Đề tài Phân tích chùm mờ và không mờ các phần tử rời rạc được thực hiện nhằm mục đích tổng hợp các phương pháp xây dựng chùm mờ và không mờ cho các phần tử rời rạc làm cơ sở để nghiên cứu lý thuyết vấn đề này, đặc biệt vấn đề tính toán cho số liệu thực tế lớn để áp dụng cho nhiều lĩnh vực khác nhau. Hy vọng nội dung đề tài phục vụ hữu ích nhu cầu học tập, làm việc hiệu quả.
PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phân tích chùm là việc nhóm các phần tử trong tập hợp đã cho thành các chùm sao cho các phần tử trong cùng chùm tương tự nhau theo những dấu hiệu nào đó. Khi chùm được xây dựng, những phần tử trong cùng một chùm sẽ có sự tương tự nhiều hơn so với những phần tử của chùm khác Có rất nhiều ứng dụng trong y học, kinh tế, kỹ thuật, xã hội,… Trong phân tích chùm truyền thống (khơng mờ), các nhà khoa học đã nghiên cứu các phương pháp phân tích chùm thứ bậc và khơng thứ bậc với các tiêu chuẩn đánh giá khác nhau như khoảng cách hay độ rộng chùm. Tuy nhiên các phương pháp phân tích chùm khơng mờ đòi một phần tử phải thuộc hoặc khơng thuộc một chùm một cách rõ ràng, điều này khơng thực sự hợp lý khi trong thực tế có nhiều phần tử nằm ở những vị trí “nhạy cảm” đan xen giữa các chùm. Nghiên cứu chùm có kèm theo xác suất gọi là phân tích chùm mờ. Phương pháp này khắc phục nhược điểm của phương pháp phân tích chùm khơng mờ khi tập dữ liệu có các phần tử nằm gần biên giới giữa các chùm. Mặc dù đã được quan tâm nhiều, nhưng các tài liệu về phân tích chùm cũng được trình bày khá rời rạc, do đó các ứng dụng thực tế cũng chỉ xét cho từng trường hợp riêng biệt khơng có sự so sánh đối chiếu. Với mong muốn tổng hợp các phương pháp xây dựng chùm mờ và khơng mờ cho các phần tử rời rạc làm cơ sở để nghiên cứu lý thuyết vấn đề này, đặc biệt vấn đề tính tốn cho số liệu thực tế lớn để áp dụng cho nhiều lĩnh vực khác nhau em chọn đề tài Phân tích chùm mờ và khơng mờ các phần tử rời rạc TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH CHÙM Khái niệm phân tích chùm Chùm coi như là một đối tượng (phần tử, điểm). trong đó mỗi đối tượng dần tới đối tượng trung tâm của một chum và những thánh viên của những chùm khác nhau thì khơng tương tự nhau. Hay nói ngắn ngọn là ta sẽ thực hiện cực đại hóa sự tương tự giữa các đối tượng cùng một chum, nhưng cực tiểu hóa các đối tượng khác chum. Trong ý nghĩa, chum có thể xem như là “mật độ cao khu vực” của một khơng gian đa chiều Q trình nhốm các đối tượng vào cùng một chùm được gọi là việc xếp nhóm (clastering). Clastering đề cập tới vấn đề quang trọng nhất là nghiêm cứu khơng giám sát ( unsperviced learning) – khơng có thơng tin về nhãn lớp của đối tượng. Hay nói cách khác, đây là cơng việc “ xử lí để tổ chức các đối tượng vào các nhóm mà trong đó, các phần tử của mỗi nhóm giống nhau theo một nghĩa nào đó”. Phân tích chùm là một lớp các kĩ thuật được sử dụng để phân loại các đối tượng hoặc các trường hợp thành các nhóm đối tượng gọi là chùm. Phân tích chùm còn được gọi là phân tích phân loại hoặc phân loại số Phân tích chùm dữ liệu là một lĩnh vực nghiên cứu đầy thách thức và cơng việc này ln đặc ra những u cầu đặc thù sau đây: Tính khả mở: Nhiều thuật tốn phân tích chùm hoạt động tốt trên nhựng tập dữ liệu nhỏbao gồm vài tram đối tượng dữ liệu. Tuy nhiên, một cơ sở dữ liệu lớn bao gồm hàng triệu, hàng tỉ đối tượng. xếp nhóm trên tập dữ liệu lớn có thể dẫn tới kết quả kém. Các thuật tốn này có tính khả mở cao là rất cần thiết Khả năng phát hiện được các nhóm có hình dạng bất kì: các thuật tốn phải tìm ra được các nhóm có hình dạng bất kì, bao gồm những hình có kẻ hở, lõm hoặc lồng Thích nghi với các kiểu dữ liệu khác nhau: thuật tốn có thể áp dụng hiệu quả cho việc phân chùm với điều kiện dữ liệu khác nhau như: dữ liệu số, nhị phân,…và thích nghi với các kiểu dữ liệu hỗn hợp của các dữ liệu đơn trên Khả năng làm việc được với các dữ liệu chứa nhiễu: cơ chế phân chum thích ứng được với nhiều điểm nhiễu Khơng nhạy cảm với thứ tự dữ liệu đầu vào: tức là kết quả phân chum độc lập với dữ liệu input Giảm thiểu u cầu với tham số đầu vào: dữ liệu khơng cần phải có kiến thức tiên nhiệm nào Xử lí được dữ liệu đa chiều: tức là thuộc tính dữ liệu lớn Có thể phân chum trên cơ sở ràng buộc: các ứng dụng thực tế có thể cần phân chum dưới điều kiện rang buộc, Chẳng hạn cơng việc của bạn là chọn một vị trí dể đặt máy ATM trong thành phố,… Đây có thể là cả một thử thách của phân tích chum khi dựa vào bài tốn thực tế các lĩnh vực đời sống, tìm ra cách phân tích chum tốt đối với dữ liệu đầu vào mà vẫn tơn trọng các rang buộc ban đầu Tính có thể hiểu được, tiện lợi và khả dụng: Người dùng ln mong nhận được một bộ phân chùm có thể hiểu được và tiện lợi. Có một số thuật tốn khi thực hiện và so sánh với các kết quả thực tế khơng khớp, khơng hợp lí. Vậy kết quả thực tế là vấn đề quan trọng của thuật tốn, Điều quang trọng là nghiên cứu thực tế có thể chi phối các đặc trưng và các Phương pháp phân nhóm Một số ứng dụng của phân tích chùm Phân tích chùm có nhiều tên gọi khac nhau như: phân tích Q, phân tích phân loại, phân tích bằng kĩ thuật định lượng,… Có nhiều tên gọi khác nhau như vậy là vì phương pháp phân tích chùm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Phân tích chùm đã và đang được sử dụng rộng rãi và có đóng góp quan trọng trong mọi mặt đời song xã hội. Các ứng dụng chính bao gồm: Trong thương mại: Phân tích chùm có thể giúp khám phá ra các khách hang quang trọng có các đặc trưng tương đồng nhau và đặc tả trong cơ sở mua bán từ dữ liệu khách hàng. Từ đó nâng cao lợi nhuận, cải thiện thu nhập Trong sinh học: phương pháp này hữu dụng để phát hiện các lồi sinh vật , phân loại các gen với các chức năng tương đồng và thu thập được các cấu trúc trong các mẫu Trong phân tích dữ liệu khơng gian: Do sự đồ sộ của các dữ liệu khơng gian như các hình ảnh thủ được từ các hình ảnh chụp dduocj từ các vệ tinh, các thiết bị khoa học hay các hệ thống thơng tin địa lí(GÍ),… làm cho người dùng rất khó kiểm tra các dữ liệu khơng gian một cách chi tiết rõ ràng. Phương pháp phân tích chùm có thể trợ giúp nguoief dùng tự động phân tích và xử lí các dự liệu khơng gian như nhận dạng chiết xuất các đặc tính hoặc các dữ liệu quan tâm có thể tồn tại trơng cơ sở dữ liệu khơng gian Trong web mining: Phân tích chùm có thể khám phá ra các nhóm tài liệu quan trọng. có ý nghĩa theo tiêu chí đặc ra. Tương lai của web mining sẽ ngày càng phát triển cùng với sụ phát triển của internet Trong địa lí: Phân lớp động vật và thực vật và đưa ra đặc trung của chúng Trong qui hoạch đơ thị: Nhận dạng các nhóm nhà theo kiểu và vị trí địa lí,… Nhằm cung cấp thơng tin cho qui hoạch đơ thị Trong nghiên cứu trái đất: Phân tích chùm để theo dõi các trận động đất nhằm cung cấp thơng tin cho nhận dạng các vùng nguy hiểm Trong nén dữ liệu: Tìm ra các nhóm thể hiện đồng nhất từ đó có thể hổ trợ nén dữ liệu Chương I: PHÂN TÍCH CHÙM KHƠNG MỜ 1.1 GIỚI THIỆU Theo Jain và Dubes (1988), Kaufman và Rousseeuw (1990), Sharma (1996) và Everitt et al (2001), phân tích chùm là một phương pháp thống kê đa biến nhằm nhóm một tập các đối tượng lại thành các chùm theo những đặc điểm định trước. Chùm được coi như là một nhóm dữ liệu, trong đó những phần tử trong cùng một chùm thì có sự tương tự nhau theo một nghĩa nào đó. Khi có nhiều dữ liệu, người ta muốn chia các dữ liệu này thành nhiều nhóm sao cho những đối tượng trong cùng nhóm thì gần nhau hơn so với những đối tượng của nhóm khác. Từ u cầu đó bài tốn phân tích chùm ra đời. Chúng ta có thể hiểu phân tích chùm là việc nhóm các phần tử trong dữ liệu ban đầu thành các chùm sao cho các phần tử trong cùng một chùm thì tương tự nhau theo một dấu hiệu nào đó. Khi chùm được xây dựng, những phần tử trong cùng một chùm sẽ có sự tương tự nhiều hơn so với những phần tử của chùm khác. Bài tốn phân tích chùm là một hướng phát triển quan trọng của nhận dạng thống kê, thường được gọi là nhận dạng khơng được giám sát. Phần tử trong phân tích chùm là những phần tử rời rạc hoặc các hàm mật độ xác suất. Đối với phần tử rời rạc, việc xác định sự tương tự của các phần tử chủ yếu dựa vào khoảng cách giữa các phần tử đó, những phần tử có khoảng cách nhỏ nhất so với những phần tử khác thì gần nhau hơn và được xếp cùng một chùm. Hiện tại có hai phương pháp chủ yếu để xây dựng chùm cho các phần tử rời rạc: phương pháp thứ bậc và phương pháp khơng thứ bậc. Trong đó khoảng cách của hai phần tử được sử dụng chủ yếu là khoảng cách Euclide và khoảng cách . Trong khi khoảng cách giữa hai tập hợp được sử dụng là khoảng cách min, khoảng cách max, khoảng cách trung bình và khoảng cách Ward. Các phần mềm thống kê như Matlab, Maple, … đều có những gói sử dụng cho bài tốn phân tích chùm các phần tử rời rạc với các tiêu chuẩn đánh giá là các khoảng cách vừa nêu. Phân tích chùm được sử dụng đầu tiên bởi Tryon (1939) với một số ý tưởng đơn giản ban đầu. Các ý tưởng này được phát triển thành các thuật tốn phân tích chùm cụ thể bởi Sibson (1973), Defays (1977) và Rohlf (1982). Các thuật tốn này dựa trên tiêu chuẩn khoảng cách giữa các phần tử rời rạc. Nhiều tác giả đã phát triển thuật tốn này bằng cách thay đổi những khoảng cách khác nhau. Webb (2002) đã tổng kết khá đầy đủ bài tốn phân tích chùm của các dữ liệu rời rạc. Phân tích chùm được ứng dụng khá phổ biến trong nhiều lĩnh vực: sinh học, y học, kinh tế, xã hội…. Hartigan (1975) đã cung cấp một bảng tóm tắt tương đối đa dạng và đầy đủ những nghiên cứu thực tế của bài tốn phân tích chùm. Chẳng hạn như, trong y học phân tích chùm giúp phân loại bệnh có những dấu hiệu gần nhau. Trong khoa học khí tượng, phân tích chùm đã phát triển rộng rãi từ năm 1990 cho đến nay. Trong khảo cổ học, phân tích chùm dùng để phân loại cơng cụ bằng đá. Eshref Shevki và Wendell Bell (1955) sử dụng phân tích chùm trong điều tra dữ liệu dân số. Nhóm tác giả Piotr Kulczycki, Malgorzata Charytanowicz, Piotr A. Kowalski, Szymon Lukasik (2011) dùng phân tích chùm để phân loại hạt giống ngũ cốc phục vụ cho sản xuất và hỗ trợ chiến lược tiếp thị điều hành điện thoại di động cho các nhà cung cấp mạng điện thoại di động Ở Việt Nam, chúng tơi chưa tìm thấy những đóng góp đáng kể về mặt lý thuyết cho bài tốn phân tích chùm, tuy việc áp dụng đã được một số nhà tốn học, tin học quan tâm trong lĩnh vực khai phá dữ liệu. 1.2 TIÊU CHUẨN XÂY DỰNG CHÙM CÁC PHẦN TỬ RỜI RẠC 1.2.1 Khoảng cách giữa hai phần tử rời rạc Khoảng cách là đại lượng dùng để đánh giá sự tương tự của các chùm khi dữ liệu phân tích là các phần tử rời rạc. Khoảng cách giữa hai phần tử là một metric, nghĩa là nếu là khoảng cách của hai phần tử x và y thì phải thỏa các điều kiện sau đây: i) d(x,y) 0 . Dấu bằng xảy ra khi , ii) d(x,y) = d(y,x), iii) d(x,y) + d(y,z) d(x,z) Theo 3 điều kiện trên, ta có thể định nghĩa khoảng cách giữa 2 phần tử x và y (x, y) theo nhiều cách khác nhau. Thơng thường các loại khoảng cách sau được sử dụng phổ biến: Khoảng cách Euclide: (1.1) Khoảng cách city block: (1.2) Khoảng cách Chebyshev: (1.3) Khoảng cách Minkowski với bậc m: (1.4) Nhận xét: i) Khoảng cách Euclide khoảng cách thường sử dụng trong trong tốn học, nó mơ tả độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm x và y ii) Khoảng cách cityblock mơ tả tổng độ dài (tổng các khoảng cách Euclide) của n đoạn gấp khúc nối hai điểm x, y thuộc khơng gian n chiều. Mỗi đoạn trong n đoạn này sẽ song song với 1 trục tương ứng trong n trục chúng ta chọn làm hệ quy chiếu iii) Khoảng cách Chebyshev mơ tả đoạn thẳng có độ dài lớn nhất trong n đoạn gấp khúc đã được đề cập trong khoảng cách city block. Đây là khoảng cách tổng qt nhất, với những m khác nhau, khoảng cách Minkowski bậc m sẽ tương ứng với một loại khoảng cách khác nhau. Với m =1, , với m = 2, , độ lớn của khoảng cách càng giảm khi m càng tăng, khi m, Hình vẽ sau minh họa 3 khoảng cách phổ biến của hai điểm x(1;2) và y(2;4) Khoang cach Euclide mo ta dai doan thang y(2;4) Khoang cach Chebyshev mo ta dai duongt gap khuc lon nha x(1;2) Khoang cach city-block mo ta dai doan gap khuc -1 -2 -2 -1 Hình 1.1: Các loại khoảng cách giữa hai phần tử x và y Như đã thấy, khoảng cách Euclide mơ tả đoạn thẳng nối 2 điểm x và y trong khi khoảng cách cityblock mơ tả 2 đoạn gấp khúc nối x và y, chúng lần lượt song song với trục hồnh và trục tung của hệ tọa độ. Tương tự như vậy, nếu x, y thuộc khơng gian thì khoảng cách cityblock sẽ mơ tả 3 đoạn thẳng lần lượt song song với Ox, Oy, Oz. Hình trên cũng chỉ ra khoảng cách Chebyshev mơ tả đoạn thẳng dài nhất trong hai đường gấp khúc 1.2.2 Khoảng cách giữa hai tập các phần tử rời rạc Cho A, B là hai nhóm, mỗi nhóm gồm nhiều phần tử rời rạc khác nhau. Gọi D(A;B) là khoảng cách giữa hai nhóm A và B, d(x,y) là khoảng cách giữa phần tử x và phần tử y (). Thơng thường ta sử dụng các định nghĩa sau cho D(A;B): Khoảng cách min: (1.5) Khoảng cách max: (1.6) Khoảng cách trung bình: (1.7) Với lần lượt là số phần tử của nhóm A và nhóm B Nhận xét: i) Việc tính khoảng cách giữa hai nhóm dữ liệu khơng chỉ phụ thuộc vào việc chọn loại khoảng cách giũa hai nhóm mà còn phụ thuộc vào loại khoảng cách giữa hai phần tử, do đó sẽ có nhiều kết quả khác nhau tùy vào loại khoảng cách chọn Cho đến nay, người ta chưa chứng minh sử dụng khoảng cách nào là tối ưu. Trong thực tế các loại khoảng cách phổ biến đã được nêu ở trên thường được sử dụng nhiều nhất ii) Khi hai nhóm A B nhập lại thành nhóm (A+B) việc tính khoảng cách từ nhóm (A+B) đến một nhóm C bất kỳ cũng có thể thực hiện theo những cơng thức trên. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng những cơng thức sau đây để cho việc tính tốn được thuận tiện hơn (1.8) (1.9) (1.10) Ngồi các khoảng cách thơng dụng trên, Ward (1963) đã đưa ra cơng thức tính khoảng cách trường hợp này bằng biểu thức: (1.11) Trong đó,, và lần lượt là số phần tử của nhóm A, B và C Ví dụ 1.1. Cho Tính: a) giữa A và B b) giữa A+C và B Giải Trước tiên ta chọn khoảng cách Euclide làm khoảng cách giữa hai phần tử. Khoảng cách giữa các nhóm được tính như sau: a) = = 2.5 Tương tự = b) = = = Ta có thể mơ tả hình học ví dụ trên như sau: Y Dmax(A,B) Nhom A+C Nhom A Nhom C Dmin(A,B) Dmin(A+C,B) X O -1 Dmax(A+C,B) Nhom B -2 -3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Y Nhom A Nhom C X O -1 Nhom B -2 -3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Hình 1.2: Khoảng cách giữa các nhóm bằng trung bình các khoảng cách được thể hiện bởi các đoạn thẳng liền nét bằng trung bình các khoảng cách được thể hiện bởi các đoạn thẳng liền nét và khơng liền nét Chú ý: i) Trước khi tính khoảng cách đối với các biến dữ liệu kiểu số thì cần chú ý về vấn đề chuẩn hóa dữ liệu sao cho chúng cùng một thang đo dữ liệu. Tình huống thực tế nảy sinh là có nhiều dữ liệu nhưng thang đo khác nhau. Ví dụ trong bộ dữ liệu có các thuộc tính như: cân nặng, chiều cao, lương,… đều là dữ liệu kiểu số nhưng rõ ràng thang đo của chúng là khác nhau (cân tính theo kg, chiều cao tính theo cm hay m, lương tính theo đơn vị đồng, ). Nếu sử dụng trực tiếp ngay khoảng cách trên tập dữ liệu số chưa được chuẩn hố dễ gây sai lệch về độ đo. Ví dụ khoảng cách trọng lượng giữa hai người là 10 kg được coi là lớn (cách xa nhau), nhưng khoảng cách lương 100 000 có thể coi là nhỏ (đối với vật giá hiện tại). Nhưng số 100 000 lại là q lớn so với 10. Do đó các dữ liệu cần được chuẩn hố về cùng một “thang bậc” để khơng ảnh hưởng đến phân tích chùm ii) Có nhiều loại dữ liệu khác nhau có thể thực hiện bài tốn phân tích chùm. Thơng thường ta có các loại dữ liệu phổ biến là dữ liệu kiểu số, nhị phân, định giá, thứ tự,… 1.3 XÂY DỰNG CHÙM CÁC PHẦN TỬ RỜI RẠC 1.3.1 Phương pháp thứ bậc Một trong những phương pháp phổ biến trong cả phân tích chùm là phương pháp thứ bậc. Kết quả của phương pháp này là tạo ra một dãy các chùm, trong đó một số chùm có thể chứa các lớp con bên trong nó, và đến lượt các lớp con này lại chứa bên trong nó các lớp con nhỏ hơn. Cấu trúc chùm được minh họa bởi một đồ thị hai chiều được gọi là sơ đồ (sơ đồ nhánh hoặc cây phân tích chùm). Cây phân tích chùm minh họa cho việc hợp nhất hoặc chia nhỏ các chùm đã được thực hiện bằng cách phân nhóm, và có thể hiển thị theo chiều dọc hoặc chiều ngang Hình 1.3: Cây phân tích chùm 3 phần tử A, B, C Thuật tốn phân tích chùm theo phương pháp thứ bậc cụ thể như sau: Bước 1: Bắt đầu với n chùm, mỗi chùm chứa một phần tử. Tính từng đơi khoảng cách của hai phần tử. Thành lập ma trận đối xứng của các khoảng cách với là khoảng cách giữa hai phần tử i và j, Bước 2: Trong ma trận khoảng cách E, tìm khoảng cách nhỏ nhất của hai chùm khác nhau, tức là hai chùm có sự tương tự nhiều nhất Bước 3: Gọi là khoảng cách giữa hai chùm U và V có sự tương tự nhau nhất. Hợp nhất hai chùm U và V thành chùm mới. Tính tốn lại ma trận khoảng cách giữa các chùm mới. Bước 4: Lặp lại bước 2 và bước 3 cho đến khi các phần tử được nhóm lại thành một chùm duy nhất. Ví dụ 1.2. Gọi là số lần bắn trúng trọng tâm của 4 xạ thủ . Sử dụng khoảng cách giữa các phần tử là khoảng cách Euclide, khoảng cách giữa các tập hợp là khoảng cách trung bình, ta tiến hành phân tích chùm bằng phương pháp thứ bậc như sau: Ban đầu, xem mỗi phần tử là một chùm, ta có ma trận khoảng cách ban đầu của các chùm: Hợp nhất hai chùm A B lại thành chùm (AB) tính tốn lại ma trận khoảng cách: Hợp nhất hai chùm C và D lại thành chùm (CD), tính tốn lại ma trận khoảng cách: 10 CHƯƠNG III :TIÊU CHUẨN XÂY DỰNG CHÙM CÁC HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT 3.1GIỚI THIỆU Khi làm việc với tập dữ liệu lớn, đến từ nhiều nguồn khác nhau, người ta có nhu cầu phân chia chúng thành những nhóm với những phần tử “gần” nhau theo một dấu hiệu được chọn lựa, từ đó bài tốn phân tích chùm ra đời. Phân tích chùm là việc nhóm các phần tử trong tập hợp đã cho thành các chùm sao cho các phần tử trong cùng chùm tương tự nhau theo những dấu hiệu được chọn lựa. Khi chùm được xây dựng, những phần tử trong cùng một chùm sẽ có sự tương tự nhiều hơn so với những phần tử của chùm khác. Có rất nhiều ứng dụng cụ thể trong những lĩnh vực khác nhau của bài tốn phân tích chùm: y học, sinh học, kinh tế, kỹ thuật, xã hội,…và trong bất kỳ lĩnh vực nào nơi việc nhóm những phần tử lại với nhau được đòi hỏi. Một số tác giả như Sibson (1973), Defays (1977), Rohlf (1982),…đã đưa ra những thuật tốn cụ thể cho những dữ liệu rời rạc. Fukunaga (1990), Webb (2002) đã tổng kết những phương pháp liên quan đến phân tích chùm. Nhưng vấn đề phân tích chùm cũng chỉ xét cho dữ liệu rời rạc với tiêu chuẩn đánh giá “gần” và “xa” bởi khoảng cách truyền thống mà khơng dựa vào sự phân bố của dữ liệu Do đó, trong một số trường hợp nó tạo ra sự nghịch lý: phần tử đúng lý phải xếp vào chùm này nhưng lại được xếp vào chùm kia. Năm 2010 nhóm tác giả Võ Văn Tài, Phạm Gia Thụ đã đưa ra khái niệm độ rộng chùm làm tiêu chuẩn phân tíchchùm các hàm mật độ xác suất. Độ rộng chùm được định nghĩa qua tích phân hàm cực đại của các hàm mật độ xác suất, vì vậy khi đánh giá sự tương tự của các phần tử, yếu tố phương sai đã được xem xét. Điều này thể hiện sự hợp lý hơn trong phân tích chùm. Tuy nhiên, trong việc giải quyết bài tốn chùm các hàm mật độ xác suất, vấn đề ước lượng hàm mật độ xác suất từ số liệu rời rạc và việc tính độ rộng chùm vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Trong bài viết này chúng tơi có bổ sung kết quả lý thuyết liên quan đến độ rộng chùm và vấn đề tính tốn qua các chương trình được viết trên phần mềm Matlab. Một ví dụ với số liệu thực về điểm rèn luyện và điểm học tập của sinh viên Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ được đưa ra để kiểm chứng các thuật tốn, các chương trình đã viết và cũng để minh họa cho các ứng dụng của bài tốn phân tich chùm 3.2 SỰ TƯƠNG TỰ VÀ ĐỘ RỘNG CHÙM CÁC HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT 3.2.1 Sự tương tự của các hàm mật độ xác suất Tiêu chuẩn đánh giá sự tương tự của hai phần tử rời rạc là khoảng cách truyền thống. Người ta cũng có nhiều định nghĩa khác nhau về khoảng cách của hai chùm rời rạc, tuy nhiên việc chọn khoảng cách nào là tối ưu để đánh giá sự tương tự của 43 các phần tử rời rạc là câu hỏi đã được nhiều nhà tốn học quan tâm, nhưng hiện còn bỏ ngõ. Trong trường hợp 2 hàm mật độ xác suất, sự tương tự của chúng thơng thường cũng được đánh giá qua khái niệm khoảng cách như: Khoảng cách Chernoff, khoảng cách Bhattacharyya, khoảng cách Divergence,…Khi có nhiều hơn hai hàm mật độ xác suất, nghiên cứu về tính tương tự của nó chưa được các nhà tốn học quan tâm nhiều. Có hai khái niệm cổ điển được đưa ra ở trường hợp này. Đó là khái niệm độ đo tách rời của Glick (1973) và affinity của Matusita (1967) cũng như của Toussaint (1972) Định nghĩa 1: Một hàm đối xứng s được gọi là độ đo k (k ≥ 2) điểm tách rời cho tập S trong khơng gian véc tơ với chuẩn . nếu với mọi phần tử a a a S k , , , ∈ S nó thỏa mãn điều kiện (1) Từ (1) có nhiều định nghĩa cụ thể về hàm s đã được chỉ ra Định nghĩa 2: Cho k hàm mật độ xác suất k f , f , , f 1 2 , ( k ≥ 2 ), ta có các định nghĩa affinity như sau: i) Affinity của Matusita: (2) ii) Affinity của Toussaint: (3) Trong đó Trong trường hợp đặc biệt k thì affinity của Toussaint trở thành affinity của Matusita, và khi k = 2 thì nó trở thành affinity của Hellinger 3.2.2 Độ rộng chùm a) Định nghĩa Định nghĩa 3: Cho k hàm mật độ xác suất trên , độ rộng của chùm được định nghĩa như sau: (4) Định nghĩa 4: Cho là các hàm mật độ xác suất,chúng ta định nghĩa độ rộng của chùm là và độ rộng của chùm là b) Định lý về độ rộng chùm Cho là hàm mật độ xác suất của k +1 tổng thể. Chúng ta có các kết quả sau về độ rộng của chùm: i) (5) Trong đó ii) (6) Trong đó n, k ≥ 3, n