Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 12 π π sin x + ÷ + sin x − ÷ = Câu a) Giải phương trình 4 4 ( y − 2) x + − x y = (1) x + y + = ( y − 3) + x + y − 3x (2) b) Giải hệ phương trình ( c) Cho hàm số ( d) y= ) ( ) x +1 x − có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( d ) đồ thị ( C ) biết cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho AB = 10.OA (với O gốc tọa độ) Câu a) Bạn An có đồng xu mà tung có xác suất xuất mặt ngửa bạn Bình có đồng xu mà tung có xác suất xuất mặt ngửa Hai bạn An Bình chơi trò chơi tung đồng xu đến có người mặt ngửa, mặt ngửa trước thắng p Các lần tung độc lập với bạn An chơi trước Xác suất bạn An thắng q , p q số nguyên dương nguyên tố Tìm q − p n x+ ÷ b) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức x biết nguyên dương thỏa mãn: n số AB = 3, BC = 7, CD = 11, DA = Tính Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + ( n − 1) Cnn−1 + nCnn = 64n Câu a) Trong không gian cho điểm uuur uuur AC.BD b) Cho số thực không âm P= thức Câu 4: ( a + 1) + ( b + 2) + a , b, c A, B, C , D thỏa mãn thỏa mãn a + b2 + c − 3b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu ( c + 3) (4 điểm) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Cho hình chóp vng C S ABC , có SA ( AM = x, ≤ x ≤ a vng góc với mặt phẳng · = 300 AB = 2a, BAC với TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 Gọi M ( ABC ) , SA = 2a tam giác điểm di động AC , đặt ) Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm giá trị x để khoảng cách lớn Lời giải taminhtrangdhsp@gmail.com π π sin x + ÷ + sin x − ÷ = Câu a) Giải phương trình 4 4 Lời giải Tác giả: Tạ Minh Trang; Fb: Minh Trang π π sin x + ÷ + sin x − ÷ = 4 4 ⇔ sin x + cos 2x − + ( sin x − cos x ) = ⇔ 2sin x cos x − 2sin x + ( sin x − cos x ) = ⇔ 2sin x ( cos x − sin x ) + ( sin x − cos x ) = ( ABC ) ⇔ ( cos x − sin x ) 2sin x − = π x = + kπ π sin x − ÷ = cos x − sin x = 4 π ⇔ ⇔ ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) 2sin x − = sin x = x = 2π + k 2π Vậy phương trình có họ nghiệm anhtu82t@gmail.com x= π π 2π + kπ ; x = + k 2π ; x = + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 ( y − 2) x + − x y = (1) x + y + = ( y − 3) + x + y − 3x (2) b) Giải hệ phương trình ( ) ( ) Lời giải Tác giả: Đồng Anh Tú ; Fb: AnhTu Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 x ≥ −1 y ≥ ĐK: x + y − 3x ≥ a = x + Đặt b = y , (a ≥ 1, b ≥ 0) , ta x = a − y = b Khi phương trình (1) trở thành ( b − 2) a − b ( a − 2) = ⇔ ab ( b − a ) + ( b − a ) = ⇔ ( b − a ) ( ab + 2) = ⇔ a = b 2 ab + > ) nên (do x+1 ( Xét hàm số Ta có ( x + 1) + ) = ( x − 1) ( f (t ) = t + + t đồng biến (3) ⇔ f ( ¡ ( ) ( x − 1) 1+ +1 ) (3) ) ¡ , ta có f ' ( t ) = 1+ 1+ t + t2 1+ t > 0, ∀ t ∈ ¡ , hàm ) x + = f ( x − 1) ⇔ x ≥ ⇔ x − 3x = ⇔ Với ( ) ( f ( t) ⇔ x + = y ⇔ x + = y Thay vào phương trình (2), ta x + + = ( x − 1) + x − x + ⇔ x + 1+ số PT (1) x ≥ ⇔ x + = x − x + = x2 − 2x + x = x = ⇒ y = , ta thấy x = 3, y = thỏa mãn điều kiện Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;5) Nhận xét: Ta biến đổi phương trình (1) theo hướng khác sau: Từ PT(2), ta có y ≥ , nên PT(1) ⇔ y− x = y x + (4) , ta có đặt y − = a , a x = ta a + x + , từ suy ta a = x hay y = x + c) Cho hàm số y= x > Xét hàm số g ( t) = a ≥ thay vào (4), t t + đồng biến [ 0;+ ∞ ) , x +1 x − có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( d ) đồ thị ( C ) biết ( d ) cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho AB = 10.OA (với O gốc tọa độ) Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Điều kiện xác định: y′ = Ta có Tam giác −3 ( x − 1) OAB x≠ TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 < 0, ∀ x ≠ vuông nên tiếp tuyến ( C ) ln có hệ số góc âm O mà AB = 10.OA từ ta có OB = 3OA OB · k = − tan OAB = − = −3 Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ( d ) Khi ta có k < nên OA Gọi m hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến ( d ) với đồ thị ( C) m = = − ⇔ m = Ta có ( 2m − 1) − +) Nếu m = , tiếp điểm tiếp tuyến ( d ) với đồ thị ( C ) M ( 0; − 1) Phương trình +) Nếu ( d) là: y = − ( x − ) − ⇔ y = − 3x − m = , tiếp điểm tiếp tuyến ( d ) với đồ thị ( C ) N ( 1;2 ) Phương trình ( d) là: Vậy có hai tiếp tuyến y = − ( x − 1) + ⇔ y = − 3x + ( C) cần tìm y = − 3x − y = − 3x + Manhsang12.1@gmail.com Câu a) Bạn An có đồng xu mà tung có xác suất xuất mặt ngửa bạn Bình có đồng xu mà tung có xác suất xuất mặt ngửa Hai bạn An Bình chơi trò chơi tung đồng xu đến có người mặt ngửa, mặt ngửa trước thắng p Các lần tung độc lập với bạn An chơi trước Xác suất bạn An thắng q , q số nguyên dương nguyên tố Tìm p q− p Lời giải Giả sử bạn An thắng lần gieo thứ lần n , n ∈ ¥ , n ≥ bạn An bạn Bình tung đồng xu n − Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 n −1 n −1 n −1 2 3 1 ữ ì ữ ì = × ÷ trước sấp, xác suất để điều xảy 5 3 5 Do n tiến tới dương vô cùng, nên áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có xác suất để An m p 2 2 = ×1 + + ÷ + L + ÷ + L 5 thắng là: q ; m ∈ N * m 2 2 S = 1+ + ÷ + L + ÷ + L Trong tổng cấp số nhân vơ hạn với số hạng đầu u1 = 5 5 công bội q0 = nên S= 1− = p 1 = = q 1− , suy q = ; p = suy q − p = − = Từ n x + ÷ b Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức x biết dương thỏa mãn: n số nguyên Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + ( n − 1) Cnn−1 + nCnn = 64n Lời giải ( 1+ x) Xét khai triển n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x3 + + Cnn− 1x n− + Cnn x n (1) (n ∈ N * ) Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: n ( 1+ x) n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x + + (n − 1)Cnn −1 x n − + nCnn x n−1 (2) x = vào (2) ta được: Thay n.2n−1 = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + ( n − 1) Cnn−1 + nCnn Từ giả thiết Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + ( n − 1) Cnn−1 + nCnn = 64n 64n = n.2n− ⇔ 26 = 2n− ⇔ = n − ⇔ n = Ta có: (thỏa mãn n ∈ N * ) x+ ÷ Số hạng tổng quát khai triển x là: T=C Để T k ( x) chứa 7−k x k k −2 k − k4 k 14−43k ÷ = k C7 x x = k C7 x ;0 ≤ k ≤ 7, k ∈ N 2 x ta cần tìm số k 14 − 3k = 2⇔ k = cho ≤ k ≤ 7, k ∈ N (thỏa mãn) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 21 C = Vậy hệ số số hạng chứa x là: 2 Câu A, B, C , D a) Trong không gian cho điểm uuur uuur AC.BD AB = 3, BC = 7, CD = 11, DA = Tính thỏa mãn Giải Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC.BD = AB + BC + AD + DC BD uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AB + AD BD + BC + DC BD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AB + AD AD − AB + BC + DC BC − DC ( ( ( ) )( ) ( ) ( ) )( ) = AD − AB + BC − DC Thay số vào ta uuur uuur AC.BD = b) Cho số thực không âm P= thức ( a + 1) + ( b + 2) Với số thực dương + a, b, c thỏa mãn a + b2 + c − 3b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu ( c + 3) Lời giải x, y, z, t , ta có: 2 64 = 1 1 1 1 1 16 + + + ≥ + + + ÷ ≥ ÷ ( x + y + z + t) x2 y z t x y z t 4 x+ y+ z+t Dấu đẳng thức xảy P= Ta có: ( a + 1) + ( b + 2) + x= y = z = t ( c + 3) = ( 2a + ) + ( b + 2) + ( c + 3) 1 1 = 4 + + + 2 2 ( 2a + ) ( b + ) ( c + 3) ( c + 3) 64 256 ≥ = 2 ( 2a + + b + + c + + c + 3) ( 2a + b + 2c + 10 ) Theo giả thiết, ta có: a + b + c − 3b ≤ Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm, ta có: < 2a + b + 2c + 10 = 2a + 4b + 2c + 10 − 3b ≤ ( a + 1) + ( b + ) + ( c + 1) + 10 − 3b = a + b + c − 3b + 16 ≤ 16 ⇒ < ( 2a + b + 2c + 10 ) ≤ 256 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC P≥ Suy ra: TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 256 ( 2a + b + 2c + 10) ≥ 2a + = b + = c + ⇔ a + b + c − 3b = a = c = ⇔ a = 1; b = 2; c = Dấu đẳng thức xảy b = Vậy P = Bài tập tương tự: (Lê Cảnh Dương-sưu tầm) Cho a,b,c số thực không âm không đồng thời thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b2 + c2 ≤ 6b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + + ( a + b + c ) ( b + 11) ( c + ) Lời giải P= Ta có: ( a + b + c) + ( b + 11) + ( c + 6) = ( 2a + 2b + 2c ) + ( b + 11) + ( 2c + 12 ) 1 1 = 4 + + + 2 2 ( 2a + 2b + 2c ) ( b + 11) ( b + 11) ( 2c + 12 ) 64 256 ≥ = 2 ( 2a + 2b + 2c + 2b + 22 + 2c + 12 ) ( 2a + 4b + 4c + 34 ) Theo giả thiết, ta có: a + b + c − 6b ≤ Áp dụng BĐT Cơ-si cho số khơng âm, ta có: < 2a + 4b + 4c + 34 = 2a + 10b + 4c + 34 − 6b ≤ ( a + 1) + ( b + 25 ) + ( c + ) + 34 − 6b = a + b + c − 6b + 64 ≤ 64 ⇒ < ( 2a + 4b + 4c + 34 ) ≤ 642 P≥ Suy ra: 256 ( 2a + 4b + 4c + 34 ) ≥ 256 = 642 16 2a + 2b + 2c = b + 11 = 2c + 12 a = 2 ⇔ a + b + c − 6b = ⇔ b = a = 1; b = 5; c = c = Dấu đẳng thức xảy Vậy P = 16 Câu 4:(4 điểm) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Cho hình chóp C với S ABC , có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a · = 300 Gọi AB = 2a, BAC M khoảng cách từ TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 S đến BM theo tam giác ABC vuông AC , đặt AM = x, ( ≤ x ≤ a ) Tính điểm di động a x Tìm giá trị x để khoảng cách lớn Lời giải Cách *) Gọi H hình chiếu vng góc S lên BM Khi độ dài SH khoảng cách từ S đến BM SH ⊥ BM ⇒ BM ⊥ ( SAH ) ⇒ BM ⊥ AH Ta có: SA ⊥ BM Do hai tam giác AHM BCM AH AM AM BC = ⇒ AH = đồng dạng nên BC BM BM 2 AM = x, BC = AB.sin300 = a, BM = ( 2a ) + x − 2.2a.x.cos30 = 4a + x − 3ax Mà ax ⇒ AH = 4a + x − 3ax ; SH = SA2 + AH = a x − 3ax + 16a x − 3ax + 4a x − 3ax + 16a ⇒ SH = a x − 3ax + 4a *) Do SA cố định nên SH lớn AH lớn a2 x2 AH = Ta có x − 3ax + 4a TH1: x = ⇒ AH = a2 x ≠ ⇒ AH = a a2 1− + TH2: x x Do AH lớn hàm số f ( t ) = 4t − 3t + nhỏ nhất, với Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! t= a t≥ x ( ) Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Mà f ' ( t ) = 8t − > 0, ∀t ≥ TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 3 t = , nên f ( t ) đạt giá trị nhỏ , tức x = a , AH = a Từ hai trường hợp ta kết luận SH lớn x= a Cách Ta có AC = AB.cos30o = a Trong không gian, chọn hệ trục tọa độ ( ) S 0; a 3;2a Khi ( M 0; a − x;0 Oxyz cho ( ) C ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , A 0; a 3;0 , ) Ta có: uuur uuuur BS = − a; a 3; 2a , BM = − a; a − x;0 uuur uuuur ⇒ BS , BM = − 3a + 2ax; − 2a ; − ax uuur uuuur BS , BM x − 3ax + 16a ⇒ d ( S ; BM ) = =a uuuur x − 3ax + 4a BM ( ( Từ đây, xét hàm số giá trị lớn Cách 3: Dễ thấy ) f ( x) = ( ) ) x − 3ax + 16a x − 3ax + 4a với ≤ x ≤ a , ta suy d ( S ; BM ) đạt x= a SH ≤ SM ≤ SC ⇒ SH lớn SC , vị trí M trùng với C , tức x = a Đây toán cực trị dừng lại mức trung bình thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Mời bạn đọc tham khảo toán Bài tập tương tự Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Cho hình chóp S ABCD ( có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ) TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 · = 600 BAC cạnh SA = a vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M điểm di động đoạn AB AM = x , ≤ x ≤ a , K hình chiếu S DM Tính độ dài đường SK theo a x Tìm giá trị lớn đoạn SK Đề thi HSG 11 THPT Nho Quan A, Ninh Bình năm 2018 – 2019 Cho hình chóp S ABCD ( có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh ) SA = a vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M điểm di động đoạn BC BM = x , K hình chiếu S DM Tính độ dài đoạn SK theo a x Tìm giá trị nhỏ đoạn SK Đề thi HSG 11 Nghệ An năm 2017 – 2018 Cho hình chóp ( S ABCD ) SD = x < x < a Tìm có đáy ABCD hình thoi cạnh a, x theo a để tích SD.AC SA = SB = SC = a đạt giá trị lớn Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 10 Mã đề X Đặt ... Đây toán cực trị dừng lại mức trung bình thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Mời bạn đọc tham khảo toán Bài tập tương tự Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! ... xu n − Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 n −1 n −1 n −1 2 ... (thỏa mãn) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019 21 C = Vậy hệ số số hạng