Tài liệu hình học không gian (thể tích) dành cho học sinh

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian CHUN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN • Mục tiêu : Giúp học sinh nắm kiến thức chương, phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, đa diện Tất học sinh rèn kỹ tính tốn đại lượng hình học, tính thể tích khối đa diện tương đối đơn giản Trên sở học sinh nắm kiến thức rèn kỷ giải tập khó khối đa diện • Thời gian thực hiện: Các tiết tập theo phân phối chương trình tự chọn ( hay tiết bồi dưỡng, phụ đạo , ) Đối tượng: học sinh khối 12 trường có đầu vào chất lượng trung bình - yếu, học theo chương trình chuẩn hay nâng cao • Các chướng ngại văn hóa nhận thức học sinh: + Phần lớn học sinh không nhớ hệ thức tam giác tứ giác, + Các kiến thức hình học khơng gian lớp 11 hạn chế + Kỹ tư phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian hình học phẳng q chậm + Kỹ vẽ hình khơng gian chưa thành thạo Phương pháp luyện tập tổng qt mơn hình học khơng gian cổ điển: Mục đích u cầu: + Ơn tập cho học sinh số kiến thức cần thiết: hệ thức tam giác thường, tam giác vuông, kiến thức tam giác đều, cân, hình vng, chữ nhật … + Ôn tập cho học sinh số kiến thức trọng tâm quan hệ song song, vng góc đường thẳng mặt phẳng, góc đường thẳng, mặt phẳng .đã học lớp 11 + Hệ thống tập phân loại theo khối đa diên dạng thông dụng kỳ thi : tập soạn từ dễ đến khó, khai thác triệt để tinh giản tập sách giáo khoa kết hợp soạn thêm tập cách xếp lại theo dạng từ đơn giản đến phức tạp sở yêu cầu chuẩn kiến thức + Bài tập chương sách giáo khoa khó, chọn tập sách giáo khoa có ta cần thay đổi số giả thiết :về độ dài cạnh,về góc đường thẳng với đường thẳng ,với mặt phẳng góc mặt phẳng với mặt phẳng để học sinh dễ tính tốn, dễ tiếp thu; tập khó phải bổ sung thêm câu hỏi hướng dẩn để giảm bớt độ tư phức tạp toán soạn lại đơn giản theo yêu cầu tập + Trước dạy dạng tập, giao tập nhà cho học sinh chuẩn bị trước từ đơn giản đến phức tạp có mục đích cố trọng tâm học Nuyễn Toản - 1- TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian A Nội dung thực hiện: I Ôn tập kiến thức bản: ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho ∆ABC vng A ta có : a) Định lý Pitago : BC = AB + AC A b) BA2 = BH BC ; CA2 = CH CB b c) AB AC = BC AH c d) BC = 2AM 1 H M = + e) 2 B AH AB AC a f) BC = 2AM b c b c g) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b b b = h) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R * Định lý hàm số Sin: sin A sin B sin C Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: a.b.c a+b+c S = a.ha = a.b sin C = = p.r = p.( p − a )( p − b)( p − c) với p = 2 4R C a Đặc biệt :* ∆ABC vuông A : S = AB AC ,* ∆ABC cạnh a: S = b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S = π R Nuyễn Toản - 2- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: a Đường thẳng mặt phẳng gọi song song a/ /(P) ⇔ a∩ (P) = ∅ với chúng (P) khơng có điểm chung II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng d  d ⊄ (P)   d/ /a ⇒ d/ /(P)  a ⊂ (P)   a/ /(P)  ⇒ d/ /a  a ⊂ (Q)  (P) ∩ (Q) = d   (P) ∩ (Q) = d  ⇒ d/ /a  (P)/ /a  (Q)/ /a  a (P) (Q) a d (P) d a Q P §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với Nuyễn Toản (P)/ /(Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ P Q  a,b ⊂ (P)  ⇒ (P)/ /(Q)  a∩ b = I  a/ /(Q),b/ /(Q)  - 3- a P b I Q TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song (P) / /(Q) ⇒ a/ /(Q)  a ⊂ (P) a P Q R (P) / /(Q)  (R) ∩ (P) = a ⇒ a/ /b (R) ∩ (Q) = b  a P b Q B.QUAN HỆ VNG GĨC §1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng gọi vng góc với a ⊥ mp(P) ⇔ a ⊥ c,∀ c ⊂ (P) mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) Nuyễn Toản  d ⊥ a ,d ⊥ b   a ,b ⊂ mp(P) ⇒ d ⊥ mp(P)  a,b caétnhau  a P c d P a a ⊥ mp(P),b ⊂ mp(P) b ⊥ a ⇔ b ⊥ a' P - 4- b a a' b TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian §2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với  a ⊥ mp(P) ⇒ mp(Q) ⊥ mp(P) mặt phẳng khác hai  a ⊂ mp(Q) mặt phẳng vng góc  với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với  (P) ⊥ (Q) đường   (P) ∩ (Q) = d ⇒ a ⊥ (Q) thẳng a nằm  a ⊂ (P),a ⊥ d (P), vuông góc với giao  tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với (P) ⊥ (Q) A điểm  A ∈ (P) (P) đường ⇒ a ⊂ (P)  thẳng a qua điểm A A ∈ a  vng góc với (Q) a ⊥ (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng  (P) ∩ (Q) = a góc với mặt phẳng thứ  ⇒ a ⊥ (R) ba giao tuyến  (P) ⊥ (R) chúng vng góc với  (Q) ⊥ (R)  mặt phẳng thứ ba Nuyễn Toản - 5- Q a P P a Q d P a A Q P a Q R TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) O O a H P H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB Nuyễn Toản a P O H O P Q a b - 6- H A B TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian §4.GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm a a' b' b a a' P b a Q P Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) Q P S S' = Scosϕ ϕ góc hai mặt phẳng (P),(P’) Nuyễn Toản b a A C ϕ B - 7- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h B : diệ n tích đá y với  u cao h: chiề h B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước a b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: c b a a a V= Bh h B : diệ n tích đá y với  u cao  h: chieà TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC VSA 'B'C ' B S C' A' A B' SA SB SC = SA ' SB' SC' C B THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: ( A' ) h B + B'+ BB' B, B': diệ n tích hai đá y với  u cao  h: chieà V= B' C' A B C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vuông cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a + b + c , Nuyễn Toản - 8- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác II/ Bài tập: Nội dung LOẠI 1: 1) Dạng 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ C' A' B' 3a C a A a Lời giải: Ta có VABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng ⇒ AA ' ⊥ AB VAA 'B ⇒ AA '2 = A 'B2 − AB2 = 8a2 ⇒ AA ' = 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 B Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ +Tìm BD dùng tam giác nào? ? Suy cạnh hình vng ABCD ? Lời giải: C' D' ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ⇒ BD = 3a A' 3a B' ABCD hình vng ⇒ AB = 4a 5a 9a C D Suy B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Nuyễn Toản - 9- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diên tích B = SABC công thức ? + Từ diện tích VA 'BC suy cạnh ? ? + Tìm h = AA' dùng tam giác định lí ? Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có V ABC nên C' A' B' AI = A AB = & AI ⊥ BC ⇒ A 'I ⊥ BC(dl3 ⊥) 2S SA'BC = BC.A 'I ⇒ A 'I = A'BC = BC AA ' ⊥ (ABC) ⇒ AA ' ⊥ AI C VA 'AI ⇒ AA ' = A 'I − AI2 = Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= I B Ví dụ 4: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm h = AA' ? Tại ? + Tìm AB ? Suy B = SABCD = AB2 ? C' D' A' D' D' D A' A B' D A C B A' Giải C' Theo đề bài, ta có C C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm B B' Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B hình thoi ABCD cách ? + Tìm h = DD' tam giác vng ? định lí ? Nuyễn Toản - 10- TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450 a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC • phân tích đề để dựng hình : + Dựng tam giác ABC SAC dựa vào (SAC) ⊥ (ABC) ? • phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: + Xác định góc[(SAB),(ABC)] = ? góc[(SBC),(ABC)] = ? + So sánh tam giác SHI SHJ cho ? Suy AH tam giác ABC ? + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B ABC cơng thức ? + Tìm h = SH qua tam giác tích chất ? S Lời giải: a) Kẽ SH ⊥ BC mp(SAC) ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC ⇒ ¼ = 45o SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, theo giả thiết ¼ SIH = SJH Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH H A 45 C đường phân giác VABC suy H trung điểm AC I J a a3 b) HI = HJ = SH = ⇒ VSABC= S ABC SH = B 12 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) 1) Chứng minh chân đường cao chóp trung điểm BC a3 2) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V = 24 Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) a3 hợp với (ABC) góc 45o Tính thể tích SABC Đs: V = 12 ¼ Bài 3: Cho hình chóp SABC có ¼ BAC = 90o ;ABC = 30o ; SBC tam giác cạnh a a2 (SAB) ⊥ (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V = 24 Nuyễn Toản - 27- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h (SBC) ⊥ (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) góc 30o Tính thể tích 4h3 hình chóp SABC Đs: V = Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt a3 phẳng vuông góc với biết AD = a.Tính thể tích tứ diện Đs: V = 36 Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 4h3 V = 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc a3 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V = Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB ⊥ (ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 30o Tính 8a3 thể tích hình chóp SABCD Đs: V = Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a tam giác SAD vuông cân S , nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Tính thể tích a3 hình chóp SABCD Đs: V = 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) a3 Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V = 3) Dạng : Khối chóp Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC + Dựng tam giác ABC , từ tâm O dựng SO ⊥ (ABC) Tại ? • phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: + So sánh SA,SB,SC suyra OA,OB,OC tích chất ? + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B ABC cơng thức ? + Tìm h = SO qua tam giác định lí ? Nuyễn Toản - 28- TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian Lời giải: Dựng SO ⊥ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên 2a a AO = AH = = 3 11a2 VSAO ⇒ SO2 = SA − OA = a 11 a3 11 ⇒ SO = Vậy V = SABC SO = 12 S 2a C A a O H B Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD + Dựng hình thoi ABCD từ câu hỏi 1, dựng SO ⊥ (ABCD) Tại ? • phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: + Hình thoi ABCD có nội tiếp đường tròn khơng? Suy từ giả thiết? + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? + Tìm h = SO qua tam giác định lí ? S C D a a 2 ⇒ V = S ABCD SO = a a = a 3 nên VASC vuông S ⇒ OS = O A Lời giải: Dựng SO ⊥ (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD ⇒ ABCD hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD hình vng Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 B a3 Vậy V = Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Nuyễn Toản - 29- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian + Dựng tam giác ABC ,từ tâm O dựng DO ⊥ (ABC) Tại ? • phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B ABC cơng thức ? + Tìm h = DO qua tam giác định lí ? + Mặt phẳng (DCO) ⊥ (ABC) ? Dựng MH ⊥ OC suy điều ?Tính MH ? D M A C O I H a B Lời giải: a) Gọi O tâm ∆ABC ⇒ DO ⊥ ( ABC ) V = S ABC DO a2 a , OC = CI = S ABC = 3 a ∆DOC vng có : DO = DC − OC = 3 1a a a ⇒V = = 12 b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH a MH = DO = ⇒ VMABC 1 a a a3 = S ABC MH = = 3 24 Vậy V = a3 24 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o 3a3 Tính thể tích hình chóp Đs: V = 16 Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 45o a 1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC Đs: SH = a3 2) Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V = Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy a3 góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V = 24 Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o Nuyễn Toản - 30- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian h3 3 Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh h3 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ¼ ASB = 60o a2 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp Đs: S = 3 a 2) Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 2h3 o 60 Tính thể tích hình chóp Đs: V = o Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45 khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a 8a3 Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o a3 Tính thề tích hình chóp Đs: V = 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích 9a3 V = Đs: AB = 3a 4) Dạng : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích Đs: V = Tính thể tích hình chóp Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC = a , SA vng góc với đáy ABC , SA = a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN + Dựng tam giác ABC vuông cân B SA ⊥ (ABC) + Dựng mặt phẳng qua G // BC , cho MN //BC Tại ? • phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B ABC cơng thức ? + Tìm h = SA qua tam giác định lí ? + Tính trực tiếp thể tích SAMN phức tạp ta phải ? Lập tỉ số thể tích SAMN SABC ? Suy điều ? Lời giải: Nuyễn Toản - 31- TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian S ABC SA SA = a S a)Ta có: VS ABC = A + ∆ABC cân có : AC = a ⇒ AB = a 1 a3 ⇒ S ABC = a Vậy: VSABC = a a = b) Gọi I trung điểm BC SG = G trọng tâm,ta có : SI α // BC ⇒ MN// BC ⇒ SM = SN = SG = SB SC SI N C G M I B ⇒ VSAMN SM SN = = VSABC SB SC Vậy: VSAMN 2a = VSABC = 27 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF + Dựng tam giác ABC vuông cân A SC ⊥ (ABC) + Dựng mặt phẳng qua C ⊥ BD cho thiết diện CEF • phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B h ABCD đối tượng ? + Tìm diện tích B ABC công thức ? +Chứng minh CE vng góc với đường thẳng mặt phẳng (ABD)? + Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải ? Lập tỉ số thể tích DCEF DABC tỉ số đại lượng hình học tam giác vng ? Lời giải: a a)Tính VABCD : VABCD = SABC CD = AB ⊥ AC , AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ ( ACD ) b)Tacó: ⇒ AB ⊥ EC Ta có: DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD) c) Tính VDCEF :Ta có: VDCEF DE DF = (*) VDABC DA DB Mà DE.DA = DC , chia cho DA2 Nuyễn Toản - 32- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian DE DC a2 = = = DA DA2 2a 2 DF DC a2 Tương tự: = = = DB DB DC + CB D ⇒ F a E Từ(*) ⇒ B C VDCEF = Vậy VDCEF = VABCD = a VDABC 6 36 a A Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (α ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng + Dựng tứ giác ABCD SO ⊥ (ABCD) + Dựng (ABM) // CD để có điểm N ? + Dựng BD BN Tại ? • phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: + Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? + Hãy so sánh thể tích SABD SBCD với SABCD ? + Lập tỉ số thể tích SABN với SABD ; SAMN với SABC ? Lời giải: Kẻ MN // CD (N ∈ SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) S N V M D A O C Nuyễn Toản SN 1 SAND = = ⇒ VSANB = VSADB = VSABCD +V SD 2 SADB B VSBMN SM SN 1 1 = = = ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD 2 4 Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD VSABMN = Do : V ABMN ABCD - 33- TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hảy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF + Xác định góc SA ABCD góc ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABCD đối tượng ? + Tìm h = SO qua tam giác hệ thức lượng giác nào? + Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? + Tính thể tích SAEMF q phức tạp ? Lập tỉ số thể tích SAEMF SABCD cách ? + Hãy so sánh thể tích SABD SBCD với SABCD ? + Lập tỉ số thể tích SAMF với SACD ? Lời giải: a) Gọi I = SO ∩ AM Ta có (AEMF) //BD ⇒ EF // BD S b) VS ABCD = M E B + VSOA có : SO = AO.tan 60ο = I C Vậy : VS ABCD F O A S ABCD SO với S ABCD = a D a a3 = c) Phân chia chóp tứ giác ta có VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD SM = Ta có : ⇒ SC ∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: ⇒ SI SF ⇒ VSAMF = SM SF = = = VSACD SC SD SO SD 1 a3 ⇒ VSAMF = VSACD = VSACD = 36 ⇒ VS AEMF Nuyễn Toản - 34- a3 a3 =2 = 36 18 TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA = a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ • phân tích yêu cầu đề toán nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B h SABCD đối tượng ? + Chứng minh SC vng góc đường thẳng (AB'D') ? + Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? + Hãy so sánh thể tích SABC SACD với SABCD ? + Hãy so sánh thể tích SAB'C' SAC'D' với SAB'C'D' ? + Lập tỉ số thể tích SAB'C' với SABC Suy điều ? Lời giải: a) Ta có: VS ABCD S D' I B A O D b) Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' & SB ⊥ AB ' Suy ra: AB ' ⊥ ( SBC ) nên AB' ⊥ SC Tương tự AD' ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AB'D') c) Tính VS A B ' C ' D ' B' C' C a3 = S ABCD SA = 3 VSAB 'C ' SB ' SC ' = (*) VSABC SB SC SC ' = ∆SAC vuông cân nên SC 2 SB ' SA 2a 2a 2 Ta có: = = = = SB SB SA2 + AB 3a VSAB 'C ' = Từ (*) ⇒ VSABC +Tính VS AB 'C ' : Ta có: a a3 ⇒ VSAB 'C ' = = 3 + VS A B 'C ' D ' = 2VS A B 'C ' Nuyễn Toản - 35- 2a = TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Đs: k = Bài 2: Cho tứ diên ABCD tích 9m ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đs: V = m3 Bài 3: Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC cho a 2a a3 AB = ;AC'= Tính thể tích tứ diên AB'C'D Đs: V = 36 Bài 4: Cho tứ diênABCD tích 12 m Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N AD cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP Đs: V = m3 Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình chóp Đs: V = SAHK a3 40 Bài 6: Cho hình chóp SABCD tích 27m3 Lấy A'trên SA cho SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = m3 Bài 7: Cho hình chóp SABCD tích 9m3, ABCD hình bình hành , lấy M SA cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Đs: V = 4m3 Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN song song với BD cắt SB,SDF M a2h P Tính thể tích khối chóp SAMNP Đs: V = Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính tỉ số thể tích phần Đs: k = Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA SM = x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích cho SA 5−1 Đs: x = Nuyễn Toản - 36- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian 5) Dạng : Ơn tập khối chóp lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60ο M trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD + Dựng tứ giác ABCD SA ⊥ (ABCD) + Dựng H trung điểm AB Nhận xét MH với AB ? Tại ? + Xác định góc[SC,(ABCD)] = ? Tại ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABCD đối tượng ? + Tính h = SA tam giác hệ thức lương giác ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABCD đối tượng ? + MABCD có đường cao ? ? Tính MH tính chất ? Lời giải: S a)Ta có V = S ABCD SA 2 + S ABCD = (2a) = 4a + ∆SAC có : SA = AC tan C = 2a H A B 60o D 2a C 8a ⇒ V = 4a 2a = 3 MH / / SA ⇒ MH ⊥ ( DBC ) b) Kẻ 1 Ta có: MH = SA , S BCD = S ABCD 2 2a ⇒ VMBCD = V = Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp + Dựng tam giác ABC SH ⊥ (ABC) với H ∈ (ABC) H cách cạnh tam giác ABC • phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: + Xác định góc hợp mặt bên với đáy chóp ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABC đối tượng ? + Tính B = SABC cơng thức ? Nuyễn Toản - 37- TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian + Tính h = SH tam giác hệ thức lượng giác ? S J A C 60 H E F B Lời giải: Hạ SH ⊥ ( ABC ) , kẽ HE ⊥ AB, HF ⊥ BC, HJ ⊥ AC suy SE ⊥ AB, SF ⊥ BC, SJ ⊥ AC Ta có ¼ ¼ = SJH ¼ = 60O ⇒ SEH = SFH ∆SAH = ∆SFH = ∆SJH nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường tròn ngọai tiếp ∆ABC ) Ta có SABC = p( p − a)( p − b)( p − c) a+b+c = 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a với p = S 6a Mặt khác SABC = p.r ⇒ r = = p Tam giác vuông SHE: 6a SH = r.tan 600 = 3=2 a 3 Vậy VSABC = 6 a 2 a = a Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ + Dựng hộp chữ nhật , hình chóp OA'B'C'D' OBB'C' • phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B h OA'B'C'D' đối tượng ? + Phân tích V= B.h để tìm B h OBB'C' đối tượng ? + Tính B = SBB'C' cơng thức ? + Tính h = OM ? Dùng tam giác tính chất ? + Đối với chóp OBB'C' chọn đỉnh C' đáy VOBB' ta có chiều cao u cầu dùng cơng thức để tìm ? Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V Ta có : V = AB AD.AA ' = a 3.a = a 3 ∆ABD có : DB = AB + AD = 2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao Nuyễn Toản - 38- TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian A B O D M C B' A' C' D' a3 giống khối hộp nên: ⇒ VOA ' B 'C ' D ' = V = 3 b) M trung điểm BC ⇒ OM ⊥ ( BB ' C ') 1 a a a3 ⇒ VO BB 'C ' = S BB 'C ' OM = = 3 2 12 c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ 3VOBB 'C ' diện OBB’C’ Ta có : C ' H = SOBB ' ∆ABD có : DB = AB + AD = 2a ⇒ SOBB ' = a ⇒ C ' H = 2a Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ B.h để tìm B h ACB'D' đối tượng ? + Tính trực tiếp thể tích ACB'D' phức tạp ? Ta phân tích lập phương thành khối tứ diện tích ? + Khi nhận xét VACB'D' VCB'D'C' ? Suy điều ? + Phân tích V= B A D Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích 1 C Khối CB’D’C’ có V1 = a a = A' B' a +Khối lập phương tích: V2 = a ⇒ VACB ' D ' = a − a = C' 3 a D' a Nuyễn Toản - 39- TxPT Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE B.h để tìm B h A'B'BC đối tượng ? + Tính trực tiếp thể tích CA'B'FE phức tạp ? Ta phân tích khối chóp thành khối tứ diện mà tính thể tích đơn giản ? + Phân tích V= E A I B Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, VA ' B ' BC F C 1 a2 a a3 = S A ' B ' B CI = = 3 2 12 b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao B' A' J C' A’A nên VA 'CEF = SCEF A ' A a2 a3 ⇒ VA 'CEF = S ABC = 48 16 +Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên VA ' B ' CF = SCFB' A ' J a2 SCFB' = SCBB ' = a a a3 ⇒ V A ' B ' CF = = 24 SCEF = + Vậy : VCA'B'FE a3 = 16 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vng AB = AC = a; AA1 = a M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs:V = a 12 ¼ Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vng B, SA ⊥ (ABC) ACB = 60o, BC = a, SA = a ,M trung điểm SB.Tính thể tích MABC Đs: VMABC = Nuyễn Toản - 40- a3 TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian ¼ Bài 3: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC ∆SBD tam giác có cạnh Tính thể tích khối chóp SABCD Đ s: VSABCD = Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: 12 11 b) AB = 1, SA = Đs: V = 12 Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC a3 Tính VA’ABC theo a? Đs: V = Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường chéo 60o, cạnh bên nghiêng với đáy góc 45o Tính VSABCD Đs: V = o o Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60 , BSC = 90 , a CSA = 120o.Chứng minh ∆ABC vng Tính VSABC Đs: V = 12 Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a ,SB= a mặt phẳng (SAB) vng góc mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN a3 Đs: vS BMDN = Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo Đs: k = Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N trung điểm cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP a) Cạnh đáy 1, góc ABC = 60o Đs: V = Đs : vM CNP Nuyễn Toản - 41- a3 = 96 TxPT ... 30- TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian h3 3 Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh h3 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có... chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a + b + c , Nuyễn Toản - 8- TxPT Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian. .. tập Hình Học Khơng Gian Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30 o Tính thể tích khối h3 chóp SABC Đs: V = Bài 3: Cho hình