chuong 2(1)

Chương ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM Động lực học nghiên cứu chuyển động vật mối liên hệ chúng với tương tác vật Cơ sở động lực học vĩ mô định luật Newton nguyên lí Galile 2.1 Các định luật Newton 2.1.1 Định luật Newton thứ Định luật: Khi chất điểm cô lập (không chịu tác động từ bên ngồi) đứng n, tiếp tục đứng yên, chuyển động chuyển động thẳng G v=0 - Chất điểm đứng yên: - Chất điểm chuyển động thẳng đều: G v = const hai trạng thái vận tốc chất điểm không thay đổi G v = const Tổng quát: (2-1) Vậy: Một chất điểm cô lập bảo tồn trạng thái chuyển động Tính chất bảo toàn trạng thái chuyển động gọi quán tính 2.1.2 Định luật Newton thứ hai Định luật: Chuyển động chất điểm chịu tác dụng lực có tổng hợp G F ≠ chuyển động có gia tốc Gia tốc chuyển động chất điểm tỉ lệ với tổng G hợp lực F tỉ lệ nghịch với khối lượng chất điểm G G F a=K m (2-2) K hệ số tỉ lệ Trong hệ đơn vị SI: K = 1, đó: biểu thức định luật Newton thứ hai có dạng: G G F a= m (2-2’) 2.1.3 Phương trình học chất điểm Phương trình Newton: G G ma = F (2-3) gọi phương trình học chất điểm từ (2-3) ta suy (2-1) (2-2’): G G G F -Khi F ≠ a = m G G G -Khi F = a = suy v = const 16 2.1.4 Hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu chất điểm lập chuyển động thẳng 2.1.5 Lực tác dụng lên chuyển động cong Xét chất điểm M chuyển động đường cong (C) (hình 2-1) → G at Ft M (C) → an a G F G Fn Hình 2-1 Ta có: suy G G K a =at +an G G G G G G F = ma = Ft + Fn = ma t + ma n G G Ft = ma t lực tiếp tuyến (làm cho độ lớn véc tơ vận tốc thay đổi) G G Fn = ma n lực pháp tuyến (còn gọi lực hướng tâm, làm cho véc tơ vận tốc đổi hướng) Vậy: Để chất điểm chuyển động cong, điều kiện cần phải tác dụng lên lực hướng tâm có độ lớn bằng: v2 Fn = ma n = m R (2-4) 2.1.6 Định luật Newton thứ ba G Định luật: Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B lực F chất điểm B G G G tác dụng lên chất điểm A lực F' , hai lực F F' tồn đồng thời, phương ngược chiều độ lớn Nói cách khác: G G F + F' = (2-5) G G Chú ý: F + F' = tác dụng chúng khơng khử điểm đặt hai lực khác Tổng quát: Xét hệ chất điểm cô lập (khơng có ngoại lực tác dụng), hệ có nội lực tương tác chất điểm hệ Khi xét đơi chất điểm hệ tổng hai lực tương tác chúng khơng Nếu lấy tổng tất lực ta kết quả: 17 Tổng nội lực hệ chất điểm lập (hệ kín) 2.2 Các định lý động lượng Từ phương trình Newton, ta suy số phát biểu tương đương, định lý động lượng 2.2.1 Thiết lập định lý động lượng Theo định luật Newton thứ hai, chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng G G G lực F (hay nhiều lực có tổng hợp F ) chuyển động với gia tốc a cho bởi: hay m khơng đổi nên: G G ma = F G dv G m =F dt G d(mv) G =F dt G G K = mv gọi véc tơ động lượng chất điểm Vậy biểu thức viết lại: G dK G =F (2-6) dt Định lý 1: Đạo hàm động lượng chất điểm thời gian có giá trị lực (hay tổng lực) tác dụng lên chất điểm Từ (2-6) ta có: suy G G dK = Fdt (2-7) G G G G ΔK = K − K = ∫ Fdt t2 (2-8) t1 G F ∫ dt : xung lượng lực khoảng thời gian Δt t2 t1 Định lý 2: Độ biến thiên động lượng chất điểm khoảng thời gian có giá trị xung lượng lực (hay hợp lực) tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian G Nếu F = const (2-8) thành: hay G G ΔK = FΔt G ΔK G =F Δt (2-9) (2-10) Vậy: Độ biến thiên động lượng chất điểm đơn vị thời gian có giá trị lực tác dụng lên chất điểm Các định lý động lượng (2-6) (2-8) phát biểu tương đương phương trình Newton chương sau ta thấy, khỏi phạm vi học Newton, cơng thức (2-6) (2-8) Vì nói rằng: mặt định lý động lượng tổng quát định luật Newton 18 2.2.2 Ý nghĩa động lượng xung lượng - Ý nghĩa động lượng: Động lượng đặc trưng cho chuyển động mặt động lực học, đại lượng đặc trưng cho khả truyền chuyển động - Ý nghĩa xung lượng: Xung lượng lực khoảng thời gian Δt đặc trưng cho tác dụng lực khoảng thời gian 2.3 Định luật bảo toàn động lượng 2.3.1 Thiết lập Đối với hệ chất điểm chuyển động ta có định lý động lượng: G G G G d (m1v1 + m v + + m n v n ) = F dt G F tổng hợp lực tác dụng lên hệ G Nếu hệ lập ( F =0) thì: G G G d (m1 v1 + m v + + m n v n ) = dt G G G m1 v1 + m v + + m n v n = const nghĩa là: (2-11) Định luật: Tổng động lượng hệ cô lập đại lượng bảo toàn 2.3.2 Bảo toàn động lượng theo phương G G Trường hợp chất điểm khơng lập ( F ≠ 0) hình chiếu F lên phương ln khơng thì: (2-12) m1v1x + m2v2x +…+ mnvnx = const Hình chiếu tổng động lượng hệ lên phương x đại lượng bảo toàn 2.3.3 Ứng dụng Giải thích tượng súng giật lùi Giả sử có súng khối lượng M đặt giá nằm ngang, nòng có viên đạn khối lượng m Nếu bỏ qua ma sát tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ (trọng lực phản lực pháp tuyến giá) khơng: tổng động lượng hệ bảo toàn - Trước bắn: G K1 = G - Khi bắn đạn bay phía trước với vận tốc v , súng giật lùi phía sau với vận G tốc V Động lượng hệ sau bắn là: G G G K = mv + MV G G Theo định luật bảo toàn động lượng: K = K , suy ra: 19 G G mv + MV = G mG ⇒V=− v M Dấu “-” chứng tỏ súng chuyển động ngược chiều với đạn 2.4 Chuyển động tương đối, nguyên lý tương đối, lực quán tính 2.4.1 Không gian thời gian theo học cổ điển Xét hệ toạ độ: Oxyz đứng yên O'x'y'z' chuyển động so với hệ O (hình 2- 2) z' z M G r A O' O y G r' B x y' x' Hình 2-2 Ta giả thiết chuyển động hệ O' cho O'x' luôn trượt dọc theo trục Ox; O'y' song song chiều với Oy; O'z' song song chiều với Oz Trong hệ tọa độ ta dùng đồng hồ để đo thời gian Xét điểm M bất kỳ, hệ tọa độ O, tọa độ không gian thời gian M là: x, y, z, t ; hệ tọa độ O', tọa độ không gian thời gian M là: x', y', z', t' Theo quan điểm NiuTơn: a Thời gian đồng hồ hệ O O' nhau: t = t' (a) có nghĩa thời gian có tính tuyệt đối, khơng phụ thuộc vào hệ quy chiếu b Vị trí M khơng gian: theo hình 2-2 ta có: x = x' + OO ' ; y = y' ; z = z' (b) Như vậy: vị trí khơng gian có tính chất tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu Do chuyển động có tính tương đối phụ thuộc vào hệ quy chiếu c Khoảng cách điểm không gian đại lượng không phụ thuộc vào hệ quy chiếu Xét thước AB đặt dọc theo trục O'x' (hình 2-2) gắn liền với hệ O' Chiều dài thước đo hệ O' là: l0 = x'B - x'A Chiều dài thước đo hệ O là: l = xB - xA Nhưng theo (b): 20 x A = x A '+ OO ' x B = x B '+ OO ' Do đó: xB - xA = x'B - x'A , nghĩa l = l0 Nói cách khác: khồng khơng gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu Xét trường hợp riêng: chuyển động hệ O' thẳng với vận tốc V so với hệ O Nếu thời điểm t = 0, O trùng với O' thì: B OO' = Vt Theo (a) (b) ta suy ra: x = x' + Vt' , y = y' , z = z' , t = t' (2-13) ngược lại: x' = x - Vt , y' = y , z' = z , t' = t (2-14) (2-13) (2-14) gọi phép biến đổi Galileo, chúng cho ta cách chuyển tọa độ không, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O ngược lại 2.4.2 Tổng hợp vận tốc gia tốc Ta tìm cơng thức liên hệ vận tốc gia tốc chuyển động chất điểm M hệ tọa độ Oxyz O'x'y'z' khác Giả thiết hệ O'x'y'z' chuyển động tịnh tiến hệ Oxyz cho ta ln ln có: O'x'↑↑ Ox ; O'y'↑↑ Oy ;O'z'↑↑ Oz Đặt OM = r ; O' M = r ' , theo hình 2-2 ta có: OM = OO' + O' M G G r = r '+ OO' hay: Đạo hàm vế (c) thời gian t: G G d r d r ' d(OO' ) = + dt dt dt Từ (d) ta thấy: (c) (d) G dr G = v véc tơ vận tốc M hệ O; dt G dr' G = v ' véc tơ vận tốc M hệ O'; dt d( OO' ) G = V véc tơ vận tốc tịnh tiến hệ O'đối với hệ O; dt (d) thành: G G G v = v '+ V (2-15) 21 Vậy: Véc tơ vận tốc chất điểm hệ quy chiếu O tổng hợp véc tơ vận tốc chất điểm hệ quy chiếu O' chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu O véc tơ vận tốc tịnh tiến hệ quy chiếu O' hệ quy chiếu O Lấy đạo hàm (2-15) theo t ta được: hay: đó: G G G dv d v' d V = + dt dt dt G G G a = a '+ A (2-16) G dv G = a véc tơ gia tốc M hệ O; dt G d v' G = a ' véc tơ gia tốc M hệ O'; dt G G dV = A véc tơ gia tốc tịnh tiến hệ O' hệ O; dt Vậy: Véc tơ gia tốc chất điểm hệ quy chiếu O tổng hợp véc tơ gia tốc chất điểm hệ quy chiếu O' chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu O véc tơ gia tốc tịnh tiến hệ quy chiếu O' hệ quy chiếu O 2.4.3 Nguyên lý tương đối Galile Giả thiết hệ O hệ quy chiếu qn tính, phương trình chuyển động chất điểm M hệ O cho định luật Newton là: G G (*) ma = F G G a gia tốc chuyển động M hệ quy chiếu O, F tổng hợp lực tác dụng lên M G a ' gia tốc chuyển động M hệ quy chiếu O', theo (2-16) ta có: G G G a = a' + A G A gia tốc tịnh tiến hệ O' hệ O G G G Nếu hệ O' chuyển động thẳng hệ O A =0 a = a' Ta viết: G G m a' = F suy hệ O' hệ quy chiếu quán tính Vậy: Mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu quán tính Hay là: Các định luật Newton nghiệm hệ quy chiếu qn tính Có nghĩa là: Các phương trình động lực học hệ quy chiếu qn tính có dạng Nguyên lý tương đối Galilê phép biến đổi Galilê: G G Theo nguyên lý Galile, định luật Newton hệ O' có dạng: ma' = F giống phương trình biểu diễn định luật Newton hệ quy chiếu quán tính O 22 Vậy: Các phương trình học bất biến phép biến đổi Galile 2.4.4 Lực quán tính G Giả thiết hệ O' chuyển động tịnh tiến có gia tốc A hệ quy chiếu qn tính O Ta có: G G G a = a '+ A Nhân vế với khối lượng m chất điểm M: G G G m a = m a '+ m A Vì hệ O hệ qn tính nên định luật Newton nghiệm đúng: G G G G G ma = F ⇒ F = ma'+mA G G G m a' = F + ( − m A) hay: (**) ta thấy (**) khơng giống (*), có nghĩa là: khảo sát chuyển động chất điểm hệ O' tịnh tiến có gia tốc hệ qn tính O, lực tác dụng lên chất G G điểm phải kể thêm lực: Fqt = − m A (2-17) G G Fqt = − mA gọi lực quán tính Hệ quy chiếu O' hệ quy chiếu khơng qn tính Phương trình động lực học chất điểm hệ O' viết là: G G G ma' = F + Fqt (2-18) Lực quán tính lực ảo quan sát hệ quy chiếu khơng qn tính Lực qn tính ln ln phương ngược chiều với gia tốc chuyển động hệ quy chiếu khơng qn tính 2.5 Mơ men động lượng 2.5.1 Mô men véc tơ điểm G Cho véc tơ v = MA điểm O khơng gian (hình 2-3) G M G r O A d M Hình 2-3 G G Theo định nghĩa: Mô men v O véc tơ ký hiệu M/O (v) xác định bởi: G G G G M/O (v) = OM v = [r v] [ ] 23 G M/O (v) có: - Gốc trùng với O G - Phương vng góc với mặt phẳng (O, v ) - Chiều theo chiều quay thuận chiều quay từ OM đến MA - Độ lớn lần diện tích tam giác OMA G M/ v = d.MA Tính chất: G G a M/ O (v) = v = hay d = G G G G b M/ O (v1 + v ) = M/ (v1 ) + M/ (v ) G G M/ O (λ v) = λ M/ O (v) G G G G c Khi v1 + v = M/ (v1 ) + M/ (v ) = 2.5.2 Định lý mô men động lượng Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động quỹ đạo (C) tác dụng K lực F (hình 2-4) G L O G r G F G v M (C) Hình 2-4 Ta có: G G dK d(mv) G = =F dt dt G ⎡ G d(mv) ⎤ ⎡ G G ⎤ ⎢⎣ r dt ⎥⎦ = ⎣ r F ⎦ đó: G ⎡ G d(mv) ⎤ ⎡ d G G ⎤ ⎡ d G G ⎤ ⎢⎣ r dt ⎥⎦ = ⎢⎣ dt ( r mv) ⎥⎦ = ⎢⎣ dt ( r K) ⎥⎦ 24 ⎡d G G ⎤ ⎡G G ⎤ ⎢⎣ dt (r K) ⎥⎦ = ⎣ r F ⎦ Vậy: G G G ⎡⎣ r K ⎤⎦ = L : mô men động lượng chất điểm O G G G G ⎡ r F ⎤ = M/ (F) : mô men lực F O ⎣ ⎦ G G dL = M/ (F) (2-19) dt Định lý: Đạo hàm theo thời gian mô men động lượng O chất điểm chuyển động mô men O lực tác dụng lên chất điểm G G Hệ quả: Nếu F qua điểm O cố định M/ (F) = đó: G G dL = ⇒ L = const dt có nghĩa M ln chuyển động mặt phẳng cố định 2.5.3 Trường hợp chuyển động tròn Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động quỹ đạo tròn (O,R) (hình 2-5) G L G R O G v M Hình 2-5 Khi mơ men động lượng chất điểm có độ lớn: G L = OM.mv = Rmv = (mR ).ω Đặt mR2 = I (2-20) I gọi mơ men qn tính chất điểm O Dưới dạng véc tơ: G L = I.ω G G L = Iω (2-21) G G G Mặt khác: F = Fn + Ft G M/ (Fn ) = nên (2-20) có dạng: G G G dL d(Iω) = = M/ (Ft ) dt dt 25 (2-22) (2-23) Ví dụ 1: Một vật đặt mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang góc α=300 Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng k=0,2 Tìm gia tốc vật mặt phẳng nghiêng Lấy g=10m/s2 Giải Tác dụng lên vật có lực: G - Trọng lực P - Phản lực pháp tuyến N - Lực ma sát Fms G G Các lực có phương chiều hình 2-6 G N G f ms + G P α Hình 2-6 Gọi a gia tốc vật, phương trình chuyển động vật viết: G G G G P + N + Fms = ma (*) Chiếu (*) lên chiều dương chọn, ta được: Psinα – fms = ma Với fms = kN = kPcosα Suy a = g(sinα- kcosα) a = 10(0,5 − 0, ) = 3, 27( m / s ) Ví dụ 2: Một ơtơ khối lượng chuyển động đường Hệ số ma sát bánh ôtô mặt đường k =0,1 Tính lực kéo động ơtơ trường hợp: a Ơtơ chuyển động b Ôtô chuyển động nhanh dần với gia tốc 2m/s2 Cũng câu hỏi cho trường hợp: c Lên dốc có độ dốc 4% d Xuống dốc Lấy g=9,8m/s2 suốt trình chuyển động hệ số ma sát bánh ôtô mặt đường k =0,1 Giải Tác dụng lên ơtơ có lực: G - Lực kéo động ôtô F 26 G - Trọng lực P - Phản lực pháp tuyến N - Lực ma sát Fms G G Các lực có phương chiều hình 2-7 Gọi a gia tốc ơtơ, phương trình chuyển động ơtơ viết: G G G G G F+P + N + Fms = ma (a) Chiếu (a) lên chiều dương chọn, ta được: F – fms = ma Với fms = kN = kP (b) a Muốn ôtô chuyển động (a=0) từ (a) suy F = fms = kP Vậy F = 0,1.1000.9,8 = 980(N) G N G f ms + G F G P Hình 2-7 b Muốn ôtô chuyển động nhanh dần với gia tốc a =2m/s2 từ (a) suy F = fms+ma = ma+ kP Vậy F = 1000.2+ 0,1.1000.9,8 = 2980(N) c Trường hợp ơtơ lên dốc có độ dốc 4% (ôtô chuyển động đều) Tác dụng lên ôtô có lực trên, có phương chiều hình 2-8 (a) phương trình chuyển động ôtô + G N G F G P α G f ms Hình 2-8 Chiếu (a) lên chiều dương chọn, ta được: F- Psinα – fms = Với fms = kN = kPcosα Suy F = mg(sinα + kcosα) Chú ý độ dốc 4% tức sinα =0,04 Thay giá trị vào ta được: F = 1372N 27 d Trường hợp ơtơ xuống dốc có độ dốc 4% (ôtô chuyển động đều) Tác dụng lên ôtô có lực trên, có phương chiều hình 2-9 G N G f ms G F + G P α Hình 2-9 (a) phương trình chuyển động ơtơ Chiếu (a) lên chiều dương chọn, ta được: F+ Psinα – fms = Với fms = kN = kPcosα Suy F = mg(kcosα - sinα) Thay giá trị vào ta được: F = 588N Ví dụ 3: Một sợi dây vắt qua ròng rọc khối lượng khơng đáng kể Hai đầu buộc hai vật có khối lượng m1 m2 (m1> m2) Coi ma sát không đáng kể Xác định: a Gia tốc hai vật b Sức căng dây Giải G T2 Tác dụng lên m1 m2 có lực: - G Trọng lực P G - Lực căng dây T Các lực có phương chiều hình 2-10 a Gọi a gia tốc hệ, phương trình chuyển động hệ viết: đó: G G G G G P1 + T1 + P2 + T2 = (m + m )a G G T1 = −T2 (a) Chiếu (a) lên chiều dương chọn, ta được: P1 − P2 = (m1 + m )a Suy ra: a= (m1 − m ) g (m1 + m ) b Ta viết phương trình chuyển động cho vật m1: G G G P1 + T1 = m 1a (b) 28 G T1 + G P2 G P1 Hình 2-10 Chiếu (b) lên chiều dương chọn, ta được: P1 − T1 = m1a Suy T1 = 2m1 m g (m1 + m ) BÀI TẬP 2.1 Một xe có khối lượng 20 tấn, chuyển động tác dụng lực hãm có độ lớn 6000N, vận tốc ban đầu xe 15m/s Hỏi: a Gia tốc xe b Sau xe dừng lại c Đoạn đường xe chạy kể từ lúc hãm xe dừng hẳn Đáp số: a/ a = 0,3m/s2 b/ t = 50s c/ s = 375m 2.2 Một vật trượt xuống mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang góc α=450 Khi trượt quãng đường s=36,4cm, vật thu vận tốc v=2m/s Xác định hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng Đáp số: k = 0,22 2.3 Một xe có khối lượng chuyển động đoạn đường nằm ngang, hệ số ma sát bánh xe mặt đường 0,1 Tính lực kéo động trường hợp: a Xe chuyển động b Xe chuyển động nhanh dần với gia tốc 2m/s2 Đáp số: a/ Fk =1000N b/ Fk =3000N 2.4 Một vật A đặt mặt phẳng nằm A ngang Vật A nối với vật B sợi dây vắt B qua ròng rọc cố định (Hình 2-6) Khối lượng vật A Hình 2-6 200g, vật B 300g Khối lượng ròng rọc dây coi khơng đáng kể a Tính lực căng dây cho hệ số ma sát vật A mặt phẳng nằm ngang k=0,25 b Nếu thay đổi vị trí vật A vật B lực căng dây bao nhiêu? Đáp số: a/ T =1,5N b/ T =1,5N 2.5 Một vật có khối lượng m=500g buộc vào đầu sợi dây dài l=100cm Một người cầm đầu dây mà quay vật mặt phẳng thẳng đứng với tần số n=3 vòng/s Lấy g=10m/s2 a Tính lực căng dây vật qua vị trí cao thấp quỹ đạo 29 b Người quay dây nhanh dần lên dây đứt Hỏi dây bị đứt vị trí tần số vòng dây bị đứt bao nhiêu? Biết dây bị đứt lực căng 205N Đáp số: a/ T1 =172N; T2 =182N b/ n =3,18vòng/s 2.6 Một vật có khối lượng m=200g treo đầu sợi dây dài l=40cm, vật quay mặt phẳng nằm ngang với vận tốc không đổi cho sợi dây vạch mặt nón Giả sử dây tạo với phương thẳng đứng góc α=450 Tìm vận tốc vật lực căng dây Đáp số: ω =5,95rad/s; T =2,84N 2.7 Một người dùng dây kéo vật có trọng lượng P=50N trượt mặt sàn nằm ngang Dây nghiêng góc α=300 so với phương ngang Hệ số ma sát trượt vật mặt sàn k=0,3 Xác định độ lớn lực kéo Đáp số: Fk =14,78N 30