H.D ÔN THI TN TOÁN 12 (2)

Đề cương ơn tập Tốn 12 HƯỚNG DẪN ƠN THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN **************************** A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu I (3 điểm): - Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. - Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m; định giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm… Câu II (3 điểm): - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit. - Tìm ngun hàm, tính tích phân. Câu III (1 điểm): Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Câu IV.(2 điểm): Nội dung kiến thức: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng; tính khoảng cách từ một điểm đến ặt phẳng. Câu V.(1 điểm): Nội dung kiến thức: - Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm. - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG PHẦN I: GIẢI TÍCH Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ: I/ Khảo sát hàm đa thức: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức: B1: Tập xác đònh: D= ¡ . B2: Tìm lim y x = →±∞ B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trò của hàm số tại các nghiệm vừa tìm được. B4: Lập bảng biến thiên B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 ⇒ điểm uốn. B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trò bên trái và một điểm có hoành độ lớn hơn cực trò bên phải. B7:Vẽ đồ thò Các dạng đồ thò hàm bậc 3: y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 =   >  y a ' 0 0 ≥ ∀   >  y x a ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 y a =   <  ' 0 0 ≤ ∀   <  y x a Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Các dạng đồ thò hàm trùng phương: y' 0 có 3 nghiệm phân biệt a 0 =   >  ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   >  ' 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 y a =   <  ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   <  Chú ý: Đồ thò hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng. 1 x Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y / =0 f’(x) Xét dấu y / f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số Đề cương ơn tập Tốn 12 2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x 3 +3x 2 – 4 Giải: Tập xác đònh: D = R lim x y →±∞ =±∞ y ′ = 3x 2 +6x = 3x(x+2), cho 0 4 0 2 0 x y y x y = ⇒ = −  ′ = ⇔  = − ⇒ =  Lập bảng biến thiên. x −∞ -2 0 + ∞ y / + 0 - 0 + y 0 CT + ∞ - ∞ CĐ -4 6 6y x ′′ = + cho y ′′ = 0 ⇔ x= –1 ⇒ y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4) Vẽ đồ thò hàm số: Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x 2 – x 4 Giải MXĐ : D= R lim x y →±∞ =−∞ y ′ = 4x–4x 3 = 4x(1–x 2 ) cho y ′ = 0 ⇔ 4x(1–x 2 )=0 ⇔ x = 0 y=0 x = 1 y=1 ⇒   ± ⇒  Lập bảng biến thiên: x −∞ -1 0 1 + ∞ y / + 0 - 0 + 0 - y 1 CT 1 - ∞ CĐ 0 CĐ - ∞ y ′′ = 4–12x 2 cho y ′′ = 0 ⇔ x = 3 3 ± ⇒ y= 5 9 y ′′ đổi dấu qua x = 3 3 ± ⇒ Đồ thị hàm số có 2 điêm uốn là 3 5 ; 3 9   ±  ÷  ÷   Điểm đặc biệt: A ( ) 2;0 B ( ) 2;0− Đồ thò: II/ Khảo sát hàm nhất biến: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm ax b y cx d + = + : B1: TXĐ D = R\ d c −       B2: Tiệm cận ngang là: a y c = . Tiệm cận đứng là x = d c − . 2 2 -2 -4 x y 14 -2 2 -2 x y 1 6 4 2 -2 5 x y Đề cương ơn tập Tốn 12 B3: Tính đạo hàm y’= ( ) 2 . .a d b c cx d − + ⇒ tính đơn điệu của hàm số B4: Lập bảng biến thiên. x Ghi miền xác đònh của hàm số f’(x) Xét dấu y / f(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số B5:Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ. B6:Vẽ đồ thò Dạng đồ thò hàm b1/b1 y’< 0 x D∀ ∈ y’> 0 x D∀ ∈ 2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y = 2 2 1 x x − + . MXĐ: D= R\ { } 1− y ′ = ( ) 2 4 1x + > 0 x ∀ ∈ D ⇒ hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác đònh của nó. TCĐ: x=–1 ; TCN: y = 2 Lập bảng biến thiên. Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4) Đồ thò: Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ I/ Bài toán : Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò  Dùng đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= ( )m ϕ .  Phương pháp giải: B1: Vẽ đồ thò (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số ) B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y= ( )m ϕ . Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm. Ví dụ: Cho hàm số y=x 3 – 6x 2 + 9x (C). Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm của phương trình x 3 – 6x 2 + 9x – m = 0 Giải: Phương trình x 3 – 6x 2 + 9x – m = 0 ⇔ x 3 – 6x 2 + 9x = m Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d: y=m. dựa vào đồ thò ta có: Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm. Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm. Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm. Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm. Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm. Bài tập đề nghò: Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x 4 – 4 x 2 + 5. b/ Dùng đồ thò (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 4 – 4 x 2 + 5=m. 3 x - ∞ -1 + ∞ y / + + y + ∞ 2 2 - ∞ 2 4 6 8-2-4-6-8 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 x y Đề cương ơn tập Tốn 12 Bài 2: Cho hàm số y= x 3 - 3x – 2 có đồ thò (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số. b/ Dùng đồ thò (C), đònh m để phương trình: x 3 - 3x – 2=m có 3 nghiệm phân biệt. Bài 3: Cho hµm sè : 3 2 y x 3x 2= - + a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cđa hµm sè. b) BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x 3 -3x 2 +m + 1=0 Bài 4: Cho hµm sè 4 2 y x 2x 1= − − cã ®å thÞ (C) a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C). b. Dïng ®å thÞ (C), h·y biƯn ln theo m sè nghiƯm thùc cđa ph¬ng tr×nh 4 2 x 2x m 0 (*)− − = Bài 5: Cho hàm số 1 4 2 y 4 x x= − có đồ thị (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b. Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4 2 x 4x 4m 0 (*)− − = Bài 6 : Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1. 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m : x 3 + 3x 2 + 1 = m 2 . Bài 7: Cho hàm số: y = 42 2 xx − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 02 24 =+− mxx . Bài 8: Cho hàm số y = 2 5 3 2 2 4 +− x x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào (C); biện luận theo m số nghiệm phương trình: 0256 24 =−+− mxx Bài 9: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 2 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm II/ Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến. Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) trong các trường hợp sau: 1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x 0 ) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x 0 ;f(x 0 )) là: y = / 0 f (x ) (x–x 0 ) + f(x 0 ) 2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x 0 : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x 0 ), f(x 0 ) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 là:y = / 0 f (x ) (x–x 0 ) + f(x 0 ) 3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y 0 : B1: Tìm f ’(x) . B2:Do tung độ là y 0 ⇔ f(x 0 )=y 0 . giải phương trình này tìm được x 0 ⇒ f / (x 0 ) B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y 0 là:y = / 0 f (x ) (x–x 0 ) + y 0 4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k: B1: Gọi M 0 (x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm . B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên : )( 0 xf ′ =k (*) B3: Giải phương trình (*) tìm x 0 ⇒ f(x 0 ) ⇒ phương trình tiếp tuyến. Chú ý:  Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f / (x 0 )=a.  Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f / (x 0 ).a=-1. Ví dụ 1 : Cho đường cong (C) y = x 3 .Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong : a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2 c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. Giải: Ta có y’= 3.x 2 4 Đề cương ơn tập Tốn 12 a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1) ( )C∈ có 0 0 x 1 f(x ) 1 = −   = −  ⇒ f’(x 0 )= 3.(-1) 2 = 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x 0 )(x-x 0 )+f(x 0 ) = 3.(x+1) + (-1) b/ Ta có x 0 = -2 ⇒ 0 0 f(x ) 8 f '(x ) 12 = −   =  ⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16 c/ Ta có tung độä bằng y 0 = –8 ⇔ f(x 0 )= -8 ⇔ 3 0 x =-8 ⇒ x 0 =-2 ⇒ f’(x 0 )=12 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16 d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔ f’(x 0 )=3 ⇔ 3. 2 0 x =3 ⇔ x 0 = ± 1 với x 0 =1 ⇒ f(x 0 )=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 . với x 0 =-1 ⇒ f(x 0 )= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2. Bài tập đề nghò: Bài 1: Cho hàm số y= x 3 - 3x 2 có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 4. c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005. e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 1 3 x + 2006. f/Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2). Bài 2: Cho hàm số y= 2 1 x x x − + + có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 2. c/ Tại điểm có tung độ y=- 3 2 . d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1. e/Biết tiếp tuyến đi qua A(2;0). Chủ đề III: Phương trình, bất phương trình mũ loga 1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit : a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản : Dạng a x = b ( a> 0 , 0a ≠ ) • b ≤ 0 : pt vô nghiệm • b>0 : log x a a b x b= ⇔ = Dạng log a x b= ( a> 0 , 0a ≠ ) • Điều kiện : x > 0 • log b a x b x a= ⇔ = b/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản : Dạng a x > b ( a> 0 , 0a ≠ ) • b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R • b>0 : . log x a a b x b> ⇔ > , khi a>1 . log x a a b x b> ⇔ < , khi 0 < a < 1 Dạng log a x b> ( a> 0 , 0a ≠ ) • Điều kiện : x > 0 • log b a x b x a> ⇔ > , khi a >1 log b a x b x a> ⇔ < , khi 0 < x < 1 Bài tập đề nghò: Phương trình mũ: Dạng 1. Đưa về cùng cơ số Bài 1 : Giải các phương trình sau a) 4 3 2 4 x− = b) 2 5 6 2 2 16 2 x x− − = c) 2 2 3 3 5 3 9 x x x− + − = d) 2 8 1 3 2 4 x x x− + − = e) 5 2x + 1 – 3. 5 2x -1 = 110 f) 5 17 7 3 1 32 128 4 x x x x + + − − = f) 2 x + 2 x -1 + 2 x – 2 = 3 x – 3 x – 1 + 3 x - 2 g) (1,25) 1 – x = 2(1 ) (0,64) x+ Dạng 2. đặt ẩn phụ Bài 2 : Giải các phương trình a) 2 2x + 5 + 2 2x + 3 = 12 b) 9 2x +4 - 4.3 2x + 5 + 27 = 0 c) 5 2x + 4 – 110.5 x + 1 – 75 = 0 d) 1 5 2 8 2 0 2 5 5 x x+     − + =  ÷  ÷     e) 3 5 5 20 x x− − = f) ( ) ( ) 4 15 4 15 2 x x − + + = g) ( ) ( ) 5 2 6 5 2 6 10 x x + + − = 2 1 )3 9.3 6 0 x x h + − + = 5 Đề cương ơn tập Tốn 12 i) 1 7 2.7 9 0 x x− + − = (TN – 2007) j) 2 2 2 9.2 2 0 x x+ − + = Dạng 3. Logarit hóạ Bài 3 Giải các phương trình a) 2 x - 2 = 3 b) 3 x + 1 = 5 x – 2 c) 3 x – 3 = 2 7 12 5 x x− + d) 2 2 5 6 2 5 x x x− − + = e) 1 5 .8 500 x x x − = f) 5 2x + 1 - 7 x + 1 = 5 2x + 7 x Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu Bài 4: giải các phương trình a) 3 x + 4 x = 5 x b) 3 x – 12 x = 4 x c) 1 + 3 x/2 = 2 x Phương trình logarit Dạng 1. Đưa về cùng cơ số Bài 5: giải các phương trình a) log 4 (x + 2) – log 4 (x -2) = 2 log 4 6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) c) log 4 x + log 2 x + 2log 16 x = 5 d) log 4 (x +3) – log 4 (x 2 – 1) = 0 e) log 3 x = log 9 (4x + 5) + ½ f) log 4 x.log 3 x = log 2 x + log 3 x – 2 g) log 2 (9 x – 2 +7) – 2 = log 2 ( 3 x – 2 + 1) h) ( ) ( ) 3 3 3 log 2 log 2 log 5x x+ + − = Dạng 2. đặt ẩn phụ Bài 6: giải phương trình a) 1 2 1 4 ln 2 lnx x + = − + b) log x 2 + log 2 x = 5/2 c) log x + 1 7 + log 9x 7 = 0 d) log 2 x + 2 10log 6 9x + = e) log 1/3 x + 5/2 = log x 3 f) 3log x 16 – 4 log 16 x = 2log 2 x g) 2 2 1 2 2 log 3log log 2x x x+ + = h) 2 2 lg 16 l g 64 3 x x o+ = Dạng 3 mũ hóa Bài 7: giải các phương trình a) 2 – x + 3log 5 2 = log 5 (3 x – 5 2 - x ) b) log 3 (3 x – 8) = 2 – x Bất phương trình mũ Bài 8: Giải các bất phương trình a) 16 x – 4 ≥ 8 b) 2 5 1 9 3 x+   <  ÷   c) 6 2 9 3 x x+ ≤ d) 2 6 4 1 x x− + > e) 2 4 15 4 3 4 1 2 2 2 x x x − + −   <  ÷   f) 5 2x + 2 > 3. 5 x Bài 9: Giải các bất phương trình a) 2 2x + 6 + 2 x + 7 > 17 b) 5 2x – 3 – 2.5 x -2 ≤ 3 c) 1 1 1 2 4 2 3 x x − − > + d) 5.4 x +2.25 x ≤ 7.10 x e) 2. 16 x – 2 4x – 4 2x – 2 ≤ 15 f) 4 x +1 -16 x ≥ 2log 4 8 g) 9.4 -1/x + 5.6 -1/x < 4.9 -1/x Bài 10: Giải các bất phương trình a) 3 x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3 ≤ 3 c) 5 x – 3 x+1 > 2(5 x -1 - 3 x – 2 ) Bất phương trình logarit Bài 11: Giải các bất phương trình a) log 4 (x + 7) > log 4 (1 – x) b) log 2 ( x + 5) ≤ log 2 (3 – 2x) – 4 c) log 2 ( x 2 – 4x – 5) < 4 d) log 1/2 (log 3 x) ≥ 0 e) 2log 8 ( x- 2) – log 8 ( x- 3) > 2/3f) log 2x (x 2 -5x + 6) < 1 g) 1 3 3 1 log 1 2 x x − > + Bài 12: Giải các bất phương trình a) log 2 2 + log 2 x ≤ 0 b) log 1/3 x > log x 3 – 5/2 c) log 2 x + log 2x 8 ≤ 4 d) 1 1 1 1 log logx x + > − e) 16 2 1 log 2.log 2 log 6 x x x > − f) 4 1 4 3 1 3 log (3 1).log ( ) 16 4 x x − − ≤ Bài 13. Giải các bất phương trình a) log 3 (x + 2) ≥ 2 – x b) log 5 (2 x + 1) < 5 – 2x c) log 2( 5 – x) > x + 1 d) log 2 (2 x + 1) + log 3 (4 x + 2) ≤ 2 6 Đề cương ơn tập Tốn 12 Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: 1/Các kiến thức cần nắm vững : Các đònh nghóa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm. Bảng nguyên hàm thường dùng. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HP : ( ) xuu = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +−= += +−= += ≠<+= += ≠+= −≠+ + = += + Cgx x dx Ctgx x dx Cxdxx Cxdxx aC a a dxa Cedxe xCx x dx C x dxx Cxdx x x xx cot sin ,9 cos ,8 cos.sin,7 sin.cos,6 .10, ln ,5 .,4 .0,ln,3 .1, 1 ,2 .,1 2 2 1 α α α α ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +−= += +−= += ≠<+= += ≠=+= −≠+ + = += + Cgu u du Ctgu u du Cuduu Cuduu aC a a dua Cedue xuuCu u du C u duu Cudu u u uu cot sin ,9 cos ,8 cos.sin,7 sin.cos,6 .10, ln ,5 .,4 .0,ln,3 .1, 1 ,2 .,1 2 2 1 α α α α 2/Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng đònh nghóa và tính chất. Phương pháp giải: Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả. Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau: a) f(x) = x 3 – 3x + x 1 b) f(x) = x 2 + x 3 c) f(x) = (5x + 3) 5 d) f(x) = sin 4 x cosx Giải a/ 4 3 3 2 1 1 x 3 ( ) (x - 3x + ) x 3 ln x x 4 2 f x dx dx dx xdx dx x x c = = − + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b/ x x 2 3 ( ) (2 + 3 ) 2 3 ln2 ln3 x x x x f x dx dx dx dx c = = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ c/ 6 5 5 (5 3) (5 3) ( ) (5x+ 3) (5x+ 3) 5 30 d x x f x dx dx c + + = = = + ∫ ∫ ∫ d/ 5 4 4 sin ( ) sin x cosx sin x (sin ) 5 x f x dx dx d x c = = = + ∫ ∫ ∫ Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước. Phương pháp giải: B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm. Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( 6 π )= 0. Giải 7 Đề cương ơn tập Tốn 12 Ta có F(x)= x – 1 3 cos3x + C. Do F( 6 π ) = 0 ⇔ 6 π - 1 3 cos 2 π + C = 0 ⇔ C = - 6 π . Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – 1 3 cos3x - 6 π Bài tập đề nghò: 1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin 2 x.cosx, biết giá trò của nguyên hàm bằng − 3 8 khi x= π 3 2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e 1-2x , biết F( = 1 ) 0 2 3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3 2 2 2 3 3 1 2 1 x x x x x + + − + + , biết F( 1 1) 3 = II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN : 1/Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng. Đònh nghóa tích phân, các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính tích phân 2/Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tính tích phân bằng đònh nghóa và tính chất. Phương pháp giải: Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả. Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau: a/ 3 3 1 ( 1)x dx − + ∫ b/ 4 4 2 4 ( 3sin ) cos x dx x π π − − ∫ c/ 2 2 1x dx − − ∫ Giải a/ 3 3 1 ( 1)x dx − + ∫ = 3 3 3 4 3 1 1 1 81 1 1 ( ) ( 3) ( 1) 24 4 4 4 x x dx dx x − − − + = + = + − − = ∫ ∫ b/ 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 4 1 ( 3sin ) 4 3 sin (4 3cos ) cos cos x dx dx xdx tgx x x x π π π π π π π π − − − − − = − = + = ∫ ∫ ∫ = (4 3cos ) [4 ( ) 3cos( )] 4 4 4 4 tg tg π π π π + − − + − =8 c/ 2 2 1x dx − − ∫ = 1 2 1x dx − − ∫ + 2 1 1x dx− ∫ = 1 2 (1 )x dx − − ∫ + 2 1 ( 1)x dx− ∫ =(x- 2 2 1 2 2 1 ) ( ) 2 2 x x x − + − =5 Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau: 1/I= π + ∫ 2 0 (3 cos2 ).x dx 2/J= + ∫ 1 0 ( 2) x e dx 3/K= + ∫ 1 2 0 (6 4 )x x dx Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) ⇒ dx = u (t). dt ′ b2: Đổi cận: x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β ( chọn α , β thoả đk đặt ở trên) b3: Viết b a f(x)dx ∫ về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân . Ví dụ: Tính : 1 2 0 1 x dx− ∫ Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt. Vì x ∈ [0;1] nên ta chọn t ∈ [0; ] 2 π 8 Đề cương ơn tập Tốn 12 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x= 1 ⇒ t = 2 π Vậy : 1 2 0 1 x dx− ∫ = 2 2 2 2 0 0 0 1 1 s 2 cos t.dt (1 cos2t).dt= ( ) 2 2 2 in t t π π π = + + ∫ ∫ = 4 π Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :  2 2 a x− thì đặt x= a sint t ∈ [ ; ] 2 2 π π −  2 2 a x+ thì đặt x= a tgt t ∈ ( ; ) 2 2 π π −  2 2 x a− thì đặt x= sin a t t ∈ [ ; ] 2 2 π π − \ { } 0 Dạng 2: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx b a ϕ ϕ ∫ bằng phương pháp đổi biến. Phương pháp giải: b1: Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = '( ). dxx ϕ b2: Đổi cận: x = a ⇒ t = ϕ (a) ; x = b ⇒ t = ϕ (b) b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được . Ví dụ : Tính tích phân sau : a/ 1 2 0 2 1 1 x I dx x x + = + + ∫ b/ 1 2 0 3. .J x x dx= + ∫ Giải: a/ Đặt t = x 2 + x +1 ⇒ dt = (2x+1) dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t =1 ; x = 1 ⇒ t = 3 Vậy I= 3 3 1 1 ln ln3 dt t t = = ∫ b/ Đặt t= 2 3x + ⇒ t 2 = x 2 + 3 ⇒ tdt = x dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3 ; x = 1 ⇒ t = 2 Vậy J = 2 2 3 2 3 3 1 (8 3 3) 3 3 t t dt = = − ∫ Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau: 1/ π ∫ 2 sin 0 .cos . x e x dx 2/ + ∫ 1 0 1 x x e dx e 3/ + ∫ 1 1 ln e x dx x 4/ + ∫ 1 2 5 0 ( 3)x x dx Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần: Công thức từng phần : . . . b b b a a a u dv u v v du= − ∫ ∫ Phương pháp giải: B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần còn lại là dv tìm v. B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần. B3: Tích phân b a vdu ∫ suy ra kết quả. Chú ý: a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho b a vdu ∫ dễ tính hơn ∫ b a udv nếu khó hơn phải tìm cách đặt khác. b/Khi gặp tích phân dạng : ( ). ( ). b a P x Q x dx ∫ 9 Đề cương ơn tập Tốn 12 - Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số e ax+b , cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên. - Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a/ I= 2 0 .cos .x x dx π ∫ b/J= 1 .ln . e x x dx ∫ Giải a/ Đặt : cos . sin u x du dx dv x dx v x = =   ⇒   = =   (chú ý: v là một nguyên hàm của cosx ) vậy I=x cosx 2 0 π - 2 0 sin .x dx π ∫ = cosx 2 0 π = -1 b/ Đặt : 2 1 . ln . 2 du dx u x x dv x dx x v  =  =   ⇒   =   =   Vậy J= lnx. 2 2 x 1 e - 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 4 4 e e e x e e e dx xdx x x + = − = − = ∫ ∫ Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau: 1/ ∫ 1 3 0 . x x e dx 2/ π ∫ 4 2 0 cos x dx x 3/ ∫ 1 ln . e x dx 4/ − ∫ 5 2 2 .ln( 1).x x dx 5/ π ∫ 2 0 .cos . x e x dx Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu: Phương pháp giải: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính. Ví dụ: Tính các tích phân sau: a/ 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 (1 ) [ ln 2 1] 1 ln3 2 1 2 1 2 2 x dx dx x x x x = + = + - = + - - ò ò = 1 ln3 2 . b/ 0 0 3 3 2 2 0 1 1 1 3 1 5 23 ( 4 ) [ 4 ln 1] ln 2 1 1 3 2 6 x x x x dx x x dx x x x x - - - + + = + + + = + + + - = - - - ò ò Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau: 1/I= + − ∫ 2 3 2 2 1 2 3x x x dx x 2/J= + + + ∫ 4 2 3 2 5 3 1 x x dx x b/Dạng bậc1 trên bậc 2: Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính. Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt: Ví dụ: Tính các tích phân : ( ) 2 2 1 5 1 6 x dx x x - - - ò Giải Đặt ( ) 2 5 1 6 x x x - - - = 5 5 ( 3) ( 2) ( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3) x A B A x B x x x x x x x - - + + = + = + - + - + - ⇒ A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 ⇒ A=3. cho x=3 ⇒ B=2. vậy ta có: ( ) 2 2 1 5 1 6 x dx x x - - - ò = 2 2 1 1 3 2 16 ( ) (3ln 2 2ln 3 ) ln 2 3 27 dx x x x x + = + + - = + - ò 10 [...]... = cosx dx 12 Đề cương ơn tập Tốn 12 x=0 ⇒ u=0 ; x= Bài tập đề nghò: π 1/ ∫ cos 4 1 π ⇒ 2 1 u3 u5 1 2 − )0 = J= ∫ (1 − u )u du = ∫ (u − u ).du = ( 3 5 15 0 0 u=1 2 2 2 4 Tính các tích phân sau: x.dx 2/ 0 π 2 π π ∫ sin x.cos x.dx 3 3 3/ ∫ sin 4 4/ x.cos x.dx 4 0 0 1 2 2 dx ∫ π sin x 6 III/ Diện tích hình phẳng: 1/ Dạng toán1 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng Công thức:... a; x=b; y= 0 là : b S = ∫ f ( x ) dx a 2/ Dạng toán2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và b S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx các đường thẳng x= a; x=b là : a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa... chóp Bài giải: 17 Đề cương ơn tập Tốn 12 V = 1 Bh 3 1 V = a 3 ( đvtt) 3 a) Áp dụng cơng thức b) Trong tam giác vng SAC, có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1) trong đó B = a2, h = SA = a ⇒ BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆ SBC vng tại B, IB là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2) Tương tự ta cũng có ID = IS = IC(3) Từ (1), (2), (3) ta có I cách đều tất cả các... 4 x + cos 4 x max f ( x ) = 1, min f ( x ) = R R max f ( x ) = 2 1 , b 0; 3   2 2   x2 + 1 x x2 − 4 x + m y= x+2 ĐS: a y = ±1 , b m= 12: khơng có tiệm cận, m≠ 12: TCĐ x=−2, TCX y=x−6 y= a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 23 Đề cương ơn tập Tốn 12 b Gọi M là giao điểm của (C) và Oy, d là đường thẳng qua M và có hệ số góc m Xác định m để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt ĐS: b m . nguyên h m thường d ng. Đònh nghóa tích phân, các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính tích phân 2/Một số d ng toán thường gặp: D ng 1: Tính tích. quả. Chú ý: a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho b a vdu ∫ d tính h n ∫ b a udv nếu khó h n phải tìm cách đặt khác. b/Khi gặp tích phân d ng