UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 24/9/2019 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu (5,0 điểm) Cho hai dãy số (un ), (vn ) xác định sau u0 a; v0 b với số thực a, b cho trước thỏa un , 1 un 1.vn với số tự nhiên n a) Chứng tỏ hai dãy cho hội tụ có giới hạn b) Tìm giới hạn theo a, b mãn a b un 1 Câu (5,0 điểm) Cho số nguyên tố p Chứng minh tồn vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện 2020n 2019 n 2018 (mod p) Câu (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H , O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; D, E chân đường cao hạ từ đỉnh A, B tam giác ABC Các đường thẳng OD BE cắt K , đường thẳng OE AD cắt L Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểm K , L, M thẳng hàng bốn điểm C , D, O, H nằm đường tròn Câu (5,0 điểm) Tìm tất đa thức f x có hệ số thực bậc số tự nhiên lẻ cho: f x 1 f x 1, x Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh :………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn (Hướng dẫn chấm có 04 trang) UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đáp án Câu Điểm Cho dãy số (un ) , (vn ) xác định sau: u0 a; v0 b với số thực a, b cho trước thỏa mãn a b un 1 1.a un , 1 un 1.vn với số tự nhiên n 2,0 a) Chứng tỏ hai dãy cho hội tụ có giới hạn Ta chứng minh quy nạp un un 1 un 1 1 với n Do đó, dãy cho đơn điệu bị chặn u0 a; v0 b nên hội tụ Từ un 1 1.b un lim un lim , cho qua giới hạn ta lim un 1 hay lim un lim 2 (đpcm) b) Tìm giới hạn theo a, b 1,0 1,0 3,0 a cos với (0; ) Ta chứng minh b un b cos cos cos n 1 cos n 2 2 Và b cos cos cos n với số nguyên dương n 2 Do a b nên đặt Từ rút gọn biểu thức ta 1,0 1,0 b sin b sin n n sin n b2 a Vậy lim un lim a arccos b 1,0 Cho số nguyên tố p Chứng minh rằng, tồn vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện 2020n 2019 n 2018(mod p ) Ta xét trường hợp Trường hợp Nếu p ước nguyên tố 2020, đó, cần chọn n 2018 p thỏa mãn Việc chứng tỏ tìm vơ số n 5,0 1,0 Trường hợp Nếu p không ước nguyên tố 2020, ( p, 2020) n 2019 0(mod p 1) Chọn n 2018 1(mod p) 2,0 Theo định lí Fecma a p 1 1(mod p ) ta 2020 p 1 1(mod p) 2020n 2019 1(mod p) 1,0 nên 2020n 2019 n 2018(mod p ) (thỏa mãn đề bài) Lại có, theo định lí Trung Hoa dư hệ phương trình đồng dư ln có nghiệm n p, p 1 nên có vô số tự nhiên n thỏa mãn (đpcm) 1,0 Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H , O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; D, E chân đường cao hạ từ đỉnh A, B tam giác ABC Các đường thẳng OD BE cắt K , đường thẳng OE AD cắt L Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểm K , L, M thẳng hàng 5,0 bốn điểm C , D, O, H nằm đường tròn C x Q Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác HAB ba điểm K , L, M ta có: K , L, M D P L E H A Ta lại có bán thẳng hàng K M 0,5 KB LH MA 1 KH LA MB KB LA (1) KH LH O B KB S BOD LA S AOE (cùng cạnh đáy OD), (cùng cạnh đáy OE) gọi R KH S HOD LH S HOE ABC kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 S AOE AE.d (O, AE ) c.cos A.R cos B R c.cos A.cos B 2 Tương tự S BOD R c.cos A.cos B Nên S AOE S BOD c AB Từ kết ta có (1) S HOD S HOE OH || DE (nếu H O phía DE ) OH qua trung điểm ED (nếu H O khác phía DE ) Trước hết, vẽ tiếp tuyến C x đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C , dễ dàng chứng minh CED ABC ACx suy DE || Cx từ dẫn đến CO vng góc với DE (2) Ta chứng minh (1) xảy khi OH || DE Thật vậy, xảy trường hợp lại, tức OH qua trung điểm ED Khi đó, gọi P, Q trung điểm ED , HC Dễ thấy tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn tâm Q , suy QP vng góc với ED Kết hợp (2) suy QP || CO 1,0 0,5 0,5 2,0 Xét tam giác CHO có Q trung điểm HC QP || CO suy P trung điểm OH nên EHDO hình bình hành, suy OD || EH Điều trái với giả thiết OD cắt BE Vậy (1) xảy OH || DE , mà (1) nên điều CO OH C , D, O, H nằm đường tròn Tìm tất đa thức f x hệ số thực, có bậc số tự nhiên lẻ cho 5,0 f x 1 f x 1, x Thay x x ta có f x f 0,5 x 1 f x 1 f 2 x 1 Suy f x f x 0,5 f ( x) f ( x) x A Nên A B f ( x) f ( x) x B Nếu tập A vơ hạn hay phương trình f x f x có vơ số nghiệm mà bậc f hữu hạn nên f ( x) f ( x) f x f x , x (1) Lại có deg f lẻ nên hai giới hạn lim f ( x) lim f ( x) có giới hạn x x , tồn x0 (đủ lớn) cho f x f x trái dấu (suy 1,0 không nhau) x x0 điều mâu thuẫn với (1) nên tập A vô hạn Suy tập B vơ hạn hay phương trình f x f x có vô số nghiệm mà bậc f hữu hạn nên f x f x , x f f f Chọn x f 1 f 1 f f 1 1 0,5 Xét dãy số a0 1; an 1 an Dễ thấy an 1, n Ta chứng minh an 1 an , n 1 1,5 Thật n a1 a0 toán với n Giả sử (1) đến n , suy an an 1 an an 1 Vậy (1) chứng minh Bây ta chứng minh f an an , n quy nạp Với n f a0 f 1 a0 suy (2) với n Giả sử f an an ta chứng minh f an 1 an 1 , ta có f an 1 f a n 1 1 f an an a n 1 f an 1 an 1 f an 1 an 1 1,0 Nếu f an 1 an 1 f an 1 f a n 1 f an 1 an 1 (vơ lí) f an 1 an 1 Vậy (2) chứng minh, phương trình f x x có vơ số nghiệm nên f x x với x R 0,5 Thử lại ta thấy f x x thỏa mãn yêu cầu toán -Hết - UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Câu (7,0 điểm) Tìm tất hàm f : ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 25/9/2019 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ thỏa mãn điều kiện: f xy 1 f x f y xy với x, y Câu (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , D điểm cạnh BC Trên cạnh AC , AB lấy điểm E , F cho ED EC , FD FB Gọi I , J , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , BDF , CDE a) Gọi H trực tâm tam giác JDK Chứng minh tứ giác IJHK nội tiếp b) Chứng minh D chuyển động BC , đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK qua điểm cố định khác điểm I Câu (6,0 điểm) Cho đa giác A1 A2 A20 có 10 đỉnh đa giác tô màu xanh, 10 đỉnh lại tơ màu đỏ Ta nối đỉnh với a) Gọi a số đoạn thẳng nối hai đỉnh màu đỏ liên tiếp, b số đoạn thẳng nối hai đỉnh màu xanh liên tiếp Chứng minh a b b) Xét tập hợp S gồm đường chéo A1 A4 tất đường chéo khác đa giác mà có độ dài với Chứng minh tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu màu đỏ với số đường chéo có hai đầu màu xanh Gọi k số đường chéo có hai đầu màu xanh , tìm tất giá trị có Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh :………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn Ngày thi thứ hai: 25/9/2019 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (Đề thi có 04 trang) Câu Tìm tất hàm f : Đáp án thảo mãn điều kiện: Điểm f ( xy 1) f ( x) f ( y ) xy với x, y Thay x vào (1), ta có f (1) f ( x) f (0) 1 với x (1) 7,0 Nếu f (0) f hàm Thay vào (1) dễ thấy không thỏa mãn Vì f (0) 1,0 Thay x y vào phương trình (1) ta thu f (1) Nghĩa f (1) f (1) 1 Trường hợp 1: f (1) Thay x xy y vào phương trình (1) ta thu f ( xy 1) f ( xy ) xy với x, y 1,0 Kết hợp (1) ta thu được: f ( xy ) f ( x) f ( y ) với x, y (2) Tiếp theo ta thay y vào phương trình (1) ta nhận f ( x 1) f ( x) x hay f ( x 1) x f ( x) với x (3) Lại thay x x y vào phương trình (1) ta nhận f ( x 1) f ( x) x hay f ( x 1) x f ( x) với x (4) Cho y x vào phương trình (1) sử dụng (2) (3) (4) ta nhận 2,0 x f ( x 1) f ( x) f ( x 1) f ( x 1) f ( x) (2 x f ( x)).(2 x f ( x)) f ( x) f x xf x x Suy f ( x) x dẫn đến f ( x ) x với x Trường hợp 2: f 1 1 Bằng cách thay tương tự trường hợp 1, ta có: f xy f x f y với x, y (5) f x 1 x f ( x) với x (6) f ( x 1) 2 x f ( x) với x (7) Tiếp theo, thay y x vào phương trình (1) sử dụng (5) (6) (7) ta nhận 2,0 x f ( x 1) f ( x) f ( x 1) f ( x 1) f ( x) (2 x f ( x)).(2 x f ( x)) f ( x) f x 4x2 1 Suy f ( x) x với x Thử lại ta thấy hai hàm hai trường hợp thỏa mãn đề 1,0 Vậy có hai hàm số thỏa mãn u cầu tốn f ( x ) x với x f ( x) x với x Cho tam giác nhọn ABC , D điểm cạnh BC Trên cạnh AC , AB lấy điểm E , F cho ED EC , FD FB Gọi I , J , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , BDF , CDE a) Gọi H trực tâm tam giác JDK Chứng minh IJHK nội tiếp b) Chứng minh D chuyển động BC , đường tròn ngoại tiếp tam giác 7,0 IJK qua điểm cố định khác I Do tam giác FBD, EDC cân F , E nên JD JB, KD KC 6.a 6.b Ta có JDK 1800 JDB KDC 1800 IBC ICB BIC JIK Lại có H trực tâm tam giác JDK nên JHK 1800 JDK , suy JHK JIK 1800 Vậy tứ giác IJHK nội tiếp Trước hết ta chứng minh bổ đề sau (bài toán Simson đảo) Cho tam giác MJK Từ điểm L nằm tam giác Gọi B, C , D điểm đối xứng L qua MJ , MK , JK Giả sử B, C , D thẳng hàng Chứng minh MJLK tứ giác nội tiếp 2,0 Chứng minh bổ đề: Gọi giao BL, DL, CL với MJ , JK , KM E , G , H Do B, C , D thẳng hàng E , G , H thẳng hàng Tứ giác JGLE GHKL nội tiếp JLK ELH (g.g) JLK ELH mà ELH EMH 1800 JLK EMH 1800 MJLK nội tiếp (đpcm) Quay trở lại tốn: Gọi M điểm cung BC đường tròn (O ) ngoại tiếp tam giác ABC , L điểm đối xứng với D qua JK Ta có JIK JDK JLK suy L ( IJK ) Mặt khác, JL JD JB, KL KD KC nên LJB 2LDB LKC , suy BLJ CLK Ta thu BLC JLK BIC JIK , suy L ( BIC ) hay ML MB MC 1,0 1,0 1,0 1,0 Suy JM , KM trung trực LB, LC Vậy điểm đối xứng với L qua cạnh tam giác JMK B, C , D Mà B, C , D thẳng hàng, theo bổ đề suy LJMK nội tiếp Vậy ( IJK ) qua điểm M cố định (đpcm) 1,0 Cho đa giác A1 A2 A20 có 10 đỉnh đa giác tô màu xanh, 10 đỉnh lại tơ màu đỏ Ta nối đỉnh với a) Gọi a số đoạn thẳng nối hai đỉnh đỏ liên tiếp, b số đoạn thẳng nối hai đỉnh xanh liên tiếp Chứng minh a b b) Xét tập hợp S gồm đường chéo A1 A4 tất đường chéo khác đa giác 6,0 mà có độ dài với Chứng minh tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu màu đỏ với số đường chéo có hai đầu màu xanh Gọi k số đường chéo có hai đầu màu xanh S , tìm tất giá trị có 𝑘 Ta chia dãy đỉnh A1 , A2 , , A20 thành cụm đỏ cụm xanh, đó: 7.a Cụm đỏ cụm đỉnh gồm đỉnh đỏ liên tiếp Cụm xanh cụm đỉnh gồm đỉnh xanh liên tiếp Giả sử ta có n cụm đỉnh xanh : X , X , , X n ( n 10 ) x1 , x2 , , xn tương ứng số đỉnh xanh cụm ( xi i 1, n ) Nếu n , tức có cụm xanh hay 10 đỉnh xanh cạnh nhau, 10 đỉnh đỏ phải cạnh nhau, tức có cụm đỏ Nếu n cụm điểm xanh nằm hai cụm đỉnh đỏ ngược lại cụm đỉnh đỏ 1,0 lại nằm hai cụm màu xanh nên số cụm đỉnh xanh số cụm đỉnh đỏ n Giả sử n cụm đỉnh đỏ là: D1 , D2 , , Dn d1 , d , , d n tương ứng số đỉnh đỏ cụm ( di i 1, n ) Do cụm X i có xi đỉnh xanh cạnh nên có xi cặp đỉnh xanh liên tiếp Nên a ( x1 1) ( x2 1) ( xn 1) x1 xn n 10 n 1,0 Tương tự b (d1 1) (d n 1) d1 d n n 10 n Vậy a b (đpcm) Trước hết, ta xét dãy đỉnh ( gồm tất 20 đỉnh): A1 A4 A7 A10 A13 A16 A19 A2 A5 A8 A11 A14 A17 A20 (*) 7.b A3 A6 A9 A12 A15 A18 A1 2,0 Các đường chéo nối đỉnh liên tiếp dãy có độ dài với A1 A4 nên tất thuộc S Ngoài ra, dễ thấy tất đường chéo thuộc S tạo thành đỉnh liên tiếp dãy Tương tự câu a) ta chia dãy đỉnh (*) thành cụm đỏ cụm xanh, đó: Cụm đỏ cụm đỉnh gồm đỉnh đỏ liên tiếp dãy đỉnh (*) Cụm xanh cụm đỉnh gồm đỉnh xanh liên tiếp dãy đỉnh (*) Và ta thu số cụm đỉnh xanh số cụm đỉnh đỏ, giả sử m (1 m 10) Ta có số đường chéo có hai đầu màu đỏ tập S số đoạn thẳng nối hai đỉnh đỏ liên tiếp dãy (*) số đường chéo có hai đầu màu xanh tập S số đoạn thẳng nối hai đỉnh xanh liên tiếp dãy (*) Nên theo câu a) số đường chéo có hai đầu màu đỏ tập S số đường chéo có hai đầu màu xanh tập S k 10 m , m 10 nên k {0,1, ,9} 1,0 1,0 ... TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Câu (7,0 điểm) Tìm tất hàm f : ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn... cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh :………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn Ngày thi thứ hai: 25/9/2019...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn (Hướng dẫn chấm có 04 trang) UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đáp án Câu Điểm Cho dãy