Tổng ôn cực trị số phức phạm minh tuấn

TỔNG ÔN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn Wednesday, 21 April Luôn yêu để Sống, ln sống để học Tốn, ln học tốn để Yêu Contents CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC 1 MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ ĐỀ SỐ 14  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 16 ĐỀ SỐ 22  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 25 ĐỀ SỐ 33  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 35 ĐỀ SỐ 44  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 48 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA Ví dụ 1: [THPT Nguyễn Khuyến] Xét số phức z thỏa mãn z   z  i  2 Mệnh đề đúng? B z  A z  C  z 2 D  z 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Cách Chọn z  i Cách   2  z 1  z  i  z 1  z  i  z  i  z  1 z  i  z  i  i 1  z  i  2  z  i  2 Dấu "  " xảy z  i  hay z  i  z  i  PMT Ví dụ 2: [THPT Kim Liên-HN - 2017] Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Tìm giá trị lớn z   i A B 13  C 13  D HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt w  z   i Ta có z   3i   z   3i   z   3i   z   i   2i   w   2i    Ta có:  w   2i  w   2i  w   13  Max z   i   13 [THPT Hùng Vương-PT ] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z     i  z Đặt Ví dụ 3: m  z , tìm giá trị lớn m A B C  D 1 HƯỚNG DẪN GIẢI y M2 I O x x Đặt z  x  iy với x, y  Ta có z     i  z  z    i z    x  1  y  x  y 2   x2  y  2x    tập điểm biểu diễn z đường tròn tâm I  1;  bán kính R  PMT  Max z  OM2  OI  R   Ví dụ 4: [THPT chuyên Phan Bội Châu] Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Giá trị lớn z   i A B 13  C 13  D HƯỚNG DẪN GIẢI M2 I M1 H Gọi z  x  yi ta có z   3i  x  yi   3i  x    y   i  Theo giả thiết x     y  3 2  nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường trịn tâm I  2;  bán kính R  Ta có z   i  x  yi   i  x     y  i  Gọi M  x; y  H  1;1 HM   x  1   y  1  x     y  1 2 Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn  x   3t , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: y   t  Phương trình HI :  9t  4t   t   13   13 nên M   ;3    ;3 ,M2  13  13 13   Tính độ dài MH ta lấy kết HM  13  Ví dụ 5: [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho số phức z thỏa mãn z số thực w  z  z2 số thực Giá trị lớn biểu thức P  z   i PMT B 2 A 2 C D HƯỚNG DẪN GIẢI  z  Gọi z  a  bi , b  w z Cách Xét z  suy Suy Vì  2a     z    2  a   b  2  1 i w z a b   a b  b    1    2 a b  a  b    w nên b  Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy đường tròn  C  : x  y  Xét điểm A  1;1 điểm biểu diễn số phức z0  1  i suy P  MA  max P  OA  r  2 Với r bán kính đường trịn  C  : x  y  Cách w    z  w  z  z  z  z    *   *  phương trình bậc hai với hệ w 2z 1    Vì z thỏa  *  nên z nghiệm phương trình  *  Gọi z1 , z2 hai nghiệm w  số thực   *  suy z1 z2   z1 z2   z1 z2   z  Suy P  z   i  z   i    2 Dấu xảy z   i ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1: (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện 2 z   4i  biểu thức M  z   z  i đạt giá trị lớn Môđun số phức z   i A B C 25 D PMT Câu 2: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  biểu diễn mặt phẳng phức   điểm M , N Biết OM , ON  Câu 3: B 13 A  , tính giá trị biểu thức C D z1  z2 z1  z2 13  a, b   Biết tập đường tròn  C  có tâm I  4;  (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Cho số phức z  a  bi hợp điểm A biểu diễn hình học số phức z bán kính R  Đặt M giá trị lớn nhất, m giá trị nhỏ F  4a  3b  Tính giá trị M  m A M  m  63 B M  m  48 C M  m  50 D M  m  41 Câu 4: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII) Cho số phức z thỏa mãn z   Tính z giá trị lớn z A  Câu 5: C  B  D  (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII) Gọi M m giá trị lớn nhất, nhỏ môđun số phức z thỏa mãn z   Tính M  m B A Câu 6: C D [THPT Hà Huy Tập - 2017] Cho số phức z thỏa mãn z   z  i Tìm mơ đun nhỏ số phức w  2z   i A Câu 7: B C D 2 [THPT TH Cao Nguyên - 2017] Cho số phức z1  3i , z2  1  3i , z3  m  2i Tập giá trị tham số m để số phức z3 có mơđun nhỏ số phức cho   D    5 B ;   C   5;  5;  Câu 8:  A  5;   5;  (Chuyên Quang Trung - Bình Phước) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i z   3i  Giá trị lớn biểu thức P  z  là: PMT 13  A Câu 9: 10  B 13 C 10 D (Chuyên Quang Trung - Bình Phước) Trong tập hợp số phức, gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z  z  2017  , với z2 có thành phần ảo dương Cho số phức z thoả mãn z  z1  Giá trị nhỏ P  z  z2 2016  A Câu 10: 2017  B 2016  C 2017  D (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh) Cho số phức z1  2  i , z2   i số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2  16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2  m2 A 15 Câu 11: B C 11 D (Chuyên KHTN - Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn z   4i  10 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Khi M  m A Câu 12: B 15 (THPT Kinh Môn - Hải Dương) C 10 Cho hai số phức D 20 z1 , z2 thỏa mãn z1   5, z2   3i  z2   6i Giá trị nhỏ z1  z2 là: A Câu 13: B C D (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2) Cho z số phức thay đổi thỏa mãn 1  i  z   i  M  x; y  điểm biểu diễn cho z mặt phẳng phức Tìm giá trị lớn biểu thức T  x  y  A  2 Câu 14: B C D (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2) Cho số phức z  x  yi với x, y  thỏa mãn z   i  z   3i  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  x  y Tính tỉ số A B M m C D 14 PMT Câu 15: (Sở GD ĐT Cần Thơ) Cho số phức z thỏa mãn z  Giá trị lớn biểu thức P   z   z A B D C  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ CÂU 1: Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi ,  x , y    z   4i   Ta có: M  z   z  i  x    x     y    23  20 Dấu "  " xảy khi    x  3   y    2 1  y  x2   y  1  4x  y   x  3   y   2  23  33 x3  kết hợp với  1 suy y4  x  y   z   5i   x  1, y   z   3i Thử lại ta có Mmax  33  z   5i  z   i  CÂU 2: Lời giải Chọn B Dựng hình bình hành OMPN mặt phẳng phức, biểu diễn : PMT    z1  z2   z1  z2  OP     z1  z2   z1  z2  MN  z z z z    z1  z2 z1  z2 2 2   cos  30   z1  z2  z1 z2 cos 1500  z1  z2  z1 z2 CÂU 3: Lời giải Chọn B      y  3  Do điểm A nằm đường trịn  C  nên ta có  a     b    Mặt khác F  a  3b    a     b    24  F  24   a     b   Cách Ta có phương trình đường trịn C : x  2 2          b  3   25.9  255  15   a     b    15  15  F  24  15   F  39  Ta có  a   b     32  a  2 Khi M  39 , m  Vậy M  m  48 Cách Ta có F  4a  3b   a  F   3b  a     b      F  14 3b    b2  6b     2  25b   3F   b  F  225  2    3F  3  25F  5625    16F  18F  5625    F  39 CÂU 4: Lời giải Chọn D Ta có z  1  z    z   z  2 z z z CÂU 5: Lời giải Chọn C PMT Gọi z  x  yi biểu diễn điểm M  x; y  Khi OM  z z 1    x  1  y    x  1  y2   1 Chứng tỏ M thuộc đường trịn  C  có phương trình  1 , tâm I  1;  , bán kính R  Yêu cầu toán  M   C  cho OM lớn nhất, nhỏ Ta có OI  nên điểm O nằm đường tròn  R  OI  OM  OI  R   OM  Do M  m  Vậy M  m  CÂU 6: Lời giải Chọn A Giả sử z  a  bi  z  a  bi Khi z   z  i  a   bi  a   b  1 i   a  1  b2  a2   b  1  a  b  2 Khi w  2z   i   a     i   a    i  a  1 w  a     a  1 2  8a2  4a   CÂU 7: Lời giải Chọn A  Ta có: z1  , z2  10 , z3  m2   Để số phức z3 có mơđun nhỏ số phức cho m2      m  CÂU 8: Lời giải Chọn C PMT  A1  A  B  B Khi đó: P  CA  CB  CA1  CB  A1B nên Pmin  A1Bmin   Khi đó: I1 A  Như vậy: I1 J  A  8;  ; I1 B  I1 J  B  2;  8   A  4;  Vậy Pmin A đối xứng A qua  B  B   B 2;     M  z1  z2  AB  20  CÂU 7: Lời giải Chọn D z  a  bi ; z   a2  b2   a2  b2  P  2z 3 2z  4a    a   a  2 1 Dấu đẳng thức xẩy Với a   2  b2    a  b  4a    a   32   a   a   10  4a 4a  8   4a     4a  a     b  (do b  ) 5   6  Vậy P  10  z    i Khi S         5   5  2018  CÂU 8: Lời giải Chọn C Giả sử z  a  bi ,  a , b    z  a  bi Chia hai vế cho i ta được: z   i  z   i  10 Đặt M  a ; b  , N  a ;  b  , A  2 ;1 , B  ;  1 , C  ;1  NB  MC PMT 53   Ta có: MA  MC  10  M  E : X2 Y   25 21 Elip có phương trình tắc với hệ trục tọa độ IXY , I  ;1 trung điểm AC X  x x2  y  1 Áp dụng công thức đổi trục     21 Y  y  25 a  sin t , t   ; 2   z  OM  a2  b2 b   21 cos t Đặt    25 sin t   21 cos t     26  4 cos2 t  21 cos t  a  z max   21  cos t    b 21      a  z  1  21  cos t  1    b   21  M  m  21 CÂU 9: Hướng dẫn giải Chọn A PMT 54 Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , N  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi  Ta có z    x   yi   x    y  52     y 5 z   3i  z   6i   x  1   y   i   x     y   i   x  1   y  3   x  3   y    8x  y  35 Vậy M thuộc đường tròn C : x  2 2 2 Vậy N thuộc đường thẳng  : 8x  y  35 Dễ thấy đường thẳng  không cắt  C  z  z  MN Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho ba điểm  I , M , N  ta có MN  IN  IM  IN  R  IN  R  d  I ,    R   5   6.0  82  62 5  Dấu đạt M  M0 ; N  N0 CÂU 10: Lời giải Chọn B PMT 55 M I K A M0 B Từ giả thiết z   i  suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I  1;1 , bán kính R  Xét điểm A  7;  B  0;  Ta thấy IA  10  2.IM Gọi K điểm tia IA cho IK  5  IA  K   ;  2  IM IK   , góc MIK chung  IKM ∽ IMA  c.g.c  IA IM MK IK     MA  2.MK MA IM Lại có: T  z   9i  z  8i  MA  2.MB   MK  MB   2.BK  5 Do  Tmin  5  M  BK   C  , M nằm B K   xM  Ta có: phương trình đường thẳng BK là: 2x+y-8=0 x    2 x  y   y     M   1;  Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  2  x  x   y   25          y  2 Vậy z   6i số phức cần tìm CÂU 11: Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M1 , M2 , M điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z2 , z hệ trục tọa độ Oxy Khi quỹ tích điểm M1 đường trịn  C1  tâm I  3;  , bán kính R  1; quỹ tích điểm M2 đường  C  tròn tâm I  6;  , bán kính R  ; quỹ tích điểm M đường thẳng d : 3x  y  12  Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ MM1  MM2  PMT 56 y I2 B O I1 A I3 M x  138 64  ;  , R  đường tròn đối xứng với  C  qua d Khi  13 13  Gọi  C  có tâm I   MM1  MM2     MM1  MM3   với M   C  Gọi A , B giao điểm đoạn thẳng I1 I với  C1  ,  C  Khi với điểm M1   C1  , M   C  , M  d ta có MM1  MM3   AB  , dấu "=" xảy M1  A, M3  B Do Pmin  AB   I1I    I1 I  9945 13 CÂU 12: Lời giải Chọn B Gọi z1  x1  y1i z2  x2  y2 i , x1 , y1 , x2 , y2  ; đồng thời M1  x1 ; y1  M  x2 ; y2  điểm biểu diễn số phức z1 , z2 2   x1  y1  144 Theo giả thiết, ta có:  2     x y 25      Do M1 thuộc đường trịn  C1  có tâm O  0;  bán kính R1  12 , M2 thuộc đường tròn  C  có tâm I  3;  bán kính R2   O   C2  Mặt khác, ta có   OI    R1  R2 nên  C  chứa  C1  PMT 57 M2 (C2) M1 I O (C1) Khi z1  z2  M1 M2 Suy z1  z2   M1 M min  M1 M2  R1  2R2  CÂU 13: Lời giải Chọn C Gọi z  a  bi ,  a , b   z   3i   a  ib   3i   a    b   i    a     b  3  2 Khi tập hợp điểm M  a; b  biểu diễn số phức z  a  bi thuộc vào đường trịn  C  có tâm I  4; 3  , R  Ta có OI  32   Suy z max  OI  R    , z  OI  R    Gọi  đường thẳng qua hai điểm OI ta có phương trình    : x  y  Gọi M N hai giao điểm     C  cho OM  ON    12   28 21 OM  OI  M  ;   z1   i  5    5  S  28  12    5 ON  OI  N  28 ;  21   z  12  i    5 5    CÂU 14: Lời giải Chọn D PMT 58  Ta có z2   z  2i  z   2i   z  2i  z  2i  z   2i    z  2i    z  2i  z   2i Do tập hợp điểm N biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy điểm A  0;  đường trung trực đoạn thẳng BC với B  0; 2  , C  1; 2  1 2    Ta có BC  1; , M  ;  trung điểm BC nên phương trình đường trung trực  BC  : 2x     Đặt D  3;  , DA  , d D ,   Khi P  z   2i  DN , với N điểm biểu diễn cho z   Suy P  DA, d D,    CÂU 15: Lời giải Chọn C Xét A  1;1 , B  8;  ta có AB  53  điểm biểu diễn z đoạn thẳng AB P  z   2i  MM  với M điểm biểu diễn số phức z , M  điểm biểu diễn số phức z  1  2i Phương trình đường thẳng AB : 2x  y    87 13  ;   53 53  Hình chiếu vng góc M  lên AB M1    Ta có A nằm M1 B nên P  MM lớn  MM1 lớn  M  B  z   3i  Pmax  106 CÂU 16: Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi,  x , y   Theo giả thiết, ta có z   x2  y  Suy 2  x, y  PMT 59   Khi đó, P  z   z   z  z  4i     P  2   x  1 1  x   y2   x  1  x  1  y2    y2  y        y  y    2  y2   y  Dấu “  ” xảy x    Xét hàm số f y   y   y đoạn   2;  , ta có: f  y  2y 1 y 1  2y   y2 1 y   ; f y   y       ; f  2    ; f     3 Ta có f    Suy f y   y    2;    Do P  2    Vậy Pmin   z  i CÂU 17: Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi với x , y  theo giả thiết z  z  2i  y  1  d  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng  d  Gọi A  0;1 , B  4;  suy z  i  z   P tổng khoảng cách từ điểm M  x;  1 đến hai điểm A , B Thấy A  0;1 B  4;  nằm phía với  d  Lấy điểm đối xứng với A  0;1 qua đường thẳng  d  ta điểm A  0;   2 Do khoảng cách ngắn AB    CÂU 18: Lời giải Chọn B PMT 60 Đặt z  a  bi  a , b   z   i  z  3i   a  1   b  1  a2   b    a  2b  2 2 49    49 7  5b     z  a  b   2b    b  5b2  14b   20 2   w  Vậy w 63 Đẳng thức xảy b  a    z 10 z max  min|w| CÂU 19: Lời giải Chọn D Đặt z  a  bi , a, b  Ta có  3i  iz  z   9i  a  b  a  8b  24   z1    4i   2    a     b     z    4i     z   i     Ta lại có:  z1   4i     1      z    4i   2   z  z  z  z   8i   2  hbh 2 64  z1  z2    8i   z1  z2    8i   25       Ta có: z1  z2  z1  z2   8i   8i  z1  z2   8i   8i  56  10  5 CÂU 20: Lời giải Chọn A PMT 61 Ta có z1  3i    2iz1   10i   1 ; iz2   2i    3 z2    3i  12 2 Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ  1   suy điểm A nằm đường tròn tâm I1  6; 10  bán kính R1  ; điểm B nằm đường tròn tâm I  6;  bán kính R2  12 A B I2 I1 Ta có T  2iz1  3z2  AB  I1I  R1  R2  122  132   12  313  16 Vậy max T  313  16 CÂU 21: Lời giải Chọn A   Ta có iz   i   z   i  Gọi z0   i có điểm biểu diễn   I 1; Gọi A , B điểm biểu diễn z1 , z2 Vì z1  z2  nên I trung điểm AB   Ta có z1  z2  OA  OB  OA  OB2  4OI  AB2  16  Dấu OA  OB CÂU 22: Lời giải Chọn B PMT 62  Ta có: u  6i  u   3i  10  u  6i  u   3i   MF1  MF2  10 S 10  u có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm F1  0;  , F2  1;  , tâm 1 9 10 10 I  ;  độ dài trục lớn 2a  a 2 2 F1F2   1; 3   F1F2 : 3x  y    Ta có: v   2i  v  i  v  i  NA  NB  v có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d trung trực đoạn AB với A  1; 2  , B  0;1 1 1 AB   1;  , K  ;   trung điểm AB  d : x  3y   2 2 d  I , d  27  2 2 12   3   10   10 Dễ thấy F1F2  d  u  v  MN  d I , d  a  CÂU 23: Lời giải Chọn D Cách 1:  x , y   Theo ta có Đặt z   2i  w với w  x  yi w   x2  y  Ta có P  z   2i  z   5i  w   w   3i   20  x   x  1   y      x2  y  2x      2x   x  1   y   2     2   x  4  y2   x  1   y    x  1  y2   x  1   y   2  x  1   y   PMT    63    y  y   y  3 y   x  1  x  1  P   y   y     y    2 x  y    Vậy GTNN P đạt z    i Cách 2: z   2i   MI   M   I ;  với I   3;  P  z   2i  z   5i  MA  MB với A   1;  , B   2;  Ta có IM  ; IA  Chọn K  2;  IK  Do ta có IA.IK  IM  IA IM  IM IK  IAM IMK đồng dạng với  AM IM    AM  MK MK IK Từ P  MA  MB   MK  MB   2BK Dấu xảy M , K , B thẳng hàng M thuộc đoạn thẳng BK   Từ tìm M  2;  Cách 3: PMT 64 Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z  a  bi Đặt I   3;  , A  1;  B  2;  Ta xét tốn: Tìm điểm M thuộc đường trịn  C  có tâm I , bán kính R  cho biểu thức P  MA  MB đạt giá trị nhỏ Trước tiên, ta tìm điểm K  x; y  cho MA  MK M   C   Ta có MA  MK  MA  MK  MI  IA     MI  IK      MI  IA2  MI.IA  MI  IK  MI IK  MI IA  4IK  3R2  4IK  IA2 *   IA  IK   *  M  C    2  3R  IK  IA   x  4  x    4 IA  IK     y  y        Thử trực tiếp ta thấy K  2;  thỏa mãn 3R2  4IK  IA2  Vì BI  12  32  10  R2  nên B nằm  C  Vì KI   R2  nên K nằm  C  Ta có MA  MB  MK  MB   MK  MB   KB Dấu bất đẳng thức xảy M thuộc đoạn thẳng BK Do MA  MB nhỏ M giao điểm  C  đoạn thẳng BK Phương trình đường thẳng BK : x    Phương trình đường tròn C : x     y  2 2  PMT 65  x  x    2 x y     y           Tọa độ điểm M nghiệm hệ   x   y       Thử lại thấy M 2;  thuộc đoạn BK Vậy a  , b    a  b   CÂU 23: Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi , với x, y  Khi M  x; y  điểm biểu diễn cho số phức z  Theo giả thiết, iz   2i   z   i   x     y  1 2 9 Ta có T  z   2i  z  3i  MA  3MB , với A  5; 2  B  0;  Nhận xét A , B , I thẳng hàng IA  3IB Cách 1: Gọi  đường trung trực AB , ta có  : x  y   T  MA  3MB  PA  PB Dấu “  ” xảy M  P M  Q  x  y    8  2    8  2   Q  ; ;  P   2    2 2  x     y  1      Giải hệ  PMT 66 Khi M  max T  21 Vậy M.n  10 21 Cách 2: Ta có A , B , I thẳng hàng IA  3IB nên IA  3IB      2  2MA2  3MB2  MI  IA  MI  IB  5MI  2IA2  3IB2  105 Do T   2 MA  3 MB     MA2  3MB2  525 hay T  21 Khi M  max T  21 Dấu “  ” xảy M  P M  Q Vậy M.n  10 21 PMT 67 ... ;3    ;3 ,M2  13  13 13   Tính độ dài MH ta lấy kết HM  13  Ví dụ 5: [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho số phức z thỏa mãn z số thực w  z  z2 số thực Giá trị lớn biểu thức P  z   i... a  b  (do z  ) a   b  1 i a   b  1 2z  i A   2  iz  b    b   a2 Ta chứng minh 4a2   2b  1   b  a 4a   2b  1   b  a 2 Thật ta có 2 1 2   a   b  1 