SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT THANH XNCẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN Câu ĐỀ OLYMPIC MƠN TỐN 10 NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Cho hàm số y x x 1 a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số 1 b) Tìm m để phương trình x x m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x1 1 x2 Câu a) Giải bất phương trình sau: x2 x x2 5x 2 2 x xy y x y b) Giải hệ phương trình sau: x y x y x2 4x m nghiệm x x2 2x Cho tam giác ABC ; đặt a BC , b AC , c AB Gọi M điểm tùy ý c) Tìm m để bất phương trình: 2 Câu ? a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA2 MB MC theo a, b, c b) Giả sử a cm, b cm, c cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A 2;1 , phương trình đường chéo BD là: x y 19 , 42 41 điểm I ; 13 13 a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Câu Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh a b c 3 2 b c c a a b 2 HẾT Câu HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Cho hàm số y x x 1 a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số 1 b)Tìm m để phương trình x x m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x1 1 x2 Lời giải a) Tập xác định: D Tọa độ đỉnh I 1;1 Hệ số a nên hàm số đồng biến khoảng 1; nghịch biến khoảng ;1 Bảng biến thiên: + Đồ thị: P có trục đối xứng đường thẳng x P qua điểm A 0; ; B 2; b) x x m x x m 1 Số nghiệm phương trình 1 số giao điểm P với đường thẳng d : y m , d đường thẳng ln song song trùng với Ox Dựa vào đồ thị P ta thấy phương trình 1 có nghiệm thỏa mãn x1 1 x2 m m 5 Câu a) Giải bất phương trình sau: x2 x x2 5x 2 x xy y x y b) Giải hệ phương trình sau: x y x y x2 4x m nghiệm x x2 2x Lời giải x 3 a) Điều kiện x x x + Ta thấy x 3 , x nghiệm bất phương trình cho x 3 x x , suy x x nên: + Khi x x 4 x2 x x 5x x x x c) Tìm m để bất phương trình: 2 ? 1 Suy trường hợp bất phương trình có tập nghiệm S2 ; 4 ; 2 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S ; 4 ; 3 2 2 x xy y x y b) 2 x y x y Ta có: x xy y x y y xy y xy x x y x y y x 1 x y x 1 y x 1 y 2 x y x y x 1 y 2x 1 Như thế: y x 2 2 x x x x 2 x xy y x y 2 x y x y y x x x 1 x x 1 x y x y 2 x x x y 2x 1 5 x x 13 y 13 Vậy hệ có nghiệm x; y là: 1;1 ; ; 5 c) Ta có x x x 1 , x Câu nên: 2 x2 4x m 2 x x x x m 3x x m (1) 2 3 2 x 2x 2 x x m (2) x x m 3x x Yêu cầu toán trở thành tìm m để bất phương trình (1), (2) nghiệm với x thuộc Ta thấy: 1 42 m m (1) với x thuộc 17 (2) với x thuộc 2 12 m m 17 Vậy m ; 2 Cho tam giác ABC ; đặt a BC , b AC , c AB Gọi M điểm tùy ý c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA2 MB MC theo a, b, c d) Giả sử a cm, b cm, c cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Lời giải a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 2 Ta có P MA2 MB2 MC MA MB MC MA2 MG GA MG 2MG.GA GA2 Với MB MG GB MG 2MG.GB GB 2 MC MG GC MG 2MG.GC GC MA MB MC 3MG GA2 GB2 GC 2 Khi P 3MG GA2 GB GC P MG MG M G 4 b2 c2 a 2b 2c a GA ma 9 4 a c2 b2 2a 2c b Mặt khác GB mb2 9 4 2 GC mc2 a b c 2a 2b c 9 4 Suy Pmin b) a b2 c2 * Ta có a cm, b cm, c cm Vì b a, b, c suy góc B tam giác ABC có số đo nhỏ Áp dụng định lí Cosin tam giác ABC , ta được: b a c 2ac cos B a c2 b2 62 cos B B 45 2ac 2 6 2 Vậy B 45 1 * Diện tích tam giác ABC : S ac sin B 6.2 2 Vậy S (đvdt) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A 2;1 , phương trình đường chéo BD là: x y 19 , 42 41 điểm I ; 13 13 c) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? d) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Lời giải a) B C I H A D BD : x y 19 có véc tơ pháp tuyến nBD 1;5 AH BD nên AH nhận véc tơ pháp tuyến BD : nBD 1;5 làm vec tơ phương Vậy AH qua A 2;1 có véc tơ phương u AH 1;5 nên phương trình tham số x t đường thẳng AH là: y 5t b) H AH BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: x t x t 32 43 y 5t H ; y 5t 13 13 x y 19 t 13 42 41 32 43 Vì I ; trung điểm BH với H ; nên tọa độ B 4;3 13 13 13 13 Có AD AB nên đường thẳng AD nhận véc tơ AB 2; làm véc tơ pháp tuyến Đường thẳng AD qua điểm A 2;1 có véc tơ pháp tuyến AB 2; nên có phương trình tổng quát là: x y 1 x y Lời giải a) B C H I A D BD : x y 19 có vtpt nBD 1;5 AH BD nên vtcp u AH vtpt nBD 1;5 qua A 2;1 x t Vậy AH : y t vtcp u 1;5 AH b) H AH BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: x t x t 32 43 y 5t H ; y 5t 13 13 x y 19 t 13 xB xI xH 42 41 32 43 B 4;3 Vì I ; trung điểm BH với H ; nên tọa độ B : 13 13 13 13 yB yI yH AB 2; Có AD AB nên vtpt nAD AB 2; qua A 2;1 x y 1 x y 3 Vậy AD : vtpt n 2;2 AD Câu Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh a b c 3 2 b c c a a b 2 Lời giải: Do a, b, c thỏa mãn a b c nên a, b, c 0;1 Ta có a b c 3 a b c 3 2 2 2 b c c a a b 1 a 1 b 1 c 2 Ta chứng minh Thật 3 a , a 0;1 (1) 1 a 3 a a a2 a a a (*) 1 a 27 3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương 2a , 1 a , 1 a ta có: 2a a a a a 3 2a a2 a2 27 a 1 a 1 a 27 27 Dấu “=” xảy 2a a a Vậy (*) Tương tự ta có: 3 b b , b 0;1 (2) Dấu “=” xảy b 1 b 3 c c c , c 0;1 (3) Dấu “=” xảy c 1 c Lấy (1), (2), (3) cộng theo vế ta có: Dấu “=” xảy a b c a b c 3 2 b c c a a b 2