Chương 1 nhắc lại các dạng toán cơ bản như: Tập hợp (Set), ký hiệu tập hợp, một số dạng tập hợp đặc biệt, các phép toán trên tập hợp, quan hệ, các tính chất của quan hệ, quan hệ tương đương, bao đóng của quan hệ, đồ thị (Graph), đồ thị (Graph),... Mời các bạn cùng tham khảo.
Chương 1: Bổ túc tốn Nội dung: • Tập hợp • Quan hệ • Phép chứng minh quy nạp • Đồ thị Tập hợp (Set) Ví dụ: Phần tử • D = {Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat, Sun} • • Tập đối tượng rời rạc Khơng trùng lắp Định nghĩa: • Tập hợp tập đối tượng khơng có lặp lại Ký hiệu tập hợp Liệt kê phần tử: • D = {1, 2, 3} Đặc tả tính chất đặc trưng: • D = { x | x ngày tuần } Một số dạng tập hợp đặc biệt Tập rỗng: • Ký hiệu: { } Tập hợp con: • Ký hiệu: A B (Ngược lại: A • { 1, 2, } { 1, 2, 3, 4, } • { 2, 4, } { 1, 2, 3, 4, } B) Một số dạng tập hợp đặc biệt Tập hợp nhau: • Ký hiệu: A = B (Ngược lại: A B) • { 1, } = { 2, } { 1, 2, } { 2, } Tập lũy thừa: • Ký hiệu: 2A • A = { 1, 2, } 2A = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3} } Các phép toán tập hợp Phần bù (complement): • A’ = { x | x A} Phép hợp (Union): • A B={x|x A x B} Phép giao (intersection): • A B = { x | x A x B} Các phép toán tập hợp Phép trừ (difference): • A\B={x|x A x B} Tích Đềcác: • A x B = { (a,b) | a A b B} Các phép toán tập hợp Ví dụ: cho A = {1, 2} B = {2, 3} • A B = { 1, 2, } • A B={2} • A\B={1} • A x B = { (1,2 ), (1, 3), (2, 2), (2, 3) } • 2A = { , {1}, {2}, {1, 2} } Quan hệ S R(A miền xác định (domain) B ) = aRb miền giá trị (range) Quan hệ Ví dụ: cho S = {0, 1, 2, 3} • Quan hệ ‘thứ tự nhỏ hơn’ L = { (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) } • Quan hệ ‘bằng’ E = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) } • Quan hệ ‘chẵn lẻ’ P = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1)} 10 Các tính chất quan hệ Phản xạ (reflexive): aRa với a S Đối xứng (symmetric): aRb bRa Bắc cầu (transitive): aRb bRc aRc Ví dụ: • L không quan hệ phản xạ hay đối xứng 11 cầu • E P mang tính phản xạ, đối xứng bắc Quan hệ tương đương Quan hệ tương đương = Quan hệ phản xạ, đối xứng bắc cầu Ví dụ: • E P quan hệ tương đương • L khơng quan hệ tương đương 12 Lớp tương đương Nếu R quan hệ tương đương S R phân hoạch S thành lớp tương đương không rỗng rời nhau: S = S1 S2 … Tính chất: • Si Sj = • Nếu a, b thuộc Si aRb • Nếu a Si b Sj aRb sai Ví dụ: P có lớp tương đương {0, 2}13và {1, 3} Bao đóng quan hệ P-closure = quan hệ nhỏ thỏa tính chất P Bao đóng bắc cầu R+: • Nếu (a,b) R (a,b) R+ • Nếu (a,b) R (b,c) R (a,c) • Khơng thêm R+ Bao đóng phản xạ bắc cầu R*: • R* = R+ { (a, a) a S} 14 R+ Bao đóng quan hệ Ví dụ: R = { (1, 2), (2, 2), (2, 3) } S = {1, 2, 3} • R+ = { (1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3) } • R* = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) } 15 Nguyên lý quy nạp Bước (cơ sở quy nạp): chứng minh P(0) Bước (giả thiết quy nạp): giả sử P(n-1) Bước (quy nạp): P(n - 1) n Ví dụ: chứng minh i i P(n), n n (n 1)(2n 1) 16 Đồ thị (Graph) Đồ thị G = (V, E) • V : tập đỉnh (nút) • E : tập cạnh nối nút Ví dụ: đồ thị G = (V, E) • V = { 1, 2, 3, 4, } • E = { (n, m) | n+m = n+m = 7} 17 Đồ thị có hướng (Directed graph) Đồ thị G = (V, E) • V : tập đỉnh (nút) • E : tập cung có hướng v w Ví dụ: đồ thị G = (V, E) • V = { 1, 2, 3, } • E={i j i