Đề thi và đáp án Ôlimpic toán 8(05-06)

ĐỀ THI Ô-LIM -PIC HUYỆN Môn Toán Lớp 8 Năm học 2005-2006 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Phân tích thành nhân tử: x 4 - 6x 2 - 7x - 6 Bài 2. Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của: x 4 + y 4 + z 4 Biết x + y + z = 2 Bài 3. Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn: 1yxvà ba yx b y a x 22 2244 =+ + + =+ Chứng minh: ( ) 10031003 2006 1003 2006 ba 2 b y a x + =+ Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: c 1 b 1 a 1 cab ac bac cb abc ba 222 ++≤ + + + + + + + + Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = 2 1 AB. Đường thẳng MC cắt NA tại E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F a) Chứng minh AF = AM. b) Gọi H là trung điểm của FC, Chứng minh EH = BM HƯỚNG DẪN CHẤM ÔLIM PIC Môn toán lớp 8 Năm học 2005-2006 Bài 1 . (4 điểm) Phân tích thành nhân tử: x 4 - 6x 2 - 7x - 6 Ta thấy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nên f(x) có 2 thừa số là (x + 2)(x - 3) (2đ) chia f(x) cho (x + 2)(x - 3) Vì x 2 + x + 1 = x 2 + 2 1 2 x + 4 3 4 1 + > 0) (1đ) Bài 2. (4 điểm) Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của: x 4 + y 4 + z 4 Biết x + y + x = 2 Áp dụng công thức Buhiacopski ta có: 4 )zyx( ++ ≤ [ ] 22 )zyx( ++ ≤ [ ] 22 )zyx(3 ++ ≤ 2222 )zyx(9 ++ ≤ )zyx(27 444 ++ (2đ) => )zyx(2716 444 ++≤ => 27 16 zyx 444 ≥++ (1đ) Vậy giá trị nhỏ nhất của 27 16 làzyx 444 ++ Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 2 (1đ) Bài 3. (4 điểm) Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn: 1yxvà ba yx b y a x 22 2244 =+ + + =+ Chứng minh: ( ) 10031003 2006 1003 2006 ba 2 b y a x + =+ Từ giả thiết => ba )yx( b y a x 22244 + + =+ <=> (bx 4 + ay 4 )(a + b) =ab(x 2 + y 2 ) 2 (1đ) <=> b 2 x 4 +a 2 y 4 - 2abx 2 y 2 = 0 <=> (bx 2 - ay 2 ) 2 = 0 (1đ) <=> bx 2 - ay 2 = 0 <=> ba 1 ba yx b y a x 2222 + = + + == (1đ) <=> 10031003 2006 1003 2006 )ba( 1 b y a x + == <=> 10031003 2006 1003 2006 )ba( 2 b y a x + =+ (Điều phải cm) (1đ) Bài 4. (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: c 1 b 1 a 1 cab ac bac cb abc ba 222 ++≤ + + + + + + + + Kí hiệu vế trái là A vế phải là B, xét hiệu A - B c 1 cab ac b 1 bac cb a 1 abc ba 222 − + + +− + + +− + + (0.5đ) = )cab(c cabacc )bac(b bacbcb )abc(a abcaba 2 22 2 22 2 22 + −−+ + + −−+ + + −−+ (0.5đ) = )cab(c )bc(a )bac(b )ab(c )abc(a )ca(b 222 + − + + − + + − . (0.5đ) Do a, b, c bình đẳng nên giả sử cba ≥≥ , khi đó b(a - c) ≥ 0, c(b - a) ≤ 0, a(c - b) ≤ 0 (0.5đ) a 3 ≥ b 3 ≥ c 3 =>abc + a 3 ≥ abc + b 3 ≥ abc + c 3 => )bac(b )ca(b )abc(a )ca(b 22 + − ≤ + − (0.5đ) =>A - B ≤ )cab(c )bc(a )bac(b )ab(c )bac(b )ca(b 222 + − + + − + + − = )cab(c abac )bac(b acab 22 + − + + − (0.5đ) = )cab(c )cb(a )bac(b )cb(a 22 + − − + − (0.5đ) Mà )cab(c 1 )bac(b 1 22 + ≤ + nên A - B ≤ 0 (ĐPCM) (0.5đ) Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM=2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = 2 1 AB. Đường thẳng MC cắt NA tại E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F c) Chứng minh AF = AM. d) Gọi H là trung điểm của EC, Chứng minh EH = BM a) Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN tại K. (2đ) Ta có: AC ⊥ AB (gt), KB ⊥ AB (gt) =>FC//KB )1( NK2 AB AF NK AC 2 AB AF NK AC NB AF EN AE NK AC EN AE NB AF 2 =⇒=⇒=⇒        = = 2 1 2 AB KN AB 2 1 NBKN AC 2 1 MB AM BK AC = + ⇒= + ⇒== )2(AB 2 3 KNABKN2AB4 2 1 ABKN2 AB2 =⇒+=⇒= + ⇒ Từ (1) và (2) => AMAF 3 AB AB3 AB AF 2 =⇒== (ĐPCM) b)Từ chứng minh trên suy ra: ∆ AFB = ∆ AMC => ∠ ABF = ∠ACM mà ∠ABF + ∠AFB = 1v => ∠ACM + ∠AFB = 1v => ∠FEC = 1v =>EH = FH 2 FC = mà BMEHBM 3 AC2 3 AC 3 AC AHFAFH =⇒==+=+= (ĐPCM) (2đ) A F K N E C B M . ĐỀ THI Ô-LIM -PIC HUYỆN Môn Toán Lớp 8 Năm học 2005-2006 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Phân tích thành nhân. Chứng minh AF = AM. b) Gọi H là trung điểm của FC, Chứng minh EH = BM HƯỚNG DẪN CHẤM ÔLIM PIC Môn toán lớp 8 Năm học 2005-2006 Bài 1 . (4 điểm) Phân tích thành nhân tử: x 4 - 6x 2 - 7x - 6 Ta. nhất của 27 16 làzyx 444 ++ Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 2 (1đ) Bài 3. (4 điểm) Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn: 1yxvà ba yx b y a x 22 2244 =+ + + =+ Chứng minh: