HÙNG NOLAN GROUP CHINH PHỤC MƠN TỐN KÌ THI THPTQG 2018 ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH CỦA ĐỒ THỊ I Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong / Điểm mà họ đường cong không qua Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m không Tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi ? Phương pháp giải: Ta có điểm A( x 0; y ) gọi điểm cố định họ đường cong (Cm ) : y f ( x, m) f ( x0 , m) y0 m (1) Ta biến đổi (1) dạng phương trình ẩn m sau f ( x0 , y0 ).m2 g ( x0 , y0 ).m h( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) g ( x0 , y0 ) h( x0 , y0 ) Từ ta tìm điểm A( x0 , y0 ) Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m không Tìm điểm có n đồ thị họ (Cm ) qua ? Phương pháp giải: Ta tìm điểm A( x0 ; y0 ) cho phương trình ẩn m : f ( x0 , y0 ).m2 g ( x0 , y0 ).m h( x0 , y0 ) có n nghiệm Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m khơng q Tìm điểm mà họ đường cong không qua m thay đổi ? Phương pháp giải: Ta có điểm A( x0 , y0 ) gọi điểm đường cong họ đường cong (Cm ) : y f ( x, m) qua f ( x, m) y0 m hay phương trình f ( x0 , m) y0 vô nghiệm m a Chú ý: Phương trình ax b vô nghiệm b HÙNG NOLAN GROUP CHINH PHỤC MƠN TỐN KÌ THI THPTQG 2018 a b Phương trình ax bx c vô nghiệm c a b 4ac Đối với hàm hữu tỉ có tiệm cận đứng cố định điểm nằm tiệm cận đứng điểm đồ thị không qua Ví dụ Cho hàm số y (m 2) x3 3(m 2) x m có đồ thị (Cm ) Chứng họ đường cong (Cm ) qua điểm cố định điểm thẳng hàng Giải: Gọi A( x0 ; y0 ) điểm cố định thuộc họ đường cong (Cm ) yo (m 2) x03 3(m 2) x0 m m m( x03 3x0 1) 2x03 6x0 y0 m 3 x0 3x0 x0 3x0 2 x0 x0 y0 y0 2(3x0 1) x0 12 x0 Vì phương trình x x ln có nghiệm phân biệt nên ta suy họ đường cong (Cm ) qua điểm cố định Từ phương trình y0 12 x0 ba điểm cố định nằm đường thẳng y 12 x I Bài tốn tìm đường thẳng/ Đương cong cố định mà họ đường cong ln qua Ta sử dụng định lí tương giao điều kiện nghiệm kép để giải ( tùy thuộc theo toán mà cách giải khác có ưu tốc độ khác ) Điều kiện nghiệm kép: -Hai đồ thị tiếp xúc phương trình hồnh độ giao điểm chúng có nghiệm kép -Đường thẳng ( d ) tiếp tuyến đồ thị hàm số phương trình hồnh độ giao điểm chúng có nghiệm kép HÙNG NOLAN GROUP CHINH PHỤC MƠN TỐN KÌ THI THPTQG 2018 Định lí tương giao: f ( x) g ( x) Hai đồ thị hàm số f ( x ) g ( x) tiếp xúc với hệ sau có nghiệm: f '( x) g '( x) Khi nghiệm x0 hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm Trên cách làm tổng quát thông dụng lớp toàn Tuy nhiên dạng nhỏ riêng biệt ta có kĩ thuật/ cách làm khác Các dạng tập: Dạng 1: Tiếp tuyến cố định với họ (Cm ) điểm cố định - Giả sử họ (Cm ) có điểm cố định A( x0 ; y0 ) ( Ta đưa mục I – tìm điểm cố định ) - Hệ số góc tiếp tuyến với (Cm ) A ( tức y '( x0 ) h( x0 , m) ) không phụ thuộc vào m - Họ (Cm ) có chung tiếp tuyến có phương trình: y y0 y '( x0 )( x x0 ) Dạng 2: Cho biết dạng đường cố định ( L ) : y g ( x ) - Nếu ( L ) đường thẳng thì y g ( x) ax b , ( L ) parabol y ax bx c (a 0) - Lập phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) ( L ) : f ( x, m) g ( x) (1) f ( x, m) g ( x ) - (Cm ) tiếp xúc với ( L ) , m (1) có nghiệm kép m hệ sau có nghiệm: m f '( x, m) g '( x) Dạng 3: Chưa cho biết dạng đường cố định ( L ) - Phân tích f ( x, m) [a(m) x b(m)]2 g ( x) ( Hoặc f ( x, m) [a(m) x b(m)]k g ( x) với k c(m.x) ) g ( x) khơng chứa m Khi phương trình f ( x, m) g ( x) ln có nghiệm bội nên (Cm ) tiếp xúc với ( L ) : y g ( x ) cố định Về Dạng 3, có tài liệu riêng viết kĩ thuật casio để giải :v HÙNG NOLAN NHĨM CHINH PHỤC MƠN TỐN KÌ THI THPTQG 2018 ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG BÀI TOÁN TIẾP XÚC BIỆN LUẬN SỐ ĐỒ THỊ ĐI QUA ĐIỂM I Tìm điểm cố định đồ thị: VD: Tìm điểm cố định Cm : y x3 (m 1) x (2m2 3m 2) x 2m(2m 1) Cách thông thường: Giả sử A( x0 ; y0 ) điểm cố định Cm y0 x03 (m 1) x02 (2m2 3m 2) x 2m(2m 1) m (*) m2 (2x0 4) m( x02 3x0 2) ( x03 x02 2x0 y0 ) 2 x0 x0 A(2;0) x0 3x0 y x0 x0 x0 y0 Học lỏm ‘Đạo hàm riêng’ ( thực khơng hiểu chất đâu ) Lấy đạo hàm (*) theo m ta có x02 4mx0 3x0 8m 2, m Lại tiếp tục đạo hàm theo m lần ta 4x0 x0 Vậy điểm cố định họ (Cm ) A(2;0) II Tìm đường cố định ( L ) ( khơng biết dạng ) tiếp xúc với họ (Cm ) Cái có viết sơ qua tài liệu ỉa chảy hơm trước, coi phần Đối với đề có dạng ( L ) tùy theo dạng đường thẳng hay cong mà ta đặt làm nghiệm kép hay điều kiện tiếp xúc Nhưng với dạng tịt :v nên ta cần kĩ thuật tách tạo hạng tử chứa nghiệm bội sau ( kĩ thuật có ưu điểm nhanh gọn đơn giản, dùng cho biết dạng hay không ổn ) Xét (Cm ) : y f ( x, m) Ta biểu diễn y f ( x, m) [ (m) x (m)]k g ( x) với k g ( x) không chứa m ( x , m) Khi phương trình f ( x, m) g ( x) có nghiệm bội x ( m) , theo điều kiện nghiệm kép g ( x) ( m) đường tiếp xúc cần tìm Thường thường ta hay tách “Cảm tính ” hay nơm na mò Nhưng lúc đầu óc u tối, chập cheng dễ tịt Ta lại xài trò vác tồn kao kấp mà không cần chất :v Để tách phận nghiệm bội ta dùng mẹo học lỏm từ đạo hàm riêng tốn kao kấp HÙNG NOLAN NHĨM CHINH PHỤC MƠN TỐN KÌ THI THPTQG 2018 [ (m).x (m)]k g ( x) Lấy đạo hàm theo m ta có y ' ( x, m ) k[ (m) x (m)]k 1.[ (m) x ]'. ( x, m) [ ( m) x ( m)]k '( x, m) 0 ( x, m) x0 ( m) ( m) Như ta cố gắng ép f ( x, m) cho có hạng tử thỏa mãn x0 ( m) nghiệm bội ( tổng quát ( m) nghiệm kép ) Để dễ hiểu Hùng Béo xin đưa ví dụ VD: Chứng minh họ (Cm ) : y (m 2) x (m 2m 4) tiếp xúc với đường thẳng cố định xm Giải: Làm nháp: dy ( x 2m 2)( x m) (m 2) x (m 2m 4) dm ( x m) x m dy x 2mx (m 4) x m dm ( x m) Trình bày giải: f ( x , m) [x (m 2)]2 x (m 2) x 2m [x ( m 2)]2 ( x 2) (1) xm xm f ( x , m) [x (m 2)]2 x (m 6) x 6m [x ( m 2)]2 ( x 6) (2) xm xm Do phương trình tương giao f ( x, m) x 2; f ( x, m) x có nghiệm kép tương ứng x m x m nên họ (Cm ) tiếp xúc đường thẳng cố định y x y x ... biệt nên ta suy họ đường cong (Cm ) qua điểm cố định Từ phương trình y0 12 x0 ba điểm cố định nằm đường thẳng y 12 x I Bài tốn tìm đường thẳng/ Đương cong cố định mà họ đường cong ln qua... tiệm cận đứng cố định điểm nằm tiệm cận đứng điểm đồ thị không qua Ví dụ Cho hàm số y (m 2) x3 3(m 2) x m có đồ thị (Cm ) Chứng họ đường cong (Cm ) qua điểm cố định điểm thẳng hàng... THỊ ĐI QUA ĐIỂM I Tìm điểm cố định đồ thị: VD: Tìm điểm cố định Cm : y x3 (m 1) x (2m2 3m 2) x 2m(2m 1) Cách thông thường: Giả sử A( x0 ; y0 ) điểm cố định Cm y0 x03