Tuyển tập tích phân_hay

BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân sau: a) 1 2 0 (3 5 1)x x dx- + ò ; b) 1 2 1 2 (2 1)( 3)x x x dx+ - + ò ; c) 4 1 1 x dx x ỉ ư ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø ò ; d) 1 3 2 2 3 2 1x x dx x - + ò ; e) 2 2 0 3 4 1 x x dx x - + + ò ; f) 1 0 ( 1)( 2) dx x x+ + ò ; g) 3 2 2 5 4 dx x x- + ò ; h) 2 3 4 1 ( )x x x dx+ + ò ; i) 2 3 1 1x dx x - ò ; j) 1 0 2 x x e e dx - + ò ; k) 4 4 0 (3 ) x x e dx- ò . Đáp số : a) – 1 2 ; b) 341 96 ; c) 20 3 ; d) – 20 3 ; e) 8ln3 – 6; f) 2ln2 – ln3; g) – 2 3 ln2; h) 3 4 4 2 3 2 8 2 133 3 2 5 60 + + - ; i) 3 3 (3 4) 10 - ; j) 1 1 2 e e ỉ ư ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø ; k) 28 – 4e. Bài 2. Tính các tích phân sau: a) 3 1 2x dx- ò ; b) 3 2 0 1 2x x dx- + ò ; c) 2 1 2 1 x dx x - ò ; d) 2 2 2 2x x dx - - - ò ; e) 3 4 0 1 sin2xdx p + ò . 1 Đáp số : a) 1; b) 5 2 ; c) 1 4 ; d) 19 3 ; e) 1 + 2 ; Bài 3. Tính các tích phân sau: a) 2 2 3 cos xdx p p ò ; b) 4 4 0 sin xdx p ò ; c) 4 3 2 0 1 cos cos x dx x p - ò ; d) 3 2 2 6 sin cos dx x x p p ò ; e) 3 2 2 4 cos2 cos sin xdx x x p p ò ; f) 0 sin2 cos3x xdx p ò ; g) 2 2 sin7 sin2x xdx p p - ò h) 3 2 2 2 4 cos 2 sin x tg x dx x p p - ò ; i) 6 3 1 sin dx x p p ò . Đáp số : a) 3 12 8 p - ; b) 1 3 4 32 p - + ; c) 1 – 2 2 ; d) 4 3 3 ; e) – 4 3 3 + 2; f) – 4 5 ; g) 4 45 ; h) 3 – 7 3 3 12 p - ; i) 1 ln3 ln(2 3) 2 - - . Bài 3. Chứng minh rằng a) 2 2 0 14 8 4 3cos dx x p p p £ £ + ò ; b) 3 4 2 4 4 2 3 2sin dx x p p p p £ £ - ò ; c) ( ) 11 7 54 2 7 11 108x x dx - £ + + - £ ò ; d) 2 2 1 2 1 5 2 1 xdx x £ £ + ò . 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số khi gặp tích phân có dạng sau: Khi hàm số dưới dấu tích phân f(x) có thể phân tích thành tích của một hàm số hợp g[ j (x)] và đạo hàm của hàm số ở bên trong j ’(x) tức là f(x) = g[ j (x)]. j ’(x). Khi đó, để tính: ( ) [ ( )]. '( ) b b a a f x dx g x x dx= j j ò ò ta thực hiện phép đổi biến số t = j (x) và ta có ( ) [ ( )]. '( ) b b a a f x dx g x x dx= j j ò ò = ( )g t dt b a ò (*) Trong đó, a và b được xác đònh bởi a = j (a) và b = j (b). Chú ý: Khi sử dụng công thức đổi biến số (*) thì phải nhớ rằng: Khi đã đổi biến số lấy tích phân từ x sang t đồng thời ta cũng phải đổi luôn cận lấy tích phân từ a, b sang a , b và ta tính toán với những cận mới ấy, không cần phải quay lại biến số cũ x như trong tích phân bất đònh. BÀI TẬP Tính các tích phân sau: 1) 2 4 1 (2 1)x dx- ò ; 2) 1 2 2 3 4 0 ( 1)x x dx+ ò ; 3) 1 5 3 6 0 (1 )x x dx- ò ; 4) 3 3 2 1 16 x dx x - ò ; 5) 3 2 3 1 ( 1) xdx x - + ò ; 6) 3 2 1 2 4 3 x dx x x + + + ò ; 7) 2 3 3 2 0 8.x x dx- ò ; 8) 1 3 2 0 1x x dx- ò ; 9) 1 5 3 0 1x x dx- ò ; 10) 3 5 2 0 1x x dx+ ò ; 11) 1 0 2 1 x dx x + ò ; 12) 3 2 0 1 1 x dx x + + ò ; 3 13) 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ò ; 14) 7 3 2 3 0 1 x dx x + ò ; 15) 1 2 1 3 2 4 1 dx x x - ò ; 16) 2 3 2 5 4 dx x x + ò ; 17) tg 4 0 xdx p ò ; 18) 4 6 cotgxdx p p ò ; 19) 2 0 sin 1 3cos x dx x p + ò ; 20) 3 3 0 sin cosx xdx p ò ; 21) 4 0 cos2 1 2sin2 xdx x p + ò ; 22) 3 2 4 1 sin2 cos x dx x p p + ò ; 23) 2 3 0 cos xdx p ò ; 24) 2 5 4 sin xdx p p ò ; 25) 2 2 0 sin2 1 cos x dx x p + ò 26) 2 3 0 4cos 1 sin x dx x p + ò ; 27) 2 3 0 4sin 1 s x dx co x p + ò ; 28) 4 2 2 0 sin 9cos dx x x p + ò ; 29) 4 4 4 0 sin4 sin cos xdx x x p + ò ; 30) 2 4 0 sin2 1 sin x dx x p + ò ; 31) 4 2 0 (sin 2cos ) dx x x p + ò ; 32) 4 4 3 cos dx x p p ò ; 33) 2 4 3 sin dx x p p ò ; 34) 2 2 sin 4 .sin2 x e xdx p p ò ; 35) 2 6 6 6 0 sin cos sin xdx x x p + ò ; 36) 2 2 0 sin 1 cos xdx x p + ò ; 37) 4 1 x e dx x ò ; 38) ln2 2 0 1 x x e dx e + ò ; 39) 1 0 1 x x e dx e - - + ò ; 40) 1 4 e x x dx e e - - ò ; 41) 1 1 1 ln e x dx x + ò ; 42) 5 ln e e dx x x ò ; 4 43) 1 sin(ln ) e x dx x ò ; 44) 2 1 1 ln e x dx x + ò 45) 2 1 ln . (ln ) 1 e xdx x x é ù + ê ú ë û ò ; 46) 2 3 1 ln 2 ln e x xdx x + ò ; 47) 1 2 0 1 dx x+ ò ; 48) 2 3 2 0 4 dx x + ò ; 49) 3 2 2 4 5 dx x x- + ò ; 50) 1 4 2 0 4 3 dx x x+ + ò ; 51) 1 4 2 0 3 xdx x x+ + ò ; 52) 1 2 0 1 x dx- ò ; 53) 2 2 2 0 4x x dx- ò ; 54) 2 2 2 2 0 1 x dx x- ò ; 55) 2 2 2 0 a x a x dx- ò ; 56) 2 2 4 1 1 1 x dx x - + ò ; 57) 1 5 2 2 4 1 1 1 x dx x + + + ò ; 58) 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x dx x x + + - + ò ; 59) 2 2 0 x xdx- ò ; 60) 4 2 0 1 2sin 1 sin2 x dx x p - + ò ; Ñaùp soá : 1) 121 5 ; 2) 26281 491520 ; 3) 1 168 ; 4) 4 + 8ln 7 15 ; 5) 3 50 ; 6) 1 2 ln3; 7) – 4; 8) 2 15 ; 9) 4 45 ; 10) 848 105 ; 11) 1 3 ; 12) 106 15 ; 13) 46 15 ; 14) 141 20 ; 15) 3 p ; 16) 1 5 ln 4 3 ; 17) 1 2 ln2; 18) 1 2 ln2; 19) 2 3 ln2; 20) 9 64 ; 21) 1 ln3 4 ; 22) 3 + ln2 – 1; 23); 2 3 ; 24) 43 2 120 ; 25) ln2; 26) 2; 27) 2; 28) 2arctan3 6 p- ; 5 29) ln2; 30) 4 p ; 31) 1 6 ; 32) 6 3 4 3 - + ; 33) 10 3 27 ; 34) e – e ; 35) 4 p ; 36) 4 p ; 37) 2e(e – 1); 38) 2 2 3 ; 39) 2 ln 1 e e+ ; 40) 1 + 2arctge – 41) 2 3 ; 42) 15 4 ; 43)1 – cos1; 44) 2 ln(1 2) 2 + + 45) 1 2 ln2; 46) 3 3 9 3 3 2 8 4 - ; 47) 4 p ; 48) 6 p ; 49) 4 p ; 50) 1 3 8 36 æ ö ÷ ç ÷ - p ç ÷ ç ÷ ç è ø ; 51) 3 8 p ; 52) 4 p ; 53) p ; 54) 1 8 4 p - ; 55) 2 16 ap ; 56) 6 2 19 2ln 17 4 æ ö + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 57) 4 2 p ; 58) 4 p ; 59) 1; 60) 1 2 ln2; * Vaøi ñeà thi 1) (A, 2005) 2 0 sin2 sin 1 3cos x x I dx x p + = + ò Ñ.S: 34 27 ; 2) (B, 2005) 2 0 sin2 cos 1 cos x x I dx x p = + ò Ñ.S: 2ln2 1- ; 3) (D, 2005) ( ) 2 sin 0 cos cos x I e x xdx p = + ò Ñ.S: 1 4 e p - + ; 6 4) (TN, 2005) ( ) 2 2 0 sin cosI x x xdx p = + ò Đ.S: 2 2 3 p - . 5) (CĐKTĐN, 2005) I = e e 2 x ln x( ) ln ln x( )( ) + x ⌠   ⌡ d . ( 1 2ln2 2 + ) 6) (CĐKTCN, 2005) ( ) 2 0 sin .ln 1 cosx x dx p + ò ( 1 2ln2- + ) II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Đònh lý: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì : ( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx= - ò ò . Nhận xét : Vì v’(x)dx = dv và u’(x)dx = du nên công thức trên có thể viết gọn là b b b a a a udv uv vdu= - ò ò Tích phân dạng ( ) b x n a P x e dx a +b ò , trong đó P n (x) là đa thức bậc n theo biến x Phương pháp : Đặt ta có '( ) ( ) , n n x x du P x dx u P x dv e dx v e dx a +b a +b ì = ì ï = ï ï ï ï ï í í ï ï = = ï ï ï ỵ ï ỵ ò Chú ý: Ta phải tính tích phân từng phần theo n lần. BÀI TẬP Tính các tích phân sau 1) 1 0 x xe dx ò ; 2) 1 2 0 ( 2 ) x x x e dx+ ò ; 3) ln 2 0 x x xe dx - ò ; 7 4) 2 3 ln 1 ln . e x x e dx x ò ; 5) 1 2 0 ( ) x e x dx - + ò . Đáp số: 1) 1; 2) e; 3) 2 2 1 (2 1 ) 4 e e e e e - - + - 4) 1 2 ; 5) 2 1 17 4 6 2 e e - + - . Tích phân dạng I 1 = 2 ( )cos( ) ; ( )sin( ) b b n n a a P x x dx I P x x dxa + b = a +b ò ò . Phương pháp : * Để tính I 1 ta đặt : ta có '( ) ( ) , 1 cos( ) cos( ) sin( ) n n du P x dx u P x dv x dx v x dx x ì = ï ì = ï ï ï ï ï ï í í ï ï = a + b = a + b = a + b ï ï ï ỵ ï a ï ỵ ò * Để tính I 2 ta đặt : ta có '( ) ( ) , 1 sin( ) sin( ) cos( ) n n du P x dx u P x dv x dx v x dx x ì = ï ì = ï ï ï ï ï ï í í ï ï = a + b = a + b = - a + b ï ï ï ỵ ï a ï ỵ ò Bài tập: Tính các tích phân sau: 1) 2 0 sinx xdx p ò ; 2) 3 0 sxco xdx p ò ; 3) 2 2 0 ( 1) sx co xdx p - ò ; 4) 6 0 (2 )sin3x xdx p - ò ; 5) 2 2 2 0 cosx xdx p ò ; 6) 2 0 sin cos 2 2 x x x dx p ò ; 7) 2 3 2 3 sx co x dx p p ò ; 8) 3 2 3 0 sin xdx p ỉư ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø ò ; 9) 2 4 0 sinx xdx p ò . 8 Đáp số: 1) 1; 2) 3 1 6 2 p - ; 3) 2 3 4 p - ; 4) 5 9 ; 5) 3 1 1 48 8 p - p ; 6) 1 2 ; 7) 2 5 3 3 48 16 8 p p - - ; 8) 3 p – 6; 9) 2 3 12 2 p - .  Tích phân dạng I = và * 1 ( )[ln( )] , ( ) b n a P x x dx n p x x Ỵ ¹ ò ¥ . Phương pháp : Đặt ta có 1 1 ln ) . (ln ) , ( ) ( ) n n du n x dx u x x dv P x dx v P x dx - ì ï ì ï = = ï ï ï ï ï í í ï ï = ï ï = ï ỵ ï ï ỵ ò Ta tính tích phân từng phần n lần. BÀI TẬP Tính các tích phân sau: 1) 1 ln e xdx ò ; 2) 2 1 ln e x dx x ò ; 3) 5 2 2 ln( 1)x x dx- ò ; 4) 2 1 (ln ) e x dx ò ; 5) 2 1 ln e x xdx ò ; 6) 2 1 ln e x dx x ỉ ư ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø ò ; 7) 3 1 ln e x dx x ò ; 8) 1 ( 1)ln e x xdx- ò ; 9) 2 2 1 ln(1 )x dx x + ò ; 10) 3 2 6 ln(sin ) cos x dx x p p ò ; 11) 2 2 0 ln( 1 )x x dx+ - ò ; 12) 3 1 .ln e x xdx ò ; Đáp số: 1) 1; 2) 4; 3) 48ln2 – 27 2 ; 9 4) e – 2; 5) 2 1 4 e - ; 6) 2 – 5 e ; 7) 2 2 3 4 e e - ; 8) 2 3 4 e - ; 9) 3ln 2 3 ; 10) 3 3 3ln 4 6 ỉ ư p ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø ; 11) 2ln( 5 – 2) + 5 –1; 12) 4 1 (3 1) 16 e + ; * Khối D, 2004) Tính tích phân I = 3 2 2 ln( )x x dx- ò . Đáp số : I = 3ln3 – 2. Tích phân dạng sin( ) cos( ) b b x x a a e mx n dx hay e mx n dx a +b a +b + + ò ò Đặt ta có 1 cos( ) sin( ) , 1 cos( ) sin( ) x x du e dx u e v mx n dv mx n dx m dv mx n dx v mx n m a +b a +b ì ï = a ï ì ï ï = ï ï ï ï é ï ï ï ï = - + ê é = + í í ê ê ï ï ï ï ê ê ï ï = + ê ï ï ê = + ë ï ï ỵ ê ï ë ï ỵ (Hoặc đặt ngược lại) Ta lấy tích phân từng phần hai lần rồi giải phương trình. BÀI TẬP Tính các tích phân sau: 1) 2 0 cos x e xdx p ò ; 2) 2 2 0 cos3 x e xdx p ò ; 3) 2 2 0 sin x e xdx p ò ; 4) 1 2 2 0 sin x e xdxp ò ; 5) 1 sin(ln ) e x dx ò ; 6) 1 s(ln ) e co x dx ò ; 7) cos 0 ( )sin x e x xdx p + ò ; 8) 2 2 0 ( sin2 )x x dx p + ò ; 9) 3 2 4 sin xdx x p p ò . Đáp số: 10 [...]... hạn bởi các đường Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình hoành quanh trục ĐS (TN ban KHTN, lần 2, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và ĐS 36 (đ.v.d.t.) II CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 1 (Khối A, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Đáp số 2 (Khối B, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Đáp số 14 Tính các tích phân sau: 3 (Dự bò... của hàm của hàm số Biết rằng 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số và đường thẳng Đáp số 1) 2) (TN 2003 – 2004) Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn của đồ thò hàm số và các đường quay quanh trục ĐS (TN, 2005) Đ.S: TN không phân ban, 2006) 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò hàm số và đường thẳng 13 2 Tính tích phân Đáp số 1) 2) (TN 2006, Ban KHTN)... 1999, đợt 2 (2 điểm) 1) Tính tích phân 2) Giải phương trình TN, 2000 1) Cho hàm số (ĐS: 2 ) 15 Hãy tính đạo hàm và giải phương trình ; 2) Có 5 tem thư khác nhau và 5 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 12 3 bì thư đã chọn Mỗi bì thư chỉ dán một tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy TN, 2000 − 2001 (1 điểm) 1) Tính tích phân (ĐS: 3 3 − π )... (A, 2006) ĐS 33 (B, 2006) ĐS 34 (D, 2006) ĐS 35 (Dự bò 1, A, 2006) ĐS 36 (Dự bò 2, A, 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng ĐS 37 (Dự bò 1, D, 2006) ĐS 38 (Dự bò 2, D, 2006) ĐS 39 (Dự bò 1, B, 2006) ĐS 40 (Dự bò 2, B, 2006) ĐS 17 41 (D, 2007) ĐS 42 (A, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường ĐS 43 (Khối B, 2007) ĐS 18 ... 4(1+ p ) 1 7) p + e + ; e 2) – 3 p +2 e ; 13 3) e2p - 1 ; 8 e 6) (sin1 + cos1 –1) 2 1- e cos1+ e sin1 ; 2 1 3 3 8) p + p ; 4 4 5) 9) p p 3 1 3 + ln 4 9 2 2 MỘTSỐ ĐỀ THI I CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Tính các tích phân sau: TN, 1994 (2 điểm) 1) ; 8 ; 15 TN, 1996 (2 điểm) ĐS: 2) 2) 1) ĐS: 1) 8 − 2e 3 9 2) 1) 248 35 ln 2 − ; 3 2 2) 2 − 2 2 3 TN, 1997, đợt 1 (2 điểm) 1) ĐS: 2) 1) 18ln3 − 8ln2 − 5 ; 2) 16 . TÍNH TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số khi gặp tích phân có dạng sau: Khi hàm số dưới dấu tích phân. mới ấy, không cần phải quay lại biến số cũ x như trong tích phân bất đònh. BÀI TẬP Tính các tích phân sau: 1) 2 4 1 (2 1)x dx- ò ; 2) 1 2 2 3 4 0 ( 1)x