Đề olympic môn toán 11 năm học 2018–2019 cụm trường THPT thanh xuân cầu giấy thường tín (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT THANH XNCẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN Câu ĐỀ OLYMPIC MƠN TỐN 11 NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Giải phương trình sau: 1)  sin x  cos x Câu Câu 2) 9sin x  6cos x  3sin 2x  cos 2x  1) Hoa có 11 bì thư tem thư khác Hoa cần gửi thư cho người bạn, người thư Hỏi Hoa có cách chọn bì thư tem thư, sau dán tem thư lên bì thư để gửi đi? 2) Một thi trắc nghiệm khách quan gồm câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án trả lời đúng, phương án sai Tính xác suất để học sinh làm thi trả lời câu hỏi? Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển Niutơn biểu thức   3x  biết n số n nguyên dương thỏa mãn hệ thức C21n1  C22n1   C2nn1  220 1 Câu Câu 1) Tính giới hạn sau lim x 1 x    x2 x 1 2) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh lập thành cấp số nhân Chứng minh tam giác có góc mà số đo không vượt 60 Cho tứ diện ABCD 1) Gọi E , F , G trọng tâm tam giác ABC , ACD, ABD a) Chứng minh  EFG  / /  BCD  b) Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích tam giác BCD 2) M điểm thuộc miền tam giác BCD Kẻ qua M đường thẳng d // AB a) Xác định giao điểm B  đường thẳng d mặt phẳng  ACD  b) Kẻ qua M đường thẳng song song với AC AD cắt mặt phẳng MB MC  MD     ABD  ,  ABC  theo thứ tự C , D Chứng minh rằng: AB AC AD c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  AB AC AD   MB MC  MD HẾT  Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay  Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………………… Số báo danh:………………………………………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Giải phương trình sau: 1)  sin x  cos x 2) 9sin x  6cos x  3sin 2x  cos 2x  Lời giải 1)  sin x  cos x  sin x  cos x  1    1  cos sin x  sin cos x   sin x  cos x   6 2 2    x     k 2  x  k      6  sin  x      sin        x  2  k   6      x      k 2   6 2) 9sin x  6cos x  3sin 2x  cos 2x    6cos x  3sin x    cos x  9sin x      6cos x  6sin x cos x   1  2sin x  9sin x  8   6cos x 1  sin x    2sin x  9sin x     6cos x 1  sin x    2sin x   sin x  1    sin x  1 6cos x  2sin x      sin x   x   k 2    6 cos x  2sin x  * Phương trình * vơ nghiệm có a  b  40  49  c Câu   k 2 1) Hoa có 11 bì thư tem thư khác Hoa cần gửi thư cho người bạn, người thư Hỏi Hoa có cách chọn bì thư tem thư, sau dán tem thư lên bì thư để gửi đi? 2) Một thi trắc nghiệm khách quan gồm câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án trả lời đúng, phương án sai Tính xác suất để học sinh làm thi trả lời câu hỏi? Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải 1) Chọn bì thư từ 11 bì thư có C cách 11 Chọn tem thư từ tem thư có C74 cách Dán tem thư bì thư vừa chọn có: 4! cách Gửi bì thư dán tem thư cho người bạn có: 4! Cách Vậy có tất cả: C114 C74 4!.4!  6652800 cách 2) Xác suất để học sinh trả lời câu , trả lời sai câu 4 45 1 3 Xác suất để học sinh trả lời đúng câu là: C53          1024     15 Xác suất để học sinh trả lời đúng câu là: C          1024 5 1 Xác suất để học sinh trả lời câu là: C      1024 45 15 61    Vậy xác suất để học sinh trả lời câu là: 1024 1024 1024 1024 n Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển Niutơn biểu thức   3x  biết n số 5 Câu nguyên dương thỏa mãn hệ thức C21n1  C22n1   C2nn1  220 1 Lời giải  1  C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1  220 Ta có: C C   C Lại có: C C  C22n1   C2nn1  C2nn11  C2nn21  C2nn31   C22nn11 n 1 n 1 2 n 1 n 1 Mặt khác: 1  1 n 1 n n 1 20  C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1  C2nn11  C2nn21  C2nn31   C22nn11  22 n 1  2.220  22 n 1  221  2n   21  n  10 10 Xét khai triển Niutơn   3x  , ta có:   3x   C100 210  C10  3x    C10  3x  10 10 10 10 10 Suy hệ số số hạng chứa x10 là: C10  59049 Câu 1) Tính giới hạn sau lim x 1 x    x2 x 1 2) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh lập thành cấp số nhân Chứng minh tam giác có góc mà số đo khơng vượt 60 Giải: 3 x    x2 x      x2 x7 2   x2  lim  lim  lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x  1 x  1 x 1  lim  lim x 1 x 1  x  1   x2  x  1   x    x      1 x 1     lim  lim 2 x 1  x    x   x1   x 12 12 1) Ta có lim   2) Giả sử độ dài ba cạnh tam giác ABC a, b, c  Khơng tính chất tổng qt giả sử  a  b  c Do ba cạnh lập thành cấp số nhân nên ta có b  ac Áp dụng định lý Cos tam giác ta có: b  a  c  2ac.cosB  a  c  2ac.cosB  ac a  c  ac a2  c2  cosB=  cosB=  2ac 2ac a2  c2 1    B  600 Mặt khác a  c  2ac a, c nên cosB= 2ac 2 Mà a  b  A  B  60 Vậy tam giác ABC có góc có số đo không vượt 60 Câu Cho tứ diện ABCD 1) Gọi E , F , G trọng tâm tam giác ABC , ACD, ABD a) Chứng minh  EFG  / /  BCD  b) Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích tam giác BCD Lời giải A G F E D B P N M C a) Gọi M , N , P trung điểm BC , CD, DB SE SF    EF / / MN SM SN Mà MN   BCD  nên EF / /  BCD 1 Theo tính chất trọng tâm ta có Chứng minh tương tự ta có EG / /  BCD   Từ 1   ta có  EFG  / /  BCD  (đpcm) EF SE EG    (Theo định lý Talet) MN SM MP EF EG sin GEF SEFG EF EG      3 (Do  EF ; EG    MN ; MP  ) SMNP MN MP sin NMP MN MP SMNP MN MP sin NMP MN MP Mặt khác      4 SBCD BD CD BD.CD sin BDC S Từ  3   ta có EFG  Vậy S EFG  S BCD SBCD b) Ta có 2) A C' D' B' F B D M G E C a) Trong mặt phẳng  BCD  BM  CD  E Trong mặt phẳng  ABE  Kẻ MB // AB  B  AE   d  MB  B  d  d   ACD   B   B  AE   ACD  b) Trong mặt phẳng  BCD  CM  BD  F  , DM  BC  G Trong mặt phẳng  ACF  Kẻ MC  // AC  C   AF  Trong mặt phẳng  ADG  Kẻ MD // AD  D  AG  Ta có: MB // AB  Tương tự MB ME SMCD   1 AB BE S BCD MC  SMBD MD SMBC    2 ;  3 AC S BCD AD S BCD Từ 1 ,   ,  3  MB MC MD SMCD  SMBD  SMBC    1 AB AC AD S BCD MB MC  MD MB.MC .MD    33 AB AC AD AB AC AD 27   MB.MC .MD AB AC AD c) Ta có AB AC AD AB AC AD 27 AB AC AD    33  33 3 MB MC  MD MB.MC .MD AB AC AD MB MC  MD ME MF MD        Dấu ''  '' xảy  AB AC AD BE CF DG  M trọng tâm BCD T ... C2nn 11  C2nn21  C2nn31   C22nn 11 n 1 n 1 2 n 1 n 1 Mặt khác: 1  1 n 1 n n 1 20  C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1  C2nn 11  C2nn21  C2nn31   C22nn 11 ... Chọn bì thư từ 11 bì thư có C cách 11 Chọn tem thư từ tem thư có C74 cách Dán tem thư bì thư vừa chọn có: 4! cách Gửi bì thư dán tem thư cho người bạn có: 4! Cách Vậy có tất cả: C114 C74 4!.4!... cos x  2sin x  * Phương trình * vơ nghiệm có a  b  40  49  c Câu   k 2 1) Hoa có 11 bì thư tem thư khác Hoa cần gửi thư cho người bạn, người thư Hỏi Hoa có cách chọn bì thư tem