Bài báo này mở rộng kết quả [2] về dáng điệu tiệm cận của mô hình thú - mồi chịu nhiễu ngẫu nhiên có đáp ứng chức năng dạng Crowley - Martin trong trường hợp suy biến, từ đó tính điều khiển của hệ được xem xét. Mời các bạn tham khảo!
22 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016 TÍNH ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ THÚ - MỒI NGẪU NHIÊN CÓ ĐÁP ỨNG CHỨC NĂNG DẠNG CROWLEY - MARTIN CONTROLABILITY OF A STOCHASTIC PREDATOR - PREY MODEL WITH CROWLEY - MARTIN FUCTIONAL RESPONSE Trần Đình Tướng1, Trần Hà Lan2 Khoa Cơ bản, Trường ĐH GTVT Tp HCM, Tp HCM Khoa Cơ sở, Trường ĐH Kinh tế Nghệ An, Tp Vinh Tóm tắt: Bài báo mở rộng kết [2] dáng điệu tiệm cận mô hình thú - mồi chịu nhiễu ngẫu nhiên có đáp ứng chức dạng Crowley - Martin trường hợp suy biến, từ tính điều khiển hệ xem xét Từ khóa:Tính điều khiển; suy biến; tính ergodic; mơ hình thú-mồi Abstract: In this work, we improve some results of dynamic behaviour of a stochastic predator - prey model with Crowley - Martin functional response in [2] (degenerate case) From this, its controlability is considered Keywords: Controllability; degenerate; ergodicity; predator - prey model Giới thiệu Dạng tất định mơ hình Kolmogorov hai lọai có dạng tổng quát sau: ẋ (t) = xf(x, y) { ẏ (t) = yg(x, y) Trong trường hợp f(x, y) = b − py g(x, y) = cx − d ta gọi mơ hình mơ hình Lotka - Volterra cổ điển Tuy nhiên nghiên cứu dạng tất định hệ sinh thái, người ta nhận thấy chúng thường gặp phải số hạn chế định: Không xét yếu tố nhiễu ngẫu nhiên chuyển động Brown; không rõ nguồn thức ăn; thiếu nghiên cứu tập tính cá thể lồi, Một lý góp phần quan trọng không không xét tác động ngẫu nhiên mơi trường Do vậy, mơ hình quần thể tác động yếu tố ngẫu nhiên quan tâm nghiên cứu xu tất yếu Theo thời gian, hệ thú - mồi ngẫu nhiên nghiên cứu nhiều dạng đáp ứng chức khác Chẳng hạn Gause năm 1934 (xem [2]) trình bày mơ hình dạng: ẋ (t) = x(t)[a1 − b1 y(t)p(x(t))] { ẏ (t) = y(t)[−a2 + b2 x(t)p(x(t))] Với hàm cường độ p(x) thể với x đặc trưng riêng biệt Như p(x) = m +m x (Dạng Holling II), p(x) = m x2 +m2 x (Dạng Holling III), p(x) = m x +m2 x+m3 x (Dạng Holling IV) (xem [2]) Hoặc mơ hình thú mồi có đáp ứng chức dạng Beddington DeAngelis [3] nghiên cứu dáng điệu tiệm cận mơ hình thú-mồi ngẫu nhiên với nhiễu Brown Mặt khác [2] nghiên cứu điều kiện cần gần đủ cho tính bền vững tính ergodic hệ ngẫu nhiên có đáp ứng chức dạng Crowley - Martin, mơ hình có dạng: dx(t) = x(t)[a1 − b1 x(t) − (1+m c1 y(t) x(t))(1+m2 y(t)) ]dt +αx(t)dB1 (t) dy(t) = y(t)[−a2 − b2 y(t) + (1+m c2 x(t) x(t))(1+m2 y(t)) (1) ]dt { +βy(t)dB2 (t) Trong đó: , bi , ci , mi , i = (1; 2): Các số dương; α, β ≠ 0, B1 ( ), B2 ( ): Hai trình Brown độc lập Hai đại lượng x(t), y(t) kí hiệu mật độ mồi thú thời điểm t (t ≥ 0) Tuy nhiên kết mơ hình xét cho hai trình Brown B1 ( ), B2 ( ) độc lập Trong trường hợp B1 ( ) = B2 ( ) = W( ) kết nào? Và từ ta tìm hiểu tính điều khiển hệ Trong TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ GIAO THƠNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016 trường hợp suy biến (B1 ( ) = B2 ( ) = W( ) ), hệ (1) trở thành dx(t) = x(t)[a1 − b1 x(t) − (1+m c1 y(t) x(t))(1+m2 y(t)) ]dt +αx(t)dW(t) dy(t) = y(t)[−a2 − b2 y(t) + (1+m c2 x(t) x(t))(1+m2 y(t)) (2) ]dt { +βy(t)dW(t) Do tính đối xứng chuyển động Brown, ta giả sử 𝛼 ≥ Cấu trúc báo trình bày sau, mục 1, chúng tơi giới thiệu tình hình thời vấn đề nghiên cứu Phần mục chúng tơi trình bày lại kết [2] trường hợp hệ không suy biến Trọng tâm mục 2, chúng tơi trình bày kết báo Mục cuối bày tỏ lòng biết ơn đến quan, đơn vị tài trợ tạo điều kiện thuận lợi cho trình nghiên cứu Kết Trước hết ta nhắc lại số kết trường hợp hệ (2) không suy biến (xem [2]) Định lý 1: Nếu λ < lim y(t) = t→∞ hầu chắn phân phối x(t) hội tụ yếu đến μ− ( ) , đại lượng độ đo xác suất bất biến φ(t) ℝ+ Mặt khác μ− ( ) phân phối eθ với θ biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f∗ (với ∞ β2 c2 ex λ ≔ −a2 − + ∫ f (x)dx) + m1 ex ∗ −∞ Định lý 2: Với λ > q trình (x(t), y(t)) có độ đo bất biến tập trung 2,0 ℝ2,0 + (với ℝ+ phần ℝ+ ) Định lý 3: Nếu λ > 0, hệ (1) tồn độ đo xác suất bất biến 𝜇 ∗ với giá ℝ2,0 + Hơn nữa: a) Với hàm f(x, y) μ∗ khả tích 2,0 từ ℝ+ vào ℝ, ta có: t lim f(x(s),y(s))ds t t ∀(𝑥(0), 𝑦(0) ∈ ℝ2,0 + 2,0 f x,y μ* dx,dy , 23 b) lim ‖P(t, (x, y), ) − μ∗ ( )‖ = 0, t→∞ ∀x, y ∈ ℝ2,0 + Trong P(t, (x, y), ) xác suất chuyển (x(t), y(t)) ‖ ‖ chuẩn biến phân tồn phần Bây giờ, ta trình bày nội dung báo Từ kết lim y(t) = λ < điều t→∞ dẫn đến x(t) hội tụ yếu đến phân phối dừng μ− ( ) φ(t) Do vậy, ta giả sử λ > cho q trình có độ đo xác suất bất biến μ∗ ℝ2,0 + Đặt ζ(t) = lnx(t) η(t) = lny(t) Hệ phương trình (2) trở thành: dζ(t) = (a1 − − (1+m α2 −b1 eζ(t) c1 eη(t) ζ(t) )(1+m eη(t) ) 1e )dt +αdB1 (t) dη(t) = (−a2 − + (1+m β2 (3) − b2 η(t) c2 eζ(t) ζ(t) )(1+m eη(t) ) 1e )dt +βdB2 (t) { u,v (t), u,v Ký hiệu ζ η (t) nghiệm (3) với giá trị ban đầu (u, v) Gọi ̂ P(t, (u, v), ) xác suất chuyển: α2 a1 − −b1 eu c1 ev − (1 + m1 eu )(1 + m2 ev ) A(u, v) = β2 −a2 − −b1 ev c1 eu − ( (1 + m1 eu )(1 + m2 ev )) Và: B(u, v) = (αβ) Ta cần nhắc lại vài khái niệm hoán tử trường vector (Lie bracket) Nếu X(x) = (X1 , X2 )T Y(x) = (Y1 , Y2 )T vector ℝ2 hốn tử trường vector trường vector định nghĩa bởi: [X, Y]i (x) = (X1 ∂Yi ∂Xi (x) − Y1 (x)) ∂x1 ∂x1 + (X2 ∂Yi ∂Xi (x) − Y2 (x)), ∂x1 ∂x1 i = (1,2) Ta cần giả thiết sau: 24 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016 Giả thiết: Đại số Lie L(u, v) sinh A(u, v), B(u, v) thỏa mãn dim L(u, v) = với (u, v) ∈ ℝ2 Mặt khác, tập vector A, B, [A, B], [A, [A, B]], [B, [A, B]], … span ℝ2 Ta nhận thấy giả thiết thỏa mãn với hầu hết tình Chẳng hạn, xét trường hợp , bi , ci , mi , α (i = 1,2) số dương β ≠ Chú ý số (u, v) thỏa mãn tính chất vector A, B, [A, B], [A, [A, B]], [B, [A, B]], … tác động số span ℝ2 nghiệm hệ phương trình det(A, B) = 0, det(A, [A, B]) = 0, … Mỗi thành phần phương trình đa thức với biến eu , ev Do vậy, ta chứng minh khơng có (u, v) thỏa mãn hệ phương trình số phương trình đủ lớn Để mô tả giá độ đo bất biến 𝜇 ∗ để chứng minh tính ergodic (3), ta cần xét hệ điều khiển sau u̇ ∅ (t) = α∅(t) + a1 − −b1 eu∅(t) − c1 ev∅ m1 +m2 e v∅(t) α2 (t) +m3 ev∅ v̇ ∅ (t) = β∅(t) − a2 − c2 eu∅ (t) β2 (t) (4) −b ev∅(t) − (t) (t) { m1 +m2 eu∅ +m3 eu∅ Trong ∅ nhận từ tập hàm thực liên tục khúc nhận giá trị ℝ+ Gọi (u∅ (t, u, v), v∅ (t, u, v)) nghiệm (4) với điều khiển ∅ giá trị ban đầu (u, v) Ký hiệu O1+ (u, v) tập đạt từ (u, v), theo nghĩa tập giá trị (u′ , v ′ ) ∈ ℝ2 cho tồn t ≥ điều khiển ∅( ) thỏa mãn u∅ (t, u, v) = u′ , v(t, u, v) = v ′ Ta thấy với giả thiết đảm bảo tính truy cập (4), nghĩa O1+ (u, v) có phần khác rỗng với (u, v) ∈ ℝ2 (xem [8]) Bây ta xét vài tính chất trình bày [9] Gọi A tập ℝ2 thỏa mãn tính chất với 𝑤1 , 𝑤2 ∈ 𝐴, ta có w2 ∈ + (w ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O1 ( w1 ∈ ℝ ) Khi tồn tập B cực đại B ⊃ A cho tính chất thỏa mãn cho B Do 𝐵 tập điều khiển Tập điều khiển C gọi bất biến + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ O (w) ⊂ C với w ∈ C β Đặt z∅ = v∅ − α u∅ , ta có hệ tương đương u̇ ∅ (t) = α∅(t) + g(u∅ (t), z∅ (t)) { (5) ż ∅ (t) = h(u∅ (t), z∅ (t)) Trong đó: g(u, z) α2 = a1 − − b1 eu β c1 ez+αu − (1 + m1 eu ) (1 + β m1 ez+αu ) Và: h(u, z) = − (a2 + β2 β α2 + (a1 − )) α β β −b2 ez+αu + b1 eu α β β c2 eu + α c1 ez+αu + β (1 + m1 eu ) (1 + m1 ez+αu ) Ký hiệu O2+ (u, v) tập tất (u′ , v ′ ) ∈ ℝ2 cho tồn t > điều khiển ∅( ) cho u∅ (t, u, v) = u′ , z∅ (t, u, v) = z ′ Ta có số kết sau: Mệnh đề : Với u0 , u1 , z0 ∈ ℝ, ϵ > tồn điều khiển ∅ T > cho u∅ (T, u0 , v0 ) = u1, |u∅ (T, u0 , v0 ) − z0 | < ϵ Thật vậy, giả sử u0 < u1 gọi ρ1 = sup{|g(u, z)|, |h(u, z)|: u0 ≤ u ≤ u1 , |z − z0 | ≤ ϵ} Ta chọn ∅(t) ≡ ρ2 với αρ ( ρ − 1) ϵ ≥ u1 − u0 Ta dễ dàng kiểm tra với điều khiển trên, có ≤ T ≤ ϵ ρ1 cho u∅ (T, u0 , v0 ) = u1, |z∅ (T, u0 , v0 ) − z0 | < ϵ Nếu u0 > u1 , ∅(t) thiết kế tương tự Mệnh đề : Với z0 > z1 bất kỳ, có u0 ∈ ℝ điều khiển ∅ T > cho z∅ (T, u0 , v0 ) = z1 u∅ (t, u0 , v0 ) = u0 , ∀0 ≤ t ≤ T Do vậy, β > −u0 đủ lớn, tồn ρ3 > cho h(u0 , z) = −ρ3 , ∀z1 ≤ z ≤ z0 Từ tính chất này, kết hợp với (5), suy tồn điều khiển ∅ T > thỏa mãn Trong trường hợp β < ta chọn u0 đủ lớn, từ ta có kết tương tự TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ GIAO THƠNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016 Định lý 4: Giả sử β < β ≥ α Gọi c ∗ = sup{ z̅ 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 sup{h(u, z)} > u∈ℝ 0, ∀z ≤ z̅} Khi c ∗ > −∞ (c ∗ ∞) Ngồi với (u, z) ∈ ℝ2 tùy ý, ta có ′ ′ ′ ∗ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O+ (u, v) ⊃ {(u , z ): z < c } Chứng minh Thật vậy, ta có ngưỡng (xem [2]) ∞ β2 c2 ex λ ≔ −a2 − + ∫ f (x)dx > + m1 ex ∗ −∞ Theo bất đẳng thức Jensen, ta có: ∞ 𝑐2 𝑒 𝑥 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑚1 𝑒 𝑥 ∗ −∞ 𝑐2 ∫ℝ exp(𝑥)𝑓∗ (𝑥)𝑑𝑥 ≤ + 𝑚1 ∫ℝ exp(𝑥)𝑓∗ (𝑥)𝑑𝑥 𝛼2 𝑎1 − 𝑐2 𝑏1 = 𝛼2 𝑎1 − + 𝑚1 𝑏1 ̅ u Đặt e = a1 − α2 b1 , ta có : α2 a1 − c1 b1 h(u̅, z) = α2 β a1 − )(1 + m ez+αu̅ ) (1 + m1 b1 − (a2 + + β β2 ) + b2 ez+αu̅ β β c ez+αu̅ α β (1 + m1 eu̅ ) (1 + m2 ez+αu̅ ) Ta ý : α2 a1 − c1 b1 K≔ >0 α2 β a1 − (1 + m1 b )(1 + m2 ez+αu̅ ) Với giá trị K > ta có h(u̅, z) > ez đủ nhỏ Phần lại định lý chứng minh sau Trước hết ta nhận xét từ tính liên tục phụ thuộc liên tục giá trị ban + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ đầu ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O+ (w2 ) ⊂ O2 (w1 ), ta có w2 ∈ 25 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O+ (w1 ) (với w1 , w2 ∈ ℝ Với (u, v) ∈ ℝ , ta định nghĩa Ξu,v : = {z1 : ∃u1 cho (u1 , z1 ) ∈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O2+ (u, z)} Do vậy, với (u0 , z0 ) ∈ ℝ2 ta dễ dàng suy từ mệnh đề ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O+ (u0 , z0 ) ⊃ {(u1 , z1 ): z1 ≤ z0 } + (u, Do vậy, O2 z) ⊃ {(u1 , z1 ): z1 ≤ Ξu,v } Nếu Ξu,v < c ∗ , tồn h(û, Ξu,v ) > Do h( ) liên tục, ẑ > Ξu,v cho inf{h(û, Ξu,v ): z ∈ [Ξu,v , ẑ]} > Do vậy, có điều khiển ∅ T > thỏa mãn u∅ (t, û, Ξu,v ) = û, ∀t ∈ [0, T] Do vậy, (û, v̂) ∈ O+ ̂ , Ξu,v ) ⊂ (u + (u, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O2 z) Điều mâu thuẫn với định nghĩa Ξu,v Chứng minh hoàn tất∎ Định lý 5: Hệ điều khiển (4) có tập điều khiển bất biến C Nếu < β < α, 𝐶 = ℝ2 Nếu β < β ≥ α, tập C = β {(u, v): = v − α u ≤ c ∗ } Chứng minh Nếu < β < α, từ hai mệnh đề trên, với số (u1 , z1 ), (u2 , z2 ) ∈ ℝ2 , ta ln có (u2 , z2 ) ∈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O1+ (u1 , z1 ) Điều dẫn đến ℝ2 tập điều khiển bất biến Xét trường hợp β < β ≥ α, ta suy trực tiếp từ định lý c ∗ = ∞ Nếu c ∗ < ∞, từ định nghĩa c ∗ ta có h(u, c ∗ ) ≤ 0, ∀u ∈ ℝ Do vậy, xét cho điều khiển ∅, ta có z∅ (T, u, z) ≤ c ∗ , ∀t ≥ dẫn đến z ≤ c ∗ Mặt khác ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O2+ (u, z) ⊂ ′ ′ ): ′ ∗ {(u , z z ≤ c } Kết hợp với định lý 1, ta suy ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O2+ (u, z) = {(u, z): z ≤ c ∗ } với 𝑢 ∈ ℝ, z ≤ c ∗ Do vậy, {(u, z): z ≤ c ∗ } tập điều khiển bất biến cho (5) Sự tập điều khiển suy từ {(u, z): z ≤ c ∗ } ⊂ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ O+ (u, z) với (u, z) ∈ ℝ Từ C ≔ β {(u, v): v − α u ≤ c ∗ } tập điều khiển bất biến cho (4) Trong trường hợp λ > 0, có độ đo xác suất bất biến π∗ kết hợp với μ∗ (1) Do tính tập C, từ giả thiết ta suy π∗ độ đo xác suất bất biến với giá C Hơn nữa, ∀(u, v) ∈ C f μ∗ − khả tích: t P{lim ∫ f(ζu,v (s) , ηu,v (s)) t→∞ t 26 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016 = ∫ f(u′ , v ′ )π∗ (du′ , dv ′ )} = ℝ2 Kết chứng minh [9] Hơn nữa, từ [12] ta ̂(t, (u, v), ) − π∗ ( )|| → 0, ∀(u, v) ∈ C, lim ||P t→∞ với ‖ ‖ chuẩn biến phân toàn phần theo điều kiện Hormander ∎ Kết luận Trong trường hợp hệ suy biến, với giả thiết tập vector A, B, [A, B], [A, [A, B]], [B, [A, B]], …là span ℝ2 ta mô tả giá độ đo bất biến μ∗ kiểm tra tính ergodic hệ việc xét tính điều khiển hệ Ngồi ra, khn khổ có hạn báo, ta chứng minh với điều kiện thích hợp, hệ tất định (1) tồn phân phối dừng hệ có tính ergodic Lời cảm ơn Bài báo tài trợ phần từ đề tài “Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ sinh thái với môi trường ngẫu nhiên” với mã số KH1511 Ngồi ra, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến nhóm nghiên cứu quan tâm giúp đỡ cho nhiều ý kiến xác đáng giá trị Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn Viện nghiên cứu Cao cấp toán (VIASM), Viện Đào tạo Hợp tác Quốc tế (IEC), Khoa Cơ Trường ĐH GTVT Tp HCM tạo điều kiện thuận lợi để báo hoàn thành Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Dư (2005), Điều khiển tối ưu hệ tất định ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Đình Tướng (2015), Ngưỡng cho phát triển bền vững tuyệt chủng mơ hình quần thể ngẫu nhiên có hàm đáp ứng dạng Crowley-Martin, Tạp chí khoa học cơng nghệ vận tải, số tháng [3] Du N H., Dang N H., Yin G (2016), Conditions for permanence and ergodicity of certain stochastic predator-prey models, J Appl Prob 543, no 1, 187 - 202 [4] Gause, G F (1934) The Struggle for Existence, Williams and Wilkins, Baltimore [5] Ji C., Jiang D (2011), Dynamics of a stochastic density dependent predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response J Math Anal Appl., no 1, 441-453 [6] Liu, X Q.; Zhong, S M.; Tian, B D.; Zheng, F X (2013), Asymptotic properties of a stochastic predator-prey model with Crowley-Martin functional response J Appl Math Comput 43, no 1-2, 479 - 490 [7] Lotka, A J (1925), Elements of Physical Biology, Williams and Wilkins, Baltimore [8] Jurdjevic, V (2009), Geometric Control Theory, Cambridge University Press, Vol 52 [9] Kliemann, W (1987), Recurrence and invariant measures for degenerate diffusions Ann Probab., no 2, 690-707 [10] Stettner, L (1986), On the existence and uniqueness of invariant measure for continuous time Markov processes LCDS Report No 86-16, Brown University, Providence [11] Ichihara, K., Kunita, H (1977), A classification of the second order degenerate elliptic operators and its probabilistic characterization, Z Wahrsch Verw Gebiete, 235-254 [12] Ikeda, N., Watanabe, S (1989), Stochastic differential equations and diffusion processes Second Edition, North-Holland Publishing Co., Amsterda Ngày nhận bài: 25/07/2016 Ngày chuyển phản biện: 28/07/2016 Ngày hoàn thành sửa bài: 13/08/2016 Ngày chấp nhận đăng: 20/08/2016 ... bất biến μ∗ kiểm tra tính ergodic hệ việc xét tính điều khiển hệ Ngồi ra, khn khổ có hạn báo, ta chứng minh với điều kiện thích hợp, hệ tất định (1) tồn phân phối dừng hệ có tính ergodic Lời cảm... Ngưỡng cho phát triển bền vững tuyệt chủng mơ hình quần thể ngẫu nhiên có hàm đáp ứng dạng Crowley- Martin, Tạp chí khoa học cơng nghệ vận tải, số tháng [3] Du N H., Dang N H., Yin G (2016), Conditions... ev Do vậy, ta chứng minh khơng có (u, v) thỏa mãn hệ phương trình số phương trình đủ lớn Để mô tả giá độ đo bất biến