TOÀN BỘ CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 1 TÓM T ẮT CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3 A.Đ ẠI SỐ. 1. Tam th ức bậc hai. Gi ả sử 2 ( ) 0; , ; ;                   b f x ax bx c a S a 0 ( ) 0 0            a f x x 1 2 1 2 0 ( ) 0                  x x x x af 0 ( ) 0 0            a f x x 1 2 ( ) 0 ( ) 0              af x x af  là nghi ệm của ( )f x ( ) 0 f 1 2 ( ) 0 ( ) 0              af x x af 1 2 ( ) 0    x x af 1 2 ( ) 0 ( ) 0              af x x af 1 2 0 ( ) 0 0 2                   x x af S 1 2 1 2 ( ). ( ) 0                  x x f f x x 1 2 0 ( ) 0 0 2                   x x af S 1 2 0 ( ) 0 ( ) 0 0 2 0 2                                af x x af S S 2. B ất đẳng thức Cô si: V ới hai số 0, 0 a b thì 2   a b ab . D ấu '' '' x ảy ra  a b Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 2 3. Phương tr ình – b ất ph ương trình chứa trị tuyệt đối    A B A B 2 2   A B A B 2 0       B A B A B         A B A B A B     A B B A B 4. Phương tr ình – b ất ph ương trình chứa căn   0 0          A B A B A B 2 0 0           A A B B A B 2 0       B A B A B 2 0 0 0              B B A B A A B 0       A A B A B B. H Ệ THỨC L ƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG . 1. Đ ịnh lý hàm số Cosin: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos          a b c bc A b a c ac B c a b ab C 2. Đ ịnh lý hàm số Sin: 2 sin sin sin    a b c R A B C Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 3 3. Công th ức tính diện tích tam giac: 1 1 1 2 2 2    a b c S ah bh ch 4  abc S R 1 1 1 sin sin sin 2 2 2   S ab C ac B bc A          S p p a p b p c .S p r C.H Ệ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ . I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để giải một hệ ph ương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp thế. Bên cạnh đó ta còn có m ột số loại hệ ph ương trình đặc biệt. II. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT. 1. H Ệ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN  D ạng: 1 1 1 2 2 2 (*)        a x b y c a x b y c  Cách giải: Công th ức Crammer Đ ặt 1 1 2 2  a b D a b ; 1 1 2 2  x c b D c b ; 1 1 2 2  y a c D a c - N ếu 0D : h ệ (*) có nghiệm duy nhất          x y D x D D y D - N ếu 0D và 0 x D hay 0 y D : h ệ (*) vô nghiệm. - N ếu 0   x y D D D : h ệ (*) có hai tr ường hợp xảy ra: hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. 2. H Ệ PH ƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT.  D ạng: ( , ) 0 (*) ( , ) 0      f x y g x y trong đó khi hoán v ị vai tr ò của x và y cho nhau, từng phương trình của hệ không thay đổi.  Cách giải: Đ ặt ;  S x y P xy Gi ải tìm S, P. Suy ra x, y là nghiệm của phương trình 2 0  X SX P Đi ều kiện để ph ương trình trên có nghiệm là 2 4 0   S P Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 4 3. H Ệ PH ƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI.  D ạng: ( , ) 0 (1) (*) ( , ) 0 (2)      f x y f y x trong đó khi hoán v ị vai tr ò của x và y cho nhau,thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại.  Cách gi ải: Có 2 cách Cách 1: ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0       f x y f y x f y x Cách 2: ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0        f x y f y x f x y f y x 4. H Ệ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP .  D ạng: H ệ ph ương trình đẳng cấp là hệ phương trình mà cấp của tất cả đơn thức trong hệ đều bằng nhau.  Cách giải: - Xét 0x , th ế vào hệ tìm y. - Xét 0x , đ ặt y tx , th ế vào hệ tìm t, sau đó suy ra x và y. D.LƯ ỢNG GIÁC . I. CÔNG TH ỨC L ƯỢNG GIÁC. 1. Các cung liên quan đ ặc biệt 1.1 Hai cung đối nhau: (  và -  ) cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot                    1.3 Hai cung ph ụ nhau: (  và 2   ) sin cos cos sin 2 2 tan cot cot tan 2 2                                             1.2 Hai cung bù nhau: (  và   ) sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot                        1.4 Hai cung hơn, kém  : (  và   ) sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot                       1.5 Cung hơn kém 2  : cos sin ; sin cos ; 2 2                    x x x x Ghi nhớ: ‘ cos đ ối; sin bù; phụ chéo; hơn, kém  tan, cot ‘. Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 5 2. Các công th ức lượng giác cơ bản 2 2 sin cos 1  x x 2 2 1 1 tan cos   x x 2 2 1 1 cot sin   x x tan .cot 1 x x sin tan cos  x x x cos cot sin  x x x 3. Công th ức cộng sin( ) sin .cos cos .sin cos( ) cos .cos sin .sin tan tan tan( ) 1 tan .tan           a b a b a b a b a b a b a b a b a b 4. Công th ức nhân 4.1 Công th ức nhân đôi 2 2 2 2 2 sin 2 2sin cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tana tan2 1 tan          a a a a a a a a a a 4.2 Công th ức nhân ba 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan        a a a a a a a a a a 5. Công th ức hạ bậc 2 2 3 3 1 cos2 1 cos 2 sin cos 2 2 3sin sin3 3cos cos3 sin cos 4 4         a a a a a a a a a a 6. Công th ức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2                  a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Bng túm tt cụng thc Toỏn hc ph thụng Trng PTTH Ngụ Thi Nhim Giỏo viờn biờn so n: Trng Hoi Trung 6 7. Cụng th c bin i tớch thnh tng 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b II. PHNG TR èNH LNG GIC D NG 1. PHNG TRèNH LNG GIC C BN Ki n thc c bn 2 sin sin 2 u v k u v u v k 2 cos cos 2 u v k u v u v k tan tan 2 u v u v k cot cot 2 u v u v k Trng hp c bit: sin 0 u u k cos 0 2 u u k sin 1 2 2 u u k cos 1 2 u u k sin 1 2 2 u u k cos 1 2 u u k D NG 2. PHNG TRèNH BC HAI I VI MT HM S LNG GIC Kin thc c bn Phng tr ỡnh bc hai theo mt hm s lng giỏc l phng trỡnh cú dng: 2 0 at bt c (1) trong ú t l m t tr ong cỏc hm s : sinu; cosu; tanu; cotu. Cỏch gi i: t t = sinu; cosu; tanu; cotu. Chỳ ý: sin ; cos 1u u D NG 3. PHNG TRèNH BC NHT THEO SIN u V COSu Kin thc c bn D ng : sin cos a u b u c (1) trong ủoự 2 2 0 a b i u kin cú nghim: 2 2 2 a b c Caựch giaỷi: Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 7 Chia hai v ế của PT cho 2 2 a b , (1)  2 2 2 2 2 2 sin cos     a b c u u a b a b a b sin .cos cos .sin sin    u u sin( ) sin   u D ẠNG 4. PHƯƠNG TR ÌNH THU ẦN NHẤT BẬC HAI THEO SINU VÀ COSU Ki ến thức c ơ bản D ạng t ổng quát: 2 2 sin sin cos cos  a u b u u c u d (2) Cách gi ải: B 1 : Xét cos 0u . Ki ểm tra 2   u k có thỏa phương trình (2) không ? B 2 : Xét cos 0u . Chia 2 v ế phương trình (2) cho 2 cos u . Ta đư ợc phương trình mới dạng: 2 tan tan 0  a u b u c . *Chú ý: N ếu ph ương trình lượng giác có bậc cùng chẳn hoặc cùng lẻ theo sinu và cosu thì ta c ũng giải bẳng phương pháp trên. D ẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PH ẢN XỨNG D ạng t ổng quát:   sin cos sin cos 0   a u u b u u c (3) Cách giải: Đ ặt t =sin cos 2 sin( ) (*) 4    x x x (Đi ều kiện : 2t ) 2 1 sin cos 2     t x x . Th ế v ào (3) ta được phương trình b ậc hai theo t. M ột số công thức quan trọng sin cos 2sin 2 cos 4 4                     u u u u sin cos 2 sin 2 cos 4 4                      u u u u   2 1 sin2 sin cos   x x x Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 8 E. CÔNG TH ỨC Đ ẠO HÀM . 1. Quy t ắc cơ bản.    c ’ 0   ' ' '  u v u v   ' . ' ' u v u v v u ' 2 ' '        u u v v u v v 2. B ảng công thức tính đạo h àm.   ' . k x k   ' . . 'k u k u 1 ( )' .   n n x n x 1 ( )' . .( ) '   n n u n u u 2 1 1 ( )'   x x 2 1 ( )' ( )'   u u u 1 ( )' 2 x x ' ( )' 2  u u u   ' sin cosx x     ' ' sin cos .u u u   ' cos sin x x     ' ' cos sin . u u u 2 2 1 (tan )' 1 tan cos   x x x 2 2 ' (tan )' (1 tan ). ' cos    u u u u u 2 2 1 (cot )' (1 cot ) sin     x x x 2 2 ' (cot )' (1 cot ). ' sin      u u u u u ( )'  x x e e ( )' . ' u u e e u ( )' .ln x x a a a ( )' .ln . ' u u a a a u 1 (ln )' x x ' (ln )'  u u u 1 (log )' .ln  a x x a ' (log )' .ln  a u u u a *Đ ặc biệt :  2 ' ( )       a b c d ax b y y cx d cx d  1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ( )            a b a c b c x x a b a c b c a x b x c y y a x b x c a x b x c Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 9 F. CÔNG TH ỨC MŨ – LOGARIT. STT CÔNG TH ỨC MŨ 1. thua so .   n n a a a a 2. 1 a a a 3. 0 1a 0 a 4. 1   n n a a 5.  m n m n a a 6. 1 1    m n m n m n a a a 7. .   m n m n a a a 8.   m m n n a a a 9. . ( ) ( )  m n n m m n a a a 10. ( . ) . n n n a b a b 11. ( )  n n n a a b b 12. log   M a a N M N STT CÔNG TH ỨC LOGARIT 1 log 1 0 a 2 log 1 a a 3 log  M a a M 4 log  a N a N 5 1 2 1 2 log ( . ) log log  a a a N N N N 6 1 1 2 2 log ( ) log log  a a a N N N N 7 log .log   a a N N 8 2 log 2.log a a N N 9 log log .log a a b N b N 10 log log log  a b a N N b 11 1 log log  a b b a 12 1 log log    a a N N 13 log c log a b b a = c Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 10 G.CÔNG TH ỨC NGUYÊN HÀM . Nguyên hàm c ủa những hàm số thường g ặp Nguyên hàm c ủa những hàm s ố thường g ặp 1.    dx x C 2.    kdx kx C 3.   1 1 1        n n x x dx C n n 4.   0ln 1   xCxdx x 5. 2 1 1     dx C x x 6.   1 1 1 1       n n dx C x n x 7.    x x e dx e C 8.   0 1 ln      x x a a dx C a a 9. cos sin   xdx x C 10. sin cos    xdx x C 11. 2 2 1 (1 tan ) tan cos       dx x dx x C x 12. 2 2 1 (1 cot ) cot sin        dx x dx x C x 13. 1 1 1 1 1        n n dx c x n x 14. 1 2    dx x c x 15.  1 f(ax + b)dx = F(ax + b) +C a 16.       1 1 1 1             ax b ax b dx C a 17.   1 1 ln 0      dx ax b C x ax b a 18. 1      ax b ax b e dx e C a 19.     1 cos sin     ax b dx ax b C a 20.     1 sin cos      ax b dx ax b C a 21.     2 1 1 tan cos      dx ax b C ax b a 22.     2 1 1 cot sin       dx ax b C ax b a [...]... khối cầu V= R 3 3 20 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng canh  3 Đường cao tam giác đều = 2 1 Shình thang = (đáy nhỏ + đáy lớn)  cao 2 Tam giác ABC vng tại A: 1 1 1   2 2 AH AB AC 2 Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm Diện tích mặt cầu S= 4R 2 Thể tích khối nón V= 1 1 (Sđáy  cao)= R 2h 3 3 Thể tích khối trụ V= Sđáy  cao = R 2h 21 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học... 12 M là trung điểm của đoạn AB  yM  2  zA  z B  z M  2  Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 11 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm 1  xG  (x A  x B  xC )  3  1  13 G là trọng tâm tam giác ABC  yG  (yA  yB  yC ) 3  1  zG  3 (zA  z B  zC )  1  xG  4 (x A  x B  xC  x D )  1  14 G là trọng tâm tứ diện ABCD  yG  (yA  yB  yC  yD )... d(a,b) = AB = OH MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ: Shình vuông = cạnh 2 Diện tích hì nh chữ nhật = dài rộng Đường chéo hình vuông = cạnh 2 Shìnhtròn= R 2 1 Diện tích tam giác thường = (cạnh đáy.đường cao) 2 Thể tích khối chóp V = Diện tích tam giác thường = góc vuông) Diện tích tam giác đều = 1 a b (a, b là 2 cạnh 2 canh 2  3 4 Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 1 (Sđáy  cao) 3 Thể tích khối lăng trụ... [cos(   ')  i sin(   ')] z' r' 4 .3 Công thức Moa-vrơ : n  N * thì [r (cos   i sin  )]n  r n (cos n  i sin n ) 4.4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : Căn bậc hai của số phức z = r(cos   i sin  ) (r > 0) là : r (cos và r (cos    i sin ) 2 2      i sin )  r [cos(   )  i sin(   )] 2 2 2 2 Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 23 ...  2by  c  0 với điều kiện a 2  b 2  c  0 là phương trình đường tròn (C) có tâm I a ; b  và bán kính R  a 2  b 2  c Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 13 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm 3 Elip y B1 A F F1 1 A 2 2 x O B2 M x2 y2 - Phương trình chính tắc của Elip (E): 2  2  1 a b - Tiêu điểm: F1  c ;0  , F2 c ;0  a  b  ; c 2  a 2  b 2 - Đỉnh... thẳng a xuống mặt phẳng ( ) -B3:  OH là hình chiếu của a lên ( )  Vậy   (a ,OH ) 3/ Góc giữa 2 mặt phẳng a) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với GIAO TUYẾN của hai mặt phẳng đó b) Phương pháp *PP: Gọi  là góc cần tìm -B1: Xác đònh giao tuyến c của ( ) và (  ) -B2: Tìm đường vuông góc với một trong hai mặt phẳng -B3: Từ chân đường vuông góc, hạ... viên biên soạn: Trương Hồi Trung 19 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm *TH2: a, b chéo nhau đồng thời có mp ( ) chứa b và song song với a PP: -B1: Lấy M  a ,kẻ MH  ( ) tại H -B2: Từ H dựng a '  a , cắt b tại B -B3: Từ B dựng đt  MH cắt a tại A  AB là đoạn vuông góc chung Vậy d (a, b)  AB  MH  d (M , ( )) *TH3: Trường hợp tổng quát PP - Dựng mp ( ) vuông góc... vuông góc ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia d  ( ) d a  a  ( ) Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung 17 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm 3/ Phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia d  ( ) ... AB , AC         1  19 Thể tích tứ diện ABCD : VABCD   AB , AC AD  6 3. VABCD 20 Chiều cao AH của tứ diện ABCD: AH  S BCD     21 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ : V  [AB, AD ].AA’     22 Ba điểm A,B,C tạo thành tam giác  AB , AC không cùng phương       23 Bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng  ABCD là tứ diện  AB , AC  AD  0    ...Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm H PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Cho vectơ  u  x ; y ; z  và hai điểm A x A ; yA ; zA   ; v  x '; y '; z ' ; B x B ; yB ; z B    u  v  x  x '; y  y '; z  z '  2 k u  kx ; ky ; kz  1 3 Điều kiện bằng nhau của hai vectơ: x  x '    u  v  y  y ' . a a a 4.2 Công th ức nhân ba 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan        a a a a a a a a a a 5. Công th ức hạ bậc 2 2 3 3 1 cos2 1 cos 2 sin cos 2 2 3sin sin3 3cos cos3 sin. Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 1 TÓM T ẮT CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3 A.Đ ẠI SỐ. 1. Tam th ức bậc hai. Gi ả. Sin: 2 sin sin sin    a b c R A B C Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Giáo viên biên so ạn: Trương Hoài Trung 3 3. Công th ức tính diện tích tam giac: 1 1 1 2 2