Giải pháp nâng cao tỷ lệ mã hóa của sơ đồ mật mã dựa trên mã

Bài viết đề xuất hai giải pháp cải tiến hệ mật McEliece, giải pháp sử dụng vector lỗi mang tin và giải pháp sử dụng mã nối tiếp thay thế mã Goppa. Các giải pháp đề xuất cho phép tăng tỷ lệ mã hoá đến ~0,8, đạt độ lợi mã hóa 1,7dB, tăng khả năng sửa lỗi, khả năng chống nhiễu của hệ thống và độ bảo mật so với thuật toán đề xuất gốc.

KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIẢI PHÁP NÂNG CAO TỶ LỆ MÃ HÓA CỦA SƠ ĐỒ MẬT MÃ DỰA TRÊN MÃ PROPOSED SOLUTIONS TO IMPROVE THE CODE RATE OF CODE-BASED CRYPTOGRAPHY Lê Văn Thái TÓM TẮT Bài báo đề xuất hai giải pháp cải tiến hệ mật McEliece, giải pháp sử dụng vector lỗi mang tin giải pháp sử dụng mã nối tiếp thay mã Goppa Các giải pháp đề xuất cho phép tăng tỷ lệ mã hoá đến ~0,8, đạt độ lợi mã hóa 1,7dB, tăng khả sửa lỗi, khả chống nhiễu hệ thống độ bảo mật so với thuật toán đề xuất gốc Từ khóa: Hệ mật McEliece, sơ đồ mật dựa mã, mã hóa cơng khai, mã Goppa ABSTRACT This paper is mainly to analyse the feature of the McEliece cryptosystem, in which it gives a variety of solutions in order to enhace the effect of the algorithm such as using error vector and replace Goppa code which use in the traditional by succeed concatenated coding The algorithm improves the coding rate about ~0.8, gain encoding 1.7dB and the security ability of McEliece algorithm improves more greatly than the traditional Keywords: McEliece cryptosystem, Code based cryptosystem, Public-key cryptography, Goppa codes lệ mã hóa thấp (~1/2), kích thước khóa lớn (1024  524 bit hệ mật đề xuất ban đầu) đòi hỏi dung lượng nhớ lớn Nội dung báo này, đề xuất hai cải tiến áp dụng sơ đồ hệ mật McEliece nhằm khắc phục điểm yếu hệ mật gốc Các thuật toán đề xuất cho phép tăng tỷ lệ mã hóa lên đến 0,8 mà đảm bảo độ an tồn hệ mật Phần lại báo tổ chức sau: Trong phần 2, báo giới thiệu đặc điểm hệ mật mã khóa cơng khai McEliece, phần trình bày thuật tốn cải tiến sử dụng vector lỗi mang phần thông tin, phần trình bày thuật tốn cải tiến sử dụng mã nối tiếp thay Goppa sơ đồ hệ mật gốc, cuối phần kết luận trình bày phần Trường Đai học Công nghiệp Hà Nội Email: thailv@haui.edu.vn Ngày nhận bài: 28/5/2018 Ngày nhận sửa sau phản biện: 30/6/2018 Ngày chấp nhận đăng: 25/10/2018 HỆ MẬT KHĨA CƠNG KHAI MCELIECE Hệ mật McEliece giới thiệu R.McEliece vào năm 1978 [1] Đây sơ đồ hệ mật sử dụng tính ngẫu nhiên mã hóa Thuật tốn dựa độ khó giải mã mã khối tuyến tính Thuật tốn ban đầu sử dụng mã nhị phân Goppa, dễ dàng việc giải mã nhờ thuật toán Patterson [4] Khóa cơng khai thu từ khóa mật cách che dấu từ mã chọn giống từ mã tuyến tính Để thực hiện, ma trận sinh G mã nhị phân xáo trộn với hai ma trận khả nghịch ngẫu nhiên Q P ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ mật McEliece hệ mật mã khóa cơng khai dựa lý thuyết mã hóa đại số, giới thiệu năm 1978 [1] An ninh hệ mật dựa độ khó toán giải mã theo syndrome chứng minh toán NP đầy đủ [2] Sơ đồ gốc ban đầu đề xuất sử dụng mã Goppa nhị phân thuật toán giải mã Patterson Ưu điểm bật hệ mật tính bảo mật cao, thời gian thực mã hoá giải mã nhanh, yêu cầu thiết bị thực đơn giản [3] Trải qua 40 năm với mã Goppa chưa có thuật tốn hiệu phá vỡ sơ đồ hệ mật McEliece với tham số lựa chọn phù hợp Vì vậy, hệ mật xếp vào nhóm mật mã sau lượng tử năm gần cộng đồng nhà mật mã học nghiên cứu rộng rãi Tuy nhiên, hệ mật chưa đưa vào ứng dụng thực tế xuất phát từ nhược điểm tỷ Hình Sơ đồ khối thuật toán McEliece Hệ mật McEliece bao gồm thuật tốn: thuật tốn tạo khóa, nhằm tạo khóa cơng khai khóa mật; thuật tốn Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số Đặc biệt 2018 SCIENCE TECHNOLOGY mã hóa xác suất, sử dụng tính chất ngẫu nhiên thuật tốn mã hóa thuật tốn giải mã Hệ mật McEliece gốc sử dụng mã Goppa nhị phân, mã Goppa lớp mã sửa lỗi tuyến tính dùng để sửa lỗi ngẫu nhiên xảy truyền qua kênh có nhiễu Sơ đồ khối hệ mật biểu diễn hình [5] Trong đó: Bản tin nguồn biểu diễn dạng chuỗi thông tin số nhị phân chia thành khối ký hiệu m có độ dài k bit Các thuật toán hệ mật thực sau [1]: Tạo khóa: • Chọn mã tuyến tính nhị phân C có khả sửa t lỗi Mã Goppa đặc trưng ma trận sinh G kích thước k×n có khả sửa vector lỗi ngẫu nhiên dài n bit có trọng số nhỏ t • Chọn ma trận nhị phân khả nghịch Q kớch thc kìk cú nghch o l Q-1 Chn ma trận hoán vị nhị phân ngẫu nhiên P kích thước n×n (chỉ có phần tử “1” hàng cột) • Tính tốn ma trận Gp = Q.G.P kích thước k×n Gp = Q.G.P (1) • Khóa cơng khai (Gp, t), khóa mật (Q, G, P) Mã hóa: Q trình mã hố giải mã tin hệ mật McEliece thực sau: Ở bên nhận muốn nhận tin mật hoá thuật toán McEliece, thực tính chìa khố cơng khai Gp dựa chìa khố mật ma trận Q, G P, sau gửi cặp khóa cơng khai (Gp, t) qua kênh truyền đến bên gửi • Khi muốn gửi tin m tới bên nhận thơng qua khóa cơng khai (Gp,t) • Biểu diễn tin m dạng chuỗi nhị phân có độ dài k bit • Tạo vector e ngẫu nhiên có độ dài n có trọng số (số phần tử “1”) w(e) ≤ t • Tính tốn mã c sau gửi cho bên nhận c = mGp + e (2) từ mã mQG sửa t lỗi nhờ thuật toán Patterson sử dụng thuật toán khác Do ta tính từ mã m’ = mQ Để lấy tin gốc ta nhân m’ với ma trận nghịch đảo Q ta có m’Q-1 = m, tin gốc ban đầu Từ chất thuật toán thực hệ mật McEliece ta đưa số nhận xét thuật toán sau: - Hệ mật có độ bảo mật cao khơng phải thực truyền khóa mật (các khóa dùng để giải mã tin) qua kênh, khóa bên thực giải mã biết - Thiết kế thiết bị mã hoá giải mã đơn giản việc tính tốn thực q trình phép tính nhị phân, ta thiết kế thiết bị linh kiện số phổ biến - Thời gian mã hoá giải mã nhanh thực tính tốn phép tốn nhị phân, đáp ứng thông tin yêu cầu thời gian thực - Nhược điểm hệ mật tỷ lệ mã hoá thấp (~1/2) sử dụng mã kênh mã khối tuyến tính, thuật tốn McEliece gốc sử dụng mã Goppa (1024, 524) với tỷ lệ mã hoá r  k / n  1/ - Thông thƭt ba ma trận Q, G, P Thuật tốn mã hóa giải mã sơ đồ đề xuất thực sau: Mã hóa: Khi muốn gửi tin nguồn tới bên nhận thơng qua khóa cơng khai GP Bên gửi thực chia tin thành hai thành phần bàn tin m (nguồn tin 1) tin bổ sung ma (nguồn tin 2) thực mã hóa sau: + Đối với tin m (nguồn tin 1) nhân với khóa cơng khai GP (trong GP ma trận tích ba ma trận Q, G, P) ta từ mã c1 + Đối với phần tin bổ sung ma (nguồn tin 2), bên gửi thực biến đổi tin với độ dài l sang vector lỗi e có độ dài n trọng lượng t, thực theo thuật tốn trình bày hình 3; tham số l, n, t phải thoả mãn công thức (6) + Tính từ mã c = c1 + e = mGp + e Giải mã: Sau nhận mã c, bên nhận thực giải mã tin sau: + Xác định tin m Thực tính m1 = c.P-1 -1 (P ma trận nghịch đảo P), giải mã sửa sai tương ứng với ma trận sinh G ta xác định vector m2 thực tính m = m2Q-1 m1  c.P 1  (mGP  e)P 1  (mQGP  e)P 1  (mQ)G  eP 1  m 1 j  ( a )i 2i i0  m2  mQ   0,w  Từ ta xác định tin m  m2 Q 1 j  Cnt w 1 j  j   Cnt  w1  e  1, w  w  e'  for  '   e  o    1 + Xác nhận tin bổ sung ma, bên nhận tiến hành thực khôi phục tin theo bước sau: Bước 1: Thực mã hố lại, cách tính: c1  mGp   n  t  w 1 e'  for  '   Hình Lưu đồ thuật toán biến đổi từ vector tin bổ sung sang vector lỗi 10 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số Đặc biệt 2018 (7) Bước 2: Tính vector lỗi bên nhận theo cơng thức (8): e  c1  c (8) Bước 3: Khôi phục phần tin bổ sung từ vector e thuật toán biến đổi ngược so với bên gửi, thuật tốn trình bày chi tiết hình SCIENCE TECHNOLOGY Đúng    1 j  j  Cnt t t  t 1   nt đảm bảo độ bảo mật tốc độ mã Sơ đồ khối mã nối tiếp thể hình [8] Cấu trúc mã nối tiếp bao gồm mã ngoài, mã xáo trộn bít nằm hai mã có nhiệm vụ phá vỡ lỗi cụm (lỗi dài) thành lỗi đơn nhằm mục đích để tăng khả sửa lỗi mã, kể trường hợp điều kiện kênh truyền xấu Để áp dụng mã nối tiếp vào hệ mật McEliece, ta cần phải chọn mã thành phần mã khối tuyến tính có đa thức sinh tương ứng G1 G2 với khoảng cách Hamming cực tiểu tương ứng d1min d2min Khi đó, mã nối tiếp sửa lỗi cụm có độ dài max(n1t2, n2t1), ni độ dài từ mã thành phần ti khả sửa lỗi mã thành phần, tính theo cơng thức (9) [8]  d  1 ti   i  với i = 1,   (9) Hoặc mã nối tiếp sửa t lỗi vị trí từ mã với: Hình Thuật tốn biến đổi vector lỗi thành chuỗi tín hiệu bổ sung ma Nhận xét đặc điểm thuật toán McEliece cải tiến sử dụng vector lỗi mang tin: + Hệ mật đề xuất sử dụng vector lỗi mang phần thông tin tăng tỷ lệ mã hóa so với đề xuất hệ mật gốc (tỷ lệ mã hố đạt tới ~0,8 thuật toán gốc đạt tỷ lệ mã hoá ~0,5) Mặt khác thông qua việc bổ sung lượng thông tin vào vector lỗi làm tăng độ bảo mật hệ mật, bên thứ ba thường quan tâm đến phần thơng tin (m) nằm thuật tốn gốc + Hệ mật McEliece cải tiến hạn chế yêu cầu thống thuật toán biến đổi phần thông tin bổ sung thành vector lỗi e, điều dẫn đến phức tạp sử dụng hệ mật cải tiến + Với phương pháp cải tiến sử dụng vector lỗi mang tin, tỷ lệ mã hóa cải thiện từ 0,51 lên 0,79 chọn tham số theo đề xuất gốc k = 524, n = 1024 t = 50 l = 284 tính theo cơng thức (6) (mang 284 bit thông tin bổ sung) từ 0,63 lên 0,87 chọn k = 654, n = 1024, t = 37 l = 225 ĐỀ XUẤT NÂNG CAO ĐỘ BẢO MẬT CỦA HỆ MẬT McELIECE SỬ DỤNG MÃ NỐI TIẾP THAY THẾ MÃ GOPPA TRONG SƠ ĐỒ GỐC Hình Sơ đồ khối mã nối tiếp Giải pháp đề xuất sử dụng mã kênh nối tiếp thay cho mã Goppa thuật tốn truyền thống nhằm tăng khơng gian chìa cho hệ mật McEliece, mà  1  d d t   1min    (10) Sơ đồ khối hệ mật McEliece sử dụng mã nối tiếp thể hình Hình Sơ đồ khối hệ mật McEliece cải tiến sử dụng mã nối tiếp Các thuật toán hệ mật McEliece cải tiến sử dụng mã nối tiếp thay mã Goppa sơ đồ gốc thực sau: Tạo khóa: - Khóa bí mật bao gồm ma trận Q, G1, П, G2 P (ở ta sử dụng xáo trộn khối) - Khóa cơng khai gồm cặp (Gp, t) Trong đó: t xác định theo công thức (10) Gp xác định theo công thức (11) Gp  QG1 Π G2P (11) Mã hóa giải mã: Q trình mã hố giải mã tin thuật toán cải tiến đề xuất tương tự thuật tốn McEliece Số Đặc biệt 2018 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 11 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ gốc Tuy nhiên, giải mã kênh ta phải thực qua hai lần giải mã mã thành phần (mã mã ngoài), với ma trận kiểm tra xác định GiHiT  , đó, i = ÷ Đồng thời, sau giải mã ta phải thực giải xáo trộn để xếp lại vị trí bit từ mã trước đưa vào giải mã cho với thứ tự bên gửi Nhận xét đặc điểm thuật toán McEliece cải tiến sử dụng mã nối tiếp: Thông qua việc sử dụng mã nối tiếp thay mã Goppa đề xuất gốc, khả sửa lỗi hệ thống cải thiện cách đáng kể so với sử dụng mã đơn, điều thể qua kết hình Hình Khả sửa lỗi mã nối tiếp so với mã đơn Từ kết hình ta thấy, để đạt xác suất lỗi bit Pe = 10-5 trường hợp sử dụng mã nối tiếp với mã thành phần mã Hamming(31, 26) mã BCH(63, 51) cần tỷ lệ Eb/N0 ≈ 5,8dB, trường hợp sử dụng mã đơn BCH (31, 21) cần Eb/N0 ≈ 7,5dB Tỷ lệ mã hóa hai trường hợp r = k/n ≈ 0,67 Như độ lợi mã hoá đạt 1,7 dB Tương tự vậy, sử dụng mã nối tiếp với mã thành phần mã Hamming (15,11) mã BCH(127, 92) độ lợi mã hoá hệ thống cao so với trường hợp sử dụng mã đơn Đây sở để cải thiện độ mật hệ thống sử dụng thuật toán McEliece, điều chứng minh qua phương pháp tính độ bền vững hệ mật cải tiến theo thuật tốn cơng tìm vector lỗi e thể qua công thức (12) [6] k c  Cnt (12) Kết thuật toán McEliece cải tiến sử dụng mã nối tiếp thay cho mã Goppa so với thuật toán đề xuất gốc thể qua bảng Bảng So sánh thuật toán McEliece cải tiến thuật toán gốc Sơ đồ hệ mật Hệ mật McEliece sử dụng mã Goppa(1024,524) Tỷ lệ mã hoá Số lỗi sửa ~0,5 50 Độ bền mật mã 50 C1024  3, 1.10 88 12 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số Đặc biệt 2018 Hệ mật McEliece sử dụng mã nối tiếp H(15,11)BCH(127,92) ~0,8 91 91 C1905  4, 46.10160 Chi phí thuật toán cải tiến sử dụng mã nối tiếp thay mã Goppa thường yêu cầu từ mã có độ dài lớn so với thuật tốn gốc Do u cầu dung lượng nhớ thiết bị giải mã lớn hơn, vấn đề khơng vấn đề khó khăn khoa học cơng nghệ KẾT LUẬN Phương pháp đề xuất cải tiến hệ mật McEliece sử dụng vector lỗi mang phần thơng tin tăng tỷ lệ mã hố từ 0,5 lên đến 0,8 so với thuật toán đề xuất gốc, đồng thời làm tăng độ phức tạp công giải mã hệ mật Hệ mật McEliece cải tiến sử dụng mã nối tiếp thay cho mã Goppa đề xuất gốc làm tăng khả sửa lỗi tăng khả chống nhiễu hệ thống Tỷ lệ mã hóa sử dụng mã nối tiếp thay thay mã Goppa tăng 0,17 độ lợi mã hóa đạt 1,7dB Hai giải pháp cải tiến tác giả đề xuất kết hợp với ưu điểm hệ mật McEliece, giúp cho hệ mật tăng thêm tính khả dụng cho hệ thống truyền tin số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] McEliece R J (1978) A Public-Key Cryptosystem Based on Algebraic Coding Theory, The Deep Space Network Progress Report, pp: 114-116 [2] Berlekamp E., McEliece R., and Tilborg H v (1978), "On the Inherent Intractability of Certain Coding Problems", IEEE Transactions on Information Theory, 24(3), pp: 384-386 [3] Bernstein D J., Buchmann J., and Dahmen E (2009), Post-quantum cryptography, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, pp: 95-145 [4] Patterson N J (1975), "The Algebraic Decoding of Goppa Codes", IEEE Transactions on Information Theory, IT-21(2), pp: 203-207 [5] Алферов А.П Основы криптографии М.: Гелиос АРВ, 2001 С 321323 [6] Hung sun Enhancing the security of the McEliece Public key Cryptosystem.Journal of inffomation science and engineering 16.2000 C 799812 [7] C S Park Improving code rate of McEliece’s public key cryptosystem Electronics letters, Vol 25, No 21, 1989, pp 1466-1467 [8] Морелос-Сарагоса Р Искусство помехоустойчивого кодирования Методы, алгоритмы, применение М: Техносфера, 2005  ... 225 ĐỀ XUẤT NÂNG CAO ĐỘ BẢO MẬT CỦA HỆ MẬT McELIECE SỬ DỤNG MÃ NỐI TIẾP THAY THẾ MÃ GOPPA TRONG SƠ ĐỒ GỐC Hình Sơ đồ khối mã nối tiếp Giải pháp đề xuất sử dụng mã kênh nối tiếp thay cho mã Goppa... tăng tỷ lệ mã hóa so với đề xuất hệ mật gốc (tỷ lệ mã hố đạt tới ~0,8 thuật toán gốc đạt tỷ lệ mã hoá ~0,5) Mặt khác thông qua việc bổ sung lượng thông tin vào vector lỗi làm tăng độ bảo mật hệ... toán thực hệ mật McEliece ta đưa số nhận xét thuật toán sau: - Hệ mật có độ bảo mật cao khơng phải thực truyền khóa mật (các khóa dùng để giải mã tin) qua kênh, khóa bên thực giải mã biết - Thiết