Bài giảng Tin học ứng dụng: Chương 5 do Lê Hữu Hùng biên soạn nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy. Nội dung bài giảng gồm: Ma trận, các phép toán trên ma trận, giải toán ma trận trên EXCEL, định thức, ứng dụng của định thức: Ma trận nghịch đảo, lập ma trận nghịch đảo ,...
5.1. MA TRẬN Chương 5 MA TRẬN Trong thực tế ta thường gặp phải bảng số thống kê số liệu Thí dụ bảng thống kê mức độ sử dụng loại nguyên liệu để sản xuất loại sản phẩm loại sản phẩm ĐỊNH THỨC HỆ PT TUYẾN TÍNH loại nguyên liệu m a11 a12 a21 a22 am1 am2 n a1n a2n amn Số aij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n) số lượng đơn vị nguyên liệu thứ i cần dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm thứ j Thống kê số aij thành bảng số tỏ tiện lợi, giúp ta nắm nhu cầu khả sản xuất cách trực quan thuận tiện Trong toán học, người ta gọi bảng số ma trận 1) Ma trận: Cho m n số nguyên dương Một ma trận A cấp m x n bảng gồm m x n số xếp thành m hàng n cột, nghĩa là: a11 � � a21 � A= � � am1 � a12 a22 am a1n � a2 n � � � � amn � aij � viết gọn ma trận A, ta dùng kí hiệu A = � � � m n Số aij R gọi phần tử nằm hàng thứ i cột thứ j A (do i thường gọi số hàng j gọi số cột) Tập hợp tất ma trận cấp m x n, kí hiệu Mmxn Để Ma trận vuông, ma trận có số hàng số cột Ma trận vng có n hàng n cột gọi ma trận vuông cấp n Tập hợp tất ma trận vng cấp n, kí hiệu Mn 2) Các phép toán ma trận: Ma trận nhau: Hai ma trận A, B Mmxn gọi nhau, kí hiệu A = B, ( A)ij = (B )ij , i = 1, m ; j = 1, n Nhân số với ma trận Cho A Mmxn k R Tích k với A, kí hiệu kA, ma trận cấp m x n, xác định bởi: (kA)ij = k ( A)ij , i=1,m; j=1,n Ví dụ 5.1 vd5-1.ppt Qui ước: (-1)A viết thành -A gọi ma trận đối A Phép cộng ma trận Cho A, B Mmxn Tổng A B, kí hiệu A + B, ma trận cấp mxn, xác định bởi: ( A + B )ij = ( A)ij + (B )ij , i=1,m; j=1,n Ví dụ 5.2 Định nghĩa: Hiệu hai ma trận cấp A B, kí hiệu A - B, xác định: A − B = A + (− B ) Nhân hai ma trận Cho A Mmxn B Mnxr (số cột A số hàng B) Tích A B, kí hiệu AB, ma trận cấp m x r, xác định n bởi: ( AB )ij = Sơ k =1 đồ: Ví dụ 5.3 vd5-3.ppt ( A)ik (B )kj , i=1,m; j=1,r Chú ý: Thông thường AB BA chúng xác định, Nếu ab = với a, b R a = b = Nhưng tích ma trận AB = chưa kết luận A = B = 0, dễ dàng tìm thấy hai ma trận khác ma trận khơng mà tích chúng ma trận không, chẳng hạn: 0 0 0 Chuyển vị ma trận Cho A Mmxn Ma trận chuyển vị A, kí hiệu AT, ma trận cấp nxm nhận từ A cách đổi hàng thành cột, tức là: T ( A ) = ( A) ij Ví dụ 5.4 ji , i = 1, m ; j = 1, n Giải toán ma trận EXCEL Xét các ma trận A, B và C ở bảng tính sau: Lập ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) A: AT Các bước thực hiện: Quét chọn khối ma trận A (vùng A3:D5) Thực lệnh Edit – Copy (hoặc gõ Ctrl+C) Chọn vị trí lập ma trận chuyển vị (ô A15) Dùng lệnh Edit – Paste Special Xuất hộp thoại Chọn Transpose, OK Ta có kết quả: Nhân (multiply) hai ma trận A B: A.B Các bước thực hiện: Chọn vị trí lập ma trận tích (ơ A27) Dùng lệnh MMULT (hoặc Click biểu tượng Math & Trig, chọn lệnh MMULT) Xuất hộp thoại: Toolbar Chọn Chọn vùng xác định ma trận A (A3:D5) trong khung Array1; Chọn vùng xác định ma trận B (F3:H6) trong khung Array2 Click OK Lưu ý: Sau khi Click OK, tại vị trí con trỏ ơ hiện hành (ơ A27) chỉ xuất hiện số hạng ở dòng 1, cột 1 của ma trận AB. Để hiển thị tồn bộ ma trận AB, ta phải quét chọn khối xuất hiện của AB (3 dòng và 3 cột, vì A cấp 3x3 – B cấp 4x3), bắt đầu từ số đầu tiên vừa xuất hiện. Tiếp đến gõ F2, rồi thực hiện đồng thời: Ctrl + Shift + Enter Ta có kết quả: tichchvi matran.xls Định nghĩa Nghiệm hệ (1) số (x1, x2, …, xn) thoả mãn tất phương trình hệ Hệ (1) gọi tương thích có nghiệm, gọi xác định có nghiệm không xác định (hay vô định) hệ có nhiều nghiệm Trong trường hợp hệ khơng có nghiệm ta nói hệ khơng tương thích hay hệ vơ nghiệm Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương có chung nghiệm vơ nghiệm Giải hệ PT tuyến tính trên EXCEL lệnh Solver trong Data tab | Analysis group của Excel. Nếu trong trường hợp trong Analysis group chưa có lệnh này, ta thực hiện các thao tác sau: Vào: File tab| options | AddIns…bấm (excel addin) Go Dùng Xuất hiện hộp thoại AddIns: Click chọn mục Solver Addin Click nút OK Trong Data tab | analysis group sẽ xuất hiện lệnh Solver Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính: 2x y z x y 3z x 5y z x y z 14 a) Trình bày bài tốn trên bảng tính Excel: A1:E1 và B7:C7 là dòng tiêu đề A2:A5 là các hệ số của x; B2:B5 là các hệ số của y, C2:C5 là các hệ số của z B8:B10 là tên các ẩn số C8:C10 là giá trị ban đầu của ẩn số. Sau khi giải xong, vùng này là nghiệm của phương trình tương ứng với các ẩn số Cột trái để trống Cột phải (E2:E5) là các giá trị vế phải của hệ phương trình b) Các bước giải bài tốn: Bước 1: Đánh dấu khối cột trái (D2:D5) Dùng lệnh nhân ma trận: MMULT(A2:C5,C8:C10) (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar. Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh MMULT), gõ F2, rồi ấn tổ hợp phím Ctrl + Shift + Enter. Bước 2: Click chuột vào ô D2 Gọi Solver từ menu Tools. Nhập các tham số trong cửa sổ Solver parameters như sau: Set Target Cell: Do chúng ta để ô định vị tại D2, nên sẽ hiển thị $D$2. Nếu chưa đúng phải gõ chính xác địa chỉ tuyệt đối này Equal To: Click chuột đánh dấu Value of, và gõ vào khung bên cạnh giá trị là 2 (vì chúng ta phải giải sao cho vế bên trái bằng vế bên phải) Subject to the Constraints: Đây là nơi ta xác định các điều kiện ràng buộc để thoả mãn cách giải bài tốn trên (điều kiện là tồn bộ giá trị cột trái bằng giá trị cột phải). Click nút Add, xuất hiện hộp thoại Add Constraints, và nhập vào các tham số như sau: Click OK để trở lại hộp Solver Parameters Sau khi đưa vào các tham số của hộp thoại Solver, Click vào nút chọn Solver. Nếu kết quả tốt, Excel thơng báo là “found a solution” Hãy chọn Keep Solver Solution để lưu kết quả trên bảng tính (nếu chọn Restore Original Values sẽ huỷ kết quả Solver vừa tìm được và trả lại giá trị khởi động của các biến). Kết bảng tính sau: Nhìn trên bảng tính, ta thấy các giá trị trong cột trái bằng đúng các giá trị trong cột phải. Cột khởi động đã thay đổi, mỗi giá trị mới ứng với mỗi ẩn số. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 1; y = 2, z = 2 Bài tập 5 Tìm ma trận tích AB BA (khi chúng xác định): �1 � �2 � 5� � a) A = � ,B=� � � � 2� −1� � � � �3 � �2 −1� −2 −5� � � � b) A = �1 � ,B=� � � � � � − � � −1 � � � c) A = � , � � � 0 −1 � � � � � � B= � � � −1� 0� � −2 � � 1� Cho 0� � A=� � −1 � � Tìm AAT ATA Cho −1 1� � A=� �2 �2 −1� � � , B = − � � 1� � � �0 � � Tính AT, BT, (AB)T, BTAT b) Kiểm tra (AB)T = BTAT a) Tính định thức cấp ba sau: a) −4 −2 −2 3 a) −1 3 5.5 Tính định thức: 1 a) 1 ; 1 1 1 0 c) 0 2 1 1 b) 2 4 4 d) 0 0 0 −1 0 0 1 1 5.6 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma traän:đ 1 1� � � a) A = � � � � 9� � � �3 −1 � � b) B = � − 1 � � � �2 −1 � � 5.7. Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x + x3 + x = x1 + x + x3 = −9 b) x1 + x2 − x3 − x4 = a) x1 − x + 3x3 = −3 x2 + x3 = x1 − x2 − x3 = 25 c) x1 − x + x3 = −2 x1 + x2 − x3 = x1 + x + 3x3 = d) x1 + x2 − x3 + x4 = x1 + 3x − 13x3 + 22 x = −1 x1 + x + x3 − x = x1 + 3x + x3 − x4 = 5.8. Giải hệ phương trình sau: x1 − x2 − x3 + x4 = −13 a) x1 − x + x3 − x = 14 x1 − x2 + x3 + x4 = 13 x1 − 3x − x3 − x4 = x1 − x + 3x3 − x = −1 b) − x1 + x − x3 + 3x = x1 + x2 + x3 + x4 = x1 + x2 + x3 = x1 + x2 + x3 = c) x1 + x2 + x3 = −7 x1 + 3x2 − 3x3 = 14 x1 + x2 + x3 = d) x1 − x2 + x3 = x1 − x2 + x3 = x1 − x2 + x3 = ... kA, ma trận cấp m x n, xác định bởi: (kA)ij = k ( A)ij , i=1,m; j=1,n Ví dụ 5. 1 vd 5-1 .ppt Qui ước: (-1 )A viết thành -A gọi ma trận đối A Phép cộng ma trận Cho A, B Mmxn Tổng A B, kí hiệu A +... Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính: 2x y z x y 3z x 5y z x y z 14 a) Trình bày bài tốn trên bảng tính Excel: A1:E1 và B7:C7 là dòng tiêu đề A2:A5 là các hệ số của x; B2:B5 là các hệ số của y, C2:C5 là các hệ số của z... trình tương ứng với các ẩn số Cột trái để trống Cột phải (E2:E5) là các giá trị vế phải của hệ phương trình b) Các bước giải bài tốn: Bước 1: Đánh dấu khối cột trái (D2:D5) Dùng lệnh nhân ma trận: