SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO CAO BẰNG ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN DỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2012 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) ( ðề gồm 01 trang) ðỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (4,0 ñiểm): Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 3 3 6 4 (1) 1 2 1 (2) y y x x x x y y + = + + + − − = − − Câu 2 (4,0 ñiểm): Cho dãy {u n } xác ñịnh như sau: 1 2 1 2 2010 , 1,2 2011 n n n u u u u n + = + = = . a) Chứng minh rằng dãy {u n } tăng và không bị chặn trên. b) Thiết lập dãy { } n S với 1 1 1 n i n i i u S u = + = − ∑ . Tìm lim n n S →+∞ . Câu 3 (4,0 ñiểm): Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 3 3 3 3 x y xy + = + . Câu 4 (5,0 ñiểm): a) Cho tứ diện ABCD có , , AB CD a AC BD b AD BC c = = = = = = . Chứng minh rằng 6 2 ABCD abc V ≤ . b) Cho hai ñường tròn 1 2 ( ),( ) C C lần lượt có tâm O 1 và O 2 cắt nhau tại A, B; P là ñiểm nằm trên ñường thẳng AB. Từ P kẻ hai tiếp tuyến PC, PD lần lượt tới 1 2 ( ),( ) C C (C, D là tiếp ñiểm). Vẽ tiếp tuyến chung EF của hai ñường tròn 1 2 ( ),( ) C C với E thuộc 1 ( ) C và F thuộc 2 ( ) C . Chứng minh rằng AB, CE, DF ñồng quy. Câu 5 (3,0 ñiểm): Tại mỗi ñỉnh của một ña giác ñều 100 cạnh ta ñánh một số bất kì trong các số tự nhiên 1, 2, …, 49. Chứng minh rằng tồn tại 4 ñỉnh của ña giác (kí hiệu A, B, C, D với các số ñược ñánh tương ứng là a ,b, c, d) sao cho ABCD là hình chữ nhật và a b c d + = + . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ kí của giám thị 1: . GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO CAO BẰNG ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN DỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2012 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) ( ðề gồm 01 trang) . n n u u u u n + = + = = . a) Chứng minh rằng dãy {u n } tăng và không bị chặn trên. b) Thi t lập dãy { } n S với 1 1 1 n i n i i u S u = + = − ∑ . Tìm lim n n S →+∞ . Câu 3 (4,0