LUẬN LÝ TOÁN HỌC Thời gian làm : 90 phút Thí sinh sử dụng tài liệu giữ lại đề thi Biểu diễn công thức x(p(x) a c yq(y)) dạng mệnh đề (clausal form) : {{ p(x), q(f(x))}} Các câu a, b b d {{ p(x), q(a)}} Các câu a, b sai b d F G Các câu a, b, c sai ne a F G @c F 1, G .C om Cho công thức F = x y(P(f(x), y) Q(x)) G = xQ(x) Chọn Z = {a, b}, g : Z Z với g(a) = a, g(b) = b; S : Z {1, 0} với S(a) = 1, S(b) = 0, R : Z2 {1, 0}, R(a, a) = R(b, b) = 1, R(a, b) = R(b, a) = Diễn dịch I lấy D Z, hàm f g, vị từ P R Q S Đánh giá F, G dd I Chọn cơng thức có giá trị sai với D tập số nguyên tự nhiên a x y (2x − y = 0) b y z (y + z = 100) c x ((x < 10) y (y < x y < 9)) d x y (y > x z (y + z = 100)) Vi en Zo nh Chọn phát biểu bao quát : x y (p(x) (p(y) x = y)) Chọn phát biểu bao quát : a Q(y,G(A,B)) Q(G(x,x),y) b Older(Father(y),y) Older(Father(x), John) c Knows(Father(y),y) Knows(x,x) d Các câu a, b, c có mgu có mgu có mgu Si a x (p(x) y (p(y) y = x)) b ╞═ x p(x) x p(x) c x r(x, x) ╞═ x y r(x, y) d Các câu a, b, c Công thức : a P (Q (P Q)) b x y r(x, y) x r(x, x) c Cả câu a, b d Cả câu a, b không SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Chọn phát biểu bao quát : a ╞═ (( x P(x)) ( y.Q(y))) z (P(z) Q(z)) b {P(x, z, y), P(x, z, x), P(a, x, x)} có mgu c “Cơng thức có giá trị sai” phát biểu thuộc phạm vi ngữ nghĩa d Các câu a, b, c .C om Chọn phát biểu sai : a “Nobody loves John” dịch “ x ( loves(x, a))” b “Mary doesn't love anybody” dịch “ x loves(a, x)” c “Everybody loves everybody” dịch “ x loves(x, x)” d Có câu sai câu a, b, c ne Chọn phát biểu bao quát : a b c d Các câu a, b, c Vi en Zo Chọn phát biểu sai : a b c d Có câu sai câu a, b, c Si nh Chọn phát biểu bao quát : a b c d Các câu a, b, c Chọn phát biểu sai : a b c d Có câu sai câu a, b, c Tổng cộng : 40 câu ≤≥ Phát biểu ? (1) ╞═ x p(x) x p(x) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Si nh Vi en Zo ne C om (2) ╞═ x p(x) x p(x) (3) ╞═ x p(x) x p(x) khó (4) ╞═ x p(x) x p(x) (5) ╞═ x y r(x, y) x r(x, x) (6) ╞═ x y r(x, y) x r(x, x) (7) ╞═ x y r(x, y) x y r(y, x) (8) ╞═ x r(x, x) x y r(x, y) (9) ╞═ x r(x, x) x y r(x, y) or (3) x r(x, x) ╞═ x y r(x, y) (10) ╞═ x r(x, x) x y r(x, y) (11) ╞═ x y z((r(x, y) r(y, x)) r(x, y)) Exercise 4.33 Which of the following statements hold? If a statement holds, then you should explain why If it does not, then you should give a counterexample (1) x p(x) ╞═ x p(x) (2) x p(x) ╞═ x p(x) (5) x y r(x, y) ╞═ x r(x, x) (6) x y r(x, y) ╞═ x r(x, x) (7) y x r(x, y) ╞═ x y r(x, y) (8) x y r(x, y) ╞═ y x r(x, y) (11) x r(x, x) ╞═ x y r(x, y) Exercise 4.34 Which of the following hold? (1) x y(r(x, y) r(y, x)), r(a, b) ╞═ r(b, a) (2) x y(r(x, y) r(y, x)), r(a, b) ╞═ r(a, a) Các câu cho dư z ?????, 4, 5, chưa xét (3’) x y z((r(x, y) r(y, x)) r(x, y)), r(a, b), r(a, c) ╞═ r(b, c), (3) x y z((r(x, y) r(y, z)) r(x, z)), r(a, b), r(a, c) ╞═ r(b, c), (4) x y z((r(x, y) r(y, x)) r(x, y)), r(a, b), r(a, b) ╞═ r(a, c), (5) x y z((r(x, y) r(y, x)) r(x, y)), r(a, b), r(a, c) ╞═ r(b, c), (6) x y z((r(x, y) r(y, x)) r(x, y)), x y(r(x, y) r(y, x)), r(a, b) ╞═ r(a, a) For each pair of atomic sentences, give the most general unifier if it exists (and indicate if both are unifyable or not): (a) P(A,B,B); P(x,y,z) (b) Q(y,G(A,B)); Q(G(x,x),y) (c) Older(Father(y),y), Older(Father(x), John) (d) Knows(Father(y),y); Knows(x,x) Transform each of the following formulas to clausal form: Biểu diễn công thức clausal form : (a) x(p(x) yq(x)) *(a’) x(p(x) yq(y)) : {{ p(x), q(f(x))}}, {{ p(x), q(a)}} SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn (b) x y( zp(z) u(q(x,u) vq(y,v))) (c) x( yp(y) z(q(z) r(x))) (i) Use truth tables to prove that P (Q (P Q)) is a tautology .C om Consider the following formula in first-order logic: F = x y(P(f(x), y) Q(x)) Suppose that the following structure S is given: D = {a, b}, {g : D D}, {R : D2 {true, false}, S : D {true, false}}i where g(a) = a, g(b) = b; R(a, a) = true, R(a, b) = false, R(b, b) = true, R(b, a) = false, S(a) = true, and S(b) = false The function g is linked to the function symbol f, and the predicates R and S are linked to predicate symbols P and Q, respectively Determine the truth value of formula F for the given structure S Zo ne * F = x y(P(f(x), y) Q(x)), G = xQ(x) Chọn Z = {a, b}, {g : D D}, {R : D2 {1, 0}, S : D {1, 0}} với g(a) = a, g(b) = b; R(a, a) = R(b, b) = 1, R(a, b) = R(b, a) = 0, S(a) = 1, S(b) = Diễn dịch I lấy D Z, hàm f g, vị từ P R Q S Đánh giá F diễn dịch I - en CNF clauses for this problem is thus as follows: Si nh Vi HOUND(x) HOWL(x) HAV E(x, y) CAT(y) HAV E(x, z) MOUSE(z) LS(x) HAV E(x, y) HOWL(y) (a) HAV E(John, a) (b) CAT(a) HOUND(a) (a) LS(John) (b) HAV E(John, b) (c) MOUSE(b) CAT(a) HOWL(a) [1, 4(b)] HAV E(x, y) CAT(y) HAV E(x, b) [2, 5(c)] HAV E(John, y) CAT(y) [7, 5(b)] HAV E(John, a) HOWL(a) [6, 8] 10 HOWL(a) [4(a), 9] 11 LS(x) HAV E(x, a) [3, 10] 12 LS(John) [4(a), 11] 13 [5(a), 12] For each of the following sets of expressions, determine whether or not it is unifiable If a given set if unifiable, then determine a most general unifier: SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Si nh Vi en Zo ne C om (ii) {P(a, x, f(x)), P(x, y, x)} (iii) {P(x, f(y), y), P(w, z, g(a, b))} (iv) {P(x, z, y), P(x, z, x), P(a, x, x)} (v) {P(z, f(x), b), P(x, f(a), b), P(g(x), f(a), y)} Convert the following first-order sentences into sets of clauses: (i) x y(isgrandparent(x, y) z(parent(x, z) parent(z, y))) {parent(x, f(x, y)) isgrandparent(x, y), parent(f(x, y), y)) isgrandparent(x, y)} (ii) x(bird(x) flies(x)) (iii) x y z(person(x) ((likes(x, y) y ≠ z) likes(x, z))) (iv) x(( y IsDescendant(y, x)) Root(x)) (v) x(P(a, x) y(Q(x, y) zR(z))) Determine whether the following are valid inferences in first-order logic using resolution: (i) x(P(x) Q(x)) ├─ y( Q(y) P(y)) (ii) x(P(x) Q(x)) ├─ x( Q(x) P(x)) (iii) x(P(x) Q(x)), P(a) ├─ Q(a) (iv) x(P(x) Q(x)), xP(x) ├─ xQ(x) (v) x(P(x) Q(x)), x(Q(x) R(x)) ├─ x(P(x) R(x)) Consider the following set of clauses S: S = { P(x, f(y)) Q(y, a) R(x), Q(g(b),w) S(d), P(c, u), R(v) S(d), S(z)} with x, y, z, u, v,w universally qualified variables and a, b, c, d constants Prove by means of binary resolution that this set of clause S is inconsistent State whether the following are true or false, where x , y and z range over the integers (a) x y (2x − y = 0) (b) y x (2x − y = 0) (c) x y (x − 2y = 0) (d) x ((x < 10) y (y < x y < 9)) (e) y z (y + z = 100) (f) x y (y > x z (y + z = 100)), với x, y, z N (số nguyên tự nhiên) Prove that the following are equivalent: (a) x P(x) y (P(y) y = x) (b) x ( y P(y) y = x) Công thức (a), (b) không đóng ??? Unify (if possible) the following pairs of predicates and give the resulting substitutions b is a constant a P(x, f(x), z), P(g(y),f(g(b)),y) b P(x, f(x)), P(f(y), y) c P(x, f(z)), P(f(y), y) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Show that the following is a tautology of first-order intuitionistic predicate logic ( x P(x)) ( x P(x)) Show that the following is a tautology of first-order intuitionistic predicate logic x (P(x) y ( P(y))) Show that the following is a tautology of first-order intuitionistic predicate logic ( x P(x)) y P(y) Show that the following is a tautology of first-order intuitionistic predicate logic (( x P(x)) ( y.Q(y))) z (P(z) Q(z)) en Zo ne C om Exercise 4.4 Rephrase “x ≤ y y ≤ z” in predicate logic, using binary relations < for “less than” and = for “equal” Exercise 4.5 Rephrase “ (x ≤ y y ≤ z)” in predicate logic, using binary relations < for “less than” and = for “equal” -Câu sau thuộc phạm vi ngữ nghĩa (semantic) cú pháp (syntactic) a) X, Y công thức LLVT, X Y cơng thức LLVT b) Cơng thức “ ” có giá trị sai bảng thực trị Si nh Vi True “Nobody loves John” dịch “ x loves(x, a)” “ x ( loves(x, a))” “Mary doesn't love anybody” dịch “ x loves(a, x)” Mary doesn't love everybody or somebody doesn't love Mary x ( loves(a, x)) y ( loves (y, a)) If Mary loves everybody then somebody doesn't love Mary and Mary loves somebody x (loves(a, x)) y ( loves(y, a)) z (loves(a, z)) False “Everybody loves everybody” dịch “ x loves(x, x)” Cách tính điểm 00 01 câu = 00 đ 07 09 câu = 02 đ 15 17 câu = 04 đ 23 25 câu = 06 đ 31 33 câu = 08 đ 39 40 câu = 10 đ 02 câu = 0.5 đ 10 câu = 2.5 đ 18 câu = 4.5 đ 26 câu = 6.5 đ 34 câu = 8.5 đ 03 11 19 27 35 05 câu = 01 đ 13 câu = 03 đ 21 câu = 05 đ 29 câu = 07 đ 37 câu = 09 đ 06 câu = 1.5 đ 14 câu = 3.5 đ 22 câu = 5.5 đ 30 câu = 7.5 đ 38 câu = 9.5 đ SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn .C om ne Zo en Vi nh Si SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn ... 22 câu = 5.5 đ 30 câu = 7.5 đ 38 câu = 9.5 đ SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn .C om ne Zo en Vi nh Si SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn ... P(f(y), y) c P(x, f(z)), P(f(y), y) SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn Show that the following is a tautology of first-order intuitionistic predicate logic ( x P(x)) ( x P(x)) Show that... is unifiable If a given set if unifiable, then determine a most general unifier: SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn Si nh Vi en Zo ne C om (ii) {P(a, x, f(x)), P(x, y, x)} (iii) {P(x,