Đề thi học sinh giỏi Tỉnh Bến tre 13 14

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Câu (5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A =  x  18  x + 18  x + x  18 với x  18 b) Cho x   13 Tính giá trị biểu thức: B= Câu (4 điểm) 15  x  y 2  17  x  y    x  y 2   Giải hệ phương trình :  x  3y  5  x  3y  Câu (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  y  13( x  y)  Câu (3 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh: MN MN   AB CD b) Biết S AOB  m ; SCOD  n Tính S ABCD theo m n (với S AOB , S COD , S ABCD diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD) Câu (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O  ACB  450 Kẻ đường cao AA’ BB’ Gọi H trực tâm tam giác ABC, M N tương ứng trung điểm AB CH a) Chứng minh A’MB’N hình vng b) Chứng minh A’B’, MN, OH đồng quy HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn: TỐN Câu 1a Nội dung Điểm (2,5đ) Rút gọn biểu thức: A=  x  18  x + 18  x + x  18 với x  18 Ta có : A2 =  x - 18 - x + 18  =  2x - x -18 x +    x + x -18   x -18  A = x - 18 + x + 18 - x -18 x + x -18 A2 A = x - x +18  0.5  0.5 0.25 0.5 A = 36 Nhưng theo giả thiết ta thấy A=  x - 18 - x + 18  x + x -18 x   13  (2 x  5)  13 0.5  x2  5x   0.5 B= B= x – x  x    x3 – x  x    3x – 15 x    2014 0.5 B= B = 2014 Giải hệ phương trình : 0.5 0.5 (4đ) Ghi 15  x  y 2  17  x  y    x  y 2    x  y    x  3y  15  x  y 2  17  x  y    x  y 2   I   x  y    x  3y  * Điều kiện xác định : x  y 0.25 540 y   y 0    Nếu x  3 y  I     1 : hệ PT (   y    2y  10  0.5 I ) vô nghiệm Nếu x  3y Chia vế phương trình (1) cho  x  3y  x  3y  Ta có : 15  x  y 2  17  x  y    x  y 2    x  3y  5  x  3y  x  3y  x  3y 15 x  y  17  x  y  (*)    x  3y   (**)  x  3y Đặt t  0.5 x  3y x  3y *  15t  17  4t    t  43  t  15    t  34 Ê; t= 51 + Với t        x  3y   x  21 y x  3y 0.25 0.25 Thay vào (**) Ta có : 18 y  1   y   ;y  8y 36 0.25 21 ( thỏa mãn ĐKXĐ) 4 1  Với y   x  ( thỏa mãn ĐKXĐ) 36 12 1 x  y 1 + Với t    x  y Thay vào (**) Ta x  3y  Với y    x  0.25 0.25 0.25 có : 5y   y  1  y   10 85    y   85  10 1 85  x   85 ( thỏa mãn ĐKXĐ) 10 1  Với y   85  x   85 ( thỏa mãn ĐKXĐ) 10  Với y   0.25 0.25 0.25  21 1   1  Vậy hệ phương trình có nghiệm :  ;  ,  ;  ,  4   12 36      1 1 85;  85  ,   85;  85  1  10 10     0.5 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: (3đ) 2 x  y  13( x  y )  x  y  13( x  y)   ( x  y)  ( x  y )  2.13( x  y)  132  169 1.0  ( x  y)  (13  x  y)  169  12  52 0.5 0.5 Vì x, y      x  y  13,  13  x  y  13  x  y  12  x y 5   13  x  y  12 13  x  y   x  10 x    y   y2 Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N 0.5 0.5 (3đ) a) Chứng minh: MN MN   AB CD b) Biết S AOB  m ; SCOD  n Tính S ABCD theo m n (với S AOB , S COD , S ABCD diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD) Hình vẽ A M B N O D 4a) Ta có MO MO AM  MD AD    1 CD AB AD AD NO NO Tương tự , ta có  1 CD AB (1) (2) suy 4b) 0.5 MO AM MO MD  ;  CD AD AB AD Suy Suy C (1) 0.5 (2) 0.25 MO  NO MO  NO  2 CD AB MN MN  2 CD AB S AOB OB S AOD OA  ;  ; S AOD OD SCOD OC OB OA S S   AOB  AOD OD OC S AOD S COD  S AOD  m n2  S AOD  m.n Tương tự S BOC  m.n Vậy S ABCD  m  n  2mn  (m  n ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O  ACB  45 Kẻ đường cao AA’, BB’ Gọi H trực tâm 5a tam giác ABC, M N tương ứng trung điểm AB CH a) Chứng minh A’MB’N hình vng b) Chứng minh A’B’, MN, OH đồng quy Hình vẽ 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 (5đ) C N A' O B' A H B M AB (1) NA’ = NB’ = CH (2) Mặt khác,  ACB  450 nên CAA ' BA ' H vuông cân nên CA ' H  AA ' B(c.g c )  CH  AB  NA '  MA ' (3) '  MA   Mà  NA ' C  NCA A '  MA 'A   MA 'N   AA ' C  90 (4) Từ (1), (2), (3) (4) suy A’MB’N hình vng (*) Ta có MA’ = MB’ = 5b Do O A’ thuộc đường trung trực cạnh AC Nên OA '  AC  OA '  B ' H (5) Tương tự, ta có OB '  A ' H (6) Từ (5) (6) suy A’HB’O hình bình hành (**) Từ (*),(**) suy A’B’, OH, MN cắt trung điểm đường 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2 013 – 2 014 Mơn: TỐN Câu 1a Nội dung Điểm (2,5đ) Rút gọn biểu... y  13( x  y )  x  y  13( x  y)   ( x  y)  ( x  y )  2 .13( x  y)  132  169 1.0  ( x  y)  (13  x  y)  169  12  52 0.5 0.5 Vì x, y      x  y  13,  13  x  y  13 ... = 36 Nhưng theo giả thi t ta thấy A=  x - 18 - x + 18  x + x -18 x   13  (2 x  5)  13 0.5  x2  5x 