057 đề thi vào 10 chuyên toán hải phòng 2019 2020

SỞ GD&ĐT HẢI PHỊNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2019-2020 ĐỀ THI MƠN TỐN CHUN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm)  x x  x 3 a) Cho biểu thức : P      x  0 : x x  x  x  x  x  x    Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P  b) Cho phương trình x  x  m  0(1) ( m tham số) Tìm giá trị m để phương 1 1 trình 1 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:     x12  x22    m    x1 x2  Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x  3x    x  1 x  x   x3  y y  b) Giải hệ phương trình:   x  y  x  y Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  AB  AC  Kẻ đường cao AH  H  BC  tam giác ABC kẻ đường kính AD đường tròn (O) a) Gọi M trung điểm đoạn thẳng DH Chứng minh OM đường trung trực đoạn thẳng BC b) Gọi S , T giao điểm đường tròn (O) với đường tròn tâm A, bán kính AH; F giao điểm ST BC Từ A kẻ đường thẳng vng góc với DH E Chứng minh FB.FC  FH điểm F , E, A thẳng hàng c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH Bài (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  x  z   y  y  z   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x3 y3 x2  y    x2  z y  z x y Bài (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p, q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i ) p 2q  p chia hết cho p  q ii ) pq  q chia hết cho q  p 1 1 ; Từ số viết, xóa số x, y b) Viết lên bảng 2019 số 1; ; ; ; 2018 2019 xy viết lên bảng số (các số lại bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực x  y 1 thao tác bảng lại số Hỏi số ? ĐÁP ÁN Câu 1 x 3 :  x  x 1 x  x 1 x 3 1 P    x 2 x4 x 3 Vậy  x  thỏa mãn tốn b) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt   '   m   m  4  x  x  4 Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:   x1 x2  m 16  2m  gt    m   (m  0) m  m2  16  m  4 Kết hợp với điều kiện m  4; m  ta m  thỏa mãn Câu x 1 a) ĐKXĐ:  3 x   2 x   PT   x  1 x     x  1 x  x      x   x  x  x    x  (ktmdk )  x  2  x  2  37 x   2x2  x     x (tmdk )  2 2 x  x   x  x   x  x   a) P     37  37   ; Vậy S    2     b) ĐKXĐ: y  Lấy phương trình thứ trừ ba lần phương trình thứ hai ta được:  x3  3x  3x    12 y  y  y y   x  1   y Thế   x 1   y y   x vào phương trình thứ nhất: x 1 x3    x    x3  3x     x  Vậy hệ phươn trình cho có hai nghiệm 1;4 ; 2;1 ( TMDKXD) Câu A T E O C S H B F M D a) Ta có OM / / AH (tính chất đường trung bình) mà AH  BC  OM  BC  OM đường trung trực đoạn thẳng BC (dfcm) FT FB b) FTB FCS ( g.g )    FB.FC  FT FS (1) FC FS FH tiếp tuyến đường tròn tâm A bán kính AH  FT FS  FH (2) Từ (1) (2) suy FB.FC  FH Gọi E ' giao điểm FA với (O)  FE '.FA  FH  FE ' H '' FHA(c.g.c)  FE ' H  FHA  900  HE '  AF Mà DE '  AF  E ', H , D ba điểm thẳng hàng  F , E, A thẳng hàng c) Gọi I điểm đối xứng với H qua E Ta có AF đường trung trực đoạn thẳng HI nên FH  FI AH  AI , nghĩa I thuộc đường tròn tâm A bán kính AH AFI  AFH (c.c.c)  AIF  AHF  900  FI tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH I (3) HB HE   HB.HC  HD.HE  HM HI  HM HI Có HBE HDC ( g.g )  HD HC HBI HMC (c.g.c)  HBI  HMC  Tứ giác IBMC nội tiếp Lại có: FI  FB.FC (cùng FH )  FI tiếp xúc với đường tròn  IBMC  I Kết hợp với (3) suy đpcm Câu x3 xz xz z  x  x  x Áp dụng BĐT Cô si 2 x z x z xz y z 4 Tương tự:  y  Suy P  x  y  x y y z Vậy Pmin   x  y  z  Câu a) p q  p  p  q   q  p  q    p 2q  q   q  p  p  q  pq  q  q  p    pq  q   p  q  p   p  q q  p q  p    p  q   q  q  p  p  0(VN ) q  p  p  q   q  p  q  p  1   q  p    q  p  Mà p, q hai số nguyên tố nên p  2, q  (thỏa mãn toán) b) Đặt z  xy 1 1             1  1 (1) x  y 1 z x y xy z  x  y  Với tập số dương x1; x2 ; ; xn  tùy ý, xét biểu thức : 1  1   P  x1; x2 ; ; xn     1  1 .  1  x1  x2   xn  xy số lại x  y 1 bảng giữ nguyên giá trị biểu thức P số bảng không đổi 1  1 1 ; Gọi số cuối a  P  a   P  ; ; ; ;  2018 2019  1          1  1 1        1   1   1 .  1   1  2020!  a  1 a 2020! 1        2 3   2018   2019  Từ (1) suy lần xóa số x, y viết lên bảng số ... P  ; ; ; ;  2018 2019  1          1  1 1        1   1   1 .  1   1  2020!  a  1 a 2020!  1        2 3   2018   2019  Từ (1) suy lần...  q  p  q  p  1   q  p    q  p  Mà p, q hai số nguyên tố nên p  2, q  (thỏa mãn toán) b) Đặt z  xy 1 1             1  1 (1) x  y 1 z x y xy z  x  y  Với... thứ hai ta được:  x3  3x  3x    12 y  y  y y   x  1   y Thế   x 1   y y   x vào phương trình thứ nhất: x 1 x3    x    x3  3x     x  Vậy hệ phươn trình cho có