Điều khiển hồi tiếp phi tuyến xe hai bánh tự cân bằng di chuyển trên mặt phẳng nghiêng

Trong bài viết này, tập trung xây dựng mô hình động lực học và thiết kế quy luật điều khiển cho xe hai bánh khi di chuyển trên mặt phẳng nghiêng. Việc xây dựng phương trình động lực học được thực hiện bằng phương pháp Lagrange. Phương trình vi phân thu được là cơ sở để thiết kế quy luật điều khiển.

CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP PHI TUYẾN XE HAI BÁNH TỰ CÂN BẰNG DI CHUYỂN TRÊN MẶT PHẲNG NGHIÊNG NONLINEAR FEEDBACK CONTROL OF TWO-WHEELED SELF-BALANCING ROBOT MOVING ON THE SLOPE NGUYỄN ĐÌNH KHIÊM, HỒNG MẠNH CƯỜNG*, NGUYỄN HỒNG HẢI Viện Cơ khí, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam *Email liên hệ: cuonghm@vimaru.edu.vn Tóm tắt Trong báo này, tập trung xây dựng mơ hình động lực học thiết kế quy luật điều khiển cho xe hai bánh di chuyển mặt phẳng nghiêng Việc xây dựng phương trình động lực học thực phương pháp Lagrange Phương trình vi phân thu sở để thiết kế quy luật điều khiển Các kết tính tốn cho thấy tính hiệu điều khiển Từ khóa: Động lực học, điều khiển, phương trình Lagrange, hồi tiếp, hồi tiếp phi tuyến Abstract This paper focuses on establishing dynamic model and control design for two-wheeled selfbalancing car running on slope First, the motion equation of the system is obtained by using Largange II formulation The differential equations of motion of the robot play a vital role in designing controller In this paper, results demonstrate how effective controller is Keywords: Dynamics, control, Lagrange, feedback, nonlinear feedback Mở đầu Xe hai bánh tự cân bằng, sử dụng phổ biến để di chuyển phạm vi gần, phân xưởng nhà máy, siêu thị hay khu du lịch nghỉ dưỡng, Từ phát minh, loại xe nhiều nhà khoa học quan tâm Việc nghiên cứu động lực học thiết kế quy luật điều khiển cho xe đề cập nhiều cơng trình [2, 3, 4, 5, 6, 7], nhiên phần lớn cơng trình cơng bố, chủ yếu tập trung vào việc nghiên cứu xe di chuyển mặt phẳng ngang, với việc xe di chuyển mặt phẳng nghiêng đề cập đến Trong báo này, nghiên cứu thiết lập phương trình động lực học xe di chuyển mặt phẳng nghiêng thiết kế quy luật điều khiển hồi tiếp dựa phương trình vi phân phi tuyến nhằm mục tiêu bánh xe chuyển động mà thân xe khơng bị ổn định Thiết lập phương trình vi phân chuyển động Mơ hình học xe hai bánh kiểu lắc ngược cho Hình 1, bánh xe xem vật rắn đồng chất có khối lượng m1, bán kính r, mơ men qn tính bánh xe khối tâm O J1, chịu tác dụng ngẫu lực Mdk động gắn thân xe gây Thân xe vật rắn có khối lượng m2, mơ men qn tính thân xe khối tâm C J2, tọa độ khối tâm C hệ trục Oxy (xC = a, yC = b) Gọi Ml ngẫu lực ma sát cản lăn bánh xe mặt đường, MO ngẫu lực cản ma sát ổ trục Khi di chuyển mặt phẳng nghiêng, hệ có hai bậc tự Gọi q = [, θ]T véctơ tọa độ suy rộng xe,  góc quay bánh xe, θ góc nghiêng thân xe so với phương thẳng đứng Hình Mơ hình học xe hai bánh kiểu lắc ngược Áp dụng phương trình Lagrange loại II [1, 2], ta thu hệ phương trình vi phân mơ tả chuyển động xe hai bánh dạng lắc ngược có dạng sau: (J1  m1r  m2r )  m2r  [a sin(   )  b cos(   )]   m2r  [a cos(   )  b sin(   )]  (m1  m2 )gr sin   Mdk  Ml  MO  (1)  2 (J2  m2a  m2b )  m2r  [a sin(   )  b cos(   )]  = m2g (a cos   b sin )  Mdk  MO  32 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Dựa hệ phương trình (1), ta thiết kế quy luật điều khiển xe nhằm đạt mục tiêu, xe di chuyển lên dốc với vận tốc không đổi góc nghiêng  = Thiết kế quy luật điều khiển Do ảnh hưởng ma sát cản lăn ma sát ổ trục nhỏ, để đơn giản, ta bỏ qua ma sát (Ml = MO = 0), sau đây, ta thiết kế quy luật điều khiển Mdk, xe chuyển động ổn định lên dốc xuống dốc với vận tốc v = const  = Xét hệ phương trình (1), ta đặt: C1  (J1  m1r  m2r ) , C2  (J2  m2a2  m2b2 ) , C3  (m1  m2 )gr sin h1( )  m2r [a sin(   )  b cos(   )] , h2 ( )  m2r [a cos(   )  b sin(   )] h3 ( )  m2g(a cos  b sin ) , u  Mdk Khi hệ hai phương trình viết lại sau: C1  h1( )  h2 ( )  C3  u (2)   h3 ( )  u C2  h1( ) Từ phương trình thứ (2), ta suy ra:  [h1( )  h2 ( )  C3  u ] C1 (3) Thay (3) vào phương trình thứ (2), ta được: C2  h1( )  Ta đặt: [h1( )  h2 ( )  C3  u ]  h3 ( )  u C1 [C1C2  h12 ( )]  [h1( )  C1 ]u  h1( )h2 ( )  C1h3 ( )  h1( )C3 (4) 1  C1C2  h12 ( ),   h1( )  C1, 3  h1( )h2 ( )  C1h3 ( )  h1( )C3 Với 1  0, từ (4) ta suy được:    2 u 1 1 (5) Gọi d giá trị mong muốn đạt :   d ,   0,   , ta đặt: e    d  e   , e    e  2 u 1 1 (6) Để e, e, e  , theo phương pháp phản hồi tuyến tính hóa, ta có: e  K pe  Kd e (7) Với Kp, Kd số dương Thay (7) vào (6), ta được:  2 u   K p e  K d e 1 1 (8) Từ ta suy ra: u  u 1 [ K p e  K d e ]   2 1[K p (  d )  Kd ]   2 (9) (10) Sau đây, chứng minh với tín hiệu điều khiển (10) hệ thống ổn định Ta dễ thấy hệ (7) hệ tuyến tính nên nghiệm có dạng: e(t )  k1e  1t  k 2e  2t (11) Với k1, k2 số, 1 > 0, 2 > - 1, - 2 nghiệm phương trình đặc trưng:   Kd   K p  (12) Để đơn giản cho việc chứng minh, ta chọn Kp, Kd cho 1, 2 số thực (vì hệ ổn định nên - 1 < 0, - 2 < suy 1 > 0, 2 > 0) Vì e(t ), e(t ) hội tụ dạng hàm mũ, dẫn đến  (t )  e(t ), (t )  e(t ) hội tụ với dạng hàm mũ Mặt khác thay tín hiệu điều khiển (10) vào (13), ta được: Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 33 CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11  [h12  C1h1  C1h2  C1(C3  h3 )  (C1 C2  h12 )( K pe  K d e )] C1 (13) Để tìm chặn  (t ) ta cần ý vấn đề sau: + Để tồn u(t), thì:     + Người ta chứng minh được: a cos  b sin  a2  b2 ; a sin(   )  b cos(   )  a2  b2 Từ ta tìm chặn h1(), h2() có dạng: (14) h1( )  m2r a2  b2  H1  ; h2 ( )  m2r a2  b2  H1  (15) + Để tìm chặn h3() ta làm sau: Theo cách đặt  = d + e, Do d góc vị trí cân nên phải thỏa mãn phương trình: m2g(a cosd  b sind )  (m1  m2 )gr sin  C3 Từ ta suy ra: h3  m2g(acosd  b sind )cos e  m2g(a sind  b cosd )sin e Đặt: C3  m2g(acosd  b sind )cos e;C4  m2g(a sind  b cosd )sin e Dễ thấy C3, C4 số, vậy: (16) (17) (18) C1(C3  h3 )  C1[C3  C3 cos e  C4 sin e]  C1[2C3 sin2 (e / 2)  C4 sin e] (19) Chú ý rằng: sin x  x , a  b  a  b , ta có: C1(C3  h3 )  2C1C3 sin2 (e / 2)  C4 sin e  C1C3 e  C4 e (20) Với ý trên, từ phương trình (13) ta suy ra:   C1  h   C h   C h   C (C  h ) ( C C  h )( K e  K e  1 3 P D   (21)    C1 H   C H   C H   C C e  C e (C C  H )( K e  K e  1 1 P D   (22) Với   e;   e nên ta có:    2 H1 e  C1H1 e  C1H1 e  C1C3 e  C4 e (C1C2  H12 )( K P e  K D e   C1 (23) Do e(t) hội tụ theo hàm mũ, e(t ), e(t ) hội tụ theo hàm mũ Nên tồn R,   cho: e(t )  R e t , e(t )  R e t , e(t )  R e t  e  R 2e2 t ; e  R 2e2 t  t Vế phải (24) bị chặn hàm có dạng M e  (t )  M e  t , với M đủ lớn  chọn giá trị thích hợp:  t  lim  (t )  lim M e  t  (24) (25) t  Từ ta có: t t t t M M  (t )    ( )d    ( ) d   Me   d   Me     e  t    0 0 Nên (t ) bị chặn, tức tích phân (26)    ( ) d hữu hạn (đây điều cần chứng minh) Các kết mơ Để tính tốn số, giá trị tham số hệ cho sau: g = 9,81(m/s2); m1 = 0,51(kg); J1 = -4 5,1.10 (kg.m2); r = 0,062(m); m2 = 9,01(kg); J2 = 0,228(kg.m 2); a = 0(m); b = 0,7(m);  = 150; d = 1,3920; Kp = 10; Kd = Với số liệu cho sau tính tốn, ta số kết mơ cho Hình 2, 3, 4, 5, 6, Từ Hình 2, 3, 4, ta thấy xe di chuyển mặt phẳng nằm ngang ta điều khiển để xe chuyển động với vận tốc không đổi thân xe ổn định vị trí thẳng đứng (  = 0) Nhưng xe di chuyển mặt phẳng nghiêng, từ Hình 5, 6, 7, ta thấy, muốn vận tốc xe khơng đổi thân xe phải nghiêng góc d = 1,390 34 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Hình Vận tốc quay bánh xe xe di chuyển mặt phẳng ngang Hình Góc lắc thân xe xe di chuyển mặt phẳng ngang Hình Vận tốc lắc thân xe xe di chuyển mặt phẳng ngang Hình Vận tốc quay bánh xe xe di chuyển mặt phẳng nghiêng Hình Góc lắc thân xe xe di chuyển mặt phẳng nghiêng Hình Vận tốc lắc thân xe xe di chuyển mặt phẳng nghiêng Kết luận Trong báo này, nghiên cứu động lực học thiết kế quy luật điều khiển cho xe hai bánh kiểu lắc ngược di chuyển mặt phẳng nghiêng Từ kết tính tốn cho thấy, xe hoạt động ổn định với quy luật điều khiển đưa ra, nhiên, để xe di chuyển với vận tốc không đổi mặt phẳng nghiêng thân xe phải nghiêng góc d khơng đổi đó, tùy thuộc vào kết cấu thân xe TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khang, “Động lực học hệ nhiều vật”, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2007 [2] Nguyễn Quang Hoàng, “Thiết kế điều khiển trượt cho robot di động kiểu lắc ngược tự cân bằng”, Tuyển tập cơng trình khoa học Hội nghị Cơ học toàn quốc 4.2009, tr 272-281, 2009 [3] Nguyễn Văn Sơn, “Xây dựng mơ hình lắc ngược dạng quay SImulink MATLAB”, Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số (25) - 2015, tr 48-56, 2015 [4] Robert Grepl, “Balancing Wheeled Robot: Effective Modelling Sensory Processing and Simplidied Control”, Engineering MECHANICS, Vol 16, 2009, No 2, pp.141-154, 2009 [5] Modestus Oliver Asali, Ferry Hadary, Bomo Wibowo Sanjaya, “Modeling, Simulation, and Optimal Control for Two-Wheeled Self-Balancing Robot”, International Journal of Electrical Computer Engineering, Vol 7, No 4, August 2017, pp 2008-2017, 2017 [6] Hau-Shiue Juang and Kai-Yew Lum, “Design and Control of a Two-Wheel Self-Balancing Robot using the Arduino Microcontroller Board”, 2013 10th IEEE International Conference on Control and Automation, Hangzhou, China, June 12-14, 2013, pp 634-639, 2013 [7] A N K Nasir, M A Ahmad, R M T Raja Ismail, “The Control of a Highly Nonlinear TwoWheels Balancing Robot: A Comparative Assessment between LQR and PID-PID Control Schemes”, International Journal of Mechanical and Mechatronics Engineering, Vol 4, No10, 2010, pp 942-947, 2010 Ngày nhận bài: 23/4/2019 Ngày nhận sửa: 14/5/2019 Ngày duyệt đăng: 20/5/2019 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 35 ... di chuyển mặt phẳng ngang Hình Góc lắc thân xe xe di chuyển mặt phẳng ngang Hình Vận tốc lắc thân xe xe di chuyển mặt phẳng ngang Hình Vận tốc quay bánh xe xe di chuyển mặt phẳng nghiêng Hình... lắc thân xe xe di chuyển mặt phẳng nghiêng Hình Vận tốc lắc thân xe xe di chuyển mặt phẳng nghiêng Kết luận Trong báo này, nghiên cứu động lực học thiết kế quy luật điều khiển cho xe hai bánh kiểu... 2, 3, 4, ta thấy xe di chuyển mặt phẳng nằm ngang ta điều khiển để xe chuyển động với vận tốc không đổi thân xe ổn định vị trí thẳng đứng (  = 0) Nhưng xe di chuyển mặt phẳng nghiêng, từ Hình