Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

Trong các đề thi minh họa của bộ giáo dục, câu liên quan đến thể tích khối đa diện thường là các câu dạng vận dụng thấp, vận dụng cao , mặt khác việc tính thể tích thường thì diện tích đ

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến 2

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 2

2 3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 3

2.3 1 Hệ thống kiến thức liên quan 3

2.3.2.Một số bài tập vận dụng 3

2.3.3 Hệ thống bài tập tự luyện : ………13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến 14

3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 1 5

3.1 Kết luận 1 5

3.2 Kiến nghị 1 6

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con

người phát triển toàn diện Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn diện

để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có cả phương pháp dạy học môn Toán

Từ năm học 2016 – 2017 hình thức thi THPT Quốc Gia của môn Toán đã có sự thay đổi ( chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm), bước đầu làm cho giáo viên và học sinh thấy bỡ ngỡ Trong các đề thi minh họa của

bộ giáo dục, câu liên quan đến thể tích khối đa diện thường là các câu dạng vận dụng thấp, vận dụng cao , mặt khác việc tính thể tích thường thì diện tích đáy của khối đa diện(khối chóp, khối lăng trụ ) công thức diện tích đã có và học sinh

đã quen Khó khăn nhất của học sinh là tính độ dài đường cao của khối đa diện khi mà việc vẽ hình không như trước đây nữa nên cần phải xác định nhanh chóng được chân đường cao, đồng thời phải biết vận dụng khéo léo và linh hoạt các mảng kiến thức trên vào từng bài toán cụ thể để tìm ra kết quả nhanh nhất và chính xác nhất

Trước kì thi THPT Quốc gia đến gần, và đề thi minh họa của năm nay số câu khá giỏi nhiều hơn với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa bài thi của mình, từ đó tôi

nghiên cứu và viết đề tài “Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ’’ Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho

giáo viên và học sinh

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh

bài toán đặc biệt là toán trắc nghiệm, từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất

-Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để

học sinh có thể phải xác định nhanh chóng được chân đường cao và tính độ dài của nó , giải chính xác đối với những bài toán về thể tích

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Kiến thức về tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ

- Học sinh lớp 12B, 12H năm học 2018 – 2019 trường THPT Nga Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp

- Sử dụng phương pháp thực nghiệm

- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề tài

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Định lí :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

d a a

 







  

 





Định lí

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P













V Bh 1

3

V  Bh

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách “ xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ” một cách nhanh nhất là rất cần thiết vì các lí do sau:

Thứ nhất: Môn toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thứ tự luận sang

trắc nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất

có thể để tiết kiệm thời gian

Thứ hai: Tạo hứng thú cho học sinh khi học hình học nói chung và giải các bài

tập chương một hình học 12 nói riêng Vì mặt đáy khối đa diện thường là các hình quen thuộc nên việc tính diện tích không còn khó khăn đối với các em nữa,

vậy khó khăn lớn nhất là tính độ đai đường cao (hay xác định đường cao của khối đa diện)

Trong bài viết này, tôi đưa ra một số cách một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ, thấy kết quả đạt tốt và phù hợp đối với các đối tượng học sinh trường tôi

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan

Thể tích khối lăng trụ V Bh

Thể tích khối chóp 1

3

V  Bh

Các công thức tính diện tích tam giác, hình bình hành, hình vuông, chữ nhật, hình thoi…

 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

2.3.2 Một số bài tập vận dụng

nếu ta lấy một đỉnh bất kì của mặt đáy này nối đến tất cả các đỉnh của mặt đáy kia thì ta có được một hình chóp có chiều cao cũng chính là chiều cao của hình lăng trụ

Vậy cách xác định đường cao của hình lăng trụ tương tự như xác định đường cao của hình chóp.

Minh họa :

+ Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ và hình chóp A’ABC cùng có chung đường cao

AA’

Dưới đây chúng ta xét một số trường hợp xác định đường cao của hình chóp có đỉnh S Mặt đáy đang nằm trong mặt phẳng( )  .

B

C A

A’

B

C A

A’

C

’ B’

Trường hợp 1 : Hình chóp có đỉnh S nằm trong một mặt phẳng( )  vuông góc với mặt phẳng ( ) 

Nhận xét : Nếu ( )  cắt ( ) theo giao tuyến là đường thẳng d và điểm H là hình chiếu vuông góc của S trên d thì SH sẽ vuông góc mặt phẳng ( )  suy ra SH là đường cao hình chóp

Định lí :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d a a

 







  

 





Ví dụ 1 : Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Tam giác

SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích của khối chóp S ABCD. là 3 15

6

a Góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng đáy ABCD là

Lời giải

Gọi H là trung điểm AB Ta có SH  (ABCD)

2

ABCD

S a

1

.

3 ABCD

2

ABCD

SH S

2 2 5

2

a

CH  AC  AH 

SC ABCD,  SC CH, 

 tanSCH SH 3

CH

Vậy  ,SC ABCD    60o

Chọn D

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành và

AB AC a, BC a 3 Tam giác SAD vuông cân tại S, hai mặt phẳng SAD

và ABCD vuông góc nhau Tính tỉ số 3

V

a biết V là thể tích khối chóp S ABCD.

A 1

2

Lời giải

Gọi H là trung điểm AD  SH AD

Ta có SAD  ABCD, SAD  ABCD AD, SH AD  SH ABCD

Ta có AB2 AC2 CB2  ACB vuông tại C  S ABCD  2S ABC a2 3

3 2

a

2

a

Vậy .

1 3

S ABCD ABCD

3

3 2

a a

2

V a

 

Chọn D

Trường hợp 2: Hình chóp có đỉnh S thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) , (Q) và hai mặt phẳng này cùng vuông góc với mặt đáy

Nhận xét : Đường cao hình chóp xác định theo định lí sau

Định lí

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P













Ví dụ 3 :

Cho hình chóp S ABCD. có (SAB);(SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng

ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB a AD ,  3 , a BC a

Biết SA a 3, tính thể tích khối chóp S BCD. theo a.

A 2 3 a3 B 3 3.

6

3

4

a

Lời giải

Ta có .

1 3

S BCD BCD

V  SA S

Lại có S BCD S ABCD S ABD 1 .  1 .

2AB AD BC 2AB AD

2AB BC 2a

S BCD

Nhận xét: Nếu đề bài bỏ giả thiết AD 3a thì sẽ giải như sau:

S BCD BCD

V  SA S  SA d D BC BC

3

.

a

SA AB BC

Chọn B

Ví dụ 4 :

Cho khối chóp tam giác S ABC. có SAABC, tam giác ABC có độ dài 3 cạnh

là AB 5a; BC  8a; AC  7a, góc giữa SB và ABC là 45 Tính thể tích khối

chóp S ABC.

A 50 3a3 B 50 3 3

3 a C 50 3

3 a D 50 7 3

3 a

S

A

D

Lời giải

Ta có nửa chu vi ABC là 10

2

AB AC BC

Diện tích ABC là SABC  10 5 3 2a a a a  10 3a2

 

SA ABC nên SAB vuông, cân tại A nên SA AB  5

Thể tích khối chóp S ABC. là .

1 3

S ABC ABC

5 10 3

3 a a

3 a

Chọn B

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD ; góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 Tính theo a thể tích khối chóp

.

S ABCD

9

3

Lời giải

Ta có













AC

 là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ABCD

 



SC ABCD,  SCA 60

Tam giác SAC vuông tại A có SA AC tan 60  a 6

6.

SABCD ABCD

a

Chọn C

Ví dụ 6 : Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a ,

3

BC a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 Tính thể tích V của khối chóp S ABCD. theo a

3

a

3

a

V  C V  3a3 D 3 3

3

a

V 

Lời giải

Ta có: BC SA BC SAB









  SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng

SAB

 

SC SAB,  SC SB,  CSB 30

Xét tam giác SBC vuông tại B có tan 30 BC SB 3a

SB

    Xét tam giác SAB vuông tại A có SA SB2  AB2  2a 2

Mà S ABCD AB BC a  2 3

a

V  S SA

Chọn A

Trường hợp 3 :

+Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.

+Hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc.

Nhận xét : Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằng 2a cạnh bên bằng 3a Tính thể tích V của khối chóp đã cho?

9

a

3

a

V  D 4 7 3

3

a

Lời giải

Trong mặt phẳng ABCD, gọi OACBD, do hình chóp S ABCD. đều nên SOABCD

Đáy là hình vuông vạnh 2a 2

2

AC

Trong tam giác vuông SAO có SO SA2  AO2 a 7

Thể tích V của khối chóp trên là 1 1 2 4 3 7

a

Chọn D

Ví dụ 8: Th tích c a chóp tam giác đ u có t t c các c nh đ u ể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều ủa chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều ều có tất cả các cạnh đều ất cả các cạnh đều ả các cạnh đều ạnh đều ều có tất cả các cạnh đều

b ng ằng a là

4

2

6

12

Lời giải

I O

C

B A

S

Gọi O là tâm mặt đáy ABC và I là trung điểm cạnh BC.

.

S ABC là hình chóp tam giác đều nên SOABC

SAO

 vuông tại O có:

.

3

a

2 3 4

ABC

a

Vậy thể tích khối chóp cần tìm là: .

1 3

S ABC ABC

2

.

3 3 4



3 2 12

a

 Chọn D

Trường hợp 4 : Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy

Nhận xét : Hình chóp có đỉnh cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 đỉnh đó

Ví dụ 9:

Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, A’C’ = a, độ dài cạnh bên bằng b Đỉnh D cách đều 3 đỉnh A’,D’,C’.

a) Tính thể tích khối tứ diện DA’C’D’, tính thể tích V của khối hộp đã cho.

b) Gọi V 1 là thể tích của khối đa diện BCDA’C’ Tính V V1

Bài giải

a) Tam giác A’D’C’ là đều ( do A’D’=D’C’ =

A’C’)

Gọi I là tâm tam giác đều A’D’C’ Vì D và I cùng

cách đều các điểm A’,D’,C’ nên DI vuông góc

(A’D’C’) do đó DI là đường cao tứ diện

DA’C’D’ và khối hộp đã cho

4

3 2

'

'

'

a

3 '

'

2 2 2

b I

D DD

12

3

3 4

3 3

1

3

1

2 2

2

2 2 2

' ' ' '

'

'

a b

a

a b a

S DI











2

3 6

2 2 2 '

'

'

a b a V

a

b

a

a

M I

D'

C' B'

A'

D

C B

A

b) .

6

1

'

'

V V V V V

V

V

3

2 6

1 6

1

' ' ' ' ' '

3

2

1





V

V

Trường hợp 5 : Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc

Nhận xét : Hình chóp có ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.

Ví dụ 10 :

Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a,BC = 6a , CA = 7a Các mặt bên (SAC), (SBC), (SCA) tạo với mặt đáy một góc 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Bài giải

- Kẻ SH ABC, HE  AB HF,  BC và HJ AC

Theo định lí ba đường vuông góc ta có

SEAB SF BC SJ BC

Từ đó suy ra SEH SFH SJH  60 0

Do đó các tam giác vuông SHE,SFH,SJH bằng nhau

Từ đó suy ra HE = HF =HJ nên H chính là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác ABC

-Ta có HE = HF = HJ = r với r là bán kính đường

tròn nội tiếp tam giác ABC

Nửa chu vi tam giác ABC bằng p = 9a

Theo công thức Hê-rông, diện tích S của tam giác

ABC bằng : S = 9.4.3.2.a =6 6a 2 2

Áp dụng công thức  S 2a 6

S = p.r r = =

Tam giác SEH vuông tại H nên ta có

2 6 0

.tan 60 3 2 2

3

a

Trường hợp 6 : Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc

B

F

C A

S

H J E

Nhận xét : Hình chóp có hai mặt bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao thuộc đường phân giác của góc  với  là góc của đa giác đáy có đỉnh là đỉnh chung của mặt đáy với hai mặt bên nêu ở trên.

Ví dụ 11:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm

BC Các mặt bên (SAC), (SAB) tạo với mặt đáy cùng một góc.Chứng minh rằng

chân đường cao xuất phát từ đỉnh S của hình chóp S.ABC thuộc AI.

Bài giải

- Kẻ SH  (ABC HE),   AB HF,  AC

Theo định lí ba đường vuông góc ta có

,

SEAB SF AC

Từ đó suy ra SEH SFH

Do đó các tam giác vuông SHE,SFH bằng

nhau

Từ đó suy ra HE = HF nên suy ra H thuộc

đường phân giác của góc BAC

Vì ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm

BC nên đường trung tuyến AI cũng là đường

phân giác của góc BAC nên H thuộc AI.

Ví dụ 12;

Cho khối hộp ABCDA’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A

đều bằng 600 Tính thể tích của khối hộp đó theo a.

Bài giải

 Xác định hình chiếu vuông góc của

đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABCD ).

Kẻ SH  (ABCD HE),   AB HF,  AD

Theo định lí ba đường vuông góc ta có

A EAB A F AD

Hai tam giác vuông A’AE,A’AF bằng nhau

( do AA’ chung , A AE' A'AF ) Từ đó

suy ra HE = HF nên suy ra H thuộc đường

phân giác của gócBAD

Vì ABCD là hình thoi nên H thuộc AC.

 Tính thể tích khối hộp

ABCDA’B’C’D’

+ A AE' có A AE'  60 0, AA’ = a nên là

nữa tam giác đều cạnh a do đó ta có

3

; '

AE  A E

B

I

C A

S

H

F E

D A

A’

H

F E

B’

D’

C’ C’

Tam giác HAE vuông tại E có góc HAE

bằng 300 nên HE = AE.tan 300= 3

6

a

Tam giác A’EH vuông tại H , theo định lý

Pitago ta có ' 6

3

a

A H 

+ ABCD là hình thoi nên

2 3

2

ABCD

a

3 ' ' ' '

2

2

ABCDA B C D ABCD

a

2.3.3: Bài tập tự luyện.

Bài 1 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Cạnh bên tạo

với mặt đáy một góc 60 o Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Bài 2 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Góc giữa cạnh

bên và cạnh đáy bằng 60 o Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Bài 3 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a Mặt bên tạo

với mặt đáy một góc 45 o Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Mặt bên

(SCD ) tạo với mặt đáy một góc 60 o Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo

a.

Bài 5:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông

góc của A trên SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) và SA = BC Biết AB = a , AC =

2a , BAC 120 0tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt

bên (SAB) là tam giác cân tại S và vuông đáy (ABCD) , góc giữa SC và đáy bằng

0

60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài 8 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mp (SAB) và

mp (SAC ) cùng vuông góc với đáy (ABC) và biết diện tích tam giác SBC bằng

2 57

a

8

1 Tính thể tích khối chóp S.ABC

2 Tính d (A,(SBC))

Bài 9 :Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông

góc đáy (ABCD), mặt bên (SCD) hợp với đáy (ABCD) một góc 600