toàn bộ công thức toán cấp 3

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung )  b ĐẦY ĐỦ CƠNG THỨC TỐN 10 S = x + x = − a  “Tổng bà, tích ca”  c 11-12  P = x x =  a ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 4.Các trường hợp đặc biệt phương I.Các đẳng thức đáng nhớ: trình bậc 2: ( a + b) = a + 2ab + b ( a + b) = a + 3a b + 3ab + b ( a − b) = a − 2ab + b ( a − b) = a − 3a b + 3ab − b ✓ Nếu a + b + c = phương trình có 2 2 3 2 2 3 2 3 a2 − b2 = (a + b)( a − b) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) nghiệm: a − b = ( a − b)(a + ab + b ) 3 2  x1 =  x = c  a II.Phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0(a  0) ✓ Nếu a − b + c = phương trình có 1.Cơng thức nghiệm phương trình  x = −1  nghiệm: x = − c bậc hai:  = b − 4ac  a ✓   : Phương trình vơ nghiệm 5.Dấu nghiệm số: ax + bx + c = 0(a  0) ✓  = : Phương trình có nghiệm kép: ✓ Phương trình có nghiệm trái dấu b 2 2 x1 = x2 = − ✓ x1   x2  P  2a : Phương trình có nghiệm phân biệt: −b −  x = ; x = −b 2+a  2a 0 ✓ Phương trình có nghiệm dương phân biệt  x  x     P  S   2.Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai: Nếu “b chẵn” (ví dụ b = 4;2 3;2m; −2(m + 1); ) ta dùng công thức nghiệm thu gọn ✓ Phương trình có nghiệm âm phân biệt x  x      P  S    b  ' = b'2 − ac  b ' =    ✓ ✓ III.Dấu đa thức: : Phương trình vơ nghiệm 1.Dấu nhị thức bậc nhất:  ' = : Phương trình có nghiệm kép: '  x1 = x2 = − ✓ b' a f ( x) = ax + b(a  0) : Phương trình có nghiệm phân biệt: − b '−  ' x = ; x = −b'+a  ' a '  − x − b a + trái dấu a0 dấu a “Phải cùng, trái trái”  Chú ý: ax + bx + c = = a( x − x )( x − x ) với x , x 2.Dấu tam thức bậc hai: hai nghiệm phương trình bậc f ( x) = ax + bx + c(a  0) 2: ax + bx + c = ax + b 1 2 2 3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc ax + bx + c = có nghiệm x , x thì: 0 x f ( x) + − dấu a 2 ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) − =0 − b 2a + ✓ x f ( x) dấu a  A  −B A B  A  B dấu a ✓ 0 x − x1 x2  A  −B A B  A  B + A  B  A2  B2  A2 − B2   ( A − B)( A + B)  A  B  A2  B2  A2 − B2  0 VI.Phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai 1.Phương trình: “Trong trái, ngồi cùng” ✓ A = B  BA = 0B 3.Dấu đa thức bậc  3: Bắt đầu từ ô  B  0) bên phải dấu với hệ số a số mũ ✓ A = B   AA = 0( B  cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua 2.Bất phương trình: nghiệm kép khơng đổi dấu B   IV.Điều kiện để tam thức không đổi dấu ✓ A  B  BA  00   R   A  B Cho tam thức bậc hai: B  f ( x) dấu a trái dấu a dấu a 2   A  AB     B    A  B2 f ( x) = ax2 + bx + c (a  0) a  f ( x)  0x  R     a  f ( x)  0x  R     a  f ( x)  0x  R     a  f ( x)  0x  R     ✓ V.Phương trình bất phương trình chứa trị tuyệt đối A 1.Phương trình : A = −AA ,, khi A  A   A  B  B   A  B2   ✓  A   A = B A = B     A   − A = B ✓ B   A = B   A = B  A = −B  ✓ A = B A = B   A = −B A   A  B  B   A  B2  ✓ A  A B A  B A  A B A  B VII LƯỢNG GIÁC 1.Định nghĩa giá trị lượng giác: 2.Bất phương trình: ✓ A  B   AA  B−B  A  B A B  A  −B ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung )  cos(a − b) + cos(a + b) 2 sin asin b =  cos(a − b) − cos(a + b)  sin a cosb = sin(a − b) + sin(a + b)  cosa cosb = 9.Cơng thức biến đổi tổng thành tích: sin = OK cos = OH tan = AT cot  = BS 2.Các công thức lượng giác bản: sin cos cos 2)cot  = sin 1)tan = 3)sin2  + cos2  = 4)1 + tan2  = cos2  5)1 + cot  = a+ b a− b cos 2 a+ b a− b cosa − cosb = −2sin sin 2 a+ b a− b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+ b a− b sin a − sin b = 2cos sin 2 cosa + cosb = 2cos sin2  6)tan cot  = 3.Các giá trị lượng giác đặc biệt: 10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo;  - tan, cot ✓ Hai cung bù nhau:   −  sin( −  ) cos( −  ) tan( −  ) cot( −  ) = sin = − cos = − tan = − cot  ✓ Hai cung đối nhau:  cos(− ) sin(− ) tan(− ) cot(− ) ✓ Hai cung phụ nhau:  4.Công thức cộng: sin2a = 2sin a cosa 2tan a − tan2 a ✓ Hai cung  :  sin (   ) cos(   ) Hệ quả: sin x.cosx = 21 sin2x tan (   ) cot (   ) 6.Công thức hạ bậc: sin2 x = − cos2x + cos2x − cos2x ;cos2 x = ;tan2 x = 2 + cos2x −   tan  −   = cot      cot  −   = tan 2  5.Công thức nhân đôi: tan2a =    sin  −   = cos     cos −   = sin   cos(a + b) = cosa cosb − sin asin b ;sin( a + b) = sin a cosb + sin b cosa cos(a − b) = cosa cosb + sin asin b ;sin( a − b) = sin a cosb − sin b cosa tan a − tan b tan a + tan b tan(a − b) = ;tan(a + b) = + tan a tan b − tan a tan b cos2a = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − = − 2sin2 a − = cos = − sin = − tan = − cot  = − sin = − cos = tan = cot  Hệ quả: 7.Công thức nhân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a;cos3a = 4cos3 a − 3cosa 8.Công thức biến đổi tích thành tổng: ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội   LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung )  sin x = − sin x  cos x = − cos x sin( x + k ) cos( x + k ) tan( x + k ) cot( x + k ) kZ , k chẵ n , k lẻ kZ Đặc biệt: kZ kZ cosu =  u = = tan x = cot x ✓ Hai cung 2 :    sin   +  2    cos  +  2    tan   +  2  = − sin   cot   +  2  = − tan + cosu =  u = k2 t = tan  = cos = − cot  thì: sin x = +2tt x 2 ;cos x = 1− t2 2t tan x = 1+ t2 1− t2 12.Một số công thức khác: ✓ sin x + cosx = 2sin x + 4  = cos x − 4   ✓ ✓   ✓ ✓ ✓  sin2x = (sin x  cosx) ✓ sin6 x + cos6 = sin2 x + cos2 x sin4 x − sin2 x cos2 x + cos4 x cot x − tan x = 2cot 2x ) sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x − 2sin2 x cos2 x = − sin2 2x ( )( ) = − sin2 2x 13.Phương trình lượng giác u = v + k2 sin u = sin v   u =  − v + k2 u = arcsin a + k2 sin u = a   u =  − arcsin a + k2 Đặc biệt:  + k2 sin u =  u = k sin u =  u = tan u = tan v  u = v + k tan u = a  u = arctan a + k cot u = cot v  u = v + k cot u = a  u = arccot a + k Lưu ý: a) Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện gặp hai trường hợp sau: TH1: Phương trình có chứa hàm số tang cotang (trừ phương trình bậc bậc hai theo hàm số tang cotang) • Phương trình có chứa tanx : Điều kiện x  2 + k • Phương trình có chứa kiện x  k • Phương trình có chứa : Điều kiện x  k 2      sin x − cosx = 2sin x −  = − cos x +  4 4   cot x + tan x = sin2x ( sin u = −1  u = −   + k cosu = −1  u =  + k2 “Sin góc lớn = cos góc nhỏ - Cos góc lớn = trừ sin góc nhỏ” 11.Cơng thức tính sin x,cosx,tan x theo tan 2x : Nếu đặt u = arccosa + k2 cosu = a   u = − arccosa + k2 u = v + k2 cosu = cosv   u = −v + k2 , k chaü n , k leû + k2 cot x tanx : Điều cot x TH2: Phương trình có chứa ẩn mẫu → Điều kiện: mẫu  • sin x   x  k • cosx   x  2 + k • • tan x   x  k cot x   x  k   b)Cách chuyển hàm:   sin = cos −   2    cos = sin  −   2    tan = cot  −       cot  = tan  −     ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung ) c) Cách loại dấu trừ: − sin = sin( − ) − tan = tan(− ) − cot  = cot( − ) Ngoại lệ: − cos = cos( −  ) 14 Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng asin2 x + bsin x + c = a cos2 x + b cos x + c = a tan2 x + b tan x + c =  Đặt: Điều kiện t = tan x ( t = cot x ) → Không có điều kiện t 2 a +b Vì b sin x +  a  a + b2  a +b 2   b  +  a + b2   cho 2   =  c a +b Điều kiện  sin x cos x = Điều kiện t2 −   t = sin x − cosx = 2sin x −  → 4  ✓ − 2t  sin x cos x = nên tồn cung  1− t2 VIII.Cơng thức tính đạo hàm: (c)' = ' ' '  u  u ' v − uv '   = v2  v c ( xn )' = n.xn−1 a +b 2 ' cần ' (un )' = n.un−1.u' '  1   = − v ' v  v ' u' u = u 1 nhớ: (sin x)' = cosx (sin u)' = cosu.u' (cosx)' = − sin x (cosu)' = − sin u.u' c a + b2 (uvw) = u' vw + uv' w + uvw'  1   =− x  x ' x = x a2 + b2  c2 sin cos  sin  cos = sin(   ) ( uv) = u' v + uv' ( u  v) = u' v'  sin( x +  ) = thức ( x)' = (ku)' = k.u' ✓ Điều kiện có nghiệm: ✓ Cơng   2sin  x +  → 4  − 2t 2 Khi phương trình trở thành:  Đặt : ✓ t = sin x + cosx = a +b  a  cos =  a2 + b2  b sin =  a2 + b2  sin x.cos + sin cos x = 17 Phương trình đối xứng phản xứng : phương trình có dạng c cosx = a(sin x  cos x) + bsin x cos x + c = ✓ cos2x = 2cos x − = 1− 2sin x 15 Phương trình bậc đối vối sinx cosx : Là phương trình có dạng asin x + b cosx = c Chia vế phương trình cho a + b ta được: 2  asin2 x + bsin x.cosx + c cos2 x = d(sin2 x + cos2 x) 2 sin x = − cos x sin2 x + cos2 x =   2 cos x = − sin x a TH2: cosx  Chia vế (*) cho cos x ta phương trình bậc theo tanx Lưu ý: Phương trình asin x + bsin x.cosx + ccos x = d với d  đưa dạng (*) cách: −1  t  Các công thức cần nhớ: 2 asin2 x + bsin x.cosx + c cos2 x = d t = sin x ( t = cosx ) → 2 a cot x + b cot x + c = ✓ 16.Phương trình bậc hai: phương trình có dạng asin x + bsin x.cosx + ccos x = (*) TH1: cosx =  x = 2 + k (sin x = 1) vào (*) ( ) ( ) ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) (tan x)' = + tan2 x = cos2 x (cot x)' = −(1 + cot x) = − (tan u)' = (1 + tan2 u).u' = sin2 x (cot u)' = − u' = −(1 + cot u).u' sin2 u (e ) = e u' (e ) = e x ' u' cos2 u x u ' (a ) = a ln a x (au )' = au ln a.u' (ln x)' = x (ln u)' = u' u ' x ln a (loga u)' = Số nghi ệm phư ơng trình u' u ln a a b c d  ax + b  ad − cb =   = cx + d ( cx + d ) ( cx + d)2   '  ax + bx + c   a' x2 + b' x + c '  =   y = ax3 + bx2 + cx + d(a  0) u x ' (loga x)' =  Vẽ đồ thị: Các dạng đồ thị hàm số bậc ba a b a c b c x +2 x+ a' b' a' c ' b' c ' y' = (a' x2 + b' x + c')2 y' = IX.Các dạng toán hàm số: 1.Các bước chung khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)  Tập xác định:  Giới hạn (và tiệm cận hàm ax + b phân thức y = cx ) +d  Đạo hàm: y ' ✓ Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y ' = tìm nghiệm ax + b ✓ Đối với hàm phân thức y = cx : +d y' = a b c d (cx + d) = ad − bc 0 (cx + d)2 (hoặc 0 ) có nghi ệm phâ n biệt y' = có nghi ệm kép y' = vơ nghi ệm Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c(a  0) x  D a  Bảng biến thiên: Nhận xét chiều biến thiên cực trị  Bảng giá trị:(5 điểm hàm bậc 3, bậc 4; điểm hàm ax + b phân thức y = cx ) +d a a y' = có nghi ệm phâ n biệt ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội a LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) y' = có nghi ệm Các dạng đồ thị hàm số phân thức ax + b y= (c  0, ad − bc  0) cx + d y'  ✓ Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y '  0,x  D  ad − cb  (Không có dấu “=”) 3.Cực trị hàm số: ✓ Hàm số y = f ( x) đạt cực trị x   y '( x0 ) =   y ''( x0 )  ✓ Hàm số y = f ( x) đạt cực đại x0  y = f ( x) đạt cực tiểu x0   y '( x0 ) =   y ''( x0 )  y'  ✓ Hàm số  y '( x0 ) =   y ''( x0 )  a.Hàm bậc 3: 2.Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu khoảng xác định: a.Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d Tập xác định D = R Đạo hàm y' = 3ax + 2bx + c tam thức bậc ✓ Hàm số đồng biến R 2   y'   y '  0,x  R   ay '  ✓ Hàm số nghịch biến Tập xác định Đạo hàm y' = y= ✓ Hàm số có cực trị (cực đại cực tiểu)  phương trình y ' = có   nghiệm phân biệt  a  y'  y' ✓ Hàm số khơng có cực trị  Phương trình y ' = vơ nghiệm có   nghiệm kép  a  y'  y' y = ax4 + bx2 + c(a  0) R ax + b cx + d  d D = R \ −   c ad − cb (cx + d )2  y ' = 3ax2 + 2bx + c b.Hàm bậc trùng phương:   y'   y '  0,x  R   ay '  b.Hàm biến: y = ax3 + bx2 + cx + d(a  0) có dấu phụ thuộc vào dấu tử ✓ Hàm số đồng biến khoảng xác định  y '  0,x  D  ad − cb  (Không có dấu “=”)  y ' = 4ax3 + 2bx Ta có: y' =  4ax + 2bx =  2x(2ax2 + b) = x =  2ax + b = x =   −b x =  2a (1) (2) ✓ Hàm số có cực trị  Phương trình  y ' = có nghiệm phân biệt Phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác  −2ab  ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) ✓ Hàm số có cực trị  Phương trình y ' = có nghiệm  Phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm kép  −2ab  4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) xác định đoạn ✓ Cho hai đồ thị (C ) : y = f ( x) (C ) : y = f ( x) ✓ Phương trình hồnh độ giao điểm (C ) (C ) : f ( x) = f ( x) (*) ✓ (C ) (C ) cắt n điểm phân biệt phương trình (*) có n nghiệm phân biệt Lưu ý : Trục hồnh có phương trình 2 1 2 y=0 [ a; b] 7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m ✓ Hàm số liên tục đoạn [ a; b] số nghiệm phương trình ✓ Tính đạo hàm y ' Cho đồ thị (C) : y = f ( x) Dùng đồ thị (C), biện ✓ Giải phương trình y ' = Tìm luận theo m số nghiệm phương trình nghiệm x  [ a; b](i = 1,2,3 ) h( x, m) = ✓ Tính y(a) , y(b) , y( x ) ✓ Biến đổi phương trình h( x, m) = ✓ So sánh kết luận b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng f ( x) = g(m) (*) ✓ Số nghiệm phương trình (*) hàm số y = f ( x) khoảng số giao điểm hai đồ thị : nửa khoảng (a; b),(a; +),(−; b),[ a; b),(a; b] …  y = f ( x) (C)  ✓ Tìm tập xác định  y = g(m) (d) ✓ Tính đạo hàm y ' ✓ Bảng kết : ✓ Lập bảng biến thiên Số giao Số g(m) m ✓ Dựa vào bảng biến thiên, so sánh điểm nghiệm kết luận … … … … 5.Tìm giao điểm hai đường Lưu ý: Nếu tốn u cầu tìm ✓ Cho hai đồ thị (C ) : y = f ( x) giá trị m để phương trình có (C ) : y = f ( x) nghiệm, nghiệm,… ta ✓ Phương trình hồnh độ giao điểm không cần lập bảng kết (C ) (C ) : f ( x) = f ( x) (*) mà cần rõ trường ✓ Giải phương trình (*) ta hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy hoành độ giao điểm, vào (C) (d) cắt hàm số y = f ( x) y = f ( x) điểm, điểm …) tung độ giao điểm 8.Viết phương trình tiếp tuyến đồ 6.Tìm điều kiện tham số m để hai thị hàm số: đường cong cắt với số điểm cho trước i i 2 2 ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị đường cong (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M ( x ; y ) là: y = f '( x )( x − x ) + y Lưu ý: Ta phải tìm đại lượng: 0 0 0  x0   y0 = f ( x0 )  f '( x )  a0 = a− n = an am.an = am+ n am = am− n an (a ) ( ab) m n  a an   = n b  b n = am.n m 0 0 an = n a Các tính chất quan trọng: ✓ Nếu a  a  a     ✓ Nếu  a  a  a     Công thức lôgarit: 1) log = 2) log a = 3) log b =  log b Đặc biệt: log    a a  a a a y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0 Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm y ✓ Giải phương trình f ( x ) = y tìm x ✓ Thay x vào y ' tính f '( x ) ✓ Phương trình tiếp tuyến: 0 0 0 4) loga b = 5) loga (bc) = loga b + loga c  n b= log b n a loga b (lôgarit tích tổng lơgarit) 6) log bc = log b − log c (lôgarit thương a a a hiệu lôgarit) b 7) log b = log (đổi số) log a c a c 8) y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0 = an bn a n = n am  Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết hồnh độ tiếp điểm x ✓ Tính đạo hàm y ' ✓ Thay x vào y tính y ✓ Thay x vào y ' tính f '( x ) ✓ Phương trình tiếp tuyến: n loga b = logb a Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến 9) log b.log c = log c biết hệ số góc k 10) Đặc biệt: a = b a =c ✓ Giả sử tiếp điểm M ( x ; y ) Các tính chất quan trọng: ✓ Giải phương trình f '( x ) = k tìm x ✓ Nếu a  log   log      ✓ Thay x vào y ta tìm y ✓ Nếu  a  log   log      ✓ Phương trình tiếp tuyến: XI.Phương trình bất phương trình y = f '( x )( x − x ) + y mũ: Lưu ý: 1.Phương trình mũ: ✓ Nếu tiếp tuyến song song với ✓ a = b  x = log b đường thẳng y = ax + b f '( x ) = a ✓ a = b  f ( x) = log b ✓ Nếu tiếp tuyến vng góc với ✓ a = a  f ( x) = g( x) y = ax + b(a  0) đường thẳng 2.Bất phương trình mũ: f '( x ).a = −1  f '( x ) = − a ✓ a  b  x  log b a  X.Các công thức lũy thừa lôgarit: a  b  f ( x)  log b a  1.Công thức lũy thừa: ✓ a  b  x  log b  a  a b a logb c 0 loga b logb a 0 a a 0 a 0 x a f ( x) a f ( x) g( x ) x a f ( x) a x a ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội a LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung )  a   sin xdx = − cosx + C  sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C ✓ a  a  f ( x)  g( x) a  1 1  cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C  cos x dx = tan x + C ✓ a  a  f ( x)  g( x)  a  1 1 XII.Phương trình bất phương trình  sin x dx = − cot x + C  sin (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C lôgarit:  e dx = e + C  e dx = a e + C 1.Phương trình lơgarit:   e dx = −e + C ✓ log x = b  x = a    dx = +C  dx = +C   a ln ln  ✓ log f ( x) = b  f ( x) = a ➢ Phương pháp đổi biến số dạng 1: ✓ log f ( x) = log g( x)  f ( x) = g( x) 2.Bất phương trình lơgarit: I =  f [ t ( x)].t '( x)dx =  f (t )dt ✓ log x  b  x  a a  Một số cách đổi biến thường gặp: log f ( x)  b  f ( x)  a a  ✓  f (ln x) 1x dx → Đặt t = ln x ✓ log x  b  x  a  a  log f ( x)  b  f ( x)  a  a  ✓  f (e )e dx → Đặt t = e ✓ log f ( x)  log g( x)  f ( x)  g( x) a  ✓  f (sin x)cosxdx → Đặt t = sin x ✓ log f ( x)  log g( x)  f ( x)  g( x)  a  ✓  f (cosx)sin xdx → Đặt t = cosx Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, ✓  f (tan x) cos1 x dx → Đặt t = tan x bất phương trình mũ lơgarit: ✓ a → Khơng có điều kiện ✓  f (cot x) sin1 x dx → Đặt t = cot x a f ( x )  b  f ( x)  loga b f ( x) g( x ) f ( x) g( x ) 2 2 x x ax + b ax + b −x b x a −x ax + b ax + b x b a a a b t ( b) a t ( a) b a b a b a x b x x a a a a a f ( x) ✓ log f ( x ) g( x) → Điều kiện:  f ( x)    f ( x)   g( x)   ✓ Đặt t = a → Điều kiện: t  ✓ Đặt t = log x → Khơng có điều kiện t XIII.Cơng thức ngun hàm-tích phân ➢ Công thức nguyên hàm: Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng x a 1.dx = x + C x +1  a.dx = ax + C (ax + b) +1 dx = +C a  +1  x dx =  + + C  (ax + b)  x dx = ln x + C  x dx = x + C 1  ax + b dx = a ln ax + b + C 1  ax + b dx = a ax + b + C 1  x2 dx = − x + C  (ax + b)  cosxdx = sin x + C  cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C   1 dx = − +C a ax + b ✓ Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa A đặt t = A ✓ Khi tính tích phân dạng  sin x cos xdx : n n m n o Nếu m n chẵn ta dùng công thức hạ bậc o Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t = sin x o Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt t = cosx ➢ Phương pháp đổi biến số dạng 2: ✓ Hàm có chứa a − x đặt x = asin t a ✓ Hàm có chứa x − a đặt x = sin t ✓ Hàm có chứa 2 2 a2 + x2 hay đặt a2 + x2 x = atant ➢ Tích phân phần:  u.dv = uv −  v.du ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội b b b a a a LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) (Vì tam giác vng có chung góc S) SMI # SOA  IS SM SA.SM =  IS = SA SO SO Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng (hoặc hình chữ nhật), SA ⊥ ( ABCD) Cách đặc biệt S I D A B C Gọi I trung điểm SC SAC vuông A  IA = IS = IC (1) BC ⊥ AB   BC ⊥ (SAB)  BC ⊥ SB BC ⊥ SA   SBC vuông B  IB = IS = IC (2) CD ⊥ AD    CD ⊥ (SAD )  CD ⊥ SD CD ⊥ SA  Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi I = d  SO Ta có: II  dSOIAIA= =ISIB = IC = ID   IA = IB = IC = ID = IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R = IS Cách tính bán kính: SMI # SOA (Vì tam giác vng có chung góc S)  IS SM SA.SM =  IS = SA SO SO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN OXYZ I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm trục Ox,Oy,Oz đơi vng góc có véctơ đơn vị là: i , j , k vuông D  ID = IS= IC (3) Từ (1), (2) (3)  IA = IB = IC = ID = IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R = IS = 21 SC  SCD Hình 6: Hình chóp S.ABCD S M d I A D O B C II.Tọa độ vectơ: u = ( x; y; z)  u = xi + y j + zk Đặc biệt: = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) III.Tọa độ điểm: M ( x; y; z)  OM = ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Đặc biệt: ✓ M  (Oxy)  z = M Gọi O giao điểm đường chéo  SO trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD ✓ M  (Oyz)  xM = ✓ M  (Oxz)  yM = ✓ M  Ox  yM = zM = ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) M  Oy  V.Tích vơ hướng hai vectơ: ➢ Biểu thức tọa độ tích vơ hướng: ✓ M  Oz  x = y = Nếu a = (a ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) thì: Hình chiếu vng góc điểm a.b = a b + a b + a b “Hoành nhân hoành+ M ( x ; y ; z ) lên: ✓ Trục Ox là: M ( x ;0;0) tung nhân tung + cao nhân cao” ➢ Ứng dụng: ✓ Trục Oy là: M (0; y ;0) ✓ Độ dài vectơ: Nếu a = (a ; a ; a ) ✓ Trục Oz là: M (0;0; z ) a = a +a +a ✓ mp(Oxy) là: M ( x ; y ;0) ✓ Độ dài đoạn thẳng AB: ✓ mp(Oxz) là: M ( x ;0; z ) ✓ xM = zM = M M M M M 12 M 13 M 23 2 M a  b = (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ✓ ka = (ka1; ka2; ka3 ), k  R ✓ a1 = b1  a = b  a2 = b2 a = b  ✓ ✓ 2 2 AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − zA )2 M Góc hai vectơ: ✓ cos(a, b) = a.b a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Điều kiện hai vectơ vng góc: ✓ a ⊥ b  a.b =  a1b1 + a2b2 + a3b3 = “Hồnh hồnh, VI.Tích có hướng hai vectơ: tung tung, cao cao” a phương b (b  0)  tồn số k cho: a = kb ➢ Định nghĩa: Cho hai vectơ  a, b =  a2 a a a  = = , (b1, b2 , b3  0) b1 b2 b3 a = (a , a , a )  b = (b1, b2 , b3 ) Tích có hướng hai vectơ a vectơ xác định sau:  b2 b a3 a3 a1 a1 a2  ; ;  = ( a2b3 − a3b2; a3b1 − a1b3; a1b2 − a2b1 ) b3 b3 b1 b1 b2  Tọa độ vectơ AB = (x − x ; y − y ; z − z ) Quy tắc: 23-31-12 Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng ➢ Cách tính tích có hướng hai vectơ  x +x x = máy tính  1.Máy 570VN PLUS AB:  y = y +2 y   z +z ✓ ON → MODE → → → 1: z =  Nhập tọa độ Vectơ a Toạ độ trọng tâm G tam giác ✓ AC → MODE → → → 1:  x +x +x Nhập tọa độ Vectơ b x =  ✓ AC → SHIFT → → → X → ABC: y = y + y3 + y SHIFT → → → =   z +z +z 2.Máy 570ES PLUS z = B A B A B A B A B A I I A B I ✓ M a1 = kb1   a2 = kb2 a = kb  3 M ✓ ✓ M mp(Oyz) là: M (0; y ; z ) IV.Các công thức tọa độ: Nếu a = (a ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) thì: 2 M 3 M ✓ A B C A B C G G A  B C G ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) ✓ ON → MODE → → → 1: Nhập tọa độ Vectơ a ✓ AC → SHIFT → → → → 1: Nhập tọa độ Vectơ b ✓ AC → SHIFT → → → X → SHIFT → → → = 3.Máy 570MS ✓ ON → SHIFT → → → → 3: Nhập tọa độ Vectơ a ✓ AC → SHIFT → → → → 3: Nhập tọa độ Vectơ b ✓ AC → SHIFT → → → → X → SHIFT → → → → = ➢ Tính chất tích có hướng: ✓ Nếu n =  a, b n ⊥ a n ⊥ b   VII.Phương trình tổng quát mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng qua M ( x ; y ; z ) có VTPT n = ( A; B; C) là: 0 0 A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = ✓ () Nếu có phương trình () có VTPT Ax + By + Cz + D = n = ( A; B; C) ✓ ✓ Hai mặt phẳng song song với VTPT mặt VTPT mặt kia, hai mặt phẳng vng góc VTPT mặt VTCP mặt Khoảng cách từ điểm M ( x ; y ; z ) đến 0 0 ( ) : Ax + By + Cz + D = : mặt phẳng Hai vectơ a b phương với Ax + By + Cz + D d ( M ,( ) ) =  [ a, b] = A + B +C ✓ Ba vectơ a , b c đồng phẳng với mp(Oxy) : z =  ✓ Đặc biệt: mp(Oxz) : y =  [ a, b].c = mp(Oyz) : x =  ( [ a, b].c gọi tích hỗn tạp ba Các dạng tốn viết phương trình mặt vectơ) phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng () ➢ Ứng dụng tích có hướng: ta cần xác định điểm thuộc () ✓ A, B, C thẳng hàng   AB, AC  =   VTPT ✓ A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  AD =   Dạng 1: () qua điểm M ( x ; y ; z ) có VTPT Suy A, B, C, D tạo thành tứ diện n = ( A; B; C ) : (không đồng phẳng)   AB, AC AD  (): A( x − x ) + B( y − y ) + C ( z − z ) = ✓ Diện tích hình bình hành ABCD: Dạng 2: () qua điểm M ( x ; y ; z ) có cặp ✓ 0 2 0 0 0 S ABCD =  AB, AD  VTCP : =  AB, AC ✓ Diện tích tam giác ABC: ✓ Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: SABC a, b α VABCD A' B ' C ' D ' = [ AB, AD].AA' ✓ Thể VABCD = tích tứ [ AB, AC].AD diện ABCD:  Khi VTPT () n =  a, b Dạng 3: () qua điểm M ( x ; y ; z ) song ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội 0 LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0: α – Tìm tâm I mặt cầu (S) β  Khi VTPTn = VTPTn = ( A; B;C) Dạng 4: () qua điểm không thẳng hàng A, B, C:   n – ( ) : QuaH VTPT n( ) = IH  Dạng 8: () song song với mặt phẳng (  ) : Ax + By + Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S): B A C α  Khi VTPT () n =  AB, AC Dạng 5: () mặt phẳng trung trực MN: α I M ():{ N 𝑄𝑢𝑎 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐼 𝑐ủ𝑎 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑇𝑃𝑇 𝑛⃗𝛼 = 𝑀𝑁 Dạng 6: () qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt (), (): – Vì () song song với ( ) nên phương trình mp() có dạng Ax + By + Cz + m = 0(m  D) – Vì () tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d( I ,( )) = R → Giải phương trình ta tìm m Dạng 9: () qua điểm M ( x ; y ; z ) vuông góc với đường thẳng AB: nβ α γ β nγ  Khi VTPT () α  Khi VTPT () n( ) = VTPTn ,VTPTn  Dạng 10: () qua điểm n = AB M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với đường thẳng Dạng 7: () tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H (() tiếp diện mặt cầu (S) H): d ud α  Khi VTPT () n = VTCPud = (a; b; c) ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội  x = x0 + at  d :  y = y0 + bt  y = z + ct  : LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) Dạng 11: () qua điểm M song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo (hoặc cắt nhau): M1 α d2 M2 – Lấy M1 thuộc d1 M2 thuộc d2 d1 d2 QuaM1 – ( ) : VTPT n   M α  =  M1M ,VTCPud    Dạng 16: () chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ():  QuaM ( ) :  VTPT n = VTCPud1 ,VTCPud2      β Dạng 12: () chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): ud d2 M α – Lấy điểm M thuộc d  M  () d1 M d1 – α QuaM1  d1  ( ) :  VTPT n = VTCPud1 ,VTCPud2      QuaM ( ) :    VTPT n = VTCPud ,VTPTn  VIII.Phương trình mặt cầu: ✓ Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) Dạng 13: () chứa đường thẳng d tâm I(a; b; c), bán kính R: điểm M khơng nằm d: ud A ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 d ✓ Dạng Phương trình x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với điều kiện a + b + c − d  phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R = M α - Trên d lấy điểm A -  QuaM ( ) :  VTPT n =  AM ,VTCPud      2: 2 2 2 a2 + b2 + c2 − d ✓ Điều kiện mặt cầu S(I , R) tiếp xúc với Dạng 14: () chứa đường thẳng cắt mặt phẳng (P) là: d(I ,(P)) = R d1, d2: Các dạng tốn viết phương trình mặt d d M cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta α cần xác định tâm I bán kính R mặt – Lấy điểm M thuộc d1 d2  cầu Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) M  () bán kính R: QuaM – ( ) : VTPT n = VTCPu ,VTCPu  (S): ( x − a) + (y − b) + (z − c) = R     Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) Dạng 15: () chứa đường thẳng song qua điểm M: song d1, d2:  d1 d2 ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội 2 2 LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung ) IX.Phương trình đường thẳng: Cho đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ; z ) có VTCP u = (a; b; c) d có ✓ Phương trình tham số là: – Bán kính R = IM Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:  x = xo + at   y = yo + bt  z = z + ct o  0 (t  R) ✓ Phương trình là: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c (nếu a, b, c khác 0) – Tâm I trung điểm đoạn thẳng Các dạng tốn viết phương trình đường  x +x thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d x =  ta cần xác định điểm thuộc d AB:  y = y +2 y  VTCP  z +z z = Dạng 1: d qua điểm M ( x ; y ; z ) có   x = x + at – Bán kính R = IA = AB VTCP u = (a; b; c) : d : y = y + bt ( t  R )  z = z + ct Dạng 4: Mặt cầu (S) qua bốn điểm A,  B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Dạng 2: d qua hai điểm A, B: ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu có Qua A dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (S) d: VTCPu = AB – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (S), ta phương Dạng 3: d qua điểm M ( x ; y ; z ) song song với đường thẳng  cho trước: trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S) QuaM d: Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc VTCPu = VTCPu với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = : Dạng 4: d qua điểm M ( x ; y ; z ) vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: A B A B I I A B I 0 0 0 o o o 2 d 0 d  – Bán kính: R = d(I ,(P)) = Aa + Bb + Cc + D A + B +C 2 0 QuaM d: VTCPud = VTPT nP Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q): ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) d2  (P) – Khi d đường thẳng AB Dạng 9: d qua điểm M ( x ; y ; z ) , vuông góc cắt đường thẳng : Q nP nQ ud d 0 P P – Tìm toạ độ điểm M  d: cách giải hệ phương trình ((QP)) (với việc chọn M0 d Δ H  giá trị cho ẩn, thường cho – x=0 ) QuaM d: VTCPud = VTPTnP ,VTPTnQ  d qua M0 hình chiếu H Dạng 6: d qua điểm M ( x ; y ; z ) vuông đường thẳng  Dạng 10: d qua điểm góc với hai đường thẳng d1, d2: đường thẳng d1, d2: 0 0 d M0 ( x0; y0; z0 ) M0 cắt hai Q d1 ud d2 u d1 d u d2 d2 P M0 d1 QuaM d: VTCPud = VTCPud1 ,VTCPud2  Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm mp(P)) vng góc với đường thằng : Δ nP – Gọi (P) = (M , d ) , (Q) = (M , d ) – Khi d = (P)  (Q) Do đó, VTCP d u = n , n  uΔ d P Q Dạng 11: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2: d Δ Q P  QuaM d:  VTCPud = VTPTnP ,VTCPu  d2 Dạng 8: d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2: d P d1 d2 d1 – Gọi (P) mặt phẳng chứa d1 song QuaM1  d1 A d B P – Tìm giao điểm A = d1  (P), B = song : (P) : VTPT n   p = u , ud1    – Gọi (Q) mặt phẳng chứa d2 song ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung ) QuaM2  d2 song : (Q) : VTPT n   Q d1 cắt d2: = u , ud2    d1 – Khi d = (P)  (Q) Dạng 12: d đường vng góc chung hai đường  x = x2 + a2t  d2 :  y = y2 + b2t z = z + c t 2   x = x1 + a1t  d1 :  y = y1 + b1t z = z + c t 1  thẳng d1 J d2 – Giả sử d cắt d1 I, d cắt d2 N chéo nhau: I d2 J d P M – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d1 – Tìm giao điểm N (P) d2 – Khi d đường thằng qua điểm MN X.Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng ✓ Tìm hình chiếu H điểm M mặt phẳng (P): M – Vì IJ dd II((xx ++aat t; y; y++aat ;tz; z+ c+tc)t ) ,  2 11 2 11 2 11 2  IJ.ud1 =   IJ.ud2 = – Giải hệ phương trình: H ta tìm P M' t ,t từ suy tọa độ I, J – d đường thẳng qua điểm I, J Dạng 13: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng (P): – Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) cách: – Khi đó: H = d  (P) Nếu tốn u cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H trung điểm MM’ nên: Q Δ uΔ nP d P – Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  vng góc với mặt phẳng (P) cách:  QuaM   (Q) :  VTPT nQ =  nP , u      QuaM d: VTCPud = VTPT np  xM ' = 2xH − xM   yM ' = 2yH − yM  z = 2z − z H M  M' ✓ Tìm hình chiếu H điểm M đường thẳng d: – Khi d = (P)  (Q) Dạng 14: d qua điểm M, vng góc với ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) ✓ TH2: (*) vơ nghiệm d // (P) ✓ TH3: (*) có vơ số nghiệm d  (P) Đặc biệt: d ⊥ (P)  n phương u P M H d p M' d   nP, ud  =   XIII.Vị trí tương đối hai đường – Viết phương trình mặt phẳng (P) thẳng: qua M vng góc với d x = x + a t QuaM Cho hai đường thẳng d : y = y + b t cách: (P) :  VTPT np = VTCPud – Khi đó: H = d  (P) Nếu tốn u cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H trung điểm MM’ nên:  xM ' = 2xH − xM   yM ' = 2yH − yM  z = 2z − z H M  M' qua qua d1 d2 có VTCP B( x ; y ; z ) có VTCP A( x1; y1; z1) 2 1 Xét A d2 ✓ (P)  (Q)  1 1 2 2 2 A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 ✓ d1 chéo ✓ d1 cắt Đặc biệt: (P) ⊥ (Q)  trình nP ⊥ nQ  nP nQ =  A1A2 + B1B2 + C1C2 = XII.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = đường thẳng d: Tính  u1,u2AB  x = x0 + ta   y = y0 + tb   z = z0 + tc // d1 ≡ d2 d1 // d2 d1 cắt d2 u1,u2AB ≠ u1 không phương u2 u2 = (a2; b2; c2 ) u1,u2AB = u1,u2 ≠ (Q) : A2 x + B2y + C2z + D2 = u1 = (a1; b1; c1) A khơng thuộc d2 Tính  u1,u2 ✓ (P), (Q) cắt  A : B : C  A : B : C ✓ (P) // (Q)  AA = BB = CC  DD z = z + c t 1  A thuộc d2 u1 phương u2 1  x = x2 + a2t  d2 :  y = y2 + b2t z = z + c t 2  u1,u2 = XI.Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P) : A x + B y + C z + D = 1 d1 chéo d2 d2  u1, u2  AB     u1, u2     d2     u1, u2  AB =    x1 + a1t1 = x2 + a2t2   y1 + b1t1 = y2 + b2t2 z + c t = z + c t  11 2 hệ phương có nghiệm  u1, u2  =   d2      A  d2 ✓ d1 ✓  u1, u2  =   d1  d2     A  d  Đặc biệt: d ⊥ d  u u =  a a + b b + c c = Thay phương trình đường thẳng d vào XIV.Vị trí tương đối mặt phẳng phương trình mặt phẳng (P) ta mặt cầu: Cho mặt phẳng () mặt cầu (S) có phương trình bậc ẩn t: tâm I, bán kính R A( x + at ) + B( y + bt ) + C(z + ct ) + D = (*) ✓ d( I ,( ))  R () (S) khơng có điểm ✓ TH1: (*) có nghiệm d chung cắt (P) 0 d1 d2 ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội 2 LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng M ✓ () (S) có điểm chung H Khi ta nói () tiếp xúc với (S) H H gọi tiếp điểm, (P) gọi tiếp diện (S) H d( I ,( )) = R ✓ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng d M P H ✓  Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu I mp() d( I ,( ))  R () (S) cắt theo giao tuyến đường tròn (C) Tâm H đường tròn (C) hình chiếu I mp(), bán kính (C) r = R − d với d = d( I ,( )) ✓ Khoảng cách từ điểm M đến đường thằng  : ▪ Cách 1: Giả sử đường thẳng  qua M có vectơ phương u Ta có: d ( M,) =  M M , u   u ▪ Cách 2: P M Δ H XV.Khoảng cách: ✓ Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D=0 M ✓ d ( M ,( ) ) = ✓ Ax0 + By0 + Cz0 + D α A2 + B2 + C2 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ – Tìm tọa độ hình chiếu H M đường thẳng  – Khi d( M , ) = MH Khoảng cách hai đường thẳng song song   : Bằng khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng  đến đường thẳng  1 ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội 2 LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) M1 Δ1 H “hoành hoành, tung tung” ✓ Tọa độ a  b, ka : Δ2 M2 a  b = (a1  b1; a2  b2 ) d(1, 2 ) = d( M1, 2 ) = MH ✓ Khoảng cách hai đường thẳng chéo   : ▪ Cách 1: Giả sử đường thẳng  qua điểm M có vectơ phương u , đường thẳng  qua điểm M có vectơ phương u Ta có: a = b a=b  1 a2 = b2 ✓ Hai vectơ nhau: P ka = (ka1; ka2 ) ✓ Cơng thức tính tọa độ vectơ: AB = ( xB − xA; yB − yA ) ✓ I trung điểm AB  xA + xB  xI =   y = yA + yB  I ✓G tâm 1 2 u , u  M M  2 u , u   2 d ( 1 ,  ) = ▪ Cách 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo   khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng M2 Δ2 Δ1 α H trọng ABC  xA + xB + xC  xG =   y = yA + yB + yC  G ✓ Tích vơ hướng hai vectơ: ▪ a.b = a b cos( a,b) ▪ a.b = a b + a b “hoành x hoành + tung x tung” ✓ Điều kiện vng góc hai vectơ: a ⊥ b  a.b =  a b + a b = ✓ Độ dài vectơ - khoảng cách hai điểm: ▪ a = (a ; a )  a = a + a ▪ AB = AB = ( x − x ) + (y − y ) ✓ Góc hai vectơ: 1 2 1 2 2 2 B M1 – Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa  song song với  cách: Qua  ( ) :  VTPT   ( ) cos a, b = a.b = a.b u1 ,VTCP 2 2 A a1.b1 + a2 b2 a + a22 b12 + b22  AB = ( x; y)   AC = ( x '; y ') u2   – Khi đó: d( ,  ) = d(M ,( )) HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY I.Các công thức tọa độ: Cho hai vectơ a = (a ; a ); b = (b ; b ) B ✓ Cơng thức tính diện tích tam giác: M1 n( ) = VTCP  A SABC = x y = xy '− x ' y x' y' II.Phương trình đường thẳng mặt phẳng 1.Phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng: Đường ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) thẳng d qua điểm M ( x ; y ) , nhận u = (a; b) làm 4.Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: vectơ phương có: ✓ Để lập phương trình tham số ✓ Phương trình tham số là:  x = x + at phương trình tắc đường tR) (   y = y + bt thẳng  ta cần xác định điểm ✓ Phương trình tắc: M ( x ; y )   VTCP u = ( a; b) x− x y− y =  ( a  0, b  0) a b PTTS : yx == yx ++ btat 2.Phương trình tổng quát đường  thẳng: x− x y− y = (a, b  0) PTCT : a b ✓ Phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ) , nhận ✓ Để lập phương trình tổng quát n = ( A; B) làm vectơ pháp tuyến là: đường thẳng  ta cần xác định A( x − x ) + B( y − y ) = điểm M ( x ; y )   VTPT n = ( A; B)  ✓ Nếu đường thẳng d có phương PTTQ : A( x − x ) + B(y − y ) = trình tổng quát Ax + By + C = , vectơ Dạng 1: Phương trình đường thẳng d pháp tuyến (d) n = ( A; B) qua hai điểm A, B: ✓ Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = ( A; B) d có vectơ  Qua A AB :  phương u = (−B; A) hay u = (B; − A)  VTCPu = AB  VTPT n ✓ Nếu đường thẳng d có vectơ Dạng 2: Viết phương trình đường cao AH phương u = (a; b) d có vectơ pháp tam giác ABC tuyến n = (−b; a) hay n = (b; −a) A ✓ Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát Ax + By + C = : B C QuaA H AH :  ▪ Nếu d’ song song với d d’ VTPT n = BC có phương trình Dạng 3: Viết phương trình đường trung 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A Ax + By + m = (m  D ) ▪ Nếu d’ vuông góc với d d’ có phương trình − Bx + Ay + m = 3.Phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc cho trước: Phương trình đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ) , có hệ số góc k là: 0 0 B tuyến AM tam giác ABC Vì M trung điểm BC nên  x + xC yB + yC  M B ;    A Qua A AM :  VTCPu = AM  VTPT n y − y0 = k( x − x0 ) ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội B M C LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) Dạng 4: Viết phương trình đường trung trực AB Gọi M trung điểm AB Cho hai đường thằng 1 : A1x + B1y + C1 =  : A2 x + B2 y + C2 = B M  QuaM d:  VTPT n = AB V.Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng  : A x + B y + C = 1 1 2 : A2 x + B2 y + C2 = Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình:  A x + B y + C = (1)  A x+ B y+C =  1 2 A + A22 B12 + B22 VII.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho M ( x ; y )  : Ax + By + C = d A A1A2 + B1B2 cos( 1,  ) =  x + xB yA + yB   M A ;    d( M0 , ) = 0 Ax0 + By0 + C A2 + B2 IX.Tìm hình chiếu điểm đối xứng điểm qua đường thẳng M d H M'  Để tìm điểm H hình chiếu điểm M A B  cắt 2  hệ (1) có nghiệm đường thẳng d, ta thực sau: A B (nếu A , B ,C  ) ✓ Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với d, ✓  A B C cách: =  (nếu // 2  hệ (1) vô nghiệm A B C ✓ A2 , B2 ,C2  1 2 1 2 )  ✓ QuaM : VTCPu = VTPT nd  2  hệ (1) có vơ số nghiệm (nếu A , B ,C  ) A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 2 ✓ Khi H = d   Nếu toán yêu cầu tìm M đối xứng với M qua d, ta có H trung điểm MM nên:  Đặc biệt:  ⊥   n ⊥ n  A A + B B =  x = 2x − x   x = 2y − y VI.Vị trí tương đối hai điểm X.Phương trình đường tròn mặt đường thẳng Cho đường thẳng : Ax + By + C = hai phẳng ✓ Dạng 1: Đường tròn tâm I(a;b) bán điểm M( x ; y ), N( x ; y )   kính R: ( x − a) + (y − b) = R (C) ✓ M, N nằm phía   ✓ Dạng 2: Cho phương trình ( Ax + By + C)( Ax + By + C)  x + y − 2ax − 2by + c = 0(* ) ✓ M, N nằm khác phía   Nếu a + b − c  (* ) phương trình đường ( Ax + By + C)( Ax + By + C)  tròn tâm I(a;b) bán kính R = a + b − c VII.Góc hai đường thẳng: M M N 2 M' H M M' H M N M M N N 2 M M N 2 2 N ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung ) XI.Các dạng tốn viết phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường tròn (C) là: ( x − a)2 + ( y − b)2 = R2 Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A I A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có đường kính AB (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c  phương trình (C) Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng  – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d  – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 có tâm nằm đường thẳng d – Tâm I (C) thoả mãn: B I A – Tâm I trung điểm AB  x + xB yA + yB  I A ;    ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 AB = 2 – Bán kính R = Dạng 3: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng  I – Bán kính R = d(I , ) Dạng 4: (C) qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) – Phương trình (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào 2 d( I , 1 ) = d( I ,  )   I  d – Bán kính R = d(I , ) Dạng 7: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng  – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Tâm I (C) thoả mãn: dI (I ,d) = IA  – Bán kính R = IA Dạng 8: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng  điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng  qua B vng góc với  – Xác định tâm I giao điểm d  – Bán kính R = IA ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung ) XII.Các dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ✓ Dạng 1: Tiếp tuyến đường tròn điểm M ( x ; y ) thuộc đường tròn 0 - Giả sử  tiếp tuyến qua M có hệ số góc k  : y = k( x − x0 ) + y0 tiếp xúc với (C) nên d ( I ,  ) = R → Tìm k Lưu ý: Nếu khơng tìm tiếp tuyến ta phải xét đường thẳng  : x = x (là đường thẳng qua M khơng có hệ số góc) Kiểm tra điều kiện tiếp xúc d ( I ,  ) = R - QuaM : Vtpt n = IM ✓ Dạng 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : Ax + By + C =  - Giả sử  tiếp tuyến đường tròn - Vì  / /d nên phương trình  : Ax + By + m = 0(m  C) tiếp tuyến với (C)  d ( I ,  ) = R → Tìm m ✓ Dạng 3: Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : Ax + By + C = -  - Giả sử  tiếp tuyến đường tròn - Vì  ⊥ d nên phương trình  : − Bx + Ay + m = tiếp tuyến với (C)  d ( I ,  ) = R → Tìm m ✓ Dạng 4: Tiếp tuyến qua điểm -  M ( x0; y0 ) ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội ... cot  Hệ quả: 7 .Công thức nhân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a;cos3a = 4cos3 a − 3cosa 8.Cơng thức biến đổi tích thành tổng: ☎️ ☎️ ☎️ 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN Đc Số Ngách 47 Ngõ 31 8 La Thành,Đống... b2 , b3  0) b1 b2 b3 a = (a , a , a )  b = (b1, b2 , b3 ) Tích có hướng hai vectơ a vectơ xác định sau:  b2 b a3 a3 a1 a1 a2  ; ;  = ( a2b3 − a3b2; a3b1 − a1b3; a1b2 − a2b1 ) b3 b3 b1... vectơ: ✓ cos(a, b) = a.b a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Điều kiện hai vectơ vng góc: ✓ a ⊥ b  a.b =  a1b1 + a2b2 + a3b3 = “Hoành hồnh, VI.Tích có hướng hai vectơ: tung