Dưới đây là Đề giao lưu HSG môn Toán 8 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT UBND Huyện Vĩnh Bảo giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao.
Trang 1UBND HUY N VĨNH B OỆ Ả Đ GIAO L U HSG HUY N C P THCSỀ Ư Ệ Ấ
PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀOỤ
T OẠ
MÔN TOÁN 8 (Đ có 1 trang)ề Th i gian làm bài 150 phútờ
Bài 1. (3 đi m) ể
a)Phân tích đa th c ứ thành nhân t ử
b)Cho a;b;c là ba s đôi m t khác nhau th a mãn:. ố ộ ỏ
Tính giá tr c a bi u th c: P=.ị ủ ể ứ
c)Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Bài 2. (2 đi m) ể
a) Tìm s t nhiên đ và là hai s chính phố ự ể ố ương
b) Cho a, b > 0 th a mãn . Ch ng minh .ỏ ứ
Bài 3. (1 đi m) ể
Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nh n. V ra phía ngoài hình bình hành các ọ ẽ tam giác đ u BCE và DCF. Tính s đo góc EAF.ề ố
Bài 4. (3 đi m) ể
Cho tam giác ABC nh n có các đọ ường cao AA’, BB’, CC’ và H là tr c tâmự
a) Ch ng minh BC’.BA + CB’.CA=BCứ 2
b) Ch ng minh r ngứ ằ
c) G i D là trung đi m c a BC. Qua H k đọ ể ủ ẻ ường th ng vuông góc v i DH c t AB,ẳ ớ ắ
AC l n lầ ượ ạt t i M và N. Ch ng minh H là trung đi m c a MN.ứ ể ủ
Bài 5. (1 đi m) ể
Cho hình vuông ABCD và 2018 đ ng th ng cùng có tính ch t chia hình vuông này ườ ẳ ấ thành hai t giác có t s di n tích b ng . Ch ng minh r ng có ít nh t 505 đ ng th ng trong ứ ỉ ố ệ ằ ứ ằ ấ ườ ẳ
2018 đ ng th ng trên đ ng quy.ườ ẳ ồ
H t ế
Trang 2
UBND HUY N VĨNH B OỆ Ả GIAO L U H C SINH GI I C P THCSƯ Ọ Ỏ Ấ
PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀOỤ
T OẠ
ĐÁP ÁN VÀ BI U ĐI M MÔN TOÁN 8Ể Ể
(Đ có 1 trang) ề
Bài 1 L i gi i s lờ ả ơ ược Đi m chi ti tể ế C ngộ
Bài 1
( 3 đi m)ể
a) =
=
==
0,25
0,25 0,25
1,0
b) (a+b+c)2=
Tương t : ; ự
0,25
0,25
0,25 0,25
1,0
Trang 3c) Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z (x + y)3 = –z3
Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3
Do đó : 3xyz(x2 +
y2 + z2) = (x3 + y3 +
z3)(x2 + y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 +
x3(y2 + z2) + y3(z2 +
x2) + z3(x2 + y2)
Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z).
Tương tự:y2 + z2 =
x2 – 2yz ; z2 + x2 =
y2 – 2zx
Vì vậy : 3xyz(x2 +
y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 +
x3(x2 – 2yz) + y3(y2
– 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 +
z5) – 2xyz(x2 + y2 +
z2) Suy ra : 2(x5 + y5 +
z5) = 5xyz(x2 + y2 +
z2
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
Bài 3 a) Đ và là hai sể ố
chính phương và
Nh ng 59 là sư ố nguyên t , nên: ố
T suy ra ừ Thay vào , ta
được
V y v i thì và làậ ớ hai s chính ố
phương
0,25 0,25 0,25
0,25
1,0
Trang 4b) Có: (*) (D u đ ng th cấ ẳ ứ
x y ra khi a = b)ả
Áp d ng (*), có: ụ Suy ra:
( Vì a+b = 1)
V i a, b dớ ương,
ch ng minh(Vìứ a+b = 1)
(D u đ ng th cấ ẳ ứ
x y ra khi a = b)ả
Ta được:
D u đ ng th cấ ẳ ứ
x y ra: ả
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
Bài 3
F
E
C
B
Ch ng minh đứ ược
Ch ng minh đứ ược
=>AE=EF
Tương t AF=EFự
=>AE=EE=AF
=>Tam giác AEF
đ uề
=>
0,25 0,25 0,25
0,25
1,0
Trang 5(3 đi m)ể
N M
D
H C'
B'
A'
A
a)Ch ng minh đ ng d ng v iứ ồ ạ ớ
=>=> (1)
Ch ng minhđ ng d ng v iứ ồ ạ ớ
=> (2)
T (1) và (2) =>ừ
Tương tự
=>
0,25
0,25 0,25 0,25
1,0
b) Có =>
Tương t và ự
=>
https://nguyenthien huongvp77.violet.v n/
0,25
0,25 0,5
1,0
c) Ch ng minh ứ
được đ ng d ng ồ ạ
v i (gg)ớ
=> (3)
Ch ng minh đứ ượ c
đ ng d ng v i (gồ ạ ớ g)
=> (4)
Mà CD=BD (gt) (5)
T (3), (4), (5) ừ
=>=> HM=HN
0,25 0,25
0,25 0,25
1,0
Trang 6=>H là trung đi m ể
c a MNủ
Bài 5
(1 đi m)ể
G i E, F, P, Q l nọ ầ
lượt là trung đi mể
c a AB, CD, BCủ
và AD L y cácấ điêrm I, G trên EF
và K, H trên PQ
th a mãn: ỏ Xét d là m t trong ộ các đường th ng ẳ
b t k đã cho c t ấ ỳ ắ hai AD, BC, EFl nầ
lượ ạt t i M, N, G’.
Ta có hay d qua G
T l p lu n trên ừ ậ ậ suy ra m i đỗ ường
th ng th a mãn ẳ ỏ yêu c u c a đ bàiầ ủ ề
đ u đi qua m t ề ộ trong 4 đi m G, H,ể
I, K.
Do có 2018 đường
th ng đi qua 1 ẳ trong 4 đi m G, H,ể
I, K, theo nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
Trang 7lý Dirichlet ph i ả
t n t i ít nh t ồ ạ ấ
đường th ng cùng ẳ
đi qua m t đi m ộ ể trong 4 đi m trên. ể
V y có ít nh t 505ậ ấ
đường th ng trongẳ
s 2018 đố ường
th ng đã cho đ ngẳ ồ quy