Đổi biến dạng lượng giác vted vn ĐTN

Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam ĐỔI BIẾN DẠNG DẠNG LƯỢNG GIÁC a − x đặt x = a.sint x = a.cost a a ü Nếu xuất hiện: x − a đặt x = x = sint cost ü Nếu xuất x + a đặt x = a.tant ü Nếu xuất ( x − a ) ( b − x ) , ( a < b ) đặt x = a + ( b − a ) sin t ü Nếu xuất hiện: Ví dụ Tính tích phân I = ∫ − x dx Lời giải: ⎡ π⎤ Đặt x = 2sint,t ∈ ⎢ 0; ⎥ ⇒ dx = costdt ⎣ 2⎦ π Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π Khi I = ∫ π π π ⎛ sin 2t ⎞ − sin t costdt = ∫ cos tdt = ∫ (1+ cos 2t)dt = ⎜ t + ⎟⎠ = π ⎝ 0 2 dx 1+ x Ví dụ Tính tích phân I = ∫ Lời giải: Đặt x = tant ⇒ dx = π dt dx = (tan t + 1)dt = (x + 1)dt ⇒ = dt cos t x +1 π π Vì I = ∫ dt = t = 0 x (1− x ) Ví dụ Tính tích phân I = ∫ dx 1+ x Lời giải: Ta có ⎛ x 2x ⎞ 22 4x I =⎜ − + x5 − + 4x − arctan x ⎟ = −π 3 ⎝ ⎠0 22 Chú ý Từ ta có kết đẹp >π dx Ví dụ Tính tích phân I = ∫ dx 2 (4 − x ) − x PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN DẠNG LƯỢNG GIÁC Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Lời giải: Đặt x = 2sin t ⇒ dx = cos tdt Khi x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π Vì π I=∫ π ( − 4sin t ) π π dt 1 =∫ =∫ = tant = − 4sin t 4cos t 4cos 2t 4cos t 4 2costdt 2costdt Ví dụ Tính tích phân I = ∫ x − x dx Lời giải: Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt Khi x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π Vì π π I = ∫ sin t 1− sin t costdt = ∫ sin t cos tdt = π π 1 sin 2tdt = ∫ (1− cos4t )dt ∫ 40 80 ⎞ 1⎛ = ⎜ t − sin 4t ⎟ 8⎝ ⎠ x dx Ví dụ Tính tích phân I = ∫ (1 − x ) π π 2= 16 Lời giải: π ⎡ π π⎤ Đặt x = sin t , t ∈ ⎢ − ; ⎥ ⇒ dx = cos tdt Khi x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = ⎣ 2⎦ π Vậy I = ∫ π sin t cos tdt (1 − sin t ) π π π sin tdt dt 1 =∫ = ∫ tan t = ∫ tan td ( tan t ) = tan t = cos t cos t 0 www.vted.vn - Khố học bám sát tồn diện tốn 12 – Thầy: Đặng Thành Nam Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Ví dụ Tính tích phân I = ∫ x + x dx Lời giải: dt ⎡ π⎞ Đặt x = tan t , t ∈ ⎢0; ⎟ ⇒ dx = cos 2t ⎣ 2⎠ Khi x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π Vì π π π dt tan t sin t I = ∫ tan t 1+ tan t = dt = ∫ dt cos 2t ∫0 cos3t 0 cos t 3 π π ⎛ 1− cos 2t ⎞ d cost = − = 1+ ( ) ⎟ ⎜ 15 ⎝ ⎠ cos t 5cos t 3cos t 0 ( =∫ Ví dụ Tính tích phân I = ∫ ) 5+ x dx 5− x Lời giải: ⎡ π⎤ Đặt x = 5cos 2t , t ∈ ⎢0; ⎥ ⇒ dx = −10sin 2tdt ⎣ 2⎦ Khi x = ⇒ t = π ;x = π ⇒t = Vậy π I = −10 ∫ π π 5(1+ cos2t ) 5(1− cos2t ) π sin 2tdt = 20 ∫ cos 2tdt π ⎛ ⎞ = 10 ∫ (1+ cos2t )dt = 10 ⎜ t + sin 2t ⎟ ⎝ ⎠ π π = 5π + − π ( ) Bài tập rèn luyện Tính tính phân sau PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN DẠNG LƯỢNG GIÁC Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam a) I = ∫ 16 − x dx Đ/s: 4π b) I = 2 dx ∫ (1− x )3 Đ/s: I = c) I = ∫ (16 − x )3 dx Đ/s: I = 36 + 16π d) I = ∫x π dx Đ/s: I = +3 2+π dx Đ/s: I = 2 (1+ x ) e) I = ∫ x +1 f) I= ∫ 4−x −1 ∫ −1 (x i) I=∫ j) I=∫ d) I = 2 ∫ dx + 2x + ) Đ/s: I = π +2 ) x dx Đ/s: I = π − 4−x π 1+ x dx Đ/s: I = + 1− 1− x ( I=∫ π ln + x Đ/s: I = dx x3 + e) I = ∫ ( x − ) f) dx Đ/s: I = − + 2π + − 3 x +1 dx Đ/s: I = x(2 − x) g) I = ∫ h) I = x dx − x2 x dx Đ/s: I = π − 4−x Đ/s: I = π − www.vted.vn - Khố học bám sát tồn diện tốn 12 – Thầy: Đặng Thành Nam Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam 3 ∫ g) I = dx x 1+2 ∫ I= x +9 ( 3− 27 ) x2 − dx Đ/s: I = 3 − π x h) I = ∫ i) Đ/s: I = π⎞ x − 2x − ⎛ dx Đ/s: I = ⎜ − 1− ⎟ ⎝ 12 ⎠ x −1 Bài Tính tích phân sau x (1− x ) 47 a) I = ∫ dx Đáp số: I = π − 15 1+ x x (1− x ) 53 π b) I = ∫ − + ln dx Đáp số: I = 60 1+ x PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN DẠNG LƯỢNG GIÁC ... ⎜ t + sin 2t ⎟ ⎝ ⎠ π π = 5π + − π ( ) Bài tập rèn luyện Tính tính phân sau PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN DẠNG LƯỢNG GIÁC Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam... số: I = π − 15 1+ x x (1− x ) 53 π b) I = ∫ − + ln dx Đáp số: I = 60 1+ x PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN DẠNG LƯỢNG GIÁC