TOÀN BỘ CÔNG THỨC TOÁN LTDH

Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 1 CĂN BẬC HAI 1. AA  2 2. BAAB . (A0, B0 ) 3. B A B A  (A0, B>0) 4. BABA  2 (B0) 5. BABA 2  (A0, B0) 6. BABA 2  (A<0, B0) 7. B BA B A  (B>0) 8. AB BB A 1  (AB0, B≠0) 9) 2 )( BA BAC BA C     (A0, A≠B 2 ) 10) BA BAC BA C    ( (A0, B0, A≠B) 11)0  A < B  BA  BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 2 2 2 ( ) 2 A B A AB B     2 2 2 ( ) 2 A B A AB B         2 2 A B A B A B       3 3 2 2 3 3 3 A B A A B AB B        3 3 2 2 3 3 3 A B A A B AB B        3 3 3 2 2 ( )( ) 3 ( ) A B A B A AB B A B AB A B              3 3 2 2 A B A B A AB B        2 2 2 2 A B A B AB     NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT Ax B   A  0 : phương trình có nghiệm duy nhất : A B x  .  A = 0 và B  0 : phương trình vô nghiệm.  A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm.( x R   ) Ax B   A > 0 : A B x  0 B A x A      A = 0 và B  0 : vô nghiệm  A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm. ( ) x R   NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 1/. Dạng :      /// cybxa cbyax 2/. Cách giải : baab ba ba D // //  ; bccb bc bc D x // //  ; caac ca ca D y // //   D  0 : hệ có nghiệm duy nhất          D D y y D D x x Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 2  D = 0 và D x  0 Hệ vô nghiệm. D = 0 và D y  0  D = D x = D y = 0 : Hệ vô số nghiệm tùy thuộc a, b, c, a / , b / , c / NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN ax 2 + bx + c = 0 ( a  0)   = b 2 – 4ac  > 0 a b x 2 1   , a b x 2 2    = 0 Nghiệm kép a b xx 2 21   < 0 Vô nghiệm   / = b / 2 – ac  / > 0 a b x // 1   , a b x // 2    / = 0 Nghiệm kép a b xx / 21   / < 0 Vô nghiệm Chú ý:  a + b + c = 0 : Nghiệm x 1 = 1, x 2 = a c  a – b + c = 0 : Nghiệm x 1 = –1, x 2 = a c  . Cho tam thức f(x) = ax 2 + bx + c ( 0) a  có 2 4 b ac    f(x) = 0 có hai nghiệm 0    ;f(x) = 0 có nghiệm kép 0    ; f(x) = 0 vơ nghiệm 0    f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu 0 0 a P       f(x) = 0 có hai nghiệm cùng dấu 0 0 a P       f(x) = 0 có hai nghiệm âm 0 0 0 0 a S P              f(x) = 0 có hai nghiệm dương 0 0 0 0 a S P              f(x) > 0 0 0 a x         f(x)  0 0 0 a x         f(x) < 0 0 0 a x         f(x)  0 0 0 a x         f(x) > 0 vơ nghiệm  f(x) 0 x   0 0 a        f(x)  0 vơ nghiệm  f(x) 0 x   0 0 a        f(x) < 0 vơ nghiệm  f(x) 0 x   0 0 a        f(x)  0 vơ nghiệm  f(x) 0 x   0 0 a        Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 3 NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a  0) x –  a b  + f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC f(x) = ax 2 + bx + c ( a  0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG) Nếu Thì      0 0 a      0 0 a f(x) > 0, x f(x) < 0, x      0 0 a      0 0 a f(x) > 0, x  a b 2  f(x) < 0, x  a b 2   > 0 x –  x 1 x 2 + f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a Hoặc : f(x) = ax bx c 2   (a  0)  < 0 a.f(x) > 0,  x  R  = 0 a.f(x) > 0,  x  b R a \ 2         > 0 a.f(x) > 0,  x  ( – ∞ ; x 1 )  (x 2 ∞ ; + ) a.f(x) < 0,  x  (x 1 ; x 2 ) NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ Cho: f(x) = ax 2 + bx + c ( a  0) và ,  là hai số thực(    ) 1/. x 1 <  < x 2  af(x) < 0 2/. x 2 > x 1 >             0 2 0)( 0   S af 3/. x 1 < x 2 <             0 2 0)( 0   S af 4/. x 1 <  <  < x 2       0)( 0)(   af af 5/. x 1 <  < x 2 <       0)( 0)(   af af 6/.      21 21 xx xx    0)()(    ff 7/.  < x 1 < x 2 <                  2 0)( 0)( 0 S af af  Chú ý: Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 4 1/. x 1 < 0 < x 2  P < 0 2/. x 2 > x 1 > 0          0 0 0 S P 3/. x 1 < x 2 < 0          0 0 0 S P NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1/.       K K BA B BA 2 2 0 2/.       )0(0 22 hayBA BA BA KK   g x f x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )          f x hoặc g x f x g x f x g x ( ) 0 ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( )         NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1/.          K K BA B A BA 2 2 0 0 2/.                   K K BA B A B BA 2 2 0 0 0 3/. 12 12    K K BABA   f x f x g x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )             g x f x f x g x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )                    NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/.                   0 0 B BA B BA BA 2/.       BA BA BA Chú ý:                   0 )()( 0 )()( )()( x xgxf x xgxf xgxf NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/.       0B BAB BA 2/. 0 0 0 B A B A B B A B B                         3/. 22 BABA         nếu 0 nếu 0 A A A A A ;   2 2 , A A A Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 5 NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/. ĐỊNH NGHĨA : Dạng : A > B, A  B , A < B, A  B 2/. TÍNH CHẤT : a) abba    ; b) ca cb ba       ; c) cbcaba      ;d)       0, 0, cbcac cbcac ba e) dbca dc ba       ;f) bdac dc ba       0 0 ;g)          0; 11 0; 11 abkhi ba abkhi ba ba 3/. BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a 1 , a 2 , a 3 , , a n n n n aaaa n aaaa 321 321   Hay n n n n aaaa aaaa         321 321 Dấu đẳng thức xảy ra  a 1 = a 2 = a 3 = = a n. Cơ si cho 2 số khơng âm: , 0 a b  : 2 a b ab   .Dấu “=” xảy ra khi a b  . Tính chất: Cho 2 số khơng âm , a b .  Nếu a b   hằng số thì . a b đạt giá trị lớn nhất khi a b  .  Nếu . a b  hằng số thì ( ) a b  đạt giá trị nhỏ nhất khi a b  . 4/. BĐT Bunhia Côp ski : Cho a 1 , a 2 , a 3 , , a n , b 1 , b 2 , b 3 , , b n là những số tực khi đó: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa  Dấu đẳng thức xảy ra  a i = k.b i , i = 1 , 2 , 3, , n 5/. BĐT BecnuLi : Cho : a > –1, n  N.Ta có : (1 + a) n  1 + na Đẳng thức xảy ra       1 0 n a 6/. BĐT tam giác : BABA  .Đẳng thức xảy ra  AB  0. NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức ) 1/. 2 2 1 sin x cos x   2/. sinx tanx cosx  3/. cosx cotx sinx  4/. . 1 tanx cotx  5/. 2 2 1 1 tan x cos x   6/. 2 2 1 1 cot x sin x   Điều kiện tồn tại :  tanx là(x  / 2 + k , k  Z)  cotx là (x  k , k  Z)  sinx là – 1  Sinx  1  cosx là – 1  Cosx  1 Chú ý :  a 2 + b 2 = ( a + b) 2 – 2ab  a 3 + b 3 = ( a + b) 3 – 3ab( a + b) B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ): Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 6 7/. ( ) cos . sin . cos a b a cosb a sinb    8/. ( ) cos . sin . cos a b a cosb a sinb    9/. ( ) sin . cos . sin a b a cosb a sinb    10/. ( ) sin . . sin a b a cosb cosa sinb    11/. ( ) 1 tan . tana tanb tan a b a tanb     12/. ( ) 1 . tana tanb tan a b tana tanb     13/. cot . 1 ( ) a cotb cot a b cota cotb     14/. cot 1 ( ) acotb cot a b cota cotb     C. CÔNG THỨC NHÂN: I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức) 15/. 2 2sin . sin a a cosa  16/. 2 2 2 2 2 2 1 1 2 cos a cos a sin a cos a sin a       17/. 2 2 2 1 tana tan a tan a   II. NHÂN BA : ( 3 công thức) 18/. CosaaCosaCos 343 3  19/. aSinSinaaSin 3 433  20/. a Tan aTanTana aTan 2 3 3 1 3 3    III. HẠ BẬC : ( 4 công thức) 21/. 2 21 2 aCos aSin    aSinaCos 2 221  22/. 2 21 2 aCos aCos    aCosaCos 2 221  23/. 4 33 3 aSinSina aSin   24/. 4 33 3 aCosCosa aCos   IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) với 2 x Tant  25/. 2 1 2 t t Sinx   26/. 2 2 1 1 t t Cosx    , 27/. 2 1 2 t t Tanx   D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức) 28/. 2 2 2 ba Cos ba CosCosbCosa    29/. 2 2 2 ba Sin ba SinCosbCosa    30/. 2 2 2 ba Cos ba SinSinbSina    31/. 2 2 2 ba Sin ba CosSinbSina    32/. CosaCosb baSin TanbTana )(   33/. CosaCosb baSin TanbTana )(   34/. SinaSinb baSin CotbCota )(   35/. SinaSinb baSin CotbCota )(    E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức) 36/.     )( 2 1 baCosbaCosCosaCosb  37/.   )()( 2 1 baCosbaCosSinaSinb  38/.   )()( 2 1 baSinbaSinSinaCosb  Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 7 CHUÙ YÙ:   2 2 2 2 1 sin 2 sin cos ;1 sin 2 (sin cos ) ;1 sin (sin cos ) ;1 sin sin cos 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x                   2 2 2 2 1 cos 2 2sin ;1 cos 2 2cos ;1 cos 2 cos ;1 cos 2 sin 2 2 x x x x x x x x        sin cos 2 sin 2 cos ;sin cos 2 sin ; cos sin 2 cos 4 4 4 4 x x x x x x x x x x                                        sin 3 cos 2 cos 2sin ; 3 sin cos 2sin 2 cos 6 3 6 3 x x x x x x x x                                       F. CUNG LIEÂN KEÁT : Góc hơn kém  Góc hơn kém 2  sin( ) sin       sin cos 2            cos( ) cos       cos sin 2             tan( ) tan      tan cot 2             cot( ) cot      cot tan 2             Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cos     sin( ) sin      sin cos 2            sin( ) sin      cos( ) cos       cos sin 2            tan( ) tan      tan( ) tan       tan cot 2            cot( ) cot      cot( ) cot       cot tan 2            Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 8 G. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt: NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A. CƠ BẢN : Sinu = Sinv         2 2 kvu kvu k  Z Cosu = Cosv  2kvu     Tanu = Tanv  kvu    Cotu = Cotv  kvu    Sinu = 0  ku   Sinu = 1   22/ ku    Sinu = – 1   22/ ku     Cosu = 0   ku    2/ Cosu = 1  2ku   Cosu = – 1   2ku    B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos Dạng: aSinx + bCosx = c (1) ( a 2 + b 2  0 ). Phương pháp : Cách 1: Chia hai vế cho 22 ba  .Đặt :  Sin ba b Cos ba a     2222 ; . (1)  22 )( ba c xSin    (*). (*) Có nghiệm khi : 1 22   ba c 222 cba  . (*) Vô nghiệm khi 222 cba  Cách 2:  Kiểm chứng x = (2k + 1) có phải là nghiệm của phương trình hay không? 0 6  4  3  2  2 3  3 4   3 2  2  0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3  –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3  –1 0 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 9 Xét x  (2k + 1) .Đặt : 2 x Tant  . Thế 2 2 2 1 1 ; 1 2 t t Cosx t t Sinx      . Vào phương trình (1)  t ?  x ? C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1/. Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a 0 0 2  cbSinxxaSin ( đặt 1,  tSinxt )  0 2  cbCosxxaCos (đặt 1,  tCosxt )  0 2  cbTanxxaTan ( đặt   kxTanxt  2 , )  0 2  cbCotxxaCot ( đặt  kxCotxt   , ) 2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx Dạng:  0 22  xcCosbSinxCosxxaSin (1)  0 3223  xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2) Phương pháp : Cách 1:  Kiểm x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ?  Chia hai vế cho Cos 2 x ( dạng 1), chia Cos 3 x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx. Cách 2: Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và 2 2xSin SinxCosx  thế vào 3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx: Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) Phương pháp: Đặt : 2), 4 (2  txSinCosxSinxt  0 2 1 (*) 2    c t bat t  ( nếu có) x  Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự : Đặt : 2), 4 (2  txSinCosxSinxt  0 2 1 (*) 2    c t bat  t ? ( nếu có)  x ? D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 1/. Tổng bình phương :  A 2 + B 2 + + Z 2 = 0  A = B = = Z = 0  A  0, B  0, , Z  0 Ta có : A + B + + Z = 0  A = B = = Z = 0 2/. Đối lập : Giả sử giải phương trình A = B(*). Nếu ta chứng minh      KB KA       KB KA (*) 3/.         klBA kB lA       kB lA 4/. 1,1  BA       1 1 1 B A AB hay      1 1 B A NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIAC Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 10 H B C A 1.TAM GIÁC THƯỜNG ( các đònh lý) Hàm số Cosin  bcCosAcba 2 222   bc acb CosA 2 222   Hàm số Sin  R SinC c SinB b SinA a 2  R a SinARSinAa 2 ,2  Hàm số Tan  ba ba BA Tan BA Tan      2 2 Các chiếu  cCosBbCosCa   Trung tuyến  4 )(2 222 2 acb m a   Phân giác  2 . 2 a A bc Cos l b c   Diện tích  cba chbhahS 2 1 2 1 2 1   abSinCacSinBbcSinAS 2 1 2 1 2 1   prS   R abc S 4   ))()(( cpbpappS  Chú ý:  2 )( 2 )( 2 )( C Tancp B Tanbp A Tanap p S r   SinC c SinB b SinA a S abc R 2 2 2 4   a, b, c : cạnh tam giác.  A, B, C: góc tam giác.  h a : Đường cao tương ứng với cạnh a.  m a : Đường trung tuyến vẽ từ A.  R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.  2 cba p    Nữa chu vi tam giác. 2.HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:  ACABBCAH CHBHAH . 2    BCBHAB . 2   CBCHAC . 2   222 ACABBC  222 111 AC AB AH  [...]... Hàm số mũ là hàm số xác đònh bởi công thức : y = ax ( x  R) 2/ TÍNH CHẤT : a) Hàm số mũ liên tục trên R b) y = ax > 0 mọi x  R 11 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 c) a > 1 : Hàm số đồng biến : a x1  a x2  x1  x2 a x1  a x2  x1  x 2 d) 0 < a < 1 : Hàm số nghòch biến: 3/ ĐỒ THỊ : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 1 1 4.CÔNG THỨC:  a a 1)a a  a ; 3)(a )... d1 cắt d2  1  1 ; d 1 // d 2  1  1  1 ; d 1  d 2  1  1  1 A2 B2 A2 B2 C 2 A2 B2 C 2 11/ Góc của hai đường thẳng d1 và d2 : Xác đònh bởi công thức : Cos  A1 A2  B1 B2 A12  B12 2 2 A2  B2 Cho ABC Để tính góc A trong ABC, ta có thể sử dụng cơng thức:         AB AC cos A  cos  AB, AC       AB AC 12/ Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 :...  k, k  Z) sin x sin u Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) (ex)' = ex (eu)' = eu.u' (ax)' = axlna (au)' = aulna.u' 1 u' (ln x )'  (ln u )'  x u 1 u' (log a x )'  (log a u )'  x ln a u ln a MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ĐẶC BIỆT: ax  b ad  bc ax 2  bx  c adx 2  2aex  be  dc ( )' = ( )'  cx  d dx  e (cx  d ) 2 (dx  e) 2 ( ax 2  bx  c (ae  bd ) x 2  2(af  dc ) x  bf ... f (dx 2  ex  f ) 2 NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c , c  (a, b): f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a) NHỚ 21 : 1/ CÔNG THỨC NewTon _ Leibnitz : BẢNG TÍCH PHÂN b  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F ( a ) (với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  a , b  ) a 2/ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : b b b  udv  [u.v]a   vdu a với... f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x)  HÀM SỐ LOGARIT 1/ Đònh nghóa : a Với số 0  a  1, b  0 log a b    a   b b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a  1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a  1) 2/ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ logarit : b 2) log a (b.c)  log a b  log a c 3) log a    log a b  log a c ; c 1  4) log a b    log a b 5)... CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC: Cho z  r (cos   i sin ) , z '  r '(cos  ' i sin  ') :  z.z '  rr '. cos(   ')  i sin(   ')  z r   cos(   ')  i sin(   ') z' r ' 12 CƠNG THỨC Moa–vrơ: n n ( n N*)   r(cos   i sin )  r (cos n  i sin n) , n   cos   i sin    cos n  i sin n 13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:  Số phức z  r (cos   i sin ... C  2 ln 5 1  cos(2 x  1)dx  2 sin(2 x  1)  C 1  sin(3x  1)dx   3 cos(3x  1)  C 1 1  cos2 (2 x  1) dx  2 tan(2 x  1)  C 1 1  sin 2 (3x  1) dx   3 cot(3x  1)  C *Chú ý: Những cơng thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương pháp đổi biến số đặt u  ax  b  du  ?.dx  dx  ?.du 1  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C, a  0 Ví dụ: Chứng minh Giải:... nhọn tạo bởi d 1, d2 t1 = t2 t1 = – t2 20 Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2 t1 = – t2 t1 = t2 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 13.CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:     nd  u /    d a Chú ý:  d  d '  nd  nd ' d  d /      u d  nd /  NHỚ 26: ĐƯỜNG TRÒN 1/ Đònh nghóa : M  (c)  OM = R 2/ Phương trình đường tròn tâm I( a, b) .       1 0 n a 6/. BĐT tam giác : BABA  .Đẳng thức xảy ra  AB  0. NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức ) 1/. 2 2 1 sin x cos x   2/. sinx tanx cosx .  a 2 + b 2 = ( a + b) 2 – 2ab  a 3 + b 3 = ( a + b) 3 – 3ab( a + b) B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ): Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________. a b cota cotb     14/. cot 1 ( ) acotb cot a b cota cotb     C. CÔNG THỨC NHÂN: I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức) 15/. 2 2sin . sin a a cosa  16/. 2 2 2 2 2 2 1 1 2 cos a cos a sin