HSG Toán9 06-07 Cam Lộ

Phòng GD Cam Lộ Đề thi học sinh giỏi văn hoá lớp 9 năm học 2006 - 2007 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) So sánh A và B biết: A = 110 110 18 17 + + và B = 110 110 19 18 + + Bài 2: (1,5 điểm) Tính A= 1 2 - 2 2 + 3 2 - 4 2 + . + 2003 2 - 2004 2 Bài 3: (2 điểm) Chứng tỏ rằng: a/Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho n, nếu n lẻ. b/Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n, nếu n chẵn. Bài 4: (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 + 6x - x 2 Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng nếu góc BAD = góc CAE thì tam giác ABC là tam giác cân. Bài 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC, các đờng cao AK và BD cắt nhau tại G, vẽ đờng trung trực HE, HF của AC và BC. Chứng minh rằng BG = 2HE và AG = 2HF. Phòng GD Cam Lộ Hớng dẫn chấm môn toán lớp 8 năm học 2004 - 2005 Bài 1: (1,5 điểm) Ta có: 10A = 110 9 1 110 9110 110 1010 1818 18 18 18 + += + ++ = + + (0,5) 10B = 110 9 1 110 9110 110 1010 1919 19 19 19 + += + ++ = + + (0,5) Vì 110 9 110 9 1918 + > + (0,25) Do đó : 10A > 10B A > B (0,25) Bài 2: (1,5 điểm) Từ: (n + 1) 2 - n 2 = (n + 1 + n)(n + 1 - n) = (n + 1) + n nên: (0,5) A = - (2004 2 - 2003 2 + 2002 2 - 2001 2 + . + 2 2 - 1 2 ) (0,5) = -(2004 + 2003 + 2002 + 2001 + . +2 + 1) (0,25) = - (2005.2004/2) = - 2009010 (0,25) Bài 3: (2 điểm) Gọi n số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; a + 2; . ; a + n - 1 (0,25) Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) + . + (a + n - 1) (0,25) = ( ) n aaa +++ . + [ 0 +1 + 2 + . + (n-1)] (0,25) = n.a + (0 + n - 1).n:2= n.a + [(n-1):2].n (*) (0,25) a/Nếu n lẻ thì n-1 chẵn nên (n-1):2 là số tự nhiên, do đó (*) n (0,5) b/Nếu n chẵn thì n-1 lẻ nên (n-1):2 không là số tự nhiên, do đó (*) không chia hết cho n (0,5) Bài 4: (1,5 điểm) Ta có: 1 + 6x - x 2 = - (x 2 - 6x + 9) + 10 = - (x - 3) 2 + 10 (0,5) Do: (x - 3) 2 0 nên - (x - 3) 2 0 Suy ra: - (x - 3) 2 + 10 10 (0,5) Biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng 10 khi và chỉ khi x-3 = 0 hay x = 3 (0,5) Bài 5: (2 điểm) Từ D vẽ DF // AC, từ E vẽ EG // AB Ta có AC DF BC BD = AB EG BC EC = Do BD = EC => AB EG AC DF = => AB AC EG DF = (1) ADF đồng dạng với AEG (g.g) => AE AD EG DE = (2) Từ (1) và (2) có AE AD AB AC = (0,5) (0,5) (0,5) => ADC đồng dạng với AEB (c.g.c) => góc ABC = góc ACB (0,5) Vậy tam giác ABC là tam giác cân. Bài 6: (2 điểm) Nối C với H và kéo dài HI = HC. Trong tam giác AIC: H và E là điểm giữa của CI và AC nên HE là đờng trung bình của tam giác AIC (0,25) nên có AI//HE và AI = 2HE (1) (0,25) Tơng tự có BI//HF và BI = 2HF (2) (0,25) AI//HE; HE//BD (2 đờng thẳng cùng vuông góc với đòng thẳng thứ ba) => AI//BG (3) (0,25) Tơng tự BI//AG (4) (0,25) Từ (3) và (4) có tứ giác AGBI là hình bình hành. (0,25) Suy ra BI = AG (5) và AI = BG (6) (0,25) Từ (1) và (6) ; (5) và (2) ta có BG = 2HE và AG = 2HF. (0,25) Lu ý: HS có thể giải bằng cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. . Phòng GD Cam Lộ Đề thi học sinh giỏi văn hoá lớp 9 năm học 2006 - 2007 Môn: Toán Thời gian. trực HE, HF của AC và BC. Chứng minh rằng BG = 2HE và AG = 2HF. Phòng GD Cam Lộ Hớng dẫn chấm môn toán lớp 8 năm học 2004 - 2005 Bài 1: (1,5 điểm) Ta có: