THPT Ngô Gia Tự, tỉnh Phú Yên tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán THPT năm học 2019 – 2020, nhằm tuyển chọn những em học sinh giỏi Toán của trường, thành lập đội tuyển để tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh. Đề thi chọn HSG Toán năm 2019 – 2020 trường THPT Ngô Gia Tự – Phú Yên gồm có 07 bài toán dạng tự luận, học sinh có 150 phút để làm bài, đề thi có lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Trích dẫn đề thi chọn HSG Toán năm 2019 – 2020 trường THPT Ngô Gia Tự – Phú Yên: + Cho phương trình cos2x + sinx + m – 3 = 0. a. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;pi). + Cho tam giác ABC. Gọi O là điểm tùy ý nằm trong tam giác. Kẻ OM, ON và OP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC và AB. Chứng minh BCOM + ACON + ABOP ≥ 2pr trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC và r là bán kính của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. + Cho f(x) = mx2 + 4(m – 1)x + m – 1 (m là tham số). a. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để f(x) > 0 với mọi x ∈ R. b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để f(x) < 0 với mọi x ∈ (0;2). + Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm B′ và C′ sao cho AB.AB’ = AC.AC’. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥ B’C’. + Cho tam giác ABC vuông tại B. Kéo dài AC về phía C một đoạn CD = AB = 1, góc CBD = 30 độ. Tính độ dài đoạn AC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019 – 2020 SỞ GIÁO DỤC PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ MƠN: TỐN (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) U U Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x3 = +1 2x −1 Câu (2, điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm B′ C ′ cho AB AB′ = AC AC ′ Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM ⊥ B′C ′ Câu (3,0 điểm) Cho phương trình cos x + sin x + m − = a Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt b Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; π ) Câu (4,0 điểm) Cho f ( x)= mx + 4(m − 1) x + m − ( m tham số) a Tìm tất giá trị tham số m để f ( x) > với x ∈ b Tìm tất giá trị tham số m để f ( x) < với x ∈ ( 0; ) x + + y + =m Câu (4,0 điểm) Cho hệ phương trình ( m tham số) 3m x + y = a Giải hệ phương trình m = b Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi O điểm tùy ý nằm tam giác Kẻ OM , ON OP vng góc với cạnh BC , AC AB Chứng minh BC AC AB p + + ≥ OM ON OP r p nửa chu vi tam giác ABC r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông B Kéo dài AC phía C đoạn CD = AB = 1; = 300 Tính độ dài đoạn AC CBD HẾT SỞ GIÁO DỤC PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2019 – 2020 TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ Mơn Tốn – Thời gian: 150 phút Đáp án Câu Câu1 (2,0 điểm) Đặt:= y Điểm x − 1,0 3 = = x + y = x + y x + y Ta có: ⇔ ⇔ 2 y + 1= x x − y = 2( y − x) ( x − y )( x − xy + y + 2)= 0,25 y 3y2 Do x − xy + y + = x − + + > ∀x, y 2 x3 + =2 y Nên ta có hệ: x = y 0,5 ⇒ x3 + 1= x ⇔ ( x − 1)( x + x − 1)= x = −1 + ⇔ x = x = −1 − Câu (2,0 điểm) 0,25 Vì M trung điểm BC nên = AM AB + AC ( B ) B' A C' Ta có: AM B′C ′ = AB + AC AC ′ − AB′ = AC AC ′ − AB AB′ = ( )( C ) Vậy: AM ⊥ B′C ′ Câu 0,5 M a (1,5 điểm) cos x + sin x + m − = ⇔ 2sin x − sin x = m − 1,5 0,25 (3,0 điểm) Đặt: = t sin x, t ∈ [ −1;1] Phương trình trở thành 2t − t = m − 0,5 Xét hàm số = y 2t − t với t ∈ [ −1;1] Để phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ m − =1 ⇔ m = 0,75 b (1,5 điểm) x ∈ ( 0; π ) ⇒ t ∈ ( 0;1] Xét hàm số = y 2t − t nửa khoảng ( 0;1] 1,0 Để phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ − < m − < ⇔ Câu (4,0 điểm) 15 ⇔ x < − (loại) 0,5 + Khi m ≠ để 1,0 m > m > ⇔ ⇔1< m < f ( x) > 0∀x ∈ ⇔ ∆′ < (m − 1)(3m − 4) < b (2,5 điểm) + Khi m = f ( x) < ⇔ −4 x − < ⇔ x > − m < (thỏa mãn) 0,5 m < + ⇔ ⇒ VN ∆′ < (m − 1)(3m − 4) < 0,5 + Khi m > đề f ( x) < 0∀x ∈ (0; 2) f ( x) = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x ≤ < x2 (1) x1 ≤ < ≤ x2 ⇔ x1 < ≤ x2 (2) 0,5 m −1 ≤ ⇔ < m ≤1 m 0,5 (1) ⇔ (2) ⇔ ( x1 − 2)( x2 − 2) ≤ ⇔ x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + ≤ ⇔ < m ≤ Vậy: ≤ m ≤ Câu (4,0 điểm) 13 10 0,5 13 10 a (1,5 điểm) y 12 − x x + + y + = = ⇔ 12 x + + 14 − x = x + y = Khi m = ta có ( −1 ≤ x ≤ 14; −2 ≤ y ≤ 13) 1,0 13 + 14 x = ⇒ ( x + 1)(14 − x) = ⇔ −4 x + 52 x + 55 = ⇔ 13 − 14 x = 11 − 14 y = 11 + 14 y = 0,5 13 + 14 11 − 14 13 − 14 11 + 14 ; ; 2 2 Vậy: hệ có hai nghiệm b (2,5 điểm) Đặt: = a b x + = m a + b = y + Hệ trở thành a + b = 3m + a ≥ 0, b ≥ m có điểm chung với Để hệ có nghiệm đường thẳng a + b = 2 đường tròn a + b = 3m + a ≥ b ≥ m − 6m − ≤ + 21 ≤ m ≤ + 15 3m + ≤ m ≤ 6m + ⇔ m − 3m − ≥ ⇔ m ≥ Vậy: Câu (2,0 điểm) 0,5 1,0 1,0 + 21 ≤ m ≤ + 15 Theo BĐT Bunhiacopski, ta có BC AC AB BC.OM + AC.ON + AB.OP ON OP OM BC AC AB ≤ + + ( BC.OM + AC.ON + AB.OP ) OM ON OP 1,0 BC AC AB ⇔ ( BC + AC + AB) ≤ + + ( BC.OM + AC.ON + AB.OP ) OM ON OP BC AC AB p BC AC AB (do S ABC = pr ) ⇔ + + + + ≥ S ABC ≥ p ⇔ OM ON OP r OM ON OP 0,5 Dấu xảy OM = ON + OP ⇔ O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu (3,0 điểm) Qua D kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt BC E 0,5 E Tứ giác ABDE nội tiếp 1,0 ∠DBC = ∠DAE D C B A Đặt AC = x > ⇒ AD = x + π DE = AD.tan= x +1 ; BC = ∆CDE ∆CBA ⇒ CD BC = ⇔ =( x + 1) x − ED BA x2 −1 0,5 1,0 ⇔ x( x − 2) + 2( x − 2) = ⇔ ( x3 − 2)( x + 2) = ⇔ x = Vậy: AC = 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2019 – 2020 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ Mơn Tốn – Thời gian: 150 phút Đáp án Câu Câu1 (2,0 điểm) Đặt:= y Điểm x... ⇔ −4 x − < ⇔ x > − m < (thỏa mãn) 0,5 m < + ⇔ ⇒ VN ∆′ < (m − 1)(3m − 4) < 0,5 + Khi m > đề f ( x) < 0∀x ∈ (0; 2) f ( x) = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x ≤ < x2 (1) x1 ≤ < ≤ x2 ⇔ x1