Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO CAO BẰNG ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN DỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2012 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) ( ðề gồm 01 trang) ðỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (4,0 ñiểm): Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 3 3 6 4 (1) 1 2 1 (2) y y x x x x y y  + = + + +   − − = − −   Câu 2 (4,0 ñiểm): Cho dãy {u n } xác ñịnh như sau: 1 2 1 2 2010 , 1,2 2011 n n n u u u u n + =    + = =   . a) Chứng minh rằng dãy {u n } tăng và không bị chặn trên. b) Thiết lập dãy { } n S với 1 1 1 n i n i i u S u = + = − ∑ . Tìm lim n n S →+∞ . Câu 3 (4,0 ñiểm): Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 3 3 3 3 x y xy + = + . Câu 4 (5,0 ñiểm): a) Cho tứ diện ABCD có , , AB CD a AC BD b AD BC c = = = = = = . Chứng minh rằng 6 2 ABCD abc V ≤ . b) Cho hai ñường tròn 1 2 ( ),( ) C C lần lượt có tâm O 1 và O 2 cắt nhau tại A, B; P là ñiểm nằm trên ñường thẳng AB. Từ P kẻ hai tiếp tuyến PC, PD lần lượt tới 1 2 ( ),( ) C C (C, D là tiếp ñiểm). Vẽ tiếp tuyến chung EF của hai ñường tròn 1 2 ( ),( ) C C với E thuộc 1 ( ) C và F thuộc 2 ( ) C . Chứng minh rằng AB, CE, DF ñồng quy. Câu 5 (3,0 ñiểm): Tại mỗi ñỉnh của một ña giác ñều 100 cạnh ta ñánh một số bất kì trong các số tự nhiên 1, 2, …, 49. Chứng minh rằng tồn tại 4 ñỉnh của ña giác (kí hiệu A, B, C, D với các số ñược ñánh tương ứng là a ,b, c, d) sao cho ABCD là hình chữ nhật và a b c d + = + . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ kí của giám thị 1: . GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO CAO BẰNG ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN DỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2012 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) ( ðề gồm 01 trang) . n n u u u u n + =    + = =   . a) Chứng minh rằng dãy {u n } tăng và không bị chặn trên. b) Thi t lập dãy { } n S với 1 1 1 n i n i i u S u = + = − ∑ . Tìm lim n n S →+∞ . Câu 3 (4,0