Bài giảng Tin học ứng dụng: Chương 5 - Lê Hữu Hùng

Bài giảng Tin học ứng dụng: Chương 5 do Lê Hữu Hùng biên soạn nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy. Nội dung bài giảng gồm: Ma trận, các phép toán trên ma trận, giải toán ma trận trên EXCEL, định thức, ứng dụng của định thức: Ma trận nghịch đảo, lập ma trận nghịch đảo ,...

5.1. MA TRẬN Chương 5 MA TRẬN   Trong thực tế ta thường gặp phải bảng số thống kê số liệu Thí dụ bảng thống kê mức độ sử dụng loại nguyên liệu để sản xuất loại sản phẩm loại sản phẩm ĐỊNH THỨC HỆ PT TUYẾN TÍNH loại nguyên liệu m a11 a12 a21 a22 am1 am2 n a1n a2n amn Số aij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n) số lượng đơn vị nguyên liệu thứ i cần dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm thứ j Thống kê số aij thành bảng số tỏ tiện lợi, giúp ta nắm nhu cầu khả sản xuất cách trực quan thuận tiện Trong toán học, người ta gọi bảng số ma trận  1) Ma trận: Cho m n số nguyên dương Một ma trận A cấp m x n bảng gồm m x n số xếp thành m hàng n cột, nghĩa là: a11 � � a21 � A= � � am1 � a12 a22 am a1n � a2 n � � � � amn � aij � viết gọn ma trận A, ta dùng kí hiệu A = � � � m n  Số aij R gọi phần tử nằm hàng thứ i cột thứ j A (do i thường gọi số hàng j gọi số cột)  Tập hợp tất ma trận cấp m x n, kí hiệu Mmxn  Để Ma trận vuông, ma trận có số hàng số cột Ma trận vng có n hàng n cột gọi ma trận vuông cấp n Tập hợp tất ma trận vng cấp n, kí hiệu Mn 2) Các phép toán ma trận: Ma trận nhau: Hai ma trận A, B Mmxn gọi nhau, kí hiệu A = B, ( A)ij = (B )ij , i = 1, m ; j = 1, n Nhân số với ma trận Cho A Mmxn k R Tích k với A, kí hiệu kA, ma trận cấp m x n, xác định bởi: (kA)ij = k ( A)ij , i=1,m; j=1,n Ví dụ 5.1 vd5-1.ppt Qui ước: (-1)A viết thành -A gọi ma trận đối A Phép cộng ma trận Cho A, B Mmxn Tổng A B, kí hiệu A + B, ma trận cấp mxn, xác định bởi: ( A + B )ij = ( A)ij + (B )ij , i=1,m; j=1,n Ví dụ 5.2 Định nghĩa: Hiệu hai ma trận cấp A B, kí hiệu A - B, xác định: A − B = A + (− B ) Nhân hai ma trận Cho A Mmxn B Mnxr (số cột A số hàng B) Tích A B, kí hiệu AB, ma trận cấp m x r, xác định n bởi: ( AB )ij = Sơ k =1 đồ: Ví dụ 5.3 vd5-3.ppt ( A)ik (B )kj , i=1,m; j=1,r  Chú ý:  Thông thường AB BA chúng xác định,  Nếu ab = với a, b R a = b = Nhưng tích ma trận AB = chưa kết luận A = B = 0, dễ dàng tìm thấy hai ma trận khác ma trận khơng mà tích chúng ma trận không, chẳng hạn: 0 0 0  Chuyển vị ma trận Cho A Mmxn Ma trận chuyển vị A, kí hiệu AT, ma trận cấp nxm nhận từ A cách đổi hàng thành cột, tức là: T ( A ) = ( A) ij Ví dụ 5.4 ji , i = 1, m ; j = 1, n Giải toán ma trận EXCEL Xét các ma trận A, B và C ở bảng tính sau: Lập ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) A: AT Các bước thực hiện: Quét chọn khối ma trận A (vùng A3:D5) Thực lệnh Edit – Copy (hoặc gõ Ctrl+C) Chọn vị trí lập ma trận chuyển vị (ô A15) Dùng lệnh Edit – Paste Special Xuất hộp thoại Chọn Transpose, OK Ta có kết quả: Nhân (multiply) hai ma trận A B: A.B Các bước thực hiện: Chọn vị trí lập ma trận tích (ơ A27) Dùng lệnh MMULT (hoặc Click biểu tượng Math & Trig, chọn lệnh MMULT) Xuất hộp thoại: Toolbar Chọn  Chọn vùng xác định ma trận A (A3:D5) trong khung  Array1; Chọn vùng xác định ma trận B (F3:H6) trong  khung Array2  Click OK Lưu  ý:  Sau  khi  Click  OK,  tại  vị  trí  con  trỏ  ơ  hiện  hành  (ơ  A27) chỉ xuất hiện số hạng ở dòng 1, cột 1 của ma trận AB.  Để  hiển  thị  tồn  bộ  ma  trận  AB,  ta  phải  quét  chọn  khối  xuất  hiện  của  AB  (3  dòng  và  3  cột,  vì  A  cấp  3x3  –  B  cấp  4x3), bắt đầu từ số đầu tiên vừa xuất hiện. Tiếp đến gõ F2,  rồi thực hiện đồng thời: Ctrl + Shift + Enter Ta có kết quả: tich­chvi matran.xls Định nghĩa Nghiệm hệ (1) số (x1, x2, …, xn) thoả mãn tất phương trình hệ Hệ (1) gọi tương thích có nghiệm, gọi xác định có nghiệm không xác định (hay vô định) hệ có nhiều nghiệm Trong trường hợp hệ khơng có nghiệm ta nói hệ khơng tương thích hay hệ vơ nghiệm Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương có chung nghiệm vơ nghiệm Giải hệ PT tuyến tính trên EXCEL lệnh  Solver  trong  Data  tab  |  Analysis  group  của  Excel.  Nếu  trong  trường  hợp  trong  Analysis group chưa có lệnh này, ta thực hiện các  thao tác sau: Vào: File tab|  options |  Add­Ins…bấm (excel add­in) Go Dùng  Xuất hiện hộp thoại Add­Ins:  Click chọn mục Solver Add­in  Click nút OK Trong Data tab | analysis group sẽ xuất hiện  lệnh Solver Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính: 2x y z x y 3z x 5y z x y z 14 a) Trình bày bài tốn trên bảng tính Excel: A1:E1 và B7:C7 là dòng tiêu đề A2:A5  là  các  hệ  số  của  x;  B2:B5  là  các  hệ  số  của y, C2:C5 là các hệ số của z B8:B10 là tên các ẩn số C8:C10 là giá trị ban đầu của ẩn số. Sau khi giải  xong,  vùng  này  là  nghiệm  của  phương  trình  tương ứng với các ẩn số Cột trái để trống Cột  phải  (E2:E5)  là  các  giá  trị  vế  phải  của  hệ  phương trình b) Các bước giải bài tốn: Bước 1:   Đánh dấu khối cột trái (D2:D5)  Dùng lệnh nhân ma trận:  MMULT(A2:C5,C8:C10)  (hoặc  Click  biểu  tượng      trên  Toolbar.  Chọn  Math  &  Trig,  rồi  chọn lệnh  MMULT), gõ F2, rồi  ấn tổ hợp phím  Ctrl + Shift + Enter.  Bước 2:  Click chuột vào ô D2 Gọi Solver từ menu Tools. Nhập các tham số  trong cửa sổ Solver parameters như sau:  Set Target Cell: Do chúng ta để ô định vị tại  D2, nên sẽ  hiển thị  $D$2. Nếu chưa  đúng  phải  gõ chính  xác  địa  chỉ  tuyệt đối này  Equal  To:  Click  chuột  đánh  dấu  Value  of,  và  gõ  vào  khung bên cạnh giá trị là  2 (vì chúng ta phải giải sao cho  vế bên trái bằng vế bên phải)  Subject to the Constraints: Đây là nơi ta xác định các điều  kiện ràng buộc để thoả mãn cách giải bài tốn trên (điều  kiện  là  tồn  bộ  giá  trị  cột  trái  bằng  giá  trị  cột  phải).  Click nút Add, xuất hiện hộp thoại  Add Constraints, và  nhập vào các tham số như sau: Click OK để trở lại hộp Solver Parameters Sau khi đưa vào các tham số của hộp thoại  Solver,  Click vào nút chọn  Solver. Nếu kết quả tốt, Excel  thơng báo là “found a solution”  Hãy chọn  Keep Solver Solution để lưu kết quả  trên  bảng  tính  (nếu  chọn  Restore  Original  Values  sẽ  huỷ  kết  quả  Solver  vừa  tìm  được  và  trả lại giá trị khởi động của các biến).  Kết bảng tính sau: Nhìn  trên  bảng  tính,  ta  thấy  các  giá  trị  trong  cột  trái bằng đúng các giá trị trong cột phải. Cột khởi  động  đã thay đổi, mỗi giá trị mới  ứng với mỗi  ẩn  số. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 1; y =  ­2, z = 2 Bài tập 5 Tìm ma trận tích AB BA (khi chúng xác định): �1 � �2 � 5� � a) A = � ,B=� � � � 2� −1� � � � �3 � �2 −1� −2 −5� � � � b) A = �1 � ,B=� � � � � � − � � −1 � � � c) A = � , � � � 0 −1 � � � � � � B= � � � −1� 0� � −2 � � 1� Cho 0� � A=� � −1 � � Tìm AAT ATA    Cho −1 1� � A=� �2 �2 −1� � � , B = − � � 1� � � �0 � � Tính AT, BT, (AB)T, BTAT b) Kiểm tra (AB)T = BTAT a) Tính định thức cấp ba sau: a) −4 −2 −2 3 a) −1 3 5.5 Tính định thức: 1 a) 1 ; 1 1 1 0 c) 0 2 1 1 b) 2 4 4 d) 0 0 0 −1 0 0 1 1 5.6 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma traän:đ 1 1� � � a) A = � � � � 9� � � �3 −1 � � b) B = � − 1 � � � �2 −1 � � 5.7.  Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x + x3 + x = x1 + x + x3 = −9 b) x1 + x2 − x3 − x4 = a) x1 − x + 3x3 = −3 x2 + x3 = x1 − x2 − x3 = 25 c) x1 − x + x3 = −2 x1 + x2 − x3 = x1 + x + 3x3 = d) x1 + x2 − x3 + x4 = x1 + 3x − 13x3 + 22 x = −1 x1 + x + x3 − x = x1 + 3x + x3 − x4 = 5.8.  Giải hệ phương trình sau: x1 − x2 − x3 + x4 = −13 a) x1 − x + x3 − x = 14 x1 − x2 + x3 + x4 = 13 x1 − 3x − x3 − x4 = x1 − x + 3x3 − x = −1 b) − x1 + x − x3 + 3x = x1 + x2 + x3 + x4 = x1 + x2 + x3 = x1 + x2 + x3 = c) x1 + x2 + x3 = −7 x1 + 3x2 − 3x3 = 14 x1 + x2 + x3 = d) x1 − x2 + x3 = x1 − x2 + x3 = x1 − x2 + x3 = ... kA, ma trận cấp m x n, xác định bởi: (kA)ij = k ( A)ij , i=1,m; j=1,n Ví dụ 5. 1 vd 5-1 .ppt Qui ước: (-1 )A viết thành -A gọi ma trận đối A Phép cộng ma trận Cho A, B Mmxn Tổng A B, kí hiệu A +... Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính: 2x y z x y 3z x 5y z x y z 14 a) Trình bày bài tốn trên bảng tính Excel: A1:E1 và B7:C7 là dòng tiêu đề A2:A5  là  các  hệ  số  của  x;  B2:B5  là  các  hệ  số  của y, C2:C5 là các hệ số của z... trình  tương ứng với các ẩn số Cột trái để trống Cột  phải  (E2:E5)  là  các  giá  trị  vế  phải  của  hệ  phương trình b) Các bước giải bài tốn: Bước 1:   Đánh dấu khối cột trái (D2:D5)  Dùng lệnh nhân ma trận: