Phòng GD CamLộ Kỳ thi học sinh giỏi văn hoá lớp 9 Năm học 2005 - 2006 Khoá ngày 11 tháng 11 năm 2005 Đề thi môn : Toán Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (25 điểm) Cho biểu thức P = +++ + + 1 2 1 1 : 1 2 1 aaaa a a a a a.Rút gọn P. b.Tính giá trị của P khi 3819 = a Câu 2 : (20 điểm) a.Phân tích thành nhân tử: A= a 3 + b 3 +c 3 -3abc b.Gọi a,b,c là số đo ba cạnh của một tam giác . Cho biết : a 3 + b 3 +c 3 -3abc = 0 . Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ? Câu 3: (10 điểm) Giải phơng trình : (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40 Câu 4: (15 điểm) Cho a,b,c là ba số nguyên có cùng tính chẵn lẻ Chứng minh rằng : (a+b+c) 3 - ( a 3 + b 3 +c 3 ) 24 Câu 5 : (30 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC . Gọi P là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của cạnh HP. 1. Chứng minh : a/ AH.CP = HP.HC. b/ BPC AOH . 2. Chứng minh : AO BP . . Phòng GD CamLộ Hớng dẫn chấm đề thi HSG văn hoá lớp 9 Môn: TOán Năm học : 2005 - 2006 . ------------------------------------------------- Câu1: (25 điểm) a. Rút gọn : (15 đ) P= ++ + + + )1)(1( 2 1 1 : 1 21 aa a a a aa (a 0) = ++ + + )1)(1( 21 : 1 )1( 2 aa aa a a = 2 2 )1( )1)(1( . 1 )1( ++ + a aa a a = 1+a b. Tính giá trị của P: (10 đ) a = 19 - 8 3 =16 - 2.4 3 +3 =(4- 3 ) 2 => P = 2 )34( +1= 4- 3 +1=5- 3 Câu 2: (20 điểm) a.Phân tích: (10 đ) Ta có : a 3 + b 3 +c 3 -3abc= (a+b) 3 -3ab(a+b)+c 3 -3abc = ( ) [ ] 3 3 cba ++ -3ab(a+b+c) =(a+b+c) [ ] 22 )()( cbacba +++ -3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2 +2ab+b 2 -ca-cb+c 2 -3ab) =(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 - ca-cb-ab) (1) b.Tam giác gì? (10 đ) Ta có : a 3 + b 3 +c 3 -3abc=0 Từ (1) suy ra : (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 - ca-cb-ab) = 0 Mà (a+b+c) >0 => a 2 +b 2 +c 2 - ca-cb-ab = 0 => 2a 2 +2b 2 +2c 2 - 2ca-2cb-2ab = 0 => (a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 = 0 => a-b=0,b-c=0,c-a=0 Vậy a=b=c nên tam giác đó đều Câu 3: (10 điểm) (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40 (x+1)(x+5)(x+2)(x+4) =40 (x 2 +6x+5)( x 2 +6x+8)= 40 (*) Đặt t = x 2 +6x+5 (*) t(t+3)=40 t 2 +3t-40=0 t=5; t=-8. Với t=5 x 2 +6x+5=5 x 2 +6x =0 x=0 ; x=-6 Với t=-8 x 2 +6x+5=-8 x 2 +6x+13=0 x 2 +2.3x+9+4=0 (x+3) 2 +4=0 (VN). Vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x=0 hoặc x=-6 O Câu 4: (15 điểm) Ta có: (a+b+c) 3 -( a 3 + b 3 +c 3 ) = (a+b+c) 3 -a 3 -( b 3 +c 3 ) = [ ] 33 a-c)b(a ++ -( b 3 +c 3 ) =(a+b+c-a) ( ) ( ) [ ] 2 2 acbaacba ++++++ -(b+c)(b 2 -bc+c 2 ) =(b+c)(a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac+a 2 +ab+ac+a 2 )-(b+c)(b 2 -bc+c 2 ) =(b+c)(a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac+a 2 +ab+ac+a 2 -b 2 +bc-c 2 ) =(b+c)( 3a 2 +3ab+3bc+3ac) =3(b+c)( a 2 +ab+bc+ac) =3(b+c)( a+b)(a+c) Do a,b,c cùng tính chẵn lẽ nên a+b= 2m b+c=2n a+c=2k (m,n,k Z) => (b+c)( a+b)(a+c)=2m.2n.2k=8mnk 8 => 3(b+c)( a+b)(a+c) 24 Vậy (a+b+c) 3 -( a 3 + b 3 +c 3 ) 24 Câu 5: (30 điểm) 1.a/CM: AH. CP = HC.HP (10 đ) Xét AHP và HCP có Góc APH = góc HPC (=90 0 ) Góc AHP = Góc HCP (cùng phụ góc PHC ) =>AHP HCP (g-g) => CP HP HC AH = =>AH. CP = HC.HP (*) b/CM: BPC AOH (10 đ) Ta có : HC = HB = 2 BC HP=2HO Từ (*) =>AH.CP = 2 BC .2HO =>AH. CP = BC.HO => CP HO BC AH = Mặt khác : góc AHO = góc BCP (cùng phụ góc PHC ) Suy ra : BPC AOH (c-g-c) 2. C/m: AO BP (10 đ) Gọi K ,I theo thứ tự là giao điểm của AO và BP,AH và BP Ta có góc OAH = góc PBC ( do BPC AOH) Mà góc AIK = góc BIH (đ.đ) => góc AKB = góc AHB = 90 0 Vậy AO BP . BP . . Phòng GD Cam Lộ Hớng dẫn chấm đề thi HSG văn hoá lớp 9 Môn: TOán Năm học : 2005 - 2006 . -------------------------------------------------. Phòng GD Cam Lộ Kỳ thi học sinh giỏi văn hoá lớp 9 Năm học 2005 - 2006 Khoá ngày 11 tháng