Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết điều khiển tự động là một nhánh liên ngành của kỹ thuật và toán học, liên quan đến hành vi của các hệ thống động lực. Đầu ra mong muốn của một hệ thống được gọi là giá trị đặt trước. Khi một hoặc nhiều biến đầu ra của hệ thống cần tuân theo một giá trị đặt trước theo thời gian, một bộ điều khiển điều khiển các đầu vào cho hệ thống để đạt được hiệu quả mong muốn trên đầu ra hệ thống. Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động của Tiến Sĩ Phan Thanh Nam.
Mục lục Mở đầu Chơng Cơ sở toán học 1.1 1.2 1.3 1.4 Đại số tuyến tính 1.1.1 Véc tơ ma trận 1.1.2 Ma trận xác định d−¬ng 1.1.3 Hµm mò ma trËn Phơng trình vi ph©n 1.2.1 Điều kiện tồn nghiệm 1.2.2 Ma trËn nghiƯm tỉng qu¸t, ma trËn chun trạng thái 1.2.3 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính 10 1.2.4 Phơng trình ma trËn tuyÕn tÝnh 11 Gi¶i tÝch thùc 12 1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall 12 1.3.2 Một số kiến thức không gian định chuẩn 13 Bµi tËp 14 Chơng 2.1 Tính điều khiển đợc 16 Tính điều khiển đợc hệ tuyến tính liên tục 16 2.1.1 Tính điều khiển đợc cho hÖ tuyÕn tÝnh dõng 17 2.1.2 TÝnh ®iỊu khiĨn đợc hệ tuyến tính không dừng 19 2.2 TÝnh ®iỊu khiĨn đợc cho hệ tuyến tính rời rạc 23 2.3 Bµi tËp 25 Chơng Tính ổn định ổn định hóa 3.1 3.2 27 Tính ổn định phơng trình vi phân thờng 27 3.1.1 Bài toán ổn định 27 3.1.2 Tính ổn định hÖ tuyÕn tÝnh 28 Phơng pháp hàm Lyapunov 33 3.2.1 HÖ phi tuyÕn dõng 33 3.2.2 HƯ phi tun kh«ng dõng 34 Tính ổn định hóa đợc phơng trình vi ph©n th−êng 38 3.3.1 Bài toán ổn định hóa 38 3.3.2 Tính ổn định hóa đợc hệ tuyến tính 38 3.4 Tính ổn định cho hệ rời rạc 41 3.5 Bµi tËp 42 3.3 Chơng Tính ổn định ổn định hóa đợc hệ phơng trình vi phân có chậm 44 4.1 Tính ổn định phơng trình vi phân có chậm 44 4.1.1 Bài toán ổn định 44 4.1.2 Mét sè kü tht chun vỊ bất đẳng thức ma trận tuyến tính 46 4.1.3 Bài toán bao tập đạt đợc 46 Tính ổn định hóa đợc cho hệ điều khiển cã chËm 46 4.2.1 46 4.2 4.3 Bài toán ổn định hoá 4.2.2 Bài toán ổn định hóa với hệ có chậm trạng thái điều khiển 46 4.2.3 Bài toán thiết kế điều khiển dự thông tin đầu 46 4.2.4 Bài toán thiết kế điều khiển cho hệ co nhiễu bị chặn 46 Bµi tËp 46 Chơng Một số tính toán Matlab 48 5.1 Một số tính toán 48 5.2 Mét sè tÝnh to¸n ®¹i sè tuyÕn tÝnh 48 5.3 Một số tính toán Phơng trình vi phân 48 5.4 Vẽ đồ thị 48 5.5 Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Bài giảng chuyên đề Lý Thuyết điều khiển đợc biên soạn nhằm giới thiệu cung cấp số kiến thức môn Lý thuyết điều khiển cho sinh viên năm cuối, học viên cao học ngành toán, điều khiển tự động, kỹ thuật công nghệ, Với tổng thời lợng khoảng 45 đến 60 tiết, giảng gói gọn việc giới thiệu hai toán lý thuyết điều khiển toán điều khiển đợc toán ổn định hóa đợc cho hệ điều khiển Trong giảng này, bên cạnh việc cố gắng trình bày cách hệ thống rõ ràng kết lý thuyết ví dụ số minh họa thao tác tính toán phần mềm Matlab đợc giới thiệu để ngời đọc vừa có sở lý thuyết vừa có thao tác tính toán cần thiết đủ để giải đợc số toán ứng dụng đơn giản thực tế Nội dung giảng đợc chia thành năm chơng Chơng I trình bày số kiến thức Toán học liên quan đến lý thuyết điều khiển gồm đại số tuyến tính, phơng trình vi phân giải tích thực Chơng II trình bày số tiêu chuẩn cho tính điều khiển đợc cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục rời rạc Chơng III dành cho lý thuyết ổn định ổn định hóa cho hệ điều khiển, bao gồm việc giới thiệu khái niệm ổn định, ổn định hóa đợc, phơng pháp hàm Lyapunov số tiêu chuẩn cho tính ổn định ổn định hóa đợc Chơng IV, đợc coi nh phần nâng cao, trình bày tính ổn định ổn định hóa đợc cho số lớp hệ vi phân có chậm, bao gồm việc giới thiệu phơng pháp hàm Lyapunov-Razumikhin Lyapunov-Krasovskii, với kỹ thuật chuyển bất đẳng thức ma trận tuyến tính số phơng pháp thiết kế điều khiển cho toán ổn định hóa hệ có chậm Chơng cuối dành cho viƯc giíi thiƯu mét sè gãi c«ng tÝnh toán minh họa cần thiết phần mềm MATLAB Tác giả mong muốn nhận đợc nhiều góp ý đề suất để giảng đợc cải tiến, hoàn thiện phù hợp lần tái sau Mọi góp ý đề suất xin vui lòng gửi đến tác giả qua email: phanthanhnam@qnu.edu.vn Phan Thanh Nam Bình Định, Tháng 12, 2011 Chơng Cơ sở toán học Chơng trình bày số kiến thức toán học cần thiết cho lý thuyết điều khiển Mục 1.1 dành cho đại số tuyến tính Mục 1.2 dành cho phơng trình vi phân mục 1.3 dành cho giải tích thực 1.1 Đại số tuyến tính 1.1.1 Véc tơ ma trận x x2 + Cho hai vÐc t¬ x = . xn y 1 y2 n ∈ Rn , y = ∈ R , ta kÝ hiÖu . yn x, y = xT y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn (1.1) vµ gäi tích vô hớng hai véc tơ x, y Với ma trận A cấp n ì n hai vec t¬ x, y ∈ Rn , ta cã tÝnh chÊt Ax, y = x, AT y hc xT Ay = y T AT x + Víi vÐc t¬ x = (x1, , xn ), ta kÝ hiÖu ||x|| = x, x gọi chuẩn véc tơ x Víi ma trËn A = [aij ], ký hiƯu A = λmax (AT A) vµ gäi lµ chn phỉ cđa ma trận A Khi đó, với A M nìn , x, y ∈ Rn , ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: ||Ax|| ||A||.||x||; Ax, y ||Ax||2 + ||y||2 + Cho ma trËn A = [aij ] ,i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n KÝ hiƯu AT = [aji ] vµ gäi ma trận chuyển vị ma trận A Với ma trËn A cÊp n × n, nÕu A = AT ta nói ma trận A đối xứng + HƯ m vÐc t¬ {a1 , a2, , am } không gian Rn đợc gọi phụ thuộc tuyến tính tồn số thực 1, 2, , m không đồng thời không cho 1a1 + λ2a2 + · · · + λmam = (1.2) Ngợc lại, đẳng thức (1.2) xảy λ1 = λ2 = · · · = λm = th× ta nãi hƯ {a1, a2 , , am } độc lập tuyến tính + Hạng ma trận A số cực đại số hàng (hoặc cột) A độc lập tuyến tính vµ kÝ hiƯu lµ rank(A) Víi ma trËn A cÊp n ì n rank(A) = n det(A) = Khi ®ã, ta nãi ma trËn A không suy biến Ngợc lại, ta nói A suy biến Định lý 1.1 Cho ma trận A cấp m ì n Ta có tồn ma trận cấp k ì k không suy biến rank(A) = k ⇔ mäi ma trËn cÊp r × r, r > k ®Ịu suy biÕn + Ta kÝ hiÖu KerA := {x ∈ Rn : Ax = 0} gọi nhân ma trận A Ta kÝ hiÖu ImA := {Ax : x ∈ Rn } gọi ảnh ma trận A + Một véc tơ = v C n , đợc gọi véc tơ riêng ma trận A cấp n ì n tồn số ∈ C cho Av = λv Khi ®ã, số gọi giá trị riêng tơng ứng với véc tơ riêng v Tập giá trị riêng A kí hiệu (A) Định lý 1.2 giá trị riêng A det(A I) = Ví dụ 1.1 Tìm giá trị riêng vec tơ riêng ma trận sau: 2 −1 −1 , B = , C = A= 2 2−λ = ⇔ λ1 = 1; λ2 = Gi¶i a) det(A − λI) = ⇔ 2−λ Víi λ1 = 1, ta cã 2−1 v 1 = (A − λI)v = ⇔ − v2 ⇔ v1 + v2 = ⇔ v1 = t, v2 = −t VËy véc tơ riêng ứng với = có dạng v = t −t Víi λ2 = 3, ta cã , t = 2−3 v 1 = (A − λI)v = ⇔ − v2 ⇔ v1 − v2 = ⇔ v1 = t, v2 = t t Vậy véc tơ riêng ứng với = có d¹ng v = , t = t b) T−¬ng tù, ta cã det(B − λI) = ⇔ λ1 = + i, λ2 = − i Víi λ1 = + i, ta cã (B − λI)v = ⇔ v1 − iv2 = ⇔ v1 = it, v2 = t Víi λ1 = − i, ta cã (B − λI)v = 0⇔v1 + iv2 =0 ⇔ v1 = −it, v2 = t Suy hai véc tơ riêng ứng với it vµ λ2 lµ v1 = vµ v2 = −it t , víi t = t c) T−¬ng tù, ta còng cã det(C − λI) = ⇔ λ1 = λ2 = vµ (C − λI)v= ⇔ −t v1 + v2 = ⇔ v1 = −t, v2 = t Suy vÐc tơ riêng ứng với = v = , t = t NhËn xÐt 1.1 DƠ dµng nhËn thÊy det(A − λI) = lµ phơng trình đa thức bậc n có dạng p() = λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 + an = Phơng trình gọi phơng trình đặc trng ma trận A Khi đó, định lý sau biểu diễn mối liên hệ lũy thừa ma trận A Định lý 1.3 (Cayley-Hamilton) Mọi ma trận A cấp n ì n nghiệm phơng trình đặc trng nó, tức lµ P (A) = An + a1An−1 + · · · + an−1A + an I ≡ PT đặc trng 4λ + = ta cã VÝ dô 1.2 Cho A = 1 0 + 3 = − 4 A2 − 4A + 3I = 0 1.1.2 Ma trận xác định dơng Định nghĩa 1.1 + Ma trận A M nìn đợc gọi xác định dơng, kí hiệu A > 0, nÕu: i) Ax, x 0, ∀x ∈ Rn , ii) Ax, x > 0, ∀x = + NÕu ma trËn A chØ tho¶ nhÊt tÝnh chÊt i) ta nói ma trận A xác định không ©m vµ kÝ hiƯu A + A > B ⇔ A − B > 0, A B ⇔ A − B 0, A < ⇔ −A > Ví dụ 1.3 Xét tính xác định dơng xác định không âm ma trận sau: 1 , B = A= 2 1 Gi¶i Víi x ∈ R2 , ta cã Ax, x = x x 1 , 1 2 x2 x2 = 2(x1 + x2 )2 + x22 vµ Ax, x = x = Do đó, A xác định dơng Tơng tự, ta có Bx, x = 1 x x 1 , 1 x2 x2 1 = (x1 + x2)2 Tuy nhiªn, víi x0 = (1, −1)T = th× Ax0, x0 = Do đó, A xác định không âm Định lý 1.4 Các mệnh đề sau tơng đơng i) A > 0, ii) ∃c > : Ax, x c||x||2, ∀x ∈ Rn , iii) det(Di ) > 0, i = 1, 2, , n với Di ma trận vuông đờng chéo (điều kiện Sylvester) Nhận xét 1.2 Từ định lý ta thấy A > A không suy biến det(A) > không suy biến nhng Điều ngợc lại không đúng, chẳng hạn, ma trận A = không xác định dơng Định lý 1.5 Kí hiÖu λmin (A) = min{Re(λ) : λ ∈ λ(A)}, λmax (A) = max{Re(λ) : λ ∈ λ(A)} Gi¶ sư ma trận đối xứng A xác định dơng Khi đó, ta cã a)λmin (A)||x||2 b) λmax (A) ||x||2 λmax (A)||x||2 , ∀x ∈ Rn Ax, x A−1x, x ||x||2, ∀x ∈ Rn λmin (A) HƯ qu¶ 1.1 Nếu A ma trận đối xứng thì, a)A > ⇔ λmin (A) > 0, A ⇔ λmin (A) 0, b)A < ⇔ λmax (A) < 0, A max (A) Định lý 1.6 (Bổ đề Schur) Cho hai ma trận đối xứng, xác định dơng X, Y Khi đó, T X Z −Y cho c||x||2 , ∀x ∈ Rn , t ∈ R+ A(t)x, x Chó ý: A(t) R+ A(t)> với t R+ Điều ngợc lại không đúng, chẳng hạn hàm ma trận A(t) = et 0 không xác định dơng R + xác định dơng với t R+ nhng 1.1.3 Hàm mũ ma trận + Cho chuỗi luü thõa f (x) = nk=1 ak xk , nÕu n = ta giả sử chuỗi hội tụ Khi đó, với ma trận A M nìn , ta kÝ hiÖu f (A) = nk=1 ak Ak Khi ®ã, An A2 e := I + A + + ··· + + ··· , 2! n! A A n tn A2 t + ··· + + ··· 2! n! −1 , B = VÝ dô 1.4 TÝnh eA , eB víi A = eAt := I + At + Gi¶i Ta cã + + eA = 1 0 −1 + + eB = 1 cos − sin = sin cos 2! + −1 −1 2! 14 13 13 14 3! + + ··· = −1 3! e + e e − e , e − e e + e3 + ··· = ei +e−i ei −e−i 2i −ei +e−i 2i ei +e−i Trong tr−êng hợp ma trận A có n giá trị riêng khác nhau, cách tính theo định nghĩa, ta tính eA theo định lý sau Định lý 1.7 (Công thøc Sylvester) Cho ma trËn A ∈ M n×n Giả sử A có n giá trị riêng khác λ1, λ2, , λn Cho f (x) lµ mét hàm đa thức n f (A) = Zk f (λk ), (1.3) k=1 víi (A − λ1I)(A − λ2I) (A − λk−1 I)(A − λk+1I) (A − λn I) (λk − λ1 )(λk − λ2) (λk − λk−1)(λk − λk+1) (λk − λn ) −1 , B = VÝ dô 1.5 TÝnh eA , eB , eAt , eBt víi A = Zk = (1.4) Giải A có hai giá trị riêng λ1 = 1, λ2 = Theo c«ng thøc Sylvester, ta cã A − λ I λ1 A − λ I λ2 e + e λ1 − λ2 λ2 − λ1 1 − 1 = e1 + 1− 3 −1 1 −1 1 = e1 + e2 = −2 eA = − 1 3−1 e3 3 e − e e + e 1 e − e e + e3 B có hai giá trị riêng = i, λ2 = i Theo c«ng thøc Sylvester, ta cã A − λ2 I λ1 A − λ1 I λ2 e + e λ1 − λ2 λ2 − λ1 −1 − i 0 e−i + = −i − i i −i e +e −ei +e−i cos 2i = = i −i i −i e −e e +e sin 2i eA = −1 + i 0 Tơng tự nh trên, ta thu đợc eAt = t 3t 3t t e + e e − e , e3t − et et + e3t i + i − sin cos eBt ei cos t − sin t = sin t cos t Chó ý: + Víi hai ma trËn A, B ∈ M n×n , nãi chung (A + B)i = ik=0 Cik Ak B i−k Do ®ã, nãi chung eA+B = eA eB DÊu “=” chØ x¶y AB = BA + e(A+B)t = eAt.eBt nh−ng eA(t+s) = eAt eAs = eAs eAt; dtd eAt = A.eAt = eAt A 1.2 Phơng trình vi ph©n Cho hai sè a, b > KÝ hiÖu x˙ x(t0 ) d x(t) dt = x xét phơng trình vi phân sau: = f (t, x), = x0 , t ∈ I = [t0, t0 + b] t0 víi x(t) ∈ Rn f : I ì D Rn , D = {x ∈ Rn : ||x − x0 || a} (1.5) Giả sử phơng trình có nghiệm Khi công thức nghiệm Côsi phơng trình t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds (1.6) t0 1.2.1 Điều kiện tồn nghiệm Vấn đề quan tâm tồn nghiệm phơng trình số nghiệm Một số điều kiện tồn nghiệm phơng trình (1.5) đợc cho định lý sau: Định lý 1.8 (Pircard- Lindeloff) Nếu f (t, x) liªn tơc theo t, Lipschitz theo x, tøc lµ ∃K > : ||f (t, x1) − f (t, x2 )|| K||x1 − x2 ||, ∀t > 0, với (t0 , x0) I ì D sÏ tån t¹i mét sè d > cho phơng trình (1.5) có nghiệm [t0 d, t0 + d] Định lý 1.9 (Caratheodory) Nếu f (t, x) đo đợc theo t I, liên tục theo x D tồn hàm m(t) khả tích (t0, t0 + b) cho ||f (t, x)|| m(t), ∀(t, x) ∈ I × D tồn > cho phơng trình có nghiệm [t0, t0 + ] Định lý 1.10 (Peano) Nếu f (t, x) liên tục bị chặn I ìD với (t0 , x0) I ì D phơng trình (1.6) có nghiƯm 1.2.2 Ma trËn nghiƯm tỉng qu¸t, ma trËn chun trạng thái Xét hệ tuyến tính không dừng sau: x(t) = A(t)x(t), t t0 (1.7) Định lý 1.11 Tập nghiệm hệ (1.7) không gian vectơ n chiỊu trªn R Chøng minh Víi hai nghiƯm bÊt kú x1(t), x2 (t) cđa hƯ (1.7) vµ α1 , R, ta dễ dàng kiểm tra đợc x1 (t) + α2x2(t) còng lµ mét nghiƯm cđa hƯ (1.7) tập nghiệm hệ (1.7) không gian vec tơ R Kí hiệu xi (t), i = 1, · · · n lµ n nghiƯm hệ (1.7) với điều kiện ban đầu xi (t0 ) = ei , i = 1, · · · , n, ei véc tơ đơn vị thứ i không gian Rn Khi đó, hệ {x1(t), x2(t), · · · , xn (t)} ®éc lËp tuyến tính Thật vây, giả sử ngợc lại, tức tån t¹i mét bé (α1, · · · , αn ) không đồng thời không cho x1 (t) + · · · + αn xn (t) = 0, ∀t t0 Chän t = t0 th× ta cã α1 e1 + · · · + αn en = Điều vô lý ei , i = 1, , n vec tơ đơn vị Rn VËy hÖ {x1 (t), x2(t), · · · , xn (t)} độc lập tuyến tính Hơn với x(t) nghiệm hệ (1.7) thỏa ®iỊu kiƯn ban ®Çu x(t0 ) = x0 còng ®Ịu cã thĨ biƠu diƠn tun tÝnh cđa c¸c nghiƯm xi (t), i = 1, · · · , n 38 3.3 Tính ổn định hóa đợc phơng trình vi phân thờng 3.3.1 Bài toán ổn định hóa Tính ổn định cho hệ điều khiển đợc gọi tính ổn định hóa đợc Phần dành cho việc giới thiệu tính ổn định hóa đợc cho hệ ®iỊu khiĨn sau: x(t) ˙ = f t, x(t), u(t) , t (3.16) 0, x(t) Rn vectơ trạng thái u(t) Rm vectơ điều khiển Hàm điều khiển u(.) thuộc lớp hàm khả tích bậc hai đoạn hữu hạn [0, s], s lấy giá trị Rm Hàm f : R+ ì Rn ì Rm Rn hàm vectơ cho trớc đợc giả thiết thoả f (t, 0, 0) = 0, t Khi đó, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.3 Hệ điều khiển (3.16) đợc gọi ổn định hóa đợc (dạng mũ)nếu nh tồn hàm g : Rn Rm cho hệ phơng trình vi phân sau (gọi hệ đóng, closed-loop system) x(t) ˙ = f t, x(t), g x(t) , t 0, (3.17) ổn định, ổn định tiệm cận (mũ) Hàm u(t) = g x(t) đợc gọi hàm điều khiển ngợc Nh vậy, hai vấn đề đặt toán ổn định hoá với điều kiện hệ ổn định hoá đợc hàm điều khiển gì? 3.3.2 Tính ổn định hóa đợc hƯ tun tÝnh XÐt mét hƯ ®iỊu khiĨn tun tÝnh x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) t 0, (3.18) x(t) Rn vectơ trạng thái u(t) Rm vectơ điều khiển Hàm điều khiển u(.) thuộc lớp hàm khả tích bậc hai đoạn hữu hạn [0, s], s lấy giá trị Rm Khi A(t), B(t) ma trận hằng, theo Định lý 3.3, hệ (3.18) ổn định hóa ®−ỵc víi ®iỊu khiĨn ng−ỵc u(t) = Kx(t) nÕu tån ma trận X = X T > K cho (A + BK)T X + X(A + BK) < V× X = X T > nên X tồn Nhân hai vế bất phơng trình ma trận với X đặt Y = X 1, G = KY , bất phơng trình tơng đơng với Y T AT + AY + GT B T + BG < (3.19) Đây bất đẳng thức ma trận tuyến tính nên sử dụng LMI toolbox, ta tìm đợc Y G Từ đây, ta thu đợc ma trận điều khiển ngợc K = GY Ta có định lý sau: 39 Định lý 3.8 Nếu tồn ma trận đối xứng, xác định dơng Y Rnìn , ma trận G Rnìm cho bất đẳng thức (3.19) hệ tuyến tính dừng (3.18) ổn định hóa đợc với điều khiển ngợc u(t) = GY x(t) Định lý sau ®©y cho ta mét ®iỊu kiƯn ®đ thø hai cho tính ổn định hóa đợc cho hệ tuyến tính dừng (3.18) thông qua tính GNC hệ Định lý 3.9 Hệ tuyến tính dừng (3.18) ổn định hóa đợc điều khiển hoàn toàn không Chứng minh Giả sử hệ dừng (3.18) GNC, nên hƯ x˙ = −Ax − Bu còng GNC Kh«ng mÊt tính tổng quát ta giả sử t0 = 0, đó, theo Định lý 2.2 tồn thời gian T > cho T T e−At BB T eA t dt, LT = t0 không suy biến Lấy T1 > T đặt T1 T (T1 − t)e−AtBB T e−A t dt, L T1 = t0 LT1 đối xứng xác định dơng Do ma trận ngợc L1 T1 tồn tại, đối xứng xác định dơng Đặt K = T1B T L−1 T1 , vµ ta sÏ chøng minh hƯ (3.18) ổn định với điều khiển ngợc u(t) = Kx(t) ThËt vËy, xÐt hµm Lyapunov V (x(t)) = L−1 T1 x, x Vì L1 T1 đối xứng xác định dơng nên V xác định dơng Lấy đạo hàm V theo t, ta có V = L−1 ˙ x + L−1 ˙ T1 x, T1 x, x T −1 T −1 = (L−1 T1 A + A (LT1 ) x, x + Bu, LT1 x T −1 T −1 −1 −1 = (L−1 T1 A + A (LT1 ) LT1 LT1 x, LT1 LT1 x + Bu, LT1 x −1 −1 = (ALT1 + LT1 AT )L−1 T1 x, LT1 x + Bu, LT1 x Đặt y = L1 T1 x V˙ = (ALT1 + LT1 AT )y, y + Bu, y Mặc khác T1 T ALT1 + LT1 A = − d T (T1 − t) e−At BB T e−A t dt = T1 BB T − dt T1 T e−At BB T e−A t dt 40 nªn V˙ = T1BB T y, y − LT1 y, y + B(−T1 B T L−1 T1 x), y = − T1 BB T y, y − LT1 y, y − LT1 y, y < Theo Định lý 3.5 hệ đóng hệ (3.18) ổn định tiệm cận Vậy định lý đợc chứng minh Chú ý: Định lý cho điều kiện đủ để hệ ổn định hóa đợc Điều ngợc lại không ®óng Khi hƯ (1.4) lµ hƯ ®iỊu khiĨn tun tÝnh không dừng, năm 1972, [19] Ikeda cộng sù ®−a mét ®iỊu kiƯn ®đ cho tÝnh ỉn định hoá đợc lớp hệ dựa tính điều khiển đợc hệ [A(t), B(t)] tồn nghiệm P (t) xác định dơng (P (t) >> := ∃c > : P (t)x, x c||x||2 , t 0) phơng trình vi phân Riccati sau P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + I = (3.20) Định lý 3.10 Hệ tuyến tính (3.18) ổn định hóa đợc phơng trình vi phân Riccati (3.20) có nghiệm đối xứng xác định dơng [0, ) điều khiển ngợc u(t) = − 12 B T (t)P (t)x(t) Chøng minh Hệ đóng hệ (3.18) x(t) = [A(t) − B(t)B T (t)P (t)]x(t), t (3.21) XÐt hµm Lyapunov V (t, x(t)) = P (t)x(t), x(t) Vì P (t) xác định dơng [0, ) nên tồn c > cho V (t, x(t)) = P (t)x(t), x(t) c||x(t)||2, ∀t LÊy đạo hàm V (.) theo t dọc theo nghiệm hƯ ®ãng (3.21), ta cã V˙ = P˙ (t)x(t), x(t) + P (t)x(t), ˙ x(t) + P (t)x(t), x(t) ˙ = [P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t)]x(t), x(t) = −||x(t)||2 < Theo Định lý 3.5 hệ (3.21) ổn định Dó hệ (3.18) ổn định hóa đợc Chú ý: + Điều kiện Định lý 3.10 dựa vào tồn nghiệm phơng trình vi phân Riccati (3.20) mà không phụ thuộc vào tính ổn định ma trận A(t) Mặc dù việc giải phơng trình vi phân dạng Riccati nhiều khó khăn nhng có số phơng pháp số đợc đa để giải lớp phơng trình [6, 16, 26, 50] + Kết thay phơng trình vi phân Riccati (3.20) bất phơng trình vi phân tổng quát sau: P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)R−1 B T (t)P (t) + Q ≪ 41 ®ã R, Q hai ma trận hằng, đối xứng, xác định dơng + Nếu A(t), B(t) ma trận hằng, bất phơng trình vi phân trở thành bất ®¼ng thøc ma trËn AT P + P A − P BR−1B T P + Q < Sư dơng Bổ đề Schur, bất đẳng thức ma trận tơng đơng với bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau sử dụng hộp công cụ LMI Matlab để giải T A P + PA + Q PB T −R B P < 3.4 Tính ổn định cho hệ rời rạc Hoàn toàn tơng tự nh hệ liên tục, ta có khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận ổn định mũ cho hệ rời rạc hàm Lyapunov cho hệ rời rạc Chú ý thay tính đạo hàm hàm Lyapunov, ta phải tính sai phân hàm này, tức xét hiệu V = V (k + 1, x(k + 1)) − V (k, x(k) Ta có kết sau: Định lý 3.11 XÐt hƯ rêi r¹c x(k + 1) = A(k)x(k), k = 0, 1, 2, (3.22) i) HƯ lµ ổn định tiệm cận tồn q (0, 1) cho ||A(k)|| q, ∀k = 1, 2, ii) NÕu A(k) = A + C(k) ®ã A ổn định ( tức tồn q (0, 1) cho ||A|| q) C(k) bị chặn a (tức ||C(k)|| < a), hệ ổn ®Þnh víi a ®đ nhá Chøng minh i) Sư dơng công thức nghiệm cho hệ tuyến tính rời rạc, ta có điều cần chứng minh ii) Nghiệm hệ với điều kiện ban đầu x(0) = x0 k+1 k Ak−i−1C(i)x(i) x(k) = A x0 + i=0 Do ®ã, ta có đánh giá k+1 ||x(k)|| k q ki1 a||x(i)|| q ||x0|| + i=0 hay k+1 q −k ||x(k)|| ||x0 || + i=0 a −i q ||x(i)|| q 42 Sö đụng bất đẳng thức Gronwall cho dãy rời rạc, ta thu đợc ||x(k)|| ||x0||(q + a)k Chọn < a < − q th× x(k) → k Suy hệ ổn định tiệm cận Bằng cách xét hàm Lyapunov V (k) = xT (k)P x(k) cho hƯ rêi r¹c tun tÝnh dõng x(k + 1) = Ax(k), ta thu đợc điều kiện ổn định tiệm cận cho hệ thông qua tồn nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính Định lý 3.12 Hệ rời rạc tuyến tính dừng x(k + 1) = Ax(k) ổn định tiệm cận tồn ma trận đối xứng, xác định d−¬ng P tháa AT P A − P < 3.5 Bài tập Bài tập Xét tính ổn định phơng trình sau: a) xă + 2x + x = 0, b) xă(2) + 5x + 6x = Bài tập Tìm a để phơng trình sau ổn ®Þnh x(2) + 5x˙ + 6x + c(t) = 0, c(t) nhiễu thỏa điều kiện |c(t)| a, ∀t Bµi tËp XÐt hƯ tun tÝnh kh«ng dõng x˙ = A(t)x Chøng minh r»ng nÕu tån t¹i mét sè α > cho λmax(A(t) + AT (t)) , t hệ ổn định mò x˙ = −x1 + 4x2 Bµi tập Xét tính ổn định hệ x = −x1 − x3 Bµi tËp a) XÐt hÖ phi tuyÕn x˙ = A(t)x(t) + g(t, x(t)), t i) ∃N > 0, α > : ||Φ(t, s)|| N e−α(t−s), ∀t s 0, ii) ||g(t, x(t))|| L(t)||x||, ∀t 0, x ∈ Rn , iii) supt |L(t)| M < Nα Gi¶ sư: Chøng minh hệ ổn định b) Chứng minh hệ ổn định điều kiện iii) ®−ỵc thay b»ng ®iỊu kiƯn sau: iv) 0∞ L(s)ds < +∞ x˙ = −(5 + x52 + x83)x1 c) ¸p dơng kÕt câu a,b) xét tính ổn định hệ x = −x2 + 4x23 x˙ = −(2 + sin t)x3 hd: NghiÖm x3 ổn định mũ Suy nghiệm x2 ổn ®Þnh mò Tõ ®ã suy nghiƯm x1 ỉn ®Þnh mũ Vậy hệ ổn định mũ 43 Bài tập Tìm điều kiện đủ dới dạng bất đẳng thøc ma trËn tun tÝnh ®Ĩ hƯ ®iỊu khiĨn sau ổn định hóa đợc với điều khiển ngợc u(k) = Kx(k) x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) Chơng Tính ổn định ổn định hóa đợc hệ phơng trình vi phân có chậm Chơng giới thiệu toán ổn định ổn định hóa đợc cho số lớp hệ phơng trình vi phân có chậm Mục 3.1 dành cho tính ổn định Mục 3.2 dành cho tính ổn định hóa đợc 4.1 Tính ổn định phơng trình vi phân có chậm 4.1.1 Bài toán ổn định Chúng ta nhận thấy hệ phơng trình vi phân thờng (1.1) mô tả mối quan hệ biến thời gian t, trạng thái hệ thống x(t) vận tốc thay đổi trạng thái x(t) thời điểm t Song thực tế, trình xảy tự nhiên thờng có liên quan với khứ, mang nhiều tính di truyền Vì mô tả trình này, chúng đợc biểu diễn phơng trình vi phân có chậm Giả sử hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ chậm (0 h < +) Với x(.) hàm liên tục R+ , nhận giá trị Rn , xây dựng hàm xt C := C h, , Rn nh− sau xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] Nh− vËy, xt lµ đoạn quỹ đạo [t h, t] hàm x(.) với chuẩn C đợc xác định xt = sup x(t + s) Khi ®ã hƯ phơng trình có chậm mô tả phụ thuộc s[h,0] vận tốc thay đổi thời điểm t vào trạng thái hệ thống khoảng thời gian trớc [t h, t] đợc cho dới dạng x(t) ˙ = f (t, xt ), t 0, (4.1) ®ã f : R+ ×C → Rn Mét nghiƯm x(.) cđa hƯ (1.6) ®i qua ®iĨm (t0, φ) ∈ R+ ìC đợc kí hiệu x(t0 , )(.) Khi đó, hàm giá trị ban đầu nghiệm khoảng [t0 − h, t0] chÝnh lµ hµm φ, tøc lµ xt0 (t0, φ)(s) = x(t0 + s) = φ(s), ∀s [h, 0] Ta giả thiết hàm f (.) thoả điều kiện cho với điểm (t0, φ) ∈ R+ × C hƯ (1.6) cã nghiƯm qua điểm nghiệm kéo dài đợc với t Tơng tự nh hệ phơng trình vi phân thờng, ta giả thiết f (t, 0) 0, tức hệ (1.6) có nghiệm không Khi đó, ta có khái niệm ổn định, ổn định 44 45 tiệm cận, ổn định mũ cho hệ (1.6) nh sau: Định nghĩa 4.5 [17, 21] Nghiệm không hệ (1.6) đợc gọi ổn định nÕu víi mäi sè ε > 0, víi mäi t0 ∈ R+ , tån t¹i sè δ = δ(t0, ε) > cho víi mäi nghiƯm x(t0 , φ)(t) với C thoả < , x(t0, φ)(t) < ε, ∀t t0 ◦ NghiƯm kh«ng cđa hƯ (1.6) đợc gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số = (t0) > cho víi mäi nghiƯm x(t0 , )(t) với C thoả < lim x(t0 , φ)(t) = t→+∞ ◦ NghiƯm kh«ng hệ (1.1) đợc gọi ổn định ổn định mũ tồn số N > số α > cho mäi nghiÖm x(t0 , φ)(t) cđa hƯ tháa x(t0, φ)(t) N e−α(t−t0 ) φ , t (4.2) t0 Để ngắn gọn, thay nói nghiệm không hệ (1.6) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.6) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) Tơng tự nh với hệ phơng trình vi phân thờng, ta có phơng pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ (1.6) Cho V : R+ ì C R hàm liên tục x(t0 , ) nghiệm hệ (1.6) qua (t0 , ), theo [17, 49], đạo hàm bên phải hàm V dọc theo nghiệm hệ (1.6) lµ V˙ (t, xt (t0 , φ)) := lim+ sup [V (t + h, xt+h (t0 , φ)) − V (t, xt (t0 , φ))] h→0 h Khi ®ã, [17, 21] đa tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.6) nh sau: Định lý 4.1 Giả sử f : R+ ì C Rn từ R+ ì(tập bị chặn C) vào tập bị chặn Rn Nếu tồn hàm V : R+ × C → R cho i) ∃λ1, λ2 > : λ1||x(t)||2 V (t, xt ) λ2||xt ||2, ii) V˙ (t, xt ) 0, víi mäi nghiƯm x(t) cđa hệ (1.6), hệ (1.6) ổn định nghiệm bị chặn, tức N > : ||x(t0, φ)(t)|| N ||φ||, ∀t t0 NÕu ®iỊu kiện ii) đợc thay điều kiện iii) > : V˙ (t, xt ) −2λ3V (t, xt ), víi mäi nghiƯm x(t) cđa hƯ (1.6), th× hƯ (1.6) ổn định mũ số ổn định mò lµ α = λ3 vµ N = λ2 λ1 46 4.1.2 Mét sè kü tht chun vỊ bÊt đẳng thức ma trận tuyến tính 4.1.3 Bài toán bao tập đạt đợc 4.2 Tính ổn định hóa đợc cho hệ điều khiển có chậm 4.2.1 Bài toán ổn định hoá Xét hệ điều khiển có chậm x(t) = f t, xt , u(t) , t 0, (4.3) x(t) Rn vectơ trạng thái, u(t) Rm vectơ điều khiển, xt C , f : R+ ì C ì Rm Rn hàm vectơ cho trớc thoả điều kiện, f (t, 0, 0) = 0, t Hàm điều khiển u(.) thuộc lớp hàm khả tích bậc hai đoạn hữu hạn [0, s], s lấy giá trị Rm Định nghĩa 4.6 Hệ điều khiển (1.7) đợc gọi ổn định hóa đợc tồn hàm g : Rn Rm cho hệ phơng trình vi phân ®ãng (closed-loop system) x(t) ˙ = f t, xt , g x(t) , (4.4) ổn định tiệm cận Định nghÜa 4.7 Cho sè α > HƯ ®iỊu khiĨn (1.7) đợc gọi -ổn định hóa đợc tồn hàm g : Rn Rm cho hệ đóng (4.4) -ổn định 4.2.2 Bài toán ổn định hóa với hệ có chậm trạng thái điều khiển 4.2.3 Bài toán thiết kế điều khiển dự thông tin đầu 4.2.4 Bài toán thiết kế điều khiển cho hệ co nhiễu bị chặn 4.3 Bài tập Bài tập Xét tính ổn định phơng tr×nh sau: a) x(2) + 2x˙ + x = 0, b) x(2) + 5x˙ + 6x = 47 Bài tập Tìm a để phơng trình sau ổn ®Þnh x(2) + 5x˙ + 6x + c(t) = 0, c(t) nhiễu thỏa điều kiện |c(t)| a, ∀t x˙ = −(5 + x52 + x83)x1 Bµi tËp Xét tính ổn định hệ x = −x2 + 4x23 x˙ = −(2 + sin t)x3 hd: NghiƯm x3 ỉn ®Þnh mò Suy nghiƯm x2 còng ỉn ®Þnh mò Từ suy nghiệm x1 ổn định mũ Vậy hệ ổn định mũ x = x1 + 4x2 Bài tập Xét tính ổn định hÖ x˙ = −x1 − x3 hd: Chän hµm Lyapunov V = x21 + ax22, a tham số dơng xác dịnh sau tính đạo hàm V để đánh giá đạo hàm V Chän a = Bµi tËp Chøng minh r»ng hƯ tun tÝnh kh«ng dõng x(t) ˙ = A(t)x(t) với A(t) bị chặn [0, ) ổn định mũ phơng trình sau P (t) = A(t)P (t) + P (t)AT (t) + Q có nghiệm P (t) đối xứng, xác định dơng đều, bi chặn Q đối xứng, Q >> AT (t) + A(t) Ch−¬ng Mét sè tÝnh toán Matlab 5.1 Một số tính toán 5.2 Một số tính toán đại số tuyến tính 5.3 Một số tính toán Phơng trình vi phân 5.4 Vẽ đồ thị 5.5 Giải bất đẳng thức ma trËn tuyÕn tÝnh + Khai b¸o ma trËn: A=[3 2; 0] + Tính định thức: det(A) +Tính giá trị riêng, vec tơ riêng: [V,D]=eig(A), V cho vec to riêng D cho giá trị riêng Nêu tính giá trị riêng A ta dùng lệnh eig(A) + Tìm phần thực lớn (nhỏ nhất) tất giá trị riêng: eigs(A,1,la); eigs(A,1,sa) + Hàm mò cđa A lµ: expm(A); + Hµm mò cđa At syms t; expm(A*t) + Tìm ma trận P đối xứng, xác định dơng cho P A + AT P < 0: P = lmivar(1, [2, 1]): khai báo ma trận P đối xứng, cấp ì lmiterm([1,1,1,P],1,-1) : yêu cầu ma trận P xác định dơng lmiterm([2,1,1,P],1,A,s): yêu cầu P A + AT P < lmis=getlmis; [tmin,xfeas]=feasp(lmis); tìm P P = dec2mat(lmis,xfeas,P) : Cho dạng tờng minh P 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cở sở phơng trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Mạnh Linh (2006), Tính ổn định ổn định hoá cho lớp hệ động lực phi tun, Ln ¸n tiÕn sü to¸n häc, ViƯn To¸n học [3] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Đình Ph (2001), Lý thuyết ổn định ứng dụng, NXB Đại học quốc gia HCM Tiếng Anh: [5] Anh P K., Hoang D S (2006), Stability of a class of singular difference equations, Int J Difference Equ., 1(2), 181-193 [6] Abou-Kandil H., Freiling G., Ionescu V and Jank G (2003), Matrix Riccati Equations in Control and Systems Theory, Basel, Birkhauser [7] Agarwal R P., Grace S R (2000), Asymptotic stability of certain neutral differential equations, Math Comp Modell., 31, 9-15 [8] Artstein Z (1982), Linear systems with delayed controls: A reduction method, IEEE Tranc Aut Contr., 27, 869-879 [9] Boyd S., El Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Appl Math., SIAM PA, vol.15 [10] Cao D Q., He P and Zhang K (2003), Exponential stability criteria of uncertain systems with multiple time delays, J Math Anal Appl., 283, 362-374 [11] Chen Wu-Hua , Zheng Wei-Xing (2006), On improved robust stabilization of uncertain systems with unknown input delay, Automatica, 42, 1067–1072 [12] Chukwu E.N (1992), Stability and Time-Optimal Control of Hereditary Systems, Academic Press [13] Colaneri P and Geromel J C (2005), Parameter dependent Lyapunov function for time-varying polytopic systems In: Proc Amer Contr Conf., Portland OR, 604-608 49 50 [14] Cong N D (1996), Structural stability of linear random dynamical systems, Ergodic Theory Dynam Systems, 16, 1207-1220 [15] Du N H., Linh V H (2006), On the robust stability of implicit linear systems containing a small parameter in leading term, IMA J Math Control Inform., 23, 67-84 [16] Gibson J S (1983), Riccati equations and numerical approximations SIAM J Contr Optim., 21, 95-139 [17] Hale J and Verduyn Lunel S M (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York [18] He Y., Wu M., She Jin-Hua, Liu Gou-Ping (2004), Parameter-dependent Lyapunov functional for stability of time-delay systems with polytopic-type uncertainties, IEEE Trans Aut Contr., 49, 828-832 [19] Ikeda M., Maeda H., Kodama S.(1972), Stabilization of linear systems, SIAM J Contr 10, 716-729 [20] Jia Y (2003), Alternative proofs for inproved LMI representations for the analysis and the design of continuous-time systems with polytopic type uncertainty: A predective approach IEEE Trans Auto Contr., 48, 1413-1416 [21] Kharitonov V L., Hinrichsen D (2004), Exponential estimates for time delay systems, Systems & Control Letters, 53, 395-405 [22] Kharitonov V L (2004), Lyapunov-Krasovskii functionals for scalar time delay equations, Systems & Control Letters, 51, 133-149 [23] Kolmanovskii V B and Nosov V R (1986), Stability of Functional Differential Equations, Academic Press, London [24] Kwon, W.H., Pearson A.E (1980), Feedback stabilization of linear systems with delayed control, IEEE Trans Aut Contr., 25(2), 266-269 [25] Lakshmikantham V., Leela S and Martynyuk A (1989) Stability Analysis of Nonlinear Systems, Marcel Dekker, New York [26] Laub A J (1979), Schur techniques for solving Riccati equations, IEEE Trans Aut Contr., 24, 913-921 [27] Moon,Y S., PooGyeon Park, Kwon, W H (2001), Robust stabilization of uncertain input delayed systems using redution method, Automatica, 37, 307312 [28] Montagner V and Peres P L D (2004), State feedback gain scheduling for linear systems with time-varying parameters, Proc Amer Contr Conf on Decision and Control, Boston, 2004-2009 51 [29] Mondie S and Kharitonov V L (2005), Exponential estimates for retarded time-delay systems: An LMI Approach, IEEE Trans Aut Contr., 50, 268273 [30] Mori T and Kokame H (2000), A parameter-dependent Lyapunov function for a polytope of matrices, IEEE Trans Aut Contr., 45, 1516-1519 [31] Park J H (2004), Delay-dependent criterion for asymptotic stability of a class of neutral equations, Appl Math Lett., 17, 1203-1206 [32] Park J H., Kwon O M (2006), Robust stabilization criterion for uncertain systems with delay in control input, Appl Math Comput., 172, 1067-1077 [33] Phat V N and Savkin A.V (2002), Robust state estimation for a class of linear uncertain time-delay systems Systems & Control Letters, 47, 237-245 [34] Phat V N (2002), New stabilization criteria for linear time-varying systems with state delay and norm-bounded uncertainties IEEE Trans Aut Contr., 47, 2095-2098 [35] Phat V N., Bay N S and Hoan N T (2003), On the asymptotic stability of time-varying differential equations with multiple delays and applications, Acta Math Vietnamica, 28, 51-64 [36] Phat V N (2006), Global stabilization for linear continuous time-varying systems, Appl Math Comput., 175, 1730-1743 [37] Phat V N and Niamsup N (2006), Stabilization of linear non-autonomous systems with norm bounded controls, J Optim Theory Appl., 131, 135-149 [38] Ramos D C and Peres P L D (2002), An LMI condition for the robust stability of uncertain continuous time linear sysems, IEEE Trans Aut Contr., 47, 675-678 [39] Ren F., Cao J (2006), Novel α-stability of linear systems with multiple time delays, Appl Math Comput., 181, 282-290 [40] Richard Jean-Piere, (2003), Time-delay systems: an overview of some resent advances and open problems, Automatica, 39, 1667-1694 [41] Son N K., Ngoc Pham H A (1999), Stability of linear infinite- dimensional systems under affine and fractional perturbations, Vietnam J Math, 27,153167 [42] Spark A G (1997), Analysis of affinely parameter-varying systems using parameter dependent Lyapunov functions, Proc Conf on Decision and Control, California, USA, 990-991 [43] Sun Y G , Wang L (2006), Note on asymptotic stability of a class of neutral differential equations, Appl Math Lett., 19, 949-953 52 [44] Sun Y J and Hsieh J G (1998), On α-stability criteria of nonlinear systems with multiple delays, J Franklin Inst., 335B, 695-705 [45] Tanaka K., Hori T and Wang H.O (2003), A multiple Lyapunov function approach to stabilization of fuzzy control systems, IEEE Trans Aut Contr., 11, 582-589 [46] Xu B (2003), Stability criteria for linear systems with uncertain delays, J Math Anal Appl., 284, 455-470 [47] Yue D (2004), Robust stabilization of uncertain systems with unknown input delay, Automatica, 40, 331-336 [48] Yue D, Q-L Han (2005), Delayed feedback control of uncertain systems with time-varying input delay, Automatica, 41, 233-240 [49] Yoshizawa T (1966), Stability Theory by Lyapunov Second Method Publication of the Math Soci of Japan, No.9, Tokyo [50] William Thomas R (1972), Riccati Differential Equations, Academic Press, New York ... giới thiệu hai toán lý thuyết điều khiển toán điều khiển đợc toán ổn định hóa đợc cho hệ điều khiển Trong giảng này, bên cạnh việc cố gắng trình bày cách hệ thống rõ ràng kết lý thuyết ví dụ số minh... tác giả qua email: phanthanhnam@qnu.edu.vn Phan Thanh Nam Bình Định, Tháng 12, 2011 Chơng Cơ sở toán học Chơng trình bày số kiến thức toán học cần thiết cho lý thuyết điều khiển Mục 1.1 dành... Bài giảng chuyên đề Lý Thuyết điều khiển đợc biên soạn nhằm giới thiệu cung cấp số kiến thức môn Lý thuyết điều khiển cho sinh viên năm cuối, học viên cao học ngành toán, điều khiển tự động, kỹ