DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN THỊ VÂN ANH DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Đình Kế Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Minh Trí, Viện hàn lâm khoa học công nghệ Việt Nam, Viện toán học Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy, Trường Đại học Thương mại Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu lí chọn đề tài Lý thuyết định tính phương trình vi phân (ODE) lý thuyết toán học đời phát triển từ sớm, cung cấp cho mơ hình diễn tả trình chuyển động tự nhiên kĩ thuật Trong vài thập kỉ cuối kỉ XX, phương trình vi phân mở rộng lên phương trình vi phân đại số thu nhiều đóng góp lớn nhà tốn học Theo đó, phương trình vi phân đại số (DAE) khái quát hóa tốn học tượng nghiên cứu tốn hệ thống mạng điện, hệ học có ràng buộc, phản ứng hóa học, mà tham số phương trình vi phân thường khơng đủ để mô tả Tuy nhiên, nghiên cứu hệ động lực tiếp xúc có ma sát vật thể đa diện hay hệ lai ghép học, ODE DAE lại trở nên hạn chế, phát sinh điều kiện ràng buộc nằm dạng bất đẳng thức (ràng buộc phía), điều kiện ngắt quãng học tiếp xúc tốn kĩ thuật chuyển mạch Chính vậy, việc nghiên cứu mơ hình vi phân với ràng buộc thỏa mãn yêu cầu từ thực tiễn đòi hỏi nhà toán học khảo sát lớp toán rộng hơn: Bất đẳng thức vi biến phân, bao gồm lớp toán quan trọng hệ bù vi phân Thuật ngữ Bất đẳng thức vi biến phân (Differential variational inequality DVI) sử dụng lần Aubin Cellina năm 1984 sách chuyên khảo bao hàm thức vi phân Trong tác giả xét toán   ∀t ≥ 0, x(t) ∈ K, (1) supy∈K x (t) − f (x(t)), x(t) − y = 0,  x(0) = x0 , với K tập lồi, compact khác rỗng Rn Bằng việc sử dụng hàm nón pháp tuyến tập K , toán đưa bao hàm thức vi phân f (t) ∈ F (x(t)), x(0) = x0 Từ đó, tác giả sử dụng cơng cụ giải tích đa trị để nghiên cứu tính giải tốn (1) Đến năm 1997, toán bất đẳng thức vi biến phân mở rộng Avgerinous Papageorgiou Hai nhà tốn học nghiên cứu nghiệm tuần hồn cho lớp DVI tập lồi, đóng, compact K biến thiên theo thời gian t −x (t) ∈ NK(t) (x(t)) + F (t, x(t)), h.k.n t ∈ [0, b], x(0) = x(b) NK(t) (x(t)) nón pháp tuyến tập lồi K(t) điểm x(t) Một cơng trình có ý nghĩa tiên phong nghiên cứu DVIs cách có hệ thống nhóm tác giả J.S Pang D.E Stewart năm 2008 Bằng việc xem xét bất đẳng thức vi biến phân mơ hình kết hợp phương trình vi phân có ràng buộc thỏa mãn bất đẳng thức biến phân, DVIs cho phép mô tả trình có kết hợp hai yếu tố: yếu tố động lực yếu tố ràng buộc dạng biến phân Bài toán DVIs phát biểu tổng quát với mơ hình cụ thể sau: Tìm hàm liên tục tuyệt đối x(·) cho tồn hàm khả tích u(·) thỏa mãn hệ: x (t) = f (t, x(t), u(t)), v − u(t), F (t, x(t), u(t) ≥ 0, h.k.n t ∈ [0, T ]; ∀v ∈ K (2) (3) Đặt SOL(K, φ) tập nghiệm toán biến phân v −u, φ(u) ≥ 0, ∀v ∈ K Khi ta chuyển (2.1)-(2.2) dạng x (t) = f (t, x(t), u(t)), u(t) ∈ SOL(K, F (t, x(t), ·)) Điều kiện biên tổng quát hóa phương trình đại số Γ(x(0), x(T )) = 0, (4) cho phép đo mối liên hệ giá trị biên Bài toán giá trị ban đầu trường hợp riêng toán có điều kiện biên tổng quát Một lớp toán quan trọng sinh từ DVIs tốn bù vi phân (DCP), K = C xét nón với đối ngẫu C ∗ , bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.2) viết dạng x (t) = f (t, x(t), u(t)), C u(t) ⊥ F (t, x(t), u(t)) ∈ C ∗ Với cơng trình này, tác giả rõ tầm quan trọng bất đẳng thức vi biến phân nhiều lĩnh vực: động lực học tiếp xúc (Contact Dynamics), mạng điện (Electric Circuit), động lực học kinh tế (Economic Dynamics), tốn trò chơi vi phân Nash Bằng việc khái quát DVI (2.1)-(2.2), J.S Pang D.E Stewart đưa DVI trở thành mơ hình tổng qt nhiều tốn quan trọng nghiên cứu trước phương trình vi phân đại số, tốn bù vi phân, bất đẳng thức biến phân tiến hóa, Từ sau cơng trình J.S Pang D.E Stewart, có nhiều nghiên cứu sâu DVI Các bất đẳng thức vi biến phân trở thành vấn đề mở thu hút quan tâm nhiều nhà toán học với nghiên cứu ứng dụng Cơng trình Liu cộng năm 2013 nghiên cứu tốn tồn tính rẽ nhánh tồn cục nghiệm tuần hoàn cho lớp bất đẳng thức vi biến phân không gian Euclide hữu hạn chiều phương pháp bậc tô-pô cho ánh xạ đa trị Một số kết tính giải điều kiện rẽ nhánh cho DVIs tham khảo cơng trình Cùng với nghiên cứu áp dụng kết lý thuyết hàm Gwinner thu (2013) tính ổn định cho lớp DVI, cụ thể sử dụng phương pháp đánh giá đơn điệu kĩ thuật hội tụ Mosco Các ứng dụng cụ thể tốn thực tế có mơ hình dạng DVI nhà toán học quan tâm, có cơng trình Chen Wang (2014) sử dụng mơ hình DVI tổng qt để khảo sát toán cân Nash động với ràng buộc chia sẻ Liên quan đến ứng dụng mơ hình trò chơi vi phân Nash, mơ hình mở rộng từ toán cân Nash Chú ý rằng, trường hợp cân Nash, phải giải toán điều khiển tối ưu thiết lập hàm quan sát riêng lẻ (tương ứng cho đối tượng đưa định) Tuy nhiên thực tế, có tình đòi hỏi phải có nhiều đối tượng tham gia định, theo phương án quan sát cố gắng đạt trạng thái tối ưu thỏa mãn ràng buộc dạng phương trình vi phân Từ đó, lý thuyết trò chơi vi phân đời mà mơ hình hóa tốn học DVIs Ngồi kể đến ứng dụng DVIs cho hệ kỹ thuật lai ghép với cấu trúc biến thiên, động lực học chất rắn với tiếp xúc ma sát, mạch điện có diode, Bên cạnh ứng dụng phong phú vừa kể đến DVI hữu hạn chiều, việc xét toán DVI khơng gian vơ hạn chiều giữ vai trò quan trọng (mà ứng dụng mơ hình đạo hàm riêng cụ thể) Điều hoàn toàn tự nhiên toán nảy sinh kĩ thuật, nghiên cứu giải phẫu, hệ động lực kinh tế khoa học vật lý mô tả phương trình/hệ phương trình đạo hàm riêng Luận án đề cập đến vấn đề quan trọng liên quan đến hệ động lực liên kết với VIs, nghiên cứu dáng điệu hàm trạng thái hệ biến thời gian đủ lớn Các kết theo hướng cho DVIs chưa biết đến nhiều Kết gần dáng điệu nghiệm cho DVIs không gian hữu hạn chiều cơng bố số cơng trình, Liu (2013), Loi (2015) Còn nhiều câu hỏi mở đặt nghiên cứu định tính với DVIs, bao gồm: tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, tồn tập hút toàn cục cho hệ động lực sinh DVIs, lớp nghiệm đặc biệt DVIs nghiệm dao động, nghiệm phân rã, Đặc biệt, DVIs không gian vô hạn chiều vấn đề mới, có tính thời Khó khăn nghiên cứu DVIs vơ hạn chiều nằm việc xác định tính giải bất đẳng thức biến phân (VI) kèm, sau việc xác định tính chất ánh xạ nghiệm Nếu ánh xạ nghiệm khơng có tính quy, việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm cho hệ DVI khơng khả thi Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu luận án 2.1 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu vấn đề định tính số lớp DVIs, bao gồm tính giải được, dáng điệu nghiệm thơng qua lý thuyết tập hút tồn cục lớp nghiệm đặc biệt nghiệm phân rã 2.2 Đối tượng nghiên cứu: Trong luận án này, tác giả xét ba lớp toán: ∗ Lớp thứ nhất: Bất đẳng thức vi biến phân không gian hữu hạn chiều ∗ Lớp thứ hai: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic không gian vô hạn chiều ∗ Lớp thứ ba: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic không gian vô hạn chiều 2.3 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu luận án thể thông qua nội dung sau ∗ Nội dung 1: Sự tồn nghiệm bất đẳng thức vi biến phân ∗ Nội dung 2: Sự tồn nghiệm phân rã bất đẳng thức vi biến phân ∗ Nội dung 3: Sự tồn tập hút tồn cục cho nửa dòng đa trị liên kết với bất đẳng thức vi biến phân Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng cơng cụ giải tích đa trị, lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết điểm bất động để thực nội dung nghiên cứu nêu Ngoài nội dung cụ thể sử dụng số kỹ thuật tương ứng: • Nghiên cứu tính giải toán phi tuyến: Phương pháp ước lượng theo độ đo khơng compact • Nghiên cứu tồn nghiệm phân rã cho lớp bất đẳng thức vi biến phân: sử dụng định lý điểm bất động cho ánh xạ nén • Nghiên cứu tồn tập hút toàn cục theo lược đồ Melnik Valero Cấu trúc kết luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình cơng bố danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bất đẳng thức vi biến phân không gian hữu hạn chiều • Chương 3: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic khơng gian vơ hạn chiều • Chương 4: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic không gian vô hạn chiều Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại kết biết sử dụng luận án 1.1 NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ Trong mục này, nhắc lại số khái niệm tính chất liên quan đến nửa nhóm tham số bao gồm nửa nhóm tuyến tính, nửa nhóm phi tuyến 1.1.1 Nửa nhóm tuyến tính 1.1.2 Nửa nhóm phi tuyến 1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm độ đo không compact số ước lượng liên quan đến độ đo không compact Hausdorff 1.3 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 1.3.1 Một số vấn đề giải tích đa trị Trình bày số khái niệm kết giải tích đa trị Trong có khái niệm hàm chọn hàm đa trị, tồn hàm chọn số kết then chốt 1.3.2 Ánh xạ nén số định lí điểm bất động Trong mục này, chúng tơi trình bày nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén 1.4 TẬP HÚT TỒN CỤC CỦA NỬA DỊNG ĐA TRỊ Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm nửa dòng đa trị tập hút tồn cục cho nửa dòng đa trị theo lược đồ Melnik Valero (1998) 1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Trong mục này, đưa số bất đẳng thức thường dùng bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức Halanay, không gian hàm sử dụng luận án, bao gồm không gian hàm liên tục, không gian Sobolev, không gian hàm phụ thuộc thời gian, Chương BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Trong chương này, nghiên cứu lớp bất đẳng thức vi biến phân không gian hữu hạn chiều Theo đó, mơ hình bất đẳng thức vi biến phân thiết kế bất đẳng thức biến phân liên kết với hệ động lực nửa tuyến tính có trễ Chúng dáng điệu nghiệm thông qua việc chứng minh tồn nghiệm phân rã cấp độ mũ tồn tập hút toàn cục nửa dòng đa trị sinh hệ động lực liên kết với bất đẳng thức vi biến phân Nội dung chương dựa kết báo số [1] Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án 2.1 Đặt toán Ta xét bất đẳng thức vi biến phân có dạng sau: x (t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), xt )u(t), t ∈ J = [0, T ], v − u(t), F (x(t)) + G(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ K, với hầu khắp t ∈ J, x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0], (2.1) (2.2) (2.3) x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ K với K tập lồi đóng khơng gian Rm , xt hàm trễ trạng thái; A, B, F, G h ánh xạ cho trước 2.2 Sự tồn nghiệm Kí hiệu J = [0, T ], CT = C([0, T ]; Rn ), Cτ = C([−τ, 0]; Rn ), C = C([−τ, T ]; Rn ) Chúng đưa giả thiết sau để nghiên cứu tồn nghiệm tốn (H1) Tốn tử A tuyến tính Rn (H2) Ánh xạ B : Rn × Cτ → Rn×m liên tục cho tồn số dương ηB , ζB thỏa mãn: B(v, w) ≤ ηB ( v + w Cτ ) + ζB , với v ∈ Rn , w ∈ Cτ (H3) Hàm F : Rn → Rm liên tục tồn số ηF dương cho F (v) ≤ ηF với v ∈ Rn (H4) Hàm số G : K → Rm liên tục thỏa mãn 1) G đơn điệu K , nghĩa là: u − v, G(u) − G(v) ≥ 0, ∀u, v ∈ K; 2) tồn v0 ∈ K cho lim v∈K, v →∞ v − v0 , G(v) > v (H5) Hàm h : Rn → Rn liên tục cho tồn số dương ηh , ζh thỏa mãn h(u) ≤ ηh u + ζh , ∀u ∈ Rn Định nghĩa nghiệm toán (2.1)-(2.3) cho Định nghĩa 2.1 Cặp hàm (x, u) x : [−τ, T ] → Rn hàm liên tục tuyệt đối u : [0, T ] → K hàm khả tích gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1)-(2.3) t x(t) = etA ϕ(0) + t e(t−s)A B(x(s), xs )u(s)ds + e(t−s)A h(x(s))ds, t ∈ J, v − u(t), F (x(t)) + G(u(t)) ≥ 0, với hầu khắp t ∈ J với v ∈ K, x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0] Ta sử dụng kí hiệu cho tập nghiệm bất đẳng thức biến phân: SOL(K, Q) = {v ∈ K : w − v, Q(v) ≥ 0, ∀w ∈ K}, (2.4) Q : Rm → Rm ánh xạ cho trước Bổ đề 2.1 Giả sử điều kiện (H4) thỏa mãn Khi với z ∈ Rm , tập nghiệm SOL(K, z + G(·)) khác rỗng, lồi compact Hơn nữa, tồn số ηG > cho v ≤ ηG (1 + z ), ∀v ∈ SOL(K, z + G(·)) (2.5) Đặt U (z) = SOL(K, z + G(·)), z ∈ Rm Khi theo bổ đề 2.1 tốn tử U : Rm → P(Rm ) có giá trị lồi, đóng có tính chất nửa liên tục Bây ta định nghĩa Φ : Rn × Cτ → P(Rn ) sau: Φ(v, w) = {B(v, w)y + h(v) : y ∈ U (F (v))} (2.6) Khi ánh xạ đa trị hợp thành Φ có tính chất nửa liên tục Từ thiết lập trên, bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) chuyển bao hàm thức vi phân sau x (t) ∈ Ax(t) + Φ(x(t), xt ), t ∈ J, x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0], u(t) ∈ U (x(t)) (2.7) (2.8) (2.9) Kí hiệu PΦ (x) = {f ∈ L1 (J; Rn ) : f (t) ∈ Φ(x(t), xt )}, với x ∈ C (2.10) Cho y ∈ CT ϕ ∈ Cτ , ta định nghĩa hàm y[ϕ] ∈ C sau y[ϕ](t) = y(t), t ∈ [0, T ], ϕ(t), t ∈ [−τ, 0] Xét toán tử không gian hàm xây dựng nửa nhóm sinh A W : L1 (J; Rn ) → CT t e(t−s)A f (s)ds W(f )(t) = (2.11) Với ϕ ∈ Cτ cho trước, ta định nghĩa toán tử nghiệm F : CT → P(CT ) sau F(y)(t) = {etA ϕ(0) + W(f )(t) : f ∈ PΦ (y[ϕ])}, t ∈ J Nhận xét y ∈ CT điểm bất động ánh xạ F y[ϕ] nghiệm (2.1)-(2.3) Bổ đề 2.2 Với giả thiết (H2)-(H5), ánh xạ PΦ xác định có tính chất nửa liên tục yếu Dựa kết Bổ đề 2.1, ta có Φ(v, w) ≤ ηG (1 + ηF )[ηB ( v + w Cτ ) + ζB ] + η h v + ζh (2.12) Bổ đề 2.3 Toán tử W xác định (2.11) toán tử compact Bổ đề 2.4 Giả sử điều kiện (H1)-(H5) thỏa mãn Khi tốn tử nghiệm F compact có đồ thị đóng Định lí 2.1 Giả sử (H1)-(H5) thỏa mãn Khi tốn (2.7)-(2.8) có nghiệm [−τ, T ] Hơn nữa, tập nghiệm (2.7)-(2.8) tập compact C Từ suy tính giải bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) C × L1 ([0, T ]; K) 2.3 Sự tồn nghiệm phân rã Trong phần này, chúng tơi chứng minh tốn có nghiệm phân rã với tốc độ mũ Với số dương γ hàm ϕ ∈ Cτ , kí hiệu Bϕγ (R) = {x ∈ C([0, ∞); Rn ) : x(0) = ϕ(0), eγt x(t) ≤ R với t ≥ 0} Khi đó, Bϕγ (R) với chuẩn supremum · BC khơng gian đóng BC([0, ∞); Rn ) Bϕγ (R) không gian hàm phân rã tốc độ mũ BC([0, ∞); Rn ) Ta xét toán tử nghiệm F Bϕγ (R) Để đưa tồn nghiệm có tính phân rã, giả thiết (H1), (H2) (H5) thay giả thiết mạnh hơn: 11 Chương BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic (DVI-PE) không gian vô hạn chiều Kết thu bao gồm tính giải tồn tập hút tồn cục cho nửa dòng đa trị sinh DVI-PE Nội dung chương trình bày dựa báo số [2] danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN Cho (X, · X ) không gian Banach (U, · U ) không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu U ∗ , xét toán sau x (t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), x(t) ∈ X, t ≥ 0, B(u(t)) + ∂φ(u(t)) g(x(t), u(t)), u(t) ∈ U, t ≥ 0, x(0) = ξ, (3.1) (3.2) (3.3) x hàm trạng thái lấy giá trị X , u hàm điều khiển lấy giá trị U , φ : U → R hàm lồi thường, nửa liên tục 3.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Sau đây, chúng tơi đưa giả thiết cho tốn (3.1) - (3.3) (A) Toán tử A toán tử sinh C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 (B) Tốn tử B : U → U ∗ xác định u, Bv = b(u, v), ∀u, v ∈ U, b : U × U → R hàm song tuyến tính U × U cho tồn số dương ηB thỏa mãn b(u, u) ≥ ηB u 2U , ∀u ∈ U (F) Ánh xạ đa trị F : X ×U → P(X) nửa liên tục với giá trị lồi, compact Hơn (1) Nếu nửa nhóm S(·) khơng có tính compact, F thỏa mãn ước lượng theo độ đo χ(F (C, D)) ≤ pχ(C) + qU(D) với tập bị chặn C ⊂ X D ⊂ U , p, q số dương; χ U độ đo không compact Hausdorff không gian X U 12 (2) Tồn số dương a, b, c cho F (x, u) := sup{ ξ X : ξ ∈ F (x, u)} ≤ a x X +b u U + c, với x ∈ X , y ∈ U (G) Hàm g : X × U → U ∗ hàm liên tục Lipschitz, nghĩa tồn hai số dương η1 η2 cho g(y, v) − g(¯ y , v¯) U∗ ≤ η1 y − y¯ X + η2 v − v¯ U, với y, y¯ ∈ X v, v¯ ∈ U Kí hiệu PF ánh xạ đa trị xác định PF : C([0, T ]; X) × L1 (0, T ; U ) → P(L1 (0, T ; X)), PF (x, u) = {f ∈ L1 (0, T ; X) : f (t) ∈ F (x(t), u(t)) với hầu khắp t ∈ J} (3.4) Rõ ràng ta thấy PF (x, u) tập hàm chọn khả tích F (x(·), u(·)) với (x, u) ∈ C([0, T ]; X) × L1 (0, T ; U ) Chúng ta đưa định nghĩa cho nghiệm yếu toán (3.1)-(3.3) Định nghĩa 3.1 Một cặp hàm (x, u) x : [0, T ] → X liên tục u : [0, T ] → U khả tích gọi nghiệm yếu toán (??)-(??) tồn hàm chọn f ∈ PF (x, u) cho: t S(t − s)f (s)ds, t ∈ [0, T ], x(t) = S(t)ξ + Bu(t) + ∂φ(u(t)) g(x(t), u(t)), t ∈ [0, T ] Ta đưa kí hiệu cho tập nghiệm bất đẳng thức biến phân dạng elliptic S(z) = {u ∈ U : Bu + ∂φ(u) z} Với y ∈ X cố định, bất đẳng thức biến phân (3.2) có dạng sau: Bu + ∂φ(u) g(y, u) (3.5) Bổ đề 3.1 Giả sử (B) (G) thỏa mãn Hơn giả sử η2 < ηB Khi đó, với y ∈ X , tồn nghiệm u ∈ U (3.5) Ngoài ra, ánh xạ nghiệm V:X→U y → u, liên tục Lipschitz, cụ thể ta có ước lượng sau η1 y1 − y2 V(y1 ) − V(y2 ) U ≤ ηB − η2 X , ∀y1 , y2 ∈ X (3.6) Để giải toán (3.1)-(3.3), ta đưa dạng bao hàm thức vi phân Xét ánh xạ đa trị: G(y) = F (y, V(y)), y ∈ X 13 Từ trình thiết lập toán trên, ta đưa bao hàm thức vi phân sau: x (t) − Ax(t) ∈ G(x(t)), t ∈ J, x(0) = ξ (3.7) (3.8) Ta định nghĩa ánh xạ đa trị RG RG : C([0, T ]; X) → P(L1 (0, T ; X)), RG (x) = {f ∈ L1 (0, T ; X) : f (t) ∈ G(x(t)), với hầu khắp t ∈ [0, T ]} Mệnh đề 3.1 Dưới điều kiện (B), (F) (G), ánh xạ RG nửa liên tục yếu với giá trị khác rỗng, lồi compact yếu Xét toán tử Cauchy: W : L1 (0, T ; X) → C(J; X) t W(f )(t) = S(t − s)f (s)ds Với ξ ∈ X , ta đưa toán tử nghiệm cho F : Cξ → P(Cξ ) F(x) = {S(·)ξ + W(f ) : f ∈ RG (x)} Mệnh đề 3.2 Giả sử (A) thỏa mãn Nếu D ⊂ L1 (0, T ; X) nửa compact W(D) tập compact tương đối C([0, T ]; X) Đặc biệt, dãy {fn } nửa compact fn f ∗ L1 (0, T ; X) W(fn ) → W(f ∗ ) C([0, T ]; X) Định lý sau kết mục Định lí 3.1 Giả sử (A), (B), (F) (G) thỏa mãn Khi tốn (3.1)-(3.3) có nghiệm yếu với kiện ban đầu ξ ∈ X Đặt πT , T > hàm cắt đoạn [0, T ] lấy không gian C([0, +∞); X), nghĩa với z ∈ C([0, +∞); X), πT (z) hạn chế z [0, T ] Kí hiệu: Σ(ξ) = {x ∈ C([0, +∞); X) : x(0) = ξ, x nghiệm yếu (3.1)-(3.2) [0, T ] với T > 0} Ta có: πT ◦ Σ(ξ) ⊂ S(·)ξ + W ◦ RG (πT ◦ Σ(ξ)), (3.9) với T > πT ◦ Σ(ξ) =Fix(F ) Bổ đề 3.2 Giả sử giả thiết Định lý 3.1 thỏa mãn Khi πT ◦ Σ({ξn }) compact tương đối C([0, T ]; X), {ξn } ⊂ X dãy hội tụ Đặc biệt, πT ◦ Σ(ξ) tập compact với ξ ∈ X 14 3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TỒN CỤC Nửa dòng đa trị sinh tốn (3.7)-(3.8) ngặt xác định sau: G : R+ × X → P(X), G(t, ξ) = {x(t) : x nghiệm yếu (3.7) − (3.8), x(0) = ξ} Ta có G(t1 + t2 , ξ) = G(t1 , G(t2 , ξ)), với t1 , t2 ∈ R+ , ξ ∈ X Bổ đề 3.3 Giả sử giả thiết Định lý 3.1 thỏa mãn, G(t, ·) nửa liên tục có giá trị compact với t > Ta đưa thêm giả thiết sau (A∗ ) {S(t)}t≥0 ổn định tiệm cận với tốc độ mũ α, χ-giảm với mũ β , tức S(t) L(X) α, β > 0, N, P ≥ 1, ≤ N e−αt , S(t) · χ χ ≤ P e−βt , ∀t > 0, chuẩn toán tử theo độ đo χ Bổ đề 3.4 Giả sử (A∗ ), (B), (F) (G) thỏa mãn Nếu β − 4P (p + tồn T0 > số ζ ∈ [0, 1) cho với T ≥ T0 ta có qη1 ηB −η2 ) >0 χ(GT (B)) ≤ ζ · χ(B), với tập bị chặn B ⊂ X Bổ đề 3.5 Giả sử giả thiết Bổ đề 3.4 thỏa mãn Khi G có tập hấp thụ α > N (a + ηBbη−η ) Bổ đề 3.6 Giả sử (A∗ ), (B), (F) (G) thỏa mãn Nếu β−4P (p+ ηBqη−η )>0 G nửa compact tiệm cận Định lí 3.2 Giả sử (A∗ ), (B), (F) (G) thỏa mãn Khi tồn tập hút tồn cục nửa dòng đa trị G sinh hệ động lực liên kết với (3.1)-(3.3) nếu: min{α − N (a + 3.4 bη1 qη1 ), β − 4P (p + )} > ηB − η2 ηB − η2 ÁP DỤNG Cho Ω miền bị chặn Rn với biên ∂Ω trơn thuộc lớp C Xét toán sau: ∂Z (t, x) − ∆x Z(t, x) = f (t, x), t ≥ 0, x ∈ Ω, (3.10) ∂t f (t, x) ∈ [f1 (x, Z(t, x), u(t, x)), f2 (x, Z(t, x), u(t, x))], t > 0, x ∈ Ω, (3.11) ∆x u(t, x) + β(u(t, x) − ψ(x)) g(x, Z(t, x), u(t, x)), t ≥ 0, x ∈ Ω, (3.12) Z(t, x) = u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω, (3.13) Z(0, x) = ϕ(x), x ∈ Ω, (3.14) 15 f1 , f2 , g : Ω × R × R → R hàm liên tục, ψ ∈ H (Ω), ψ(x) ≤ 0, ∀x ∈ Ω β : R → 2R ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại  r > 0, 0 β(r) = R− r = 0,  ∅ r < Cho X = L2 (Ω), V = H01 (Ω), H = L2 (Ω), V = H −1 (Ω) Chuẩn X V cho |u(y)|2 dy, ∀u ∈ L2 (Ω), |u|2 = Ω |∇u(y)|2 dy, ∀u ∈ H01 (Ω), u = Ω Ta định nghĩa hàm đa trị sau: F : X × V → P(X), ¯ u¯)(x) = {λf1 (x, Z(x), ¯ ¯ F (Z, u¯(x)) + (1 − λ)f2 (x, Z(x), u¯(x)) : λ ∈ [0, 1]} Khi tốn (3.10) (3.11) viết lại thành Z (t) − AZ(t) ∈ F (Z(t), u(t)), t ≥ 0, A = ∆, D(A) = H (Ω) ∩ H01 (Ω), Z(t) ∈ X, u(t) ∈ V cho Z(t)(x) = Z(t, x), u(t)(x) = u(t, x) Do Định lý 7.2.5 Định lý 7.2.8 Vrabie, nửa nhóm S(t) = etA sinh tốn tử A compact ổn định mũ, cụ thể S(t) với λ1 := inf{ ∇u α = λ1 X : u ∈ H01 (Ω), u L(X) X ≤ e−λ1 t , = 1} Điều kiện (A∗ ) thỏa mãn với Giả sử tồn hàm không âm a1 , a2 , b1 , b2 ∈ L∞ (Ω), c1 , c2 ∈ L2 (Ω) cho |f1 (x, p, q)| ≤ a1 (x)|p| + b1 (x)|q| + c1 (x), |f2 (x, p, q)| ≤ a2 (x)|p| + b2 (x)|q| + c2 (x), ∀x ∈ Ω, p, q ∈ R Ta thấy ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, compact Hơn ta có ¯ u¯) ≤ max{ a1 ∞ , a2 ∞ } Z¯ F (Z, + max{ b1 ∞ , b2 ∞ }|¯ u| + max{|c1 |, |c2 |} ≤ max{ a1 ∞ , a2 ∞ } Z¯ max{ b1 ∞ , b2 ∞ } √ + u¯ + max{|c1 |, |c2 |} λ1 Ta có, f1 f2 liên tục nên F có đồ thị đóng Thêm vào đó, {Z¯n } ⊂ X {¯ un } ⊂ V , ta tìm dãy fn ∈ F (Z¯n , u¯n ) hội tụ X định lý 16 hội tụ trội Lebesgue Theo Bổ đề tính nửa liên tục trên, F ánh xạ đa trị nửa liên tục Vậy điều kiện (F) thỏa mãn Ta xét bất đẳng thức biến phân elliptic (3.12) Đặt B := −∆ : V → V , −∆ toán tử Laplace xác định sau ∇u∇vdy, với u, v ∈ H01 (Ω) u, −∆v := Ω H01 (Ω) Dễ thấy u, Bu = u Từ đó, giả thiết (B) thỏa mãn với ηB = Đối với g , giả sử tồn hàm không âm η1 , η2 ∈ L∞ (Ω) cho: |g(x, p, q) − g(x, p , q )| ≤ η1 (x)|p − p | + η2 (x)|q − q |, ∀x ∈ Ω, p, q, p , q ∈ R Ta viết lại g dạng sau: g : X × V → H, ¯ u¯)(x) = g(x, Z(x), ¯ g(Z, u¯(x)), Từ ta nhận g(Z¯1 , u¯1 ) − g(Z¯2 , u¯2 ) ≤ η1 ∞ Z¯1 − Z¯2 X ≤ η1 ∞ Z¯1 − Z¯2 X + η2 ∞ u¯1 − u¯2 η2 ∞ u¯1 − u¯2 + √ λ1 X, V, với Z¯1 , Z¯2 ∈ X, u ¯1 , u¯2 ∈ V Từ suy giả thiết (G) thỏa mãn Biến đổi tương tự Mệnh đề 2.11 V.Barbu, bất đẳng thức biến phân (3.12) viết lại thành Bu(t) + ∂IK (u(t)) g(Z(t), u(t)), K = {u ∈ H01 (Ω); u(x) ≥ ψ(x) với hầu khắp x ∈ Ω} Chúng ta đến kết nhờ áp dụng Định lý 3.2 Định lí 3.3 Nếu η2 ∞ λ1 > max{ a1 < λ1 ∞ , a2 ∞ } + max{ b1 ∞ , b2 ∞ }√ η1 ∞ λ1 − η2 ∞ tồn tập hút toàn cục compact L2 (Ω) cho nửa dòng đa trị sinh tốn (3.10)-(3.14) 17 Chương BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-PARABOLIC TRONG KHƠNG GIAN VƠ HẠN CHIỀU Mơ hình parabolic-parabolic mơ hình với nhiều ứng dụng hóa sinh (các hệ Keller-Segel), tốn tương tác quần thể, q trình hóa học có số hạng bình lưu, Điểm mơ hình parabolic-parabolic chúng tơi tổng qt hóa lớp tốn parabolic-parabolic trước thơng qua dạng hệ hai bao hàm thức vi phân Trong đó, DVI-PP bao gồm bao hàm thức parabolic theo nghĩa Fillipov liên kết với bao hàm thức parabolic phi tuyến chứa toán tử tăng trưởng dạng vi phân Đây lần mơ thiết kế Mục đích chương nhằm đưa kết tính giải tồn tập hút tồn cục nửa dòng đa trị liên kết với tốn Các kết trình bày dựa cơng trình dạng tiền ấn phẩm [3] danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 4.1 ĐẶT BÀI TỐN Xét tốn DVI dạng parabolic-parabolic sau x (t) ∈ Ax(t) + F (x(t), u(t)), u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) h(x(t)), x(0) = x0 u(0) = u0 , (4.1) (4.2) (4.3) φ : H → R hàm thường, lồi nửa liên tục Từ khái niệm vi phân ∂φ, bao hàm thức tiến hóa (4.2) viết lại dạng bất đẳng thức sau u (t) + Bu(t) − h(x(t)), u(t) − v + φ(u(t)) − φ(v), ∀v ∈ H Kí hiệu BH toán tử hạn chế B cho tập giá trị nằm H , tức BH : D(BH ) ⊂ U → H, Bh u = Bu, Bu ∈ H, D(BH ) = {u ∈ U : Bu ∈ H} Ta xét giả thiết cho toán (4.1)-(4.3) sau: (A) Toán tử A sinh C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 X (B) Toán tử B : U → U tốn tử tuyến tính liên tục, đối xứng thỏa mãn (B1) điều kiện cưỡng Bu, u ≥ ω u với số ω > đó; U 18 (B2) U ∩ D(φ) = ∅ tồn h ∈ H cho φ((I + λBH )−1 (x + λh)) ≤ φ(x) + Cλ(1 + φ(x)), ∀x ∈ D(φ), λ > (F ) Ánh xạ đa trị F : X × H → P(X) nửa liên tục với giá trị lồi, compact khác rỗng thỏa mãn điều kiện (F 1) tồn số η1F > 0, η2F > 0, a ≥ 0, cho đẳng thức sau thỏa mãn với x ∈ X, u ∈ H F (x, u) := sup{ ξ X : ξ ∈ F (x, u)} ≤ η1F x X + η2F |u| + a; (F 2) tồn số p > 0, q > cho χ(F (B, D)) ≤ pχ(B) + qϑ(D), ∀B ∈ Pb (X), D ∈ Pb (H), χ ϑ kí hiệu độ đo không compact Hausdorff không gian X H (H) Ánh xạ h : X → H ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện h(0) ∈ ∂φ(0) tồn số ηh > 0, b ≥ cho h(x) H ≤ ηh x X + b Nhận xét 4.1 (1) Trong trường hợp φ = IK , với K tập lồi, đóng khác rỗng H , điều kiện (H) thay bởi: Tồn phần tử h ∈ H cho (I + B)−1 (y + h) ∈ K, ∀ > 0, ∀y ∈ K (4.4) (2) Giả thiết (H) vế phải bất đẳng thức biến phân parabolic cần liên tục tăng trưởng tuyến tính Ta giản lược điều kiện Lipschitz so với vế phải bất đẳng thức biến phân elliptic Chương Xét ánh xạ PF định nghĩa PF : C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H) → P(L1 (0, T ; X)), PF (x, u) = {f ∈ L1 (0, T ; X) : f (t) ∈ F (x(t), u(t)), h.k.n t ∈ [0, T ]} (4.1)-(4.3): Định nghĩa 4.1 Một cặp hàm (x, u) x ∈ C([0, T ]; X) u ∈ L2 (0, T ; U )∩ W 1,2 (0, T, H) ∩ C([0, T ]; H), Bu(t) ∈ H hầu khắp t ∈ [0, T ] nghiệm yếu toán tồn hàm chọn f ∈ PF (x, u) cho t S(t − s)f (s)ds, t ∈ [0, T ], x(t) = S(t)x0 + u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) u(0) = u0 h(x(t)), ∀z ∈ U, h.k.n t, Ta gọi V I(u0 , f ) toán sau với u0 , f cho trước u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) f (t), u(0) = u0 19 Kí hiệu toán tử φ0 : H → (−∞, ∞] xác định Bu, u , u ∈ U, +∞, trường hợp lại φ0 (u) = Gọi ν hệ số nhúng compact U ⊂ H , cụ thể ta có |u| ≤ ν u U với u ∈ U Mệnh đề 4.1 Ta có khẳng định sau (a) BH toán tử đơn điệu cực đại H × H (tương ứng tăng trưởng cực đại H × H ) Hơn nữa, BH ων − m- tăng trưởng H × H BH = ∂φ0 ; (b) BH + ∂φ toán tử đơn điệu cực đại H × H , từ suy BH + ∂φ ω ν − m- tăng trưởng H × H với miền xác định D(BH + ∂φ) = D(BH ) ∩ D(φ); (c) BH + ∂φ = ∂ψ , với ψ = φ0 + φ1 , ψ : H → (−∞, ∞] ψ(u) = Bu, u + φ(u), u ∈ U, +∞, trường hợp lại (d) −(BH + ∂φ) sinh nửa nhóm S1 (t) đồng liên tục D(BH + ∂φ) (e) −(BH + ∂φ) sinh nửa nhóm S1 (t) compact D(BH + ∂φ) (f) S1 (t) nửa nhóm ων - ổn định mũ D(BH + ∂φ) Mệnh đề 4.2 Giả sử điều kiện (B) thỏa mãn Cho u0 ∈ D(φ) ∩ U f ∈ L2 (0, T ; H) Khi tốn u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) f (t), có nghiệm u cho u(t) ∈ D(BH ) với hầu khắp t ∈ [0, T ] u ∈ L2 (0, T ; U ) ∩ W 1,2 (0, T ; H) ∩ C([0, T ]; H) Hơn nữa, ánh xạ (u0 , f ) → u Lipschitz từ H × L2 (0, T ; H) đến C([0, T ]; H) ∩ L2 (0, T ; H) Bổ đề 4.1 Giả sử điều kiện (B), (H) thỏa mãn Khi với x(·) ∈ C([0, T ]; X) u0 ∈ D(φ) ∩ U , toán u (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) h(x(t)), u(0) = u0 , có nghiệm u(·) với u(t) ∈ D(BH ) hầu khắp t ∈ [0, T ] u ∈ L2 (0, T ; U ) ∩ W 1,2 (0, T ; H) ∩ C([0, T ]; H) Bổ đề 4.2 Xét toán sau dy dt (t) + Ay y(0) = y0 , f (t), t ∈ [0, T ], (4.5) 20 y0 ∈ D(A), f ∈ L2 (0, T ; H) A := ∂φ : H → (−∞, ∞] toán tử đơn điệu cực đại (tương đương, m-tăng trưởng) H × H Khi tốn (4.5) có nghiệm y ∈ W 1,2 ([δ, T ]; H) với δ > A w-tăng trưởng f (0) ∈ A(0) ta có ước lượng sau: |y(t)| ≤ e −ωt t |y0 | + e−ω(t−s) |f (s)|ds (4.6) 4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Đặt CxX0 = {x ∈ C([0, T ]; X) : x(0) = x0 }; CuH0 = {u ∈ C([0, T ]; H) : u(0) = u0 } Mệnh đề 4.3 Giả sử giả thiết (F) thỏa mãn Khi PF (x, u) = ∅ với x ∈ CxX0 , u ∈ CuH0 Hơn nữa, ánh xạ đa trị PF nửa liên tục yếu với giá trị lồi compact yếu Ta đưa vào kí hiệu tốn tử nghiệm Φ : C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H) → P(C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H)), Φ(x, u) := S(·)x0 + t S(t − s)f (s)ds, f ∈ PF (x, u) W ◦ h(x(·)) W : L1 (0, T, X) → C([0, T ]; X), W (g)(t) = u(t, u0 , g), u nghiệm toán V I(u0 , g) Mệnh đề 4.4 (1) Nếu Ω ⊂ L1 (0, T ; H) bị chặn tích phân W (Ω) tập đồng liên tục C([0, T ]; H); (2) W toán tử compact Xét toán tử Cauchy Q : L1 (0, T, X) → C([0, T ]; X), T Q(f )(t) = S(t − s)f (s)ds Toán tử nghiệm Φ viết lại Φ(x, u) := S(·)x0 + Q ◦ PF (x, u) W ◦ h(x(·)) Định lí 4.1 Giả sử điều kiện (A), (B), (F ) (H) thỏa mãn Khi tốn (4.1)-(4.3) có nghiệm yếu (x(·), u(·)) với x0 ∈ X, u0 ∈ D(φ) ∩ U 21 x x0 −A g(x, u) + F (x) , Y = , A= , F(Y ) = u u0 B h(x) + ∂φ(u) , ta chuyển toán xét dạng Bằng cách đặt Y = dY + AY ∈ F(Y ) dt Y (0) = Y0 , (4.7) (4.8) Ta đưa không gian phổ quát (universal space) cho nghiên cứu dáng điệu nghiệm toán (4.7)-(4.8) sau X := X × D(φ) ∩ U Nửa dòng đa trị liên kết với (4.7)-(4.8) cho G : R+ × X → X , G(t, x0 , u0 ) = {(x(t), u(t)) : Y nghiệm yếu (4.7) − (4.8), x(0) = x0 , u(0) = u0 } Giả sử Σ(x0 , u0 , T ) tập tất nghiệm yếu toán [0, T ] với điều kiện ban đầu (x0 , u0 ) đặt Σ(x0 , u0 ) = ∪T >0 Σ(x0 , u0 , T ) Ta có G(t, x0 , u0 ) = {(x(t), u(t)) : (x(·), u(·)) ∈ Σ(x0 , u0 ), t ≥ 0, x0 ∈ X, u0 ∈ D(φ) ∩ U } Mệnh đề 4.5 Với {(ξn , ηn )} ⊂ X cho ξn → ξ, ηn → η X H Khi Σ({(ξn , ηn , T )}) tập compact tương đối C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H) Nói riêng, Σ(ξ, η, T ) tập compact với (ξ, η) ∈ X Hệ 4.1 Ánh xạ đa trị G có giá trị compact X × H Bổ đề 4.3 G nửa dòng đa trị ngặt 4.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC Chúng ta đưa thêm giả thiết sau: (A∗ ) Nửa nhóm {S(t)}t≥0 ổn định tiệm cận với tốc độ mũ α, χ-giảm với mũ β , tức S(t) L(X) ≤ N e−αt , S(t) χ ≤ P e−βt , ∀t > 0, α, β > 0, N, P ≥ 1, · χ chuẩn toán tử theo độ đo χ Bổ đề 4.4 Giả sử điều kiện (A∗ ), (B), (F ) (H) thỏa mãn Khi β > 4P p, 22 tồn số T0 > số ζ ∈ [0, 1) cho với T ≥ T0 , ta có χ∗ (G(T, C, D)) ≤ ζχ(C), với tập bị chặn (C, D) ∈ X Bổ đề 4.5 Với giả thiết Bổ đề 4.4, G nửa compact tiệm cận Bổ đề 4.6 Với t > 0, nửa dòng đa trị G(t, ·, ·) nửa liên tục Bổ đề 4.7 Giả sử điều kiện (A∗ ), (B), (F ) (H) thỏa mãn Khi đó, tồn tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G liên kết với (4.7)-(4.8) hệ số dương α, η1F , η2F , ηh , ω thỏa mãn ω min{ , α} > max{η1F + ηh , η2F } ν Định lí 4.2 Giả sử điều kiện (A∗ ), (B), (F ) (H) thỏa mãn Khi ω β > 4P p min{ , α} > max{η1F + ηh , η2F } ν tồn tập hút tồn cục cho nửa dòng đa trị G X 4.4 ÁP DỤNG Cho Ω ⊂ Rn miền có biên thuộc lớp C Kết tốn ứng dụng cho hệ parabolic-parabolic ∂Z (t, x) − ∆x Z(t, x) = f (t, x), ∂t f (t, x) ∈ [f1 (x, Z(t, x), u(t, x)), f2 (x, Z(t, x), u(t, x))], ∂u (t, x) − ∆x u(t, x) + β(u(t, x) − ψ(x)) h(x, Z(t, x)), ∂t Z(t, x) = u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0, Z(0, x) = Z0 (x), u(0, x) = u0 (x) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) (4.13) f1 , f2 , h : Ω × R → R hàm liên tục, hàm ψ ∈ H (Ω), ψ ≤ ∂Ω β : R → 2R hàm đơn điệu cực đại cho  r > 0, 0 β(r) = R− r = 0,  ∅ r < Chú ý (4.11) viết lại ∂u (t, x) − ∆x u(t, x) = h(x, Z(t, x)) {(t, x) ∈ Q := (0, T ) × Ω : u(t, x) ≥ ψ(x)}, ∂t ∂u (t, x) − ∆x u(t, x) ≥ h(x, Z(t, x)) Q, ∂t u(t, x) ≥ ψ(x), ∀(t, x) ∈ Q, 23 mà mơ tả tốn khuyếch tán với biên tự hay dịch chuyển Mơ hình gọi tốn parabolic có chướng ngại (Barbu-2010) Giả sử tồn hàm số không âm a1 , a2 ∈ L∞ (Ω) cho: |f1 (x, p, q)| ≤ a1 (x)|p| + b1 (x)|q| + c1 (x), |f2 (x, p, q)| ≤ a2 (x)|q| + b2 (x)|q| + c2 (x), ∀x ∈ Ω, p ∈ R Ánh xạ h : Ω × R → R giả sử h(x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω |h(x, p1 )| ≤ b(x)|p1 | + c(x), ∀x ∈ Ω, p ∈ R, với b, c hàm không âm thuộc L∞ (Ω) Khi bất đẳng thức biến phân (4.11) viết lại u (t) + Bu(t) + ∂IK (u(t)) h(Z(t)), K = {u ∈ L2 (Ω) : u(y) ≥ ψ(x), với hầu khắp x ∈ Ω}, ∂IK (u) = u ∈ L2 (Ω) : u(x)(v(x) − z(x))dx ≥ 0, ∀z ∈ K , Ω = {u ∈ L2 (Ω) : u(x) ∈ β(v(x) − ψ(x)), với hầu khắp x ∈ Ω} Kết phần cho định lý sau Định lí 4.3 Tồn tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh hệ (4.9)(4.13) L2 (Ω) × K cảm sinh từ topo L2 (Ω) × L2 (Ω), ta có: λ1 > max b ∞ + max{ a1 ∞, a2 ∞ }; max{ b1 ∞, b2 ∞} 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt Luận án Dáng điệu nghiệm bất đẳng thức vi biến phân nghiên cứu tính ổn định nghiệm số lớp bất đẳng thức vi biến phân, bao gồm lớp tốn khơng gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều Luận án đạt kết sau: • Sự tồn nghiệm bất đẳng thức vi biến phân • Dáng điệu nghiệm lớp bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều thông qua tồn nghiệm phân rã cho hệ động lực liên kết với toán tồn tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị liên kết với tốn • Sự tồn tập hút tồn cục cho nửa dòng đa trị liên kết với bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic parabolic-parabolic không gian vô hạn chiều Đề xuất số hướng nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu như: • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm, tính hút nghiệm thời gian hữu hạn bất đẳng thức vi biến phân • Trường hợp vô hạn chiều, nghiên cứu dáng điệu nghiệm DVI với ràng buộc biến phân không nghiệm • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm bất đẳng thức vi biến phân với đạo hàm bậc cao đạo hàm bậc phân số bất đẳng thức biến phân gắn với hệ động lực trung tính DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN N.T.V.Anh, T.D.Ke (2015), "Asymptotic behavior of solutions to a class of differential variational inequalities", Annales Polonici Mathematici, 114.2, 147164 N.T.V.Anh, T.D.Ke (2017), "On the differential variational inequalities of parabolic-elliptic type", Mathematical Methods in the Applied Sciences, 40(13), 4683–4695 N.T.V.Anh, T.D.Ke, "On the differential variational inequalities of parabolicparabolic type", submitted Các kết luận án báo cáo tại: 1) Xêmina Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; 2) Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, năm 2017; 3) Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, năm 2019; 4) Mini-workshop "PDE 2019 Analysis and Numerics", VIASM, Hanoi 9/2019