xác định véc tơ cảm ứng từ tại tâm 0 của hình vuông MNPQ trong ba trờng hợp: 1) I 1 ,I 2 cùng chiều với nhau và ngợc chiều với I 3 ,I 4 . 2) I 1 ,I 2 ,I 3 ngợc chiều với I 4 . 3) I 1 ,I 2 ,I 3 ,I 4 cùng chiều. Bài 5:1) ống dây dẫn hình trụ dài, có dòng điện I 1 = 5A chạy qua; biết rằng trên mỗi cm dài có quấn 10 vòng dây, xác định cảm ứng từ tại một điểm P trên trục ống dây. 2) Đặt thêm một dây dẫn thẳng dài vô hạn song song với trục của ống dây a = 10cm. Trong dây dẫn có dòng điện I 2 = 5A. Xác định cảm ứng từ tại P. Bài 6:1) Dòng điện cờng độ I 1 = 4A chạy trong một vòng dây dẫn tròn đồng chất tiết diện không đổi , bán kính vòng dây R = 10cm, xác định cảm ứng từ tại tâm vòng dây. 2) Cũng vẫn vòng dây nói trên, ngời ta cho dòng điện cờng độ I= 8A vào một đầu M và ra đầu N của cùng một đờng kính vòng dây. Tính cảm ứng từ tại tâm vòng dây. Tác dụng của từ trờng lên dòng điện Bài 7: Dòng điện cờng độ I 1 chạy trong dây dẫn thẳng dài vô hạn, khung dây dẫn (không biến dạng) hình chữ nhật MNPQ đồng phẳng với dòng điện I 1 ; cạnh MN =PQ =b; NP =MQ = a; Cạnh MN song song với dòng điện I 1 với khoảng cách d. Trong khung có dòng điện cờng độ I 2 chạy theo chiều MNPQ ( dòng I 2 qua MN ngợc chiều I 1 ) Xác định lực từ tổng hợp tác dụng lên khung MNPQ. Bài 8: Hai dây dẫn thẳng vô hạn song song đặt cố định cách nhau 20cm trong chân không; trong hai dây có các dòng điện cờng độ I 1 =6A; I 2 = 4A chạy cùng chiều Trong mặt phẳng của hai dây dẫn thẳng song song nói trên, có đoạn dây dẫn MN =l, song song với hai dây dẫn nói trên và trong có dòng điện I 3 = 5A. Xác định vị trí MN để cho lực từ tổng hợp tác dụng lên MN bằng không. . phơng trình chuyển động của mỗi vật. Bài 11: Một lò xo có chiều dài tự nhiên l 0 = 20cm. Một đầu của lò xo đợc gắn vào một điểm 0 cố định. Treo vào lò xo. quả cầu dao động đợc một nửa chu kỳ kể từ lúc bắt đầu dao động. Bài 15: Một CLLX gồm một quả cầu nhỏ khối lợng 50g treo ở đầu dới một lò xo L có khối lợng