SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA (Đề gồm 01 trang) ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2019 - 2020 Thời gian làm 180 phút Câu (4 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số y x3 x mx m cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm A, B, C Câu (6 điểm) a Giải phương trình: sin x cos x sin x.cos x sin x cos x x3 y x xy b Giải hệ phương trình: x x y Câu (4 điểm) Cho dãy số un Đặt S n 2020 u1 xác định , n * 2019 2u u 2u n 1 n n 1 Tính lim Sn u1 u2 un Câu (4 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh AB , AC cho mặt phẳng SMN vng góc với mặt phẳng ABC Đặt AM x, AN y a Chứng minh x y xy b Tìm x , y để SMN có diện tích bé nhất, lớn Câu (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P abc abc 3 ab bc ca 1 a 1 b 1 c - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Tìm m để đồ thị hàm số y x3 x mx m cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm A, B, C Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình x3 x mx m (1) có nghiệm phân biệt 1,0 x3 x mx m ( x 1)( x x m 2) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x x m (2) có hai nghiệm phân ' m biệt khác m (*) 1 m 1,0 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (2), suy tổng hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm A, B, C là: 1,5 y '(1) y '( x1 ) y '( x2 ) 3( x1 x2 ) x1 x2 6( x1 x2 ) 3m 3m Tổng HSG tiếp tuyến 3m m (t/m đk (*)) 0.5 ĐS: m Giải phương trình: sin x cos x sin x.cos x sin x cos x a 1,0 2cos x sin 2x 2cosx -1 s inx 2cosx -1 cos2x = sin 2x.cosx - sin2x 2cosx -1 sin x - sin2x 2cosx - 2 1,0 2cosx +1 2cosx -1 1 cosx = s inx + cosx 2sinx.cosx - = + (1) x + (2) x 2cosx -1 sin 2x - s inx +2 0.5 2 k 2 0.5 k x k 2 , Kết luận phương trình có họ nghiệm : ……… b x3 y x xy Giải hệ phương trình: x x y 2 x x x y Viết lại hệ: x x x y 2 1,0 Đặt u x x, v x y Dễ có: u 1 u.v Hệ trở thành: u v 2 0.5 u 1 Suy ra: v 1 0.5 x x 1 Ta có x y 1 0.5 x 1 y 0.5 Cho dãy số un 2020 u1 xác định bởi: , n * 2019 2u u 2u n 1 n n Đặt S n 1 Tính: lim Sn u1 u2 un Ta chứng minh un 1, n * (1) phương pháp qui nạp toán học Với n 1, u1 2020 (1) với n 2019 Giả sử (1) với n k (k 1) ta có uk 1 gtqn Ta phải chứng minh (1) với n k tức phải chứng minh uk 1 Thật uk 1 uk2 2uk u 2(uk 1) uk2 1 k uk 1 uk 1 2 2 Theo ngun lý qui nạp tốn học ta có un 1, n * Mặt khác un 1 un un2 un 0, n * dãy số un nên dãy số un dãy số tăng 1,0 Với k N*, ta có : 2uk 1 uk (uk 2) (u 2) uk 1 1 k uk (uk 2) uk 1 uk (uk 2) uk 1 uk uk uk 1 1,0 1 1 Sn uk uk uk 1 u1 un 1 Ta chứng minh dãy số un dãy số không bị chặn Giả sử phản chứng dãy số (un) bị chặn Do dãy số un dãy tăng (cmt) nên ta có dãy un tăng bị chặn dãy số un có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un a Vì un Nên ta có a Từ định nghĩa 2un 1 un2 2un Chuyển qua giới hạn ta có: 1,0 2a = a2 + 2a a = Mâu thuẫn với a ≥1 Vậy giả sử sai, suy dãy un không bị chặn un dãy tăng nên lim un lim 1 1 2019 lim S n lim ( ) un u1 un 1 u1 2020 1,0 S M B A O H N C Chứng minh x y xy Kẻ SO MN , O MN SMN ABC SO ABC a Do hình chóp S ABC hình chóp nên O tâm đương tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi H trung điểm BC Và O trọng tâm tam giác ABC 1,0 AB AC Ta có AB AC AH AM AN AH AM AN AO AM AN x y Vì M AB, N AC 1,0 x AM y AN xy AO Do M , N , O thẳng hàng nên x y xy (đpcm) 1 SO.MN SSMN nhỏ MN nhỏ SSMN SO.MN SSMN 2 lớn MN lớn S SMN 2 Ta có MN x y xy.cos600 x y xy x y xy xy xy 1,0 Từ giả thiết ta có x; y Từ (1) ta có xy x y xy xy x 1 y 1 xy x y xy xy xy 0.5 4 1 Đặt t = xy, t ; MN 9t 3t 9 2 4 1 Lập bảng biến thiên hàm số f t 9t 3t ; t ; ta 9 2 MN nhỏ t x y x x MN lớn t y y 1 0,5 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a b c Chứng minh rằng: abc abc 3 1 ab bc ca 1 a 1 b 1 c Đặt : P abc abc 3 ab bc ca 1 a 1 b 1 c 0.5 Áp dụng bất đẳng thức: x y z xy yz zx x, y, z 0.5 Với a, b, c ta có: ab bc ca 3abc a b c 9abc ab bc ca abc Ta có: 1 a 1 b 1 c abc a, b, c Thật vậy: 1 a 1 b 1 c a b c ab bc ca abc 3 abc 3 abc abc abc Khi đó: P Đặt: 3 abc abc abc abc abc t abc t , 0.5 abc t abc Vì a, b, c nên abc 1 t 1 Xét hàm số f (t ) f '(t) t2 t , t 0; 1 1 t t t 2t 2t t2 t2 t 2 (1 t ) (1 t ) 2 (1 t ) (1 t ) 0.5 (1 t )(1 t ) t2 2t 0, t (0;1] (1 t ) (1 t ) 2 Suy f (t ) đồng biến f (t ) (0;1] ta có f (t ) f (1) 1, t (0;1] abc abc 3 1 ab bc ca 1 a 1 b 1 c Dấu ‘=’ xảy a b c Vậy MaxP a b c Lưu ý: Học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa 0.5 ... x x 1 Ta có x y 1 0.5 x 1 y 0.5 Cho dãy số un 2020 u1 xác định bởi: , n * 2019 2u u 2u n 1 n n Đặt S n 1 Tính: lim Sn u1 u2 un ... un Ta chứng minh un 1, n * (1) phương pháp qui nạp toán học Với n 1, u1 2020 (1) với n 2019 Giả sử (1) với n k (k 1) ta có uk 1 gtqn Ta phải chứng minh (1) với n... dãy un không bị chặn un dãy tăng nên lim un lim 1 1 2019 lim S n lim ( ) un u1 un 1 u1 2020 1,0 S M B A O H N C Chứng minh x y xy Kẻ SO MN , O MN SMN