CÁC BƯỚC GIẢI KSHS

I/ ĐẶT VẤN ĐỀ Qua các đề thi THPT môn toán 12 và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại Học - Cao Đẳng , năm nào Bộ Giáo Dục cũng cho ít nhất trong mỗi đề thi một bài khảo sát hàm số. Mặc dù giáo viên cũng đã chuẩn bò rất kỹ càng cho các em về phương pháp cũng như kó năng khảo sát các hàm số, tuy vậy khá nhiều các em vẫn bọc lộ rõ nét sự yếu kém trong bài này. Sự yếu này càng thấy rõ ràng hơn đối vơi học sinh hệ bán công. Đối với trường THPT có 4 dạng bài toán khảo sát hàm số: 1/ y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) 2/ y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) (hàm trùng phương) 3/ y= dcx bax + + 4/y= dex cbxax + ++ 2 Tuy thực tế 4 loại bài toán khảo sát hàm số này đối với những học sinh khá giỏi thì các em sẽ dễ dàng vượt qua, nhưng đối với một bộ phận học sinh yếu kém thì học sinh hay lúng túng, nhầm lẫn giữa phương pháp khảo sát hàm số của hàm số này và hàm số khác thậm chí có học sinh khi khảo sát hàm số các em đã làm đúng các bước khảo sát và tính toán nhưng đến khi vẽ đồ thò thì các em lại vẽ sai. Tình trạng thực tế cần được cấp bách giải quyết. Nếu giải quyết được hạn chế này của học sinh thì tỉ lệ tốt nghiệp bộ môn sẽ được nâng lên và giải quyết được thêm một số bài toán khác. II/ NỘI DUNG BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT Trong quá trình giảng dạy mặc dù giáo viên bộ môn đã phân tích, giảng giải rất kỹ nhưng cũng có khá nhiều học sinh bò vướng mắc một số bước trong khâu khảo sát các hàm số. Để giải quyết những khó khăn đó, tôi có những biện pháp sau. A/BIỆN PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN: Thông thường để giải một bài khảo sát hàm số học sinh phải thực hiện theo sơ đồ cơ bản sau: Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Sự biến thiên a/ Chiều biến thiên b/ Cực trò c/ Giới hạn d/ Bảng biến thiên e/ Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thò (đối với hàm phân thức thì không xét vấn đề này) Bước 3: Vẽ đồ thò 1/ ĐỐI VỚI HÀM SỐ BẬC 3: y=ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ o) Đối với hàm số này đa số các em thường hoàn tất các bước1, bước 2, nhưng đến bước 3 vẽ đồ thò thì các em không vẽ được và các em cũng thường phàn nàn với giáo viên là không đònh hướng được vẽ đồ thò, thậm chí có em lại vướng một, hai phần trong quy trình khảo sát hàm số. Để giải quyết vấn đề này, giáo viên nên chứng minh cho học sinh đồ thò của hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx+ d (a ≠ o) đối xứng qua điểm uốn của đồ thò hàm số và giáo viên phải bắt buộc học sinh học thuộc các dạng đồ thò trong bảng biến thiên sau: a > 0 a < 0 y’ = 0 Có 2 nghiệm phân biệt y O x y O x y’ = 0 Có nghiệm kép y O x y O x y’ = 0 Vô nghiệm y O x y O x Như vậy nếu đã nắm được 6 dạng đồ thò trên thì học sinh chỉ cần tìm đạo hàm, giải phương trình y’ = 0 sẽ giải được bài toán khảo sát hàm số bậc 3 một cách dễ dàng. * Ví dụ: Khảo sát hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 2 • TXĐ: D = R • y’ = 3x 2 – 6x • y’ = 0  3x 2 – 6x = 0     = = 2 0 x x Như vậy đối với hàm số bậc 3 trên, phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt, hệ số a = 1 > 0. Vậy học sinh sẽ biết được dạng đồ thò là x = 0 +: -: x = 2 Như vậy từ dạng đồ thò trên học sinh dễ dàng suy ra: • Chiều biến thiên: + Hàm số tăng trong khoảng (-:; 0) χ (2; + :) + Hàm số giảm trong khoảng (0 ; 2) • Cực trò: x CĐ = 0; x CT = 2 • Giới hạn: lim y = 7: x7: • Bảng biến thiên: x -: 0 2 +: y’ + 0 - 0 + y 2 -: +: -2 (Đôi khi học sinh lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm vẫn có thể bò sai sót nhưng nếu dựa vào dạng đồ thò thì học sinh sẽ cảm thấy tin tưởng hơn, chắc chắn hơn). Để xác đònh điểm uốn giáo viên cần phải sử dụng đạo hàm cấp 2. Tuy nhiên chúng ta đã biết điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thò nên chúng ta có thể kiểm tra tọa độ điểm uốn chính là trung bình cộng của tọa độ điểm cực đại và điểm cực tiểu. • Cách vẽ đồ thò: để vẽ đồ thò học sinh dựa vào dạng đồ thò đã biết. Sau đó vẽ chính xác hóa đồ thò bằng cách cho thêm 1 số điểm. • Cách cho thêm điểm: Vì điểm uốn là tâm đối xứng nên ta lần lượt cho thêm các điểm có hoành độ cách đều hoành độ điểm uốn. Thí dụ trong ví dụ trên hoành độ điểm uốn là x = 1, x CĐ = 0, x CT = 2. Ta cho đồ thò qua các điểm có hoành độ x = -1, x = 3 (-1 0 ① 2 3) 2/ ĐỐI VỚI HÀM SỐ BẬC 4: y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0). Tương tự giáo viên cho học sinh học thuộc và nhận dạng đồ thò trong bảng tóm tắt như sau: a > 0 a < 0 y’ = 0 Có 3 nghiệm phân biệt y O x y O x y’ = 0 Có 1 nghiệm y O x y O x * Ví dụ: KSHS: y = x 4 – 2x 2 + 3 • TXĐ: D = R • y’ = 4x 3 – 4x = 4x (x 2 – 1) • y’ = 0     ±= = 1 0 x x Vậy phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hệ số a = 1 > 0 ⇒ Đồ thò hàm số có dạng giống như chữ W +: 0 +: -1 1 Nhìn vào dạng đồ thò học sinh dễ dàng suy ra: • Chiều biến thiên: + Hàm số giảm trên khoảng (-:; -1) χ (0; 1) + Hàm số tăng trên khoảng (-1; 0) χ (1; +:) • Cực trò: x CT = 6 1; x CĐ = 0 • Giới hạn: lim y = +: x7: • Bảng biến thiên: x -: -1 0 1 +: y’ - 0 + 0 - 0 + y +: CĐ +: CT CT Để vẽ đồ thò hàm số bậc 4. Giáo viên chứng minh đồ thò hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Khi vẽ nên cho các điểm có hoành độ đối xứng điểm x = 0. (chẳng hạn: -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3) Như vậy dựa vào nhận dạng đồ thò. Học sinh sẽ vẽ được đồ thò chính xác hóa. 3/ ĐỐI VỚI HÀM SỐ NHẤT BIẾN: y = dcx bax + + ( ad – bc ≠ 0; c ≠ 0) Giáo viên cho học sinh nhận dạng đồ thò trong bảng tóm tắt sau: D= ad – bc > 0 D = ad – bc < 0 y O x y O x * Ví dụ: KSHS: y = 1 1 − + x x (ad – bc = 1(-1) – 1.1 = -2 < 0) • TXĐ:D =R –{1} • y’= 2 1 2 )( − − x < 0  x,D Ta thấy D = ad – bc = -2 < 0 ⇒ đồ thò có dạng (x = 1) I (y = 1) Nhìn vào dạng đồ thò học sinh dễ dàng suy ra • Chiều biến thiên : + Hàm số giảm trên khoảng: (-:; 1) ∪ (1; +:) • Cực trò: Hàm số không có cực trò • Giới hạn: lim y = -: x→1 - limy = +: x→1 + limy = 1 x→ ± : • Bảng biến thiên: x -: 1 +: y’ y 1 +: -: 1 Việc vẽ đồ thò hàm số này tương đối dễ dàng. Học sinh sẽ ít gặp khó khăn trong hàm số này. Vấn đề là giáo viên chứng minh được đồ thò hàm số này nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng. Và khi vẽ đồ thò học sinh cần vẽ đúng hai tiệm cận thì việc vẽ đồ thò hàm số này xem như hoàn thành. 4/ ĐỐI VỚI HÀM SỐ: y = '' bxa cbxax + ++ 2 (aa’ ≠ 0). Học sinh học thuộc lòng và nhận dạng đồ thò trong bảng biến thiên như sau: aa’ > 0 aa’ < 0 y’ = 0 Có 2 nghiệm y O x y’ = 0 Vô nghiệm y O x y O x * Ví dụ: Khảo sát hàm số: y = 1 4 2 1 63 2 − +−= − +− x x x xx (aa’ = 1.1 = 1 > 0) • TXĐ: D = R – {1} • y’ = 2 2 1 32 )( − −− x xx • y’ = 0     = −= 3 1 x x Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, aa’ > 0 nên đồ thò có dạng Nhìn vào dạng đồ thò ta suy ra: • Chiều biến thiên: + Hàm số tăng trên khoảng: (-:; -1) ∪ (3; +:) + Hàm số giảm trên khoảng: (-1; 1) ∪ (1; 3) • Cực trò: x CĐ = -1; x CT = 3 • Giới hạn: lim y =  : x→  : lim y = -: x→1 - lim y = +: x→1 + • Bảng biến thiên: x -: -1 1 3 +: y’ + 0 - - 0 + y CĐ +: +: -: -: CT Việc cho thêm các điểm để vẽ đồ thò hàm số cũng tương tự như hàm nhất biến. Đồ thò hàm số nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng. * Lưu ý: Đối với hàm số này việc tìm giá trò cực trò đôi khi học sinh sẽ gặp khó khăn. + Ví dụ: y = 1 2 + +− x xx * Ta có: y’ = 0      +−= −−= 21 21 x x Khi thay các giá trò của x này vào hàm số để tìm các giá trò cực trò, học sinh sẽ rất mất thời gian và phải có khả năng tính toán qua nhiều qui trình, đa số các em thường không tính nổi giá trò này. Để giải quyết vấn đề trên giáo viên cần chứng minh cho học sinh tại các điểm cực trò thì: y o = f(x o ) = )(' )(' )( )( o o o o xQ xP xQ xP = . Vậy trong ví dụ trên ta có: 12 1 2 +−= + +− x x xx ' ' )( )( ⇒ y o = -2x o + 1 ⇒     −=++−−=+− +=+−−−=−− 223121221 223121221 )()( )()( y y D/ KIỂM NGHIỆM LẠI KẾT QUẢ: a/ Kết quả của biện pháp mới: Trước khi dạy khảo sát hàm số theo qui trình của sơ đồ khảo sát hàm số, có một số khá đông học sinh rất lúng túng, vướng mắc một trong số các qui trình, thậm chí có học sinh không đònh hướng được vẽ đồ thò. Nhưng sau khi tổng kết các dạng đồ thò lại. Giáo viên yêu cầu học sinh phải học thuộc lòng các dạng đồ thò thì rõ ràng các bế tắc của học sinh đã được khai thông. Học sinh rất vững vàng và tự tin hơn rất nhiều, những học sinh học yếu kém cũng đã có chuyển biến tích cực trong bài toán này. b/ Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm: *Đối với bản thân: Vì trong các đề thi tốt nghiệm năm nào Bộ giáo dục cũng cho một bài toán khảo sát hàm số nên với một số kinh nghiệm được rút ra của bản thân cảm thấy an tâm hơn, tin tưởng hơn vào sự thành công của số học sinh mà mình phụ trách, và tin tưởng rằng tỉ lệ tốt nghiệp bộ môn sẽ đạt kết quả có khả quan hơn. *Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn: Thiết nghó rằng nêu một số kinh nghiệm này được nhân rộng ra thì kết quả gặt hái sẽ to lớn hơn. Trong hai năm qua tổ toán của trường cũng rất có gắng góp ý, trao đổi về chuyên môn rút kinh nghiệm một số nội dung. Tuy kết quả chưa được mong muốn trong đó bao gồm cả yếu tố chủ quan và khách quan nhưng bước đầu tỉ lệ tốt nghiệp bộ môn đã có bước khởi sắc, tỉ lệ tốt nghệp năm nào cũng cao hơn so với mặt bằng của tỉnh. c/ Nguyên nhân thành công và tồn tại: - Qua giảng dạy nhiều năm và qua tiếp xúc với những học sinh yếu kém nên bản thân đã rút ra được một số kinh nghiệm trong bài toán khảo sát hàm số này. - Tuy nhiên nếu học sinh không nắm rõ bản chất vấn đề thì việc làm trên học sinh sẽ tồn tại một số vấn đề sau: không tìm được giới hạn, không xét dấu được đạo hàm bằng cách lập bảng biến thiên, … Vì vậy việc làm trên của các em là máy móc. Cho nên vấn đề là giáo viên phải chỉ rõ ra bản chất của bài toán cho học sinh thấu hiểu. III/ KẾT LUẬN: Trong quá trình giảng dạy, người giáo viên không chỉ truyền đạt những gì đã có trong sách vở, những nội dung đã qui đònh sẵn, mà giáo viên cũng cần phải tham khảo, nghiên cứu nhiều hơn ở đồng nghiệp, ở các sách báo của nhiều tác giả để rút ra kinh nghiệm thêm ở bản thân mình để truyền đạt cho học sinh những gì tối ưu nhất và để học sinh nắm bắt, hiểu được nội dung kiến thức một cách dễ dàng nhất, không gây sự nhàm chán khi học toán. Đó là điều tôi rất trăn trở và mong muốn càng ngày càng được hoàn thiện hơn. . các em đã làm đúng các bước khảo sát và tính toán nhưng đến khi vẽ đồ thò thì các em lại vẽ sai. Tình trạng thực tế cần được cấp bách giải quyết. Nếu giải. vấn đề này) Bước 3: Vẽ đồ thò 1/ ĐỐI VỚI HÀM SỐ BẬC 3: y=ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ o) Đối với hàm số này đa số các em thường hoàn tất các bước1 , bước 2, nhưng