Mô hình hoá và điều khiển tối ưu cho hệ xe hai bánh tự cân bằng

Bài viết phân tích phương trình toán học của một hệ xe hai bánh tự cân bằng. Qua đó, tác giả áp dụng thành công giải thuật điều khiển tối ưu cho hệ trên. Giải thuật điều khiển tối ưu được thử nghiệm với các trường hợp di chuyển khác nhau của xe. Kết quả điều khiển là tốt trên cả mô phỏng Matlab/Simulink và thực nghiệm.

22 Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh MƠ HÌNH HỐ VÀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ XE HAI BÁNH TỰ CÂN BẰNG MODELLING AND OPTIMAL CONTROL FOR TWO-WHEELED SELF-BALANCING ROBOT Nguyễn Minh Tâm, Nguyễn Văn Đông Hải, Nguyễn Phong Lưu, Lê Văn Tuấn Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Ngày tòa soạn nhận 01/3/2016, ngày phản biện đánh giá 16/6/2016, ngày chấp nhận đăng 15/8/2016 TÓM TẮT Hệ xe hai bánh tự cân hệ thống áp dụng nhiều thí nghiệm điều khiển tự động Đây hệ thống MIMO (multi-input and multi-output) mang tính lý thuyết thực tiễn cao, áp dụng sống Tuy nhiên, đa phần nghiên cứu xoay quanh việc điều khiển cân dùng giải thuật tìm kiếm thử sai phương trình tốn học đơn giản Các nghiên cứu chi tiết phương trình tốn học hệ thống giải thuật ứng dụng hiểu biết mơ hình khơng nhiều Bài báo phân tích phương trình toán học hệ xe hai bánh tự cân Qua đó, tác giả áp dụng thành cơng giải thuật điều khiển tối ưu cho hệ Giải thuật điều khiển tối ưu thử nghiệm với trường hợp di chuyển khác xe Kết điều khiển tốt mô Matlab/Simulink thực nghiệm Từ khóa: xe hai bánh tự cân bằng; điều khiển tối ưu; LQR; Matlab/Simulink; MIMO; thực nghiệm ABSTRACT Two-wheeled Self-balancing Cart is a popular model in automatic experiments This is a MIMO system (multi-input and multi-output) which is theoretical, practical and has been applied in normal life Anyway, most research just focuses on balancing this model through try-on experiments or simple form of mathematical model There are still so few research works focusing on modelling algorithm and designing a mathematical model-based controller for this system This paper developed all mathematical equations of the system Then, the authors successfully applied optimal control for this system Optimal controller was tested with different cases of cart motion Controlling results was proved to work well through both experiments and simulation on Matlab/Simulink Keywords: Two-wheeled Self-balancing Robot/Cart; optimal control; LQR; Matlab/Simulink; MIMO; experiment ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ xe hai bánh tự cân đối tượng quen thuộc toán lý thuyết điều khiển Thế nhưng, phần lớn nghiên cứu dựa phương trình tốn học dạng đơn giản với ngõ vào hệ thống momen bánh trái momen bánh phải hồn thành mơ phỏng[1], [2], [3] mơ hình thực tế ngõ vào điện áp cấp cho Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh động bánh trái bánh phải (phương trình tốn học hệ thống phức tạp hơn) Nhiều nghiên cứu lại áp dụng giải thuật điều khiển thử sai (PID, FUZZY,…), khơng dựa mơ hình tốn học hệ thống nên tính ổn định hệ thống khơng đảm bảo nhờ tốn học [4], [5], [6] Do đó, việc thiết lập mơ hình tốn học chi tiết với ngõ vào điều khiển điện áp cần thiết Và phương trình tốn học chi tiết thành lập, giải thuật điều khiển tối ưu (LQR) thiết kế để điều khiển hệ thống Việc ổn định hệ thống đảm bảo nhờ phương trình Riccati Nhờ đó, điều khiển tối ưu ổn định hệ thống mơ đảm Hình Hình ảnh mô tả hệ xe hai bánh tự cân 23 bảo việc áp dụng thực tế Các mục báo trình bày sau: Mục II đề cập cách thức mơ hình hóa đối tượng hệ xe hai bánh tự cân Tiếp đó, mục III, trình bày giải thuật điều khiển tối ưu áp dụng cho hệ xe Sau đó, mục IV V trình bày kết điều khiển mô thực nghiệm Cuối cùng, mục VI đưa kết luận điều khiển LQR cho hệ thống MƠ HÌNH TỐN HỌC Sơ đồ hệ quy chiếu hệ xe hai bánh tự cân thể hình 1, 2, dưới: Hình Hệ xe hai bánh tự cân nhìn từ xuống Hình Hệ xe hai bánh tự cân nhìn nghiêng Trong đó, thành phần hệ liệt kê bảng 1: Bảng Ký hiệu ý nghĩa đại lượng Kí hiệu Đơn vị Ý nghĩa m kg Khối lượng bánh xe M kg Khối lượng robot Kí hiệu Đơn vị Ý nghĩa Hệ số ma sát robot động DC fm Jm kgm Moment quán tính động DC R m Bán kính bánh xe W m Chiều rộng robot Rm  D m Chiều ngang robot Kb V s rad Hệ số EMF động DC H m Chiều cao robot K Nm A Moment xoắn động DC L fw m Khoảng cách từ trọng tâm robot đến trục bánh xe Hệ số ma sát bánh xe mặt phẳng di chuyển t Điện trở động DC Tỉ số giảm tốc N G m s Gia tốc trọng trường Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh 24 Kí hiệu Đơn vị  rad Góc trung bình bánh trái phải  l ,r d Góc bánh trái phải d Góc nghiêng phần thân robot d Góc xoay robot   Ý nghĩa xl , yl , zl m Tọa độ bánh trái , yr , zr m Tọa độ bánh phải xr Kí hiệu xm  l  l           r r (1) Trong tọa độ trung bình Robot hệ qui chiếu:  xm  y  m  z m  x   m    y   m   R        (2) Và  R c o s    xm        ym   R  s in   (3)     W  x  s in   m xr   W  yr   ym  cos    W  zr   zm   Moment phát động động bánh trái, phải , ir A Dòng điện động bánh trái, phải vl , vr V Điện áp động bánh trái, phải (6) Phương trình động chuyển động tịnh tiến: T1  m  xl  yl  zl 2  m  xr  yr  zr   2 m  xb  yb  zb 2 (7)  Phương trình động chuyển động quay: T2  (4)  Với J w l  J   2  n Jm l  2   J w r  n Jm l  n Jm r  (5) Nm  x b   x m  L s in  c o s       y  y L s in  c o s   b  m   z b   z m  L c o s            Moment phát động theo phương khác il Tọa độ bánh phải hệ qui chiếu: Nm Tọa độ tâm đối xứng hai động hệ qui chiếu:          Tọa độ trung bình m , F F Ý nghĩa , F  Tọa độ bánh trái hệ qui chiếu: W  x  s in   m  xl   W   yl   ym  cos     W  z l   zm   , ym , zm Fl , r Ta sử dụng phương pháp Euler-Lagrange để xây dựng mơ hình động học Giả sử thời điểm t = 0, robot di chuyển theo chiều dương trục x, ta có góc tịnh tiến trung bình hai bánh xe góc xoay robot xác định sau:             R  W Đơn vị  J w  2  (8)  ; 2  n Jm r   (9) động quay phần ứng động trái phải Phương trình năng: U  m gzl  m gzr  m gzb (10) Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Phương trình Lagrange: 25 Sử dụng phương pháp PWM để điều khiển động nên chuyển từ dòng điện sang điện áp động cơ: L  T1  T  U (11) d  L  L  F   dt     (12) L m il , r  v l , r  K b    l , r  R m il , r d  L  L  F   dt     (13) Xem điện cảm phần ứng tương đối nhỏ (gần 0), bỏ qua, suy ra: (14) il , r  d  L  L  F   dt         M L R c o s   n J m   (15)  M L R Từ đó, moment lực sinh ra: F    v l  v r      f w      (24) F     v l  v r        (25) Với nK t   F  (16)  M g L s in  M L  s in c o s  F 1 mW  J  2  W   Jw  n J   2R  2   M L s in  m nK tK b   Rm  M L  J    M L R c o s          2n2J   2n J m  m                  M L   s i n c o s W 2R (17)  Rm W   vr  vl   2R  fm (26) 2 (   f w ) (27) Thu phương trình động lực học mô tả chuyển động robot sau:  m  M  (22) (23) Rm s in   F  vl ,r  K b    l ,r Lấy đạo hàm L theo biến ta được:  2m  M  R        J w  n J m   R  J w  2n J m      M L R c o s  n J m     vl  M L R s in   (28)  vr   2    fw      F  M L  J    M L R co s           2n2J   2n J m  m   Momen động lực động DC sinh ra:  F  F    F      Fl  F r     F  W    Fl  F r   R        (18) Và:   F l  n K t il  f m    l  f w  l  (19)  F r  n K t ir  f m    r  f w r  (20)  F   n K t i l  n K t i r  f m    l    fm    r   M g L s in   M L  s in  c o s     vl  vr        1 mW  J  2   W  J  n Jm  2R2  w  2   M L s in                M L   s in  c o s  (21) W 2R  (29)  vr  vl  W 2R (30) 2   fw  26 Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Với: Từ (28), (29), (30), ta có hệ phương trình mơ tả hệ thống xe hai bánh cân có dạng sau: f2 vr x  x0 u  u0 f4 vr x  x0 u  u0 f6 vr x  x0 u  u0 and 0 0 Q2 0 0 Q3 0 0 Q4 0 0 Q5 0 0  R1 R    (31)  x3  x4  x6  x5    T (32) T 0 0 0 T ; u0  0 0 T                    f2  x x x u u0    ; A   f4    x ux  ux 0     f6  x x x  u  u0 (33) Ta tuyến tính hố hệ thống (31) dạng: x  Ax  Bu (34) f2 f2 x2 x  x0 u u0  x3 0 f2 x  x0 u u0 f2 x4 x  x0 u u0  x5 f4 f4 f4 x2  x3 x4  x5 x  x0 u u0 0 f6 x2 x  x0 u u0 f6 x  x0 u  u0  x3 x  x0 u u0 x4 x  x0 u u0 f6 x  x0 u u0 x  x0 u u0 f4 f6 x  x0 u  u0  x5   f2   x x  x0  u u0     f4   x x  x0  u u0    f6   x x  x0  u u0   x  x0 u u0 (35) ưu tiên việc điều khiển ta cho thơng số trọng số tương ứng lớn tương đối so với thơng số trọng số khác         Q  Sau chọn thông số điều khiển tương ứng, ta tiến hành xây dựng thông số hồi tiếp K với tín hiệu điều khiển u= - K*x Thơng số K tính dựa vào phương trình Riccati Tuy nhiên, Matlab hỗ trợ ta hàm lqr() để tính thơng số K biết ma trận A, B, Q, R   R2  Với thông số    x0   Lúc này, ta có ma trận trọng số sau:  Q1    Q       x2 Nếu chọn điểm làm việc là: x1  x   x  f  x1 , x , x , x , x , x , v l , v r    x3  x4  x  f  x1 , x , x , x , x , x , v l , v r    x5  x6   x  f  x , x , x , x , x , x , v l , v r     f2  v x x l u  u0    v   Với: u   l  ; B    f  vr    v l ux  ux 0     f6  v x x l  u  u0 x   x1 Q1 , Q , …Q5 , Q6 , R1 R2 để tinh chỉnh cho điều khiển LQR Trong đó, thơng Q , Q , Q , Q , Q , Q6 trọng số tối ưu tương ứng cho giá trị  ,  ,  ,  ,  ,  , tín hiệu điều khiển cho góc tiến tới tín hiệu điều khiển cho góc xoay Nếu muốn biến trạng thái Hình Sơ đồ chi tiết điều khiển LQR cho hệ xe hai bánh tự cân Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Ma trận trọng số LQR chọn sau: KẾT QUẢ MƠ PHỎNG Thơng số mơ hình chọn sau: m 1 M 5 ; D  H  ; f m  0 J   M W  D ; L  0.18 ; J m  0 ; K t  R  0 ;  12 Rm  50 ; n  40 ; ; ; ; W  f w  J  M L ; 27 K b  1   0 Q   0 0  0 ; ; ; ; g  ; T  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0  0 0  1 ; 1 R   0 0  1 Lúc này, ta ma trận K theo lệnh K=lqr(A,B,Q,R)   K     6066  9  6066  9     4.1 Giá trị đặt Hình Góc bánh xe  (rad) Hình Góc nghiêng  (rad) Hình Góc xoay  (rad) 4.2 Giá trị đặt khác Chọn  đặt =  (rad),  đặt =  (rad) (xe tiến tới đoạn chiều quay vịng hai bánh xe quay góc 90 độ quanh trục xe) Hình Góc bánh xe  (rad) Hình Góc nghiêng  (rad) Hình 10 Góc xoay  (rad) 4.3 Nhận xét Như kết mơ hình 5-9, ta thấy trạng thái xe ln bám sát tín hiệu đặt, điều khiển LQR đáp ứng tốt Điều chứng tỏ xe tới, lui, quẹo phải, trái tùy giá trị đặt Thời gian q độ cịn dài cải thiện thông qua việc chọn ma trận số phù hợp KẾT QUẢ THỰC TẾ Mô hình thực nghiệm thể hình 11 sau: Hình 11 Mơ hình phần cứng thực nghiệm Nguồn Pin; Mạch cầu H; Vi điều khiển DSP; Cảm biến MPU 6050; Bánh xe mô hình Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh 28 Hình 17 Giá trị góc nghiên (độ)  Hình 12 Sơ đồ kết nối phần cứng Trong khuôn khổ điều khiển LQR, ta chọn ma trận sau: 1 0    Q       0 0 100 0 0 100 0 0 0 0 1000 0 0         100  ;R 20    Hình 18 Giá trị góc xoay   20  (độ)  Thí nghiệm 2: Điều khiển quẹo phải Như vậy, với thơng số hệ thống thực tế, ta tính tốn ra:   K     6066  9  6066  9      Hình 19 Giá trị góc tới  (độ) 5.1 Điều khiển đứng n vị trí cân Hình 13 Giá trị góc tới  (độ) Hình 14 Giá trị góc nghiệng  (độ) Hình 20 Giá trị góc nghiên Hình 21 Giá trị góc xoay   (độ) (độ) Thí nghiệm 3: Điều khiển lùi Hình 15 Giá trị góc xoay  (độ) 5.2 Điều khiển với vị trí đặt khác Thí nghiệm 1: Điều khiển quẹo trái Hình 16 Giá trị góc tới  (độ) Hình 22 Giá trị góc tới  (độ) Hình 23 Giá trị góc nghiệng  (độ) Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Hình 24 Giá trị góc xoay (độ)  Thí nghiệm 4: Điều khiển tới Hình 25 Giá trị góc tới  (độ) 29 quẹo trái, quẹo phải để đạt giá trị đặt cho trước Tuy nhiên, biến trạng thái thực tế khơng bám hồn tồn giá trị đặt Đó tính chất thỏa hiệp điều khiển LQR- sai lệch biến trạng thái bù đắp sai lệch biến trạng thái tương ứng khác đủ để đảm bảo tính hiệu điều khiển giá trị thiết kế Đây khuyết điểm điều khiển LQR so với giải thuật điều khiển phi tuyến khác Tuy nhiên, giải thuật điều khiển LQR đơn giản nhiều dễ thiết kế cho hệ MIMO phức tạp so với giải thuật điều khiển phi tuyến khác vốn phù hợp với đa số hệ thống SISO KẾT LUẬN Hình 26 Giá trị góc nghiên Hình 27 Giá trị góc xoay   (độ) (độ) Bài báo tính tốn mơ hình hóa phương trình toán học hệ xe hai bánh tự cân với ngõ vào điện áp để áp dụng cho đối tượng mô thực tế Từ đó, dựa mơ hình vừa tính tốn hệ thống, nhóm tác giả thiết kế giải thuật điều khiển tối ưu cho hệ thống Kết điều khiển cho kết tốt mô thực tế 5.3 Nhận xét Qua hình 16-27, ta nhận thấy hệ thống xe hai bánh cân thực tế điều khiển theo trạng thái tới, lui, TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] A N K Nasir, M A Ahmad, R M T Raja Ismail, The Control of a Highly Nonlinear Two-wheeled Balancing Robot: A Comparative Assessment between LQR and PID-PID Control Schemes, International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial, Mechatronic and Manufacturing Engineering, Vol 4, No 10, 2010 Nguyen Ngoc Son, Ho Pham Huy Anh, Adaptive Backstepping Self-balancing Control of a Two-wheel Electric Scooter, International Journal of Advanced Robotic Systems, Vol 11, No 1, 2014 Ming Yue, Wei Sun, Ping Hu, Sliding Mode Robust Control for Two-wheeled Mobile Robot with Lower Center of Gravity, International Journal of Innovative Computing, Information and Control, Vol 7, No 2, 2011 30 [4] [5] [6] Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Samer Miasa, Mohammad Al-Mjali, Anas Al-Haj Ibrahim, and Tarek A Ttunji, Fuzzy Control of a Two-Wheel Balancing Robot using DSPIC, 7th International Multi-Conference on Systems, Signals and Devices, 2010 Unluturk, A, Aydogdu, O, Guner, U., Design and PID control of two wheeled autonomous balance robot, International Conference on Electronics, Computer and Computation (ICECCO), (IEEE), pp 260-264, 2013 Congying Qiu, Yibin Huang, The Design of Fuzzy Adaptive PID Controller of Two-Wheeled Self-Balancing Robot, International Journal of Information and Electronics Engineering, Vol 5, No 3, 2015 Tác giả chịu trách nhiệm viết ThS Nguyễn Phong Lưu Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM Email: luunp@hcmute.edu.vn ... thuật điều khiển tối ưu (LQR) thiết kế để điều khiển hệ thống Việc ổn định hệ thống đảm bảo nhờ phương trình Riccati Nhờ đó, điều khiển tối ưu ổn định hệ thống mô đảm Hình Hình ảnh mơ tả hệ xe hai. .. dụng cho hệ xe Sau đó, mục IV V trình bày kết điều khiển mơ thực nghiệm Cuối cùng, mục VI đưa kết luận điều khiển LQR cho hệ thống MÔ HÌNH TỐN HỌC Sơ đồ hệ quy chiếu hệ xe hai bánh tự cân thể hình. .. mơ hình vừa tính tốn hệ thống, nhóm tác giả thiết kế giải thuật điều khiển tối ưu cho hệ thống Kết điều khiển cho kết tốt mô thực tế 5.3 Nhận xét Qua hình 16-27, ta nhận thấy hệ thống xe hai bánh