SKKN bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10

Vì thế, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm với chủ đề “ Bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10” nhằm mục đích cung cấp cho các em một cách nhìn tổng quan cho các bài toánthực tế

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

MỤC LỤC

2.4 Một số bài toán học sinh tự sáng tạo đề 24

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Cách đây ba năm, tôi được nhà trường phân công trực tiếp giảng dạy bộmôn toán ở 2 lớp 10A1 và 10A2, nhưng một thực tế là từ trước đến nay, nhiều họcsinh đã sai lầm trong cách học, dẫn đến hiệu quả không cao vì chỉ khư khư ôm lấy

lí thuyết mà không chịu thực hành Một phần do học sinh chưa nắm được tầmquan trọng của phương châm học đi đôi với hành, một phần xuất phát từ tâm lí engại, lười hoạt động Các em khá thông minh nhưng lại hay bị động ở các bài toánthực tế Ngoài ra, theo cấu trúc của đề thi môn toán hiện nay thì tỉ trọng các câuliên hệ thực tế khá nhiều so với trước kia là hầu như không có, nên các em thườngmất điểm phần bài tập liên hệ Vậy nên, việc dạy cho các em tiếp cận với các bàitoán thực tế là hết sức cần thiết

Năm học này, tôi lại được nhận nhiệm vụ dạy lớp 10I và cũng thấy nhiềukhó khăn của học sinh đã từng mắc phải như trước Vì thế, tôi viết sáng kiến kinh

nghiệm với chủ đề “ Bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10”

nhằm mục đích cung cấp cho các em một cách nhìn tổng quan cho các bài toánthực tế , để các em đủ tự tin và nắm được phương pháp làm đúng cho các dạng bàitoán thực tế cụ thể Ở nội dung này tôi tập trung khai thác ở hai phần:

+ Hàm số bậc 2

+ Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn số ( Bài toán kinh tế)

Hàm số bậc hai và Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là mảng kiến thức quan trọng

ở trường phổ thông, có nhiều ứng dụng trong thực tế Vấn đề tìm miền nghiệmcủa hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có liên quan chặt chẽ đến bài toán tìm cựctrị của biểu thức trên một miền đa giác phẳng lồi Việc nắm vững kiến thức về bấtphương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh có thể quy những bài toán kinh tếtrong cuộc sống về toán học

1

- Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10

- Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán thực tế ở các bài

+ Hàm số bậc hai

+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số (Bài toán kinh tế)

- Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý luận chung

+ Khảo sát điều tra thực tế dạy học

+Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

-Cách thực hiện

+ Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên của nhóm bộ môn + Liên hệ thực tế, áp dụng đúc rút kinh nghiệm

+ Thông qua việc giảng dạy trực tiếp

- Thời gian nghiên cứu: Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy khối lớp 10 tại

2 Điểm mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp

Hiện nay nội dung cũng như cấu trúc ra đề thi của môn toán dần theo xuhướng có nhiều câu hỏi áp dụng thực tiễn nhưng sách giáo khoa lại chưa thay đổi

để phù hợp Các bài toán thực tế đang trở nên xa lạ đối với các em học sinh, đặcbiệt là các em học sinh lớp 10 nên tôi viết sáng kiến này mục đích giới thiệu và làm

rõ cho các em học sinh thấy được hệ thống những bài toán thực tế trong chươngtrình toán học lớp 10 và cách giải cụ thể cho từng dạng, để các em không còn engại khi gặp những bài toán tương tự Trong khi đó, các tài liệu để hướng dẫn chocác em còn hạn chế và hầu như rất ít giáo viên nghiên cứu về đề tài liên quan đếnvấn đề này thực sự hiệu quả

Trong nội dung sáng kiến này, tôi cố gắng đưa ra các bài toán trong sáchgiáo khoa, các bài toán trong các đề thi về hai dạng hàm số bậc hai và hệ bấtphương trình bậc nhất hai ẩn mà trọng tâm chủ yếu là hệ bất phương trình để các

em có một hệ thống kiến thức nền tảng cho các dạng bài tập liên quan.Ngoài ra, tôicòn cho học sinh tự đưa ra các bài tập tương tự nhằm phát huy tư duy tích cực,sáng tạo nhằm mục đích cho các em thu được kết quả tốt nhất trong học tập và ứngdụng trong thực tiễn, đó là mục đích lớn nhất mà giáo dục nước nhà đang hướngđến

3

II NỘI DUNG.

1 Thực trạng của vấn đề mà đề tài cần giải quyết

Trong quá trình học tập học sinh thường rất lúng túng và không định hướngđược cách làm cho các bài toán thực tế Sơ đồ sau thể hiện kiểu bài toán được phânloại theo bối cảnh thực tế Từ bài toán thực tế ban đầu, giáo viên đơn giản hóa nó

để tạo ra bài toán bài toán thuần túy toán học Và nhận ra rằng mức độ nhận thứccàng tăng khi áp dụng các bài toán thực tế Học sinh nắm được bối cảnh của từngbài toán và sẽ có được cách làm cho từng dạng cụ thể:

2 Nội dung của đề tài

2.1 Hàm số bậc hai

2.1.1 Cơ sở lý thuyết

Để xác định hàm số bậc hai ta làm như sau:

Gọi hàm số cần tìm là Căn cứ theo giả thiết bài toán

để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn , từ đó suy ra hàm số cần tìm

Ở các bài toán thực tế việc đầu tiên các em phải chọn cho mình được hệ trục tọa

độ và nên chọn hệ trục sao cho khi ta gán tọa độ các điểm vào thì có thể dễ dànggiải quyết được bài toán

Ví dụ 1 Dây truyền đỡ nền cầu treo có

trên trục AA' và BB' với độ cao 30m Chiều dài nhịp Độ cao ngắnnhất của dây truyền trên nền cầu là Xác định chiều dài các dây cáp treo(thanh thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền)?

Định hướng cách giải:

Ở bài này thì có rất nhiều cách để gán hệ trục tọa độ vào nhưng vẫn ưu tiên gán ởđỉnh của parapol Lúc đó có thể dễ dàng

tìm ra tọa độ của các điểm xung quanh,

sau đó tìm được dạng parabol rồi thì đi

đến tìm được chiều dài dây cáp treo

đối xứng của Parabol, trục Ox nằm trên

nền cầu như Hình vẽ Khi đó ta cóA(100; 30 , ) C(0; 5), ta tìm phương trình củaParabol có dạng y=ax2+bx+c Parabol có đỉnh là C và đi qua A nên ta có hệphương trình:

2

0 2

a b c

ìïï = ïï

ïï = íï

ï = ïï ïïîSuy ra Parabol có phương trình

Ví dụ 2 Bài toán mang tính khám phá: Cầu University ở Saskatoon ở Canada

là một cây cầu được đỡ bằng các vòm parabol Mỗi nhịp cầu rộng 92 feet Bêndưới một trong những vòm đó, người ta xây dựng một con đường có 2 làn với lềđường rộng 10 feet như hình vẽ Biết rằng khoảng cách từ chân vòm parabol đếnmặt đất là 4 feet và vòm parabol cách mặt đất là 11m tại vị trí ngăn cách giữa lề vàlòng đường Bạn hãy cho biết chiều cao tối đa của một phương tiện giao thông cóthể đi qua dưới vòm này

Định hướng cách giải

Bài toán yêu cầu HS sử dụng kiến thức liên

quan đến hàm số bậc hai một ẩn để xác định

chiều cao của chân vòm parabol nhằm đưa ra

khuyến cáo về chiều cao an toàn mà một phương

tiện giao thông có thể đi dưới chân vòm này HS

cần lựa chọn thông tin toán học cần thiết để tìm

kiếm phương án GQVĐ đặt ra trong bài toán như

mỗi nhịp của cầu rộng 92 feet

và được đỡ bằng các vòm parabol Lề đường rộng 10 feet, khoảng cách từ chânvòm parabol đến mặt đất là 4 feet và chiều cao từ vòm parabol này đến vị trí ngăncách lề và lòng đường là 11 feet

Học sinh cần xây dựng mô hình toán bằng cách chọn hệ trục tọa độ Ohx với

O là vị trí chân vòm parabol, Oh là trụ cầu và Ox nằm trên đường thẳng nối hai

chân vòm parabol

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Ohx với O là vị trí chân vòm parabol, Oh là trụ cầu

và Ox nằm trên đường thẳng nối hai chân vòm parabol Lúc đó, vòm parabol này

sẽ đi qua hai điểm A36 7,  và B92 0,  Hàm số biểu thị hình dạng của vòm

parabol có dạng Thay tọa độ điểm A vào phương trình của hàm số

thu được Tiếp tục thay tọa độ điểm B vào phương trình

và nên được hàm số

Hàm số này đạt giátrị lớn nhất tại và Vậy

chiều cao tối đa của một phương tiện đi

qua dưới vòm parabol của chiếc cầu là 23

feet

Ví dụ 3 : Người ta muốn rào quanh một mảnh vườn với một số vật liệu cho trước

là 100m thẳng hàng rào Tại đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm mộtcạnh của hàng rào Vậy làm thế nào để rào mảnh vườn ấy theo hình chữ nhật saocho diện tích lớn nhất ?

S cực đại khi và chỉ khi S =y(100 2 - y)cực đại

Lúc này S =y(100 2 - y)có đỉnh là I (25;1250), vì bề lõm parabol hướng xuốngnên giá trị lớn nhất tại đỉnh, vậy S cực đại khi y=25,x =50

Vậy khu đất có diện tích lớn nhất khi rào mảnh vườn thành hình

chữ nhật với chiều dài x = 50m và chiều rộng y = 25m

Bài toán này cũng có thể đưa vào dạy bài bất đẳng thức Cô-si như sau :

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số không âm 2y và 100 - 2y

ta có:

S

Dấu bằng xảy ra 2y = 100 - 2y y = Suy ra x =

Đánh giá : Không khó để lồng ghép các bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cô - si như trên vào bài hàm số bậc hai thay vì những bài toán nghiêng về lý thuyết có phần khô khan Những bài toán như thế này cho học sinh thấy yêu thích môn toán hơn vì hiểu được rằng toán học luôn theo sát ta trong cuộc sống Cần sử dụng toán học như một công cụ hiệu quả để làm chủ cuộc sống của mình.

2.1.2 Bài tập đề nghị

Bài 1 Khi du lịch đến thành phố Lui (Mĩ) ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng

Parabol bề lõm quay xuống dưới Đó là cổng Acxơ ( hình vẽ )

4 

100 50

2 

Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình

0

ax by c   ,

9

Nghiệm của các bất phương trình dạng ax by c ax by c ax by c  ,   ,   cũng đượcđịnh nghĩa tương tự

 Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩnđược biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tậphợp điểm Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình

 Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng  d ax by c:   0 chia mặt phẳng

thành hai nửa mặt phẳng Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm

các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax by c  0 , nửa mặt phẳng còn

lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình

Bước 2 Xét một điểm M x y 0 ; 0 không nằm trên (d)

- Nếu ax0 by0 c 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền

nghiệm của bất phương trình ax by c  0

- Nếu ax0 by0  c 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là

miền nghiệm của bất phương trình ax by c  0

Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax by c  0 hoặc ax by c  0 thìmiền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ

 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất

phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ Vậy miền nghiệm của hệ là giao các

miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ

Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học nhưsau:

- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ(tô màu) miền còn lại

- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trêncùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miềnnghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Sau đây là một số bài tập ví dụ:

Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:

thành hai nửa mặt phẳng Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó,chẳng hạn điểmM1;0 Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa điểm M1;0

(Miền không được tô màu trên hình vẽ)

Xét điểm O 0;0 ,thấy O0;0 không phải là

nghiệm của bất phương trình đã cho do đó

miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  (không kể đường thẳng ) và khôngchứa điểm O 0;0  (Miền không được tô màu trên hình vẽ)

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:

 d x y:   2 0 ,   d' :x 3y  3 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm O 0;0 , thấy 0;0 không phải là nghiệm của bất phương trình

2 0

x y   và x 3y 3 0 do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không

được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng  d và  d'

b) Vẽ các đường thẳng  d :x y 0, d' : 2 x 3y 6 0 và d" : x 2y 1 0 trênmặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm O 0;0 , thấy 0;0 là nghiệm của

Xét điểm M1;0 ta thấy 1;0 là nghiệm của bất phương trình x y 0 do đó điểm

1;0

M thuộc miền nghiệm bất phương trình x y 0

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể

cả đường thẳng d"

 ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ

Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ

đến quy hoạch tuyến tính Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời

sống và kinh tế

Trước khi vào bài toán, tôi xin nêu ra phương pháp tìm cực trị của biểu

thức F = ax + by trên một miền đa giác Có lẽ các bạn sẽ thấy lạ với phương

pháp này Phương pháp này được nêu ra trong sách giáo khoa lớp 10 cơ bản trang

Lời giải Ta minh họa cách giải trong trường hợp n = 5 tức là xét ngũ giác lồi và

xét trường hợp b > 0 trường hợp ngược lại tương tự Giả sử là điểm

thuộc miền đa giác Qua điểm M và mỗi đỉnh của một đa giác, kẻ các đường thẳng

song song với đường thẳng

Khi đó ta có đường thẳng qua M có phương trình và cắt

trục tung tại điểm Vì b > 0 nên đạt giá trị lớn nhất khi và

chỉ khi lớn nhất Từ đó ta được kết quả bài toán

Tổng quát hóa

Ta luôn có thể giả thiết rằng b > 0, bởi vì nếu b < 0 thì ta có thể nhân hai vế

với -1 và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của sẽ trở thành bàitoán tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của , trong đó

Tập các điểm để nhận giá trị p là đường thẳng ; hay

Đường thẳng này có hệ số góc bằng và cắt trục tung tại điểm

với

Ký hiệu đường thẳng này là Vì b > 0 nên việc tìm giá trị nhỏ nhất

(hay lớn nhất) của với miền đa giác quy về việc tìm giá trị nhỏ

nhất (hay lớn nhất) của , tức là tìm điểm M ở vị trí thấp nhất (hay cao nhất)

trên trục tung sao cho đường thẳng có ít nhất một điểm chung với (S).

Từ đó chú ý rằng có hệ số góc bằng không đổi Ta đi đến cách làmsau:

Khi tìm giá trị nhỏ nhất của , ta cho đường thẳng chuyển độngsong song với chính nó từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền đa giác và đi lên chođến khi lần đầu tiên đi qua một điểm nào đó của miền đa giác Khi đó,

m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của Đó là

Khi tìm giá trị lớn nhất của , ta cho đường thẳng với hệ số góc

chuyển động song song với chính nó từ một vị trí nào đó trên miền đa giác và

đi xuống cho đến khi lần đầu tiên đi qua một điểm nào đó của miền

đa giác Khi đó, m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất của

Vậy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức F = ax + by đạt được tại

một trong các đỉnh của một miền đa giác.

Sau đây là một số bài toán ví dụ ứng dụng hệ bất phương trình:

Ví dụ 1: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại

nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công tytrên hệ thống phát thanh và truyền hình Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóngphát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng Đài phátthanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút Do nhu cầuquảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trìnhdài tối đa là 4 phút Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trêntruyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh Công ty dự định chi tối

đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trênsóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?