0 chủ đề 0 Bồi dưỡng HSG bổ sung kiến thức( hđt đồng dư hệ số bất định )

Chủ đề này nằm trong một bộ chủ đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Chủ đề Gồm các kiến thức: Hằng đẳng thức, Phương pháp Hệ số bất định; Đồng dư; và hai phương pháp chứng minh Quy nạp, phản chứng. Đây là bộ tài liệu do thầy Đinh Quang Trung sưu tầm và biên soạn

c gọi đẳng tất hệ số hạng tử lũy thừa Phương pháp hệ số bất định: a) Là phương pháp đồng hệ số đa thức b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x)= x  2x  13x  38x  24 Hướng suy nghĩ sau: - Đa thức đề cho có bậc bốn, phân tích thành nhân tử tích nhị thức bậc nhất; tích hai nhị thức bậc với tam thức bậc hai; tích tam thức bậc hai=> lựa chọn lấy tích hai tam thức bậc hai ta có cách phân tích đa thức thành nhân tử tam thức bậc hai (đã biết lớp 9) - Hệ số biến x có lũy thừa cao Với hướng suy luận trên, ta viết: 2 f(x)= x  2x  13x  38x  24  (x  ax  b)(x  cx  d) với a, b, c, d �� (1) Nếu suy luận b hệ số x phải thêm m n Tức phải viết đầy 2 đủ là: x  2x  13x  38x  24  (m x  ax  b)(n x  cx  d) Nhưng có suy luận b nên bớt hai hệ số 2 Vậy ta có: x  2x  13x  38x  24  (x  ax  b)(x  cx  d) Lúc khai triển vế trái viết gom theo lũy thừa giảm dần: (x  ax  b)(x  cx  d)  x  (c  a)x  (d  ac  b)x  (ad  bc)x  bd x  (c  a)x  (d  ac  b)x  (ad  bc)x  bd  x  2x  13x  38x  24 Suy ra: ca  � � d  ac  b  13 � � ad  bc  38 � � db  24 � (I) Chọn a=3, a+c=2 nên c=-1, thay vào phương trình lại hệ | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung 1  � � d  b  10 � � 3d  b  38 � � db  24 � Từ phương trình 3, ta tìm d= -12; b=2 Thử vào phương trình (4) ta đẳng thức Vậy f(x)= x  2x  13x  38x  24  (x  3x  2)(x  x  12) Đến đây, phân tích hai đa thức bậc hai cách phương pháp học đơn giản 2 IV Đồng Dư Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a b có cố dư phép chia cho số tự nhiên m khác 0, ta nói a b đồng dư với theo mô đun m ký hiệu a �b (mod m) Ví dụ a) 16 chia cho dư 1; 21 chia cho dư Vậy 16 �21 (mod 5) b) 122 �12 (mod 11) Tính chất đồng dư: 2.1 Nếu a �b (mod m) (a-b) Mm 2.2 Tính chất phản xạ: a �a (mod m) 2.3 Tính chất đối xứng: Nếu a �b (mod m) b �a (mod m) 2.4 Tính chất bắc cầu: Nếu a �b (mod m); b �c (mod m) a �c (mod m) 2.5 Cộng trừ vế hai đồng dư thức theo mô đun: a �b(mod m) �  a �c �b �d(mod m) � c �d(mod m) � Hệ quả: a) Có thể cộng thêm vào hai vế đồng dư với số nguyên c: a �b(mod m) => a �c �b �c(mod m) (với c�� b) Có thể chuyển vế, đồng thời đổi dấu số số hạng đồng dư thức: a �b  c  d(mod m)  a  b �c  d(mod m) c) Có thể cộng vế đồng dư với bội mô đun a �b(mod m)  a  mk �b(mod m) (k��) 2.6 Nhân vế hai đồng dư theo mô đun | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung a �b(mod m) �  a.c �b.d(mod m) � c �d(mod m) � Hệ quả: a) Có thể nhân hai vế đồng dư với số nguyên c: a �b(mod m) => a.c �b.c(mod m) (với c�� b) Có thể nâng hai vế đồng dư với lũy thừa a �b(mod m)  a n �b n (mod m) 2.7 Ta nhân hai vế mơ đun với số nguyên dương a �b(mod m)  ac �bc(mod mc) (c��* ) 2.8 Có thể chia hai vế mô đun với ước chung dương chúng: ac �bc(mod mc)  a �b(mod m) (c��* ) Ví dụ 2: Ta có 22 �6 (mod 8)=> 11 �3 (mod 4) 2.9 Trong trường hợp ước chung hai vế ngun tố với mơ đun, ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung ac �bc(mod m) �  a �b(mod m) � (c, m)  � Ví dụ Ta có 16 �2 (mod 7); (2, 7)=1 => �1 (mod 7) Chú ý: Không chia hai vế hai đồng dư thức IV Hai phương pháp chứng minh mới: 1) Phương pháp chứng minh Quy nạp: Giả sử phải chứng minh A n chia hết cho b Ta sử dụng bước sau: Bước 1: Chứng minh A n với n=0; 1; (Bắt đầu từ giá trị n nhỏ điều kiện toán) Bước 2: Giả sử A n với n=k Ta phải chứng minh với n=k+1 n n 1 Ví dụ Cho A n =  2.3  Chứng minh A n chia hết cho với  n �1, n�N Giải: 11 Xét n=1 => A1   2.3   chia hết cho Xét n=2 => A  32 chia hết cho | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung k k 1 Giả sử A n với n=k, nghĩa A k   2.3  chia hết cho Ta phải chứng minh A n chia hết cho với n=k+1 k 1 k k k 1 Thật vậy: A k 1   2.3   5.5  6.3  A k 1  5k  2.3k 1   4.5k  4.3k 1  5k  2.3k 1   4(5k  3k 1 ) k k 1 k k 1 Vì  số chẵn ( luôn số lẻ, số lẻ, tổng hai số lẻ k k 1 k k 1 số chẵn) Vậy  chia hết cho => 4(5  ) chia hết cho Vậy A k 1 chia hết cho 2) Phương pháp phản chứng: Để chứng minh A>B, ta giả sử A �B Dùng lập luận phép biến đổi để dẫn đến mâu thuẫn mà biết (mâu thuẫn với định lý, mệnh đề, tính chất… khẳng định) mâu thuẫn với giả thiết abc0 (1) � � ab  bc  ca  (2) � � abc  (3) Ví dụ: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện � Chứng minh ba số số dương Giải Chứng minh phản chứng Giả sử ba số có số số khơng dương vai trò bình đẳng a, b, c nên giả sử a số không dương, nghĩa a �0 - Nếu a=0 abc=0 , mâu thuẫn với (3) - Nếu a bc 4(5  ) chia hết cho Vậy A k 1 chia... định lý, mệnh đề, tính chất… khẳng định) mâu thuẫn với giả thiết abc0 (1) � � ab  bc  ca  (2) � � abc  (3) Ví dụ: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện � Chứng minh ba số số dương Giải... � Chứng minh ba số số dương Giải Chứng minh phản chứng Giả sử ba số có số số khơng dương vai trò bình đẳng a, b, c nên giả sử a số không dương, nghĩa a �0 - Nếu a=0 abc=0 , mâu thuẫn với (3) -