Một số bài toán chọn lọc về đồ thị hàm đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ ĐỒ THỊ HÀM ĐẠO HÀM Người thực hiện: Phạm Văn Bình Chức vụ: Tổ phó chun mơn SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn học THANH HỐ NĂM 2019 Trang MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1.5 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… 1.6 Đóng góp đề tài………………………………………………… PHẦN II NỘI DUNG SKKN 2.1 Cơ sở lí luận SKKN 2.2 Giải pháp để giải vấn đề Dạng 1: Các toán khoảng đơn điệu hàm số Dạng 2: Các toán cực trị hàm số Dạng Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y = f ( x) ; y = f '( x ) ; y = f ''( x ) 10 14 Dạng 5: Một số dạng toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm số y = f '( x ) 17 2.3 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục…………………… 19 PHẦN III KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 Trang PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Những năm gần đây, đề thi THPT Quốc gia, đề thi thử Sở GD&ĐT Thanh Hóa, số trường toàn quốc xuất toán liên qua đến đồ thị hàm đạo hàm Nó thể qua nhiều tốn khác nhau, liên quan đến nhiều dạng câu hỏi, tập, với hình thức hỏi đa dạng Vì tính quan trọng ứng dụng đồ thị hàm đạo hàm nên tơi thấy cần có hệ lý thuyết, phương pháp phân dạng tập loại tốn Do tơi chọn đề tài ‘Một số toán chọn lọc đồ thị hàm đạo hàm ’ 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy mối liên hệ đồ thị hàm số y = f '( x ) với vấn ( ) Từ làm tốt dạng toán này, mang lại kết đề hàm số cao kì thi, đặc biệt kì thi TN THPT QG 2018-2019 y= f x 1.3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Đối tượng nghiên cứu đề tài là: Các toán khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ , toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm chương trình SGK 12, đề thi TN THPT QG 2017-2018, đề thi thử Sở GD& ĐT hóa số trường năm học 2018-2019 toàn quốc để giải dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số y = f '( x ) 1.4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Đưa sở lí luận cần thiết Từ mơ tả, phân tích định hướng để tìm biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải dạng toán 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : Sử dụng phương pháp giải tích, hình học , đặc biệt kiến thức , kỷ đọc đồ thị hàm số 1.6 ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI Trình bày cách hệ thống, khoa học dạng toán liên qua đến đồ thị hàm đạo hàm với ví dụ minh họa, lời giải chi tiết PHẦN II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM y = f ( x) 2.1.1   Sự tương giao đồ thị hàm số trục hoành Giao điểm đồ thị hàm số phương trình hồnh độ giao điểm y = f ( x) f ( x ) = với trục hoành nghiệm 2.1.2   Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số Trang bảng biến thiên Bảng 1: Hàm số y = f ( x) đạt cực đại điểm x = x0 Bảng 2: Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu điểm x = x0 2.1.3   Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số bảng biến thiên Bảng 3: Ta có: y = f ( x0 ) [ a ;b ] Bảng 4: Trang Ta có: max y = f ( x0 ) [ a ;b] Bảng 5: Ta có: Bảng 6: y = f ( a ) ; max y = f ( b) [ a ;b] [ a ;b] y = f ( b) ;max y = f ( a ) [ a ;b ] [ a ;b ] Ta có: 2.1.4   Phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f ( x) C có đồ thị ( ) Khi đó, với số k > ta có: y = f ( x) + k C C Hàm số có đồ thị ( ) tịnh tiến ( ) theo phương Oy lên k đơn vị y = f ( x) - k C C Hàm số có đồ thị ( ) tịnh tiến ( ) theo phương Oy xuống k đơn vị y = f ( x +k) C C Hàm số có đồ thị ( ) tịnh tiến ( ) theo phương Ox qua trái k đơn vị ( Hàm số phải k đơn vị y = f x - k) C C có đồ thị ( ) tịnh tiến ( ) theo phương Ox qua �f ( x ) x > y = f ( x ) =� � � C') f ( - x ) x �0 ( � Hàm số có đồ thị cách: C C + Giữ nguyên phần đồ thị ( ) nằm bên phải trục Oy bỏ phần ( ) nằm bên trái Oy C + Lấy đối xứng phần đồ thị ( ) nằm bên phải trục Oy qua Oy �f ( x ) f ( x ) > y = f ( x) = � � � C') - f ( x ) f ( x) �0 ( � Hàm số có đồ thị cách: Trang C + Giữ nguyên phần đồ thị ( ) nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị ( C ) nằm Ox 2.2 GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Dạng 1:   Các toán khoảng đơn điệu hàm số y = f ( x ) ; y = f ( x �k ) ; y = f ( x ) �kx; y = f � u ( x) � � � Thí dụ  3 Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x  xác định, liên tục � f '  x  có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến  1; � B Hàm số đồng biến  �; 1  3; � C Hàm số nghịch biến  �; 1 D Hàm số đồng biến  �; 1 � 3; � Lời giải Trên khoảng  �; 1  3; � đồ thị hàm số f '  x  nằm phía trục hồnh Chọn B Thí dụ   Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f '( x) có đồ thị hình bên Hàm số y  g  x   f (2  x) đồng biến khoảng A  1;3 C  2;1 B  2; � D  �; 2  Lời giải Chọn C �� � � Ta có: g  x     x  f   x    f   x   x  1 x3 � � g� ��  x  � f �   x  � � 1 2 x  2  x  � � Hàm số đồng biến y  f  x y f�  x  hình vẽ Thí dụ   Cho hàm số có đồ thị hàm số f  3 x  bên Hàm số y  đồng biến khoảng đây? Trang � 1� �; � � � � A 1; B   �1 � � ;1� D �2 � C  �;1 Lời giải Chọn D y�  2 f � (3  x)2 f (3 x ) Ta có: Thí dụ  3 Cho hàm số bên Hàm số y  f  x y  f  3 x  �; 1 A  x2 � � ln  � f � (3  x)  � �  x 1 � có đồ thị hàm số y  f ' x hình vẽ đồng biến khoảng đây? 2;3 B   4; C   1;  D  Lời giải Chọn D �  f '   x  x  � �f   x  x �3 � y  f  3 x   � � y' � �f  x  3 x  �f '  x  3 x  - x3  x7 � � x  � y '  � f '  x  3  � � �� 1  x   � 2 x4 � Nếu x7 � x 3�� 3 x  � Mà - x4 � x  � y '  �  f '  x  � f '  x  � � 1  x  � Nếu Mà x  � 1  x  Trang Vậy hàm số y  f  3 x  1;  ;  ;  ;  7;  � đồng biến khoảng  � Thí dụ  3 Cho hàm số f  x  có đồ thị f  x  hình vẽ Hàm số y  f  ln x  1 A  e; � nghịch biến khoảng đây? �1 � � ;e � B �e � �1 � �3 ; � C �e e � D  0;e  Lời giải Chọn B Điều kiện xác định x  Khi y�   ln x  1 �f �  ln x  1  f�  ln x  1 x � xe  ln x   1  ln x  � � � e y� 0� f� �� ��  ln x  1  � � ln x   2 ln x  3 � � � 0 x � e � Vậy �1 � x �� ; e � �e � Đối chiếu đáp án chọn f x f�  x  hình vẽ Hàm số Thí dụ   Cho hàm số   có đồ thị y  f  10  x  �;  A  đồng biến khoảng đây? 2; B   log 6; C   log 11; � D  Lời giải Chọn A Ta có y�   10  x  �f �  10  x   2 x ln f � 10  x  Trang Suy � �  x  log 11 1  10  x   x  11 � x y� 0� f� 10   � � �   � � � x  log 10  x  2x  � � � Đối chiếu đáp án chọn x  log � x  y = f ( x) , y = g ( x) Thí dụ   Cho hàm số có đồ thị hàm số � � 1� � y = f x + - g ( x + 6) - 18 x � � � y= f� ( x) , y = g � ( x ) hình vẽ bên Hàm số � � 2� nghịch biến khoảng đây? � 1� � - �; - � � � � � � � A � � 11 � ; +�� � � � � � B �4 � 5� � - 2; � � � � � � � C � 11� � - ; � � � � � � � 4 D Lời giải Chọn D Có � � 1� 1� � � � � � y� �0 � f � 2x + � g x + 18 � � f x + �3 g � ( ) ( x + 6) +18 � � � � � � � � � � 2� 2� Quan sát đồ thị cho có max f � ( x) = ( 0;6) g � ( x) =- � 1 11 < 2x + < � - < x < 4 Do ta cần chọn � 1� � 2f� 2x + � �12 �3 g � ( 3x + 6) +18 � � � � � 2� � 1� y= f � 2x + � - g ( x + 6) - 18 x � � � � � � Vậy, nghịch biến khoảng � 11� � - ; � � � � � �4 4� y = f ( x) y= f� ( x) hình vẽ bên Thí dụ   Cho hàm số có đồ thị hàm số y = f ( x + 2) - ( x - 1) Hàm số đồng biến khoảng đây? Trang �1 � � � - ; 2� � � � A � � � � � � ;5� � � � B �2 � � 1� � - ;- � � � � � � � 2 C �1 � � - ;0� � � � � � � D Lời giải Chọn D Có Đặt y� =3 f � ( 3x + 2) - ( x - 1) > � f � ( x + 2) > t = 3x + � x = ( x - 1) t- 2 f� ( t ) > ( t - 5) , bất phương trình trở thành y = ( x - 5) Kẻ đồ thị đường thẳng qua hai điểm � � ;� � � � 1� � � �và ( 5;0) 1 f� ( t ) > ( t - 5) � < t < � < 3x + < � - < x ( 2) ( ) f    f    f    f   � f    f    f    f  3  � f( 0) < Thí dụ 17  3 Cho hàm số y  f  x Đồ thị hàm số M  max f  x  hình vẽ bên Đặt đề đúng? m  f  x   2;6  2;6 , ( 5) y f�  x , T  M  m Mệnh y 3 2 1 O x 2 A T  f    f  2  C T  f  5  f   B T  f    f  2  D T  f  0  f  2 Lời giải Chọn B Trang 15 y S1 3 2 1 O 2 S3 S2 S4 x Gọi S1 , S2 , S3 , S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f�  x với trục hồnh Quan sát hình vẽ, ta có  f�  x  dx �f � x  dx  � 2 � f  x 2  f  x � f    f  2   f    f   � f  2   f    f� f�  x  dx  �  x  dx � � f  x  f  x � f  0  f  2  f  5  f   � f  0  f  5  f� f�  x  dx  �  x  dx � � f  x  f  x 5 � f  5  f    f  5  f   � f    f   Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có m  f  x   f  2  M  max f  x   f    2;6  2;6 Khi T  f    f  2  Trang 16 Dạng 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y = f ( x) ; y = f '( x ) ; y = f ''( x )  3 Cho đồ thị ba hàm số Thí dụ 18 y  f  x , y f�  x vẽ mơ tả hình Hỏi đồ thị hàm số � y f�  x , y  f  x � y f�  x , y f�  x theo thứ tự, tương ứng với đường cong nào? C ; C ; C C ; C ; C C ; C ; C C ; C ; C A       B       C       D       Lời giải Chọn A 0; � C C Trong khoảng    nằm trục hoành   “đi lên” �;0  C C Trong khoảng    nằm trục hoành   “đi xuống”  C1  nằm hoàn toàn trục hoành  C2  “đi lên” Đồ thị Hoặc: C Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị   cắt trục Ox điểm điểm cực trị C đồ thị hàm số   C C Đồ thị   đồng biến � mà đồ thị   lại nằm hoàn toàn trục hoành.Ta chọn đáp án A Thí dụ 19  3 Cho đồ thị ba hàm số y  f  x , vẽ mơ tả hình Hỏi đồ thị hàm số � y f�  x y f�  x y  f  x , , � y f�  x y f�  x theo thứ tự, tương ứng với đường cong nào? Trang 17 C ; C ; C C ; C ; C C ; C ; C C ; C ; C A       B       C       D       Lời giải C Chọn D Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị   cắt trục Ox điểm điểm cực trị C C của đồ thị hàm số   Đồ thị   cắt trục Ox điểm điểm cực C trị của đồ thị hàm số   Thí dụ 20  5 Cho đồ thị ba hàm số y  f  x , vẽ mô tả hình Hỏi đồ thị hàm số � y f�  x y f�  x y  f  x , , � y f�  x y f�  x theo thứ tự, tương ứng với đường cong nào?  C3  ;  C2  ;  C1  B  C2  ;  C1  ;  C3  C  C2  ;  C3  ;  C1  D  C1  ;  C2  ;  C3  A Lời giải C Chọn A Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( ) cắt trục Ox điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số ( C3 ) C Đồ thị ( ) cắt trục Ox điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số ( C2 )   Một vật chuyển động có đồ thị hàm quãng đường, hàm Thí dụ 21 vật tốc hàm gia tốc theo thời gian t mơ tả hình Hỏi đồ thị hàm số theo thứ tự đường cong nào? Trang 18 A b, c, a B c, a, b C a, c, b D c, b, a Lời giải Chọn D Thí dụ 22  5 Cho đồ thị ba hàm số y  f  x , vẽ mô tả hình Hỏi đồ thị hàm số � y f�  x y f�  x y  f  x , , � y f�  x y f�  x theo thứ tự, tương ứng với đường cong nào? C ; C ; C C ; C ; C C ; C ; C C ; C ; C A       B       C       D       Lời giải Chọn B C Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( ) cắt trục Ox điểm điểm cực trị C C đồ thị hàm số ( ) ; đồ thị ( ) cắt trục Ox điểm điểm cực C trị của đồ thị hàm số ( ) Dạng 5: Một số dạng toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm số Thí dụ 23 y  f ' x y = f '( x )  3 Cho hàm số f  x  xác định R hàm số có đồ thị hình bên dưới: Xét khẳng định sau: (I) Hàm số y  f  x (II) Phương trình (III) Hàm số có ba cực trị f  x   m  2018 y  f  x  1 có nhiều ba nghiệm 0;1 nghịch biến khoảng   Số khẳng định là: A B C D Lời giải Trang 19 Chọn B Phương pháp: Từ đồ thị hàm số y  f  x y  f ' x lập BBT đồ thị hàm số kết luận x 1 � � f ' x  � � x2 � x3 � Cách giải: Ta có BBT: Từ BBT ta thấy (I) đúng, (II) sai Với x � 0;1 � x  1� 1;  � f '  x  1  � khoảng  0;1 Hàm số y  f  x  1 nghịch biến => (III) Vậy có hai khẳng định  3 Cho hàm số Thí dụ 24 y  f  x xác định R hàm số f ' x  có đồ thị hình bên y  f ' x với x � �; 3,  � 9; � g x  f  x   mx  Đặt   Có giá trị dương tham số m để hàm g x số   có hai điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn D Ta có g�  x  f �  x  m y  g  x ; g�  x  � f �  x  m  � f �  x  m Để hàm số có hai điểm cực trị phương trình g�  x  có Trang 20 m �5 � �� 10 �m  13 Khi m � 0;1; 2;3; 4;5;10;11;12 hai nghiệm bội lẻ phân biệt � Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Thí dụ 25  3 Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình bên Đặt xác định R hàm số g  x  f  x  m  y  f ' x Có giá trị g x nguyên tham số m để hàm số   có điểm cực trị? A B C D Vô số Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số ( ) ta thấy ( ) cắt trục hồnh dương (và điểm có hồnh độ âm) f �x �� � f ( x) �� � f ( x) có có f �x điểm có hồnh độ điểm cực trị dương điểm cực trị �� � f ( x + m) có điểm cực trị với m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị hàm số) Chọn D f x + m) Chú ý: Đồ thị hàm số ( có cách lấy đối xứng trước tịnh tiến f x + m) Đồ thị hàm số ( có cách tịnh tiến trước lấy đối xứng Thí dụ 26  3 Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm f '  x hình bên Trang 21 y  f  x  m Có số nguyên m  10 để hàm số nghịch biến khoảng  0;  A B C D Lời giải Chọn D �x  m �1 � x �m  y '  f '  x  m  �0 � � �� �x  m �4  m �x �4  m � � Ta có Suy ra, hàm số y  f  x  m �;  m  1 nghịch biến khoảng    m;  m  Theo giả thiết tốn ta có �  0;  � �; 1  m  �m �3 �10  m �3 ����   � �m �2 �  0;  �  m;  m  � � � �m �2 � m�Z m  9, 3;1; 2 Vậy, có giá trị nguyên m thỏa mãn 2.3 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục Trong năm học 2018 - 2019, nhà trường phân công giảng dạy lớp 12C3;12C4; 12C5 lớp học Ban Khoa học tự nhiên; có chất lượng đầu vào học sinh khơng tốt Trong q trình giảng dạy, mạnh dạn đưa số tập thuộc dạng nêu đề tài với định hướng phân tích tìm lời giải nêu số tiết ôn tập , buổi ôn thi THPTQG, phần ôn tập đề thi tổng hợp hệ thống tập nhà Qua thực tiễn áp dụng đề tài, nhận thấy đa số học sinh nắm dạng toán giải cách triệt để toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm kỳ thi Cụ thể sau: Năm học 2018 - 2019: + Lớp 12C5 - không áp dụng đề tài: Thi lần Thi lần Thi lần Số HS 37 37 37 Làm 03 03 05 Không làm 34 34 32 Trang 22 + Lớp 12C3 - Áp dụng đề tài: Thi lần Thi lần Thi lần Số HS 43 43 43 Làm 38 40 43 Không làm 05 03 Làm 33 35 38 Không làm 05 03 + Lớp 12C4 - Áp dụng đề tài: Thi lần Thi lần Thi lần Số HS 38 38 38 Qua thấy kết thật rõ rệt Trang 23 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ III.1 Kết luận Đề tài nêu phương hướng áp dụng đồ thị hàm đạo hàm vào số dạng tốn cụ thể mà tơi nêu đề tài Việc sử dụng phương pháp nêu phần giúp cho thân số định hướng q trình dạy tốn góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo ham học học sinh Đề tài dùng làm tài liệu tham khảo ôn thi THPT Quốc gia cho đồng nghiệp, học sinh lớp 12 III.1 Kiến nghị Qua trình dạy học nhiều năm, thân tơi nhận thấy việc phân phối chương trình dạy học tốn trường phổ thơng nhiều chỗ chưa hợp lí Một số phần, chương có lượng kiến thức khơng nhiều, tập khơng có tính phát huy tư học sinh lại phân phối nhiều thời lượng, nhiều tiết tập Trong phần, chương cần có nhiều tiết tập để học sinh phát huy tốt khả tư tích cực thân thời lượng số tiết tập bị hạn chế Vì thế, tơi đề nghị cần chỉnh sửa phân phối chương trình tốn trung học phổ thơng cho hợp lí XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hậu lộc, ngày 25 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết , khơng chép nội dung người khác Phạm Văn Bình Trang 24 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO  1 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)  Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)  Nguyễn Xuân Liêm-Nguyễn Khắc Minh- Đặng Hùng Thắng, Đại số Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục  2 Đề thi THPT Quốc gia năm 2018  3 Đề thi thử THPT Quốc gia , năm 2017-2018,năm 2018-2019 Sở GD& ĐT Thanh hóa số trường toàn quốc  4 Tham khảo số sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp  5 Tham khảo số nguồn tài liệu internet Trang 25 ... suy hàm số liên tục có đạo hàm đổi dấu qua giá trị x   Vậy hàm số cho có cực trị  3 Cho hàm số Thí dụ 12 y = f '( x) y = f ( x) có đạo hàm Đồ thị hàm số hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số. .. trị? C D Lời giải Chọn A � Đồ thị hàm số f  x  cắt trục hoành điểm  3 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục � Đồ thị y f�  x  hình vẽ sau Số điểm cực trị hàm số hàm số y  f  x  ... tính quan trọng ứng dụng đồ thị hàm đạo hàm nên tơi thấy cần có hệ lý thuyết, phương pháp phân dạng tập loại toán Do tơi chọn đề tài Một số tốn chọn lọc đồ thị hàm đạo hàm ’ 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN