Bài báo trình bày phương pháp biến đổi Fourier (FFT) để tính hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu hai pha dạng nềncốt liệu trong không gian hai chiều, trong đó pha cốt liệu có hình dạng elliptic. Xác định tính chất dẫn vĩ mô (tính chất dẫn hiệu quả) của vật liệu bằng phương pháp FFT đối với một số mô hình tuần hoàn trong không gian hai chiều, có tỉ lệ thể tích giữa các pha thay đổi và so sánh với các phương pháp xấp xỉ khác.
Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X Hà Nội, 8-9/12/2017 Mô số FFT hệ số dẫn vĩ mô vật liệu hai pha dạng nền-cốt liệu elliptic phương pháp xấp xỉ Nguyễn Văn Luật1, Nguyễn Trung Kiên2 Đại học Công nghiệp Hà Nội Đại học Giao thơng vận tải Hà Nội Email: luatnv1980@gmail.com Tóm tắt Bài báo trình bày phương pháp biến đổi Fourier (FFT) để tính hệ số dẫn vĩ mơ cho vật liệu hai pha dạng nềncốt liệu không gian hai chiều, pha cốt liệu có hình dạng elliptic Xác định tính chất dẫn vĩ mơ (tính chất dẫn hiệu quả) vật liệu phương pháp FFT số mơ hình tuần hồn khơng gian hai chiều, có tỉ lệ thể tích pha thay đổi so sánh với phương pháp xấp xỉ khác Từ khóa: hệ số dẫn, cốt liệu dạng elliptic, phương pháp biến đổi Fourier Mở đầu Các loại vật liệu tổ hợp ngày áp dụng hầu hết lĩnh vực khoa học, kỹ thuật đời sống Việc nghiên cứu tính chất dẫn vĩ mơ hay đồng hóa vật liệu nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu đưa nhiều kết xấp xỉ cho mơ hình vật liệu khác Đối với mơ hình vật liệu tính tốn đơn giản lý tưởng hóa hình học dạng cốt liệu hình cầu khơng gian hai chiều hình tròn Tuy nhiên thực tế cốt liệu có hình dạng phức tạp nhiều cần xấp xỉ dạng hình học khơng tròn mà có dạng elliptic Tính chất vĩ mơ vật liệu tổ hợp phụ thuộc vào nhiều yếu tố phức tạp cấu trúc hình học pha, tính chất vật liệu thành phần, tỷ lệ thể tích pha Do nghiên cứu chủ yếu tìm cận trên, công thức xấp xỉ áp dụng cho số mơ hình vật liệu Hướng tiếp cận để tính xấp xỉ cho mơ (Maxwel,1884), (Winner, 1912), (Voight, 1928), (Reuss, 1929), (Bruggeman, 1935), (Hamilton and crosser, 1962), (Lewis and Nielsen, 1970), (Mori and Tanaka, 1973) Một hướng tiếp cận khác xây dựng biên biên cho hệ số dẫn vĩ mô (Hill, 1952), (Hashin and Strikman, 1962), (Pham DC, 1996)…Ngoài phương pháp số cách tiếp cận hiệu việc xác định tính chất vĩ mô vật liệu phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp biến đổi Fourier (FFT) Phương pháp FFT áp dụng lĩnh vực học vật liệu tính mơ đun đàn hồi cho vật liệu tổ hợp đề xuất vào năm (Moulicec and Subquet, 1994) Trong báo sử dụng phương pháp FFT để tính hệ số dẫn vĩ mơ cho số mơ hình vật liệu hai pha với pha cốt liệu có hình học dạng elliptic xếp tuần hồn pha nền, có so sánh với phương pháp xấp xỉ khác Phương pháp biến đổi Fourier (FFT) Nội dung phương pháp biến đổi Fourier thiết lập phương trình LippmanSchwinger tốn khơng đồng sử dụng tốn tử Green tuần hồn Sau sử dụng thuật toán lặp Ứng xử vật liệu thành phần mô tả định luật Fourier: J (x) = -C(x).E(x) (1) Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên E(x) J (x) trường gradient nhiệt độ dòng nhiệt địa phương thỏa mãn phương trình cân E(x) T (x), J ( x) Trường gradient E(x) T (x) tách thành thành phần sau: (2) E(x) E0 e per T (x) E0·x T per (3) per E0 gradient vĩ mơ đồng phần tử đặc trưng, e gọi thành phần nhiễu có tính chất tuần hồn Do tính chất tuần hồn nên ta có: e per (x)V 0; E0 E(x)V với ký hiệu •V trung bình trên thể tích phần tử đặc trưng V, •V (4) •dx V V Bài tốn phần tử đặc trưng quy tìm thành phần T per , e per Đưa vào mơi trường làm chuẩn có hệ số dẫn C0 , phương trình cân trở thành ·J ·(C C )E(x) (5) với C (x) C (x) C Thay E(x) từ (2) vào (5) viết lại dạng tương đương sau ·C 0T per ·τ (x) tenxơ τ( x) gọi tenxơ "cực" xác định : τ (x) C (x) E0 e per (x) (6) , e per τ (x) biểu diễn dạng chuỗi Fourier: (7) F(x) Fˆ ( )ei x , Fˆ ( ) F(x)ei x F(x)ei x dx VV per per ˆ per , eˆ per ˆ F T , e τ( x) , Fˆ biến đổi Fourier đại lượng này, T Do tính chất chu kỳ phần tử đặc trưng nên T per Ở tính chất tuần hồn thể d ei ( x h ) ei x , h 2m j a j e j , ( j 1, 2, , d ) (8) j 1 với m j số nguyên bất kỳ, 2a j kích thước phần tử đặc trưng song song với trục x j , e j vectơ cở sở theo hướng x j , d số chiều không gian k ek , j n j aj Thay biểu diễn dạng chuỗi Fourier T (n j 0, 1, 2 ) , không tổng theo j per , e per τ(x) vào phương trình (6) thu ( mCmj j )Tˆ per ( )ei x i mˆ( )ei x per per từ trường Tˆ eˆ xác định sau: (9) Mơ số FFT hệ số dẫn vĩ mô vật liệu hai pha dạng nền- cốt liệu elliptic phương pháp xấp xỉ i ˆ( ) per ˆ( ) Tˆ per , eˆ ( ) i Tˆ per ( ) Γˆ ( ).ˆ( ) 0 C C Γ ( ) tốn tử Green phụ thuộc môi trường đồng C0 xác định Γ ( ) C 0 (10) (11) Từ thu phương trình Lippman-Schwinger ˆ ( ) E ˆ ( ) Γ ˆ ( ).ˆ( ) E ˆ ( ) Γ ˆ ( ) (C ( ) C )* Eˆ ( ) E (12) Nghiệm phương trình tìm sơ đồ lặp sau: ˆ i 1 ( ) Γˆ ( )·(C ( ) C ) E ˆ i ( ), E (13) i 1 ˆ E0 , E Chú ý Γ0·C Ei ( ) Ei ( ) với xem Michel(1999-[5]), phương trình (13) viết lại dạng sau: ˆ i 1 ( ) E ˆ i ( ) Γˆ ( ).Jˆ i ( ), E (14) i 1 ˆ E0 , E Jˆ i ( ) biến đổi Fourier J i ( x) Liên hệ trường dòng J trường gradient E không gian Fourier biểu diễn biểu thức: ˆ ( ) Jˆ ( ) C ( )* E (15) ký hiệu "*" tích "convolution" Biến đổi Fourier tenxơ hệ số dẫn: C ( ) C (x)ei x dx C I ( ) (16) V với C , I tenxơ hệ số dẫn hàm dạng pha , I ( ) xác định theo Nemat-Nasser (1999-[7]): I ( ) ei x dV V V (17) Thay biểu thức (15), (16) vào (14) thu ˆ i 1 ( ) E ˆ i ( ) Γˆ ( ). C I ( ) * E ˆ i ( ), E i ˆ E , 0 E (18) Để xác định hệ số dẫn vĩ mô vật liệu composite, cho phần tử đặc trưng chịu tác dụng gradient vĩ mô E0 Khi trình lặp theo (18) hội tụ (số hạng E1 E0 ), ta có J( 0) C eff E0 eff (19) C hệ số dẫn hiệu vật liệu composite Từ rút thuật tốn số để xác định hệ số dẫn vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hồn: Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên ˆ ( ) 0; E ˆ (0) E0 Bước i=1: E ˆ ( ) Jˆ ( ) C ( )* E ˆ i ( ) Jˆ i ( ) biết Bước i: E Kiểm tra hội tụ i ˆ i 1 ( ) E ˆ i ( ) Γˆ ( ).J ( ) E ˆ i 1 ( ) Jˆ i 1 ( ) C ( )* E Kiểm tra điều kiện hội tụ xác định biểu thức sau: ‖ Jˆ i 1 ( ) Jˆ i ( ) ‖ , với ‖ Jˆ i ( ) ‖ 3 sai số cho trước ( 10 ) Một số phương pháp xấp xỉ Trong mục giới thiệu số phương pháp tính xấp xỉ, đánh giá hệ số dẫn vĩ mô (Ceff) vật liệu nền-cốt liệu dạng elliptic đẳng hướng không gian hai chiều với ký hiệu: CI, vI hệ số dẫn tỉ lệ thể tích pha cốt liệu, CM, vM hệ số dẫn tỉ lệ thể tích pha 3.1.1 Xấp xỉ Hamilton (1962-[1]) C eff CM với n CI (n 1)CM (n 1)vI (CM CI ) CI (n 1)CM vI (CM CI ) (20) , thơng số hình học cốt liệu, trường hợp cốt liệu dạng elliptic 0.4 3.1.2 Xấp xỉ Maxwell (1892-[1]) C eff ( vI vM ) 1 (d 1)CM CI (d 1)CM CM (d 1)CM (21) 3.1.3 Xấp xỉ Lewis-Nielsen (1970-[1]) C eff CI 1 m CM A vI , , 1 CM vI CI vI m A CM (22) Trong A, m hệ số hình học cốt liệu (lấy giá trị A=1.5, m với hình cầu, A=3, m 0.637 với hình dạng khác) 3.1.4 Xấp xỉ Mori-Tanaka (1973-[4]) Trong không gian hai chiều, cốt liệu elliptic xấp xỉ Mori-Tanaka có dạng: C eff CM vI (CI CM ). (23) Mô số FFT hệ số dẫn vĩ mô vật liệu hai pha dạng nền- cốt liệu elliptic phương pháp xấp xỉ CM (CI CM )(1 r )2 , r tỉ số hai bán trục elliptic 2(CI rCM )(CM rCI ) 3.1.5 Đánh giá Hashin-Strikman (1962-[3]) Hashin-Strikman dựa nguyên lý biến phân riêng đưa vào trường phân cực xây dựng đánh giá cho hệ số dẫn vĩ mô vật liệu nhiều thành phần đẳng hướng PC ((d 1)Cmin ) C eff PC ((d 1)Cmax ), (24) 1 v PC (C0 ) C* , C C* C* (d 1)C0 , Cmin C1 , , Cn , Cmax max C1 , , Cn Kết so sánh Trong mục đưa kết tính tốn FFT hệ số dẫn vĩ mơ cho số mơ hình vật liệu có cốt liệu dạng elliptic không gian hai chiều so sánh với phương pháp xấp xỉ khác Hàm dạng (17) cho cốt liệu elliptic không gian hai chiều [2] (25) I ( ) 2S J1 ( ) / .ei xc ( ) Trong J1 hàm Bessel loại 1, S diện tích bề mặt cốt liệu, xc ( ) véc tơ xác định vị trí trọng tâm pha cốt liệu ( 12 a12 22 a22 )1/2 a1 , a2 độ dài bán trục cốt liệu elliptic, , thành phần theo trục elliptic - Kết tính tốn FFT cho mơ hình vật liệu có cốt liệu elliptic xếp tuần hoàn phần tử đặc trưng (unit cell) theo hình vng (square) so sánh với mơ hình xấp xỉ khác Do cốt liệu khơng chồng lấn nên tỉ lệ thể tích cốt liệu tăng đến giới hạn định Trên hình với pha có hệ số dẫn CM=1, pha cốt liệu có hệ số dẫn CI=10, a2 0.2a1 , trường hợp FFT xấp xỉ khác nằm đánh giá Hashin-Strickman (HS) gần tỉ lệ thể tích cốt liệu nhỏ Kết hình với CM=10, CI=2 thấy có FFT nằm đánh giá HS, điều khẳng định độ tin cậy phương pháp FFT so với phương pháp xấp xỉ trước Hình 1: Mơ hình cốt liệu elliptic có cấu trúc tuần hồn Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên Hình 2: Kết FFT so sánh với phương pháp xấp xỉ, CM=1, CI=10 Hình 3: Kết FFT so sánh với phương pháp xấp xỉ, CM=10, CI=2 - Xem xét trường hợp cốt liệu gồm 2n elliptic phân bố hỗn độn không chồng lấn phần tử đặc trưng với n elliptic nằm ngang n elliptic thẳng đứng (hình 4) Kết tính tốn thể hình với thay đổi tỉ lệ thể tích pha cốt liệu (VI) giá trị khác HSD pha (CM) pha cốt liệu (CI), thấy FFT nằm đánh giá HS kết xấp xỉ khác nằm ngồi đánh giá HS Mô số FFT hệ số dẫn vĩ mô vật liệu hai pha dạng nền- cốt liệu elliptic phương pháp xấp xỉ Hình 4: Mơ hình elliptic phân bố ngẫu nhiên (a) (a) (b) Hình 5: Kết FFT so sánh với phương pháp xấp xỉ: (a) CM=1, CI=10; (b) CM=10, CI=2, Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên Kết luận Báo cáo xây dựng thuật toán FFT chương trình số dựa phần mềm Matlab để tính hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu cốt liệu dạng elliptic xếp tuần hồn khơng gian hai chiều, trường hợp phức tạp trường hợp cốt liệu có dạng hình tròn [6],[8] Trong việc so sánh FFT phương pháp xấp xỉ khác cho thấy FFT nằm đánh giá HS phương pháp xấp xỉ khác nằm ngồi HS, điều chứng tỏ phương pháp FFT cho kết xác tin cậy so với phương pháp xấp xỉ khác Lời cảm ơn: Các tác giả cảm ơn đền tài NCCB học mã số 107.02-2015.05 (Quỹ Nafosted) Tài liệu tham khảo [1] Azeem S, Zain-ul-Abdein M (2012), Investigation of thermal conductivity enhancement inbakelite–graphite particulate filled polymeric composite In-ternational Journal of Engineering Science 52, 30-40 [2] Bonnet G.(2007), Effective properties of elastic periodic composite media with fibers Journal of the Mechanics and Physicsof Solids 55, 881-899 [3] Hashin Z And Shtrikman S.(1962), Avariational approach to thetheory of the effective magnetic permiability of multiphase materials J Appl.Phys 33, 3125-3131 [4] Mori T.and Tanaka K.(1973), Averages tress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions ActaMetall 21, 571-574 [5] Michel J, Moulinec H,Suquet P.(1999), Effective properties of composite materials with periodic microstructure: a computational approach Comput Methods Appl.Mech Engrg 172, 109–143 [6] Nguyen Trung Kien, Nguyen Van Luat, Pham Duc Chinh “ Estimating effective conductivity of unidirectional transversely isotropic composites” Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 203-213, Volume 35 (2013) [7] Nemat-Nasser S, HoriM.(1999), Micromechanics: overall properties of het- ero geneous materials Amsterdam;New York:Elsevier, 786p [8] Nguyen Van Luat, Nguyen Trung Kien ‘FFT-simulations and multi-coated inclusion model for macroscopic conductivity of 2D suspensions of compound inclusions” Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 169-176, Volume 37 (2015) ... sai số cho trước ( 10 ) Một số phương pháp xấp xỉ Trong mục giới thiệu số phương pháp tính xấp xỉ, đánh giá hệ số dẫn vĩ mô (Ceff) vật liệu nền-cốt liệu dạng elliptic đẳng hướng không gian hai. .. Mori-Tanaka có dạng: C eff CM vI (CI CM ). (23) Mô số FFT hệ số dẫn vĩ mô vật liệu hai pha dạng nền- cốt liệu elliptic phương pháp xấp xỉ CM (CI CM )(1 r )2 , r tỉ số hai bán trục elliptic. .. FFT ln nằm đánh giá HS kết xấp xỉ khác nằm ngồi đánh giá HS Mô số FFT hệ số dẫn vĩ mô vật liệu hai pha dạng nền- cốt liệu elliptic phương pháp xấp xỉ Hình 4: Mơ hình elliptic phân bố ngẫu nhiên