Lượng giác

Lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I. Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđAM = β với 02≤ β≤ π Đặt k2 ,k Zα=β+ π ∈Ta đònh nghóa: sin OKα= cos OHα= sintgcosαα=α với co s 0α≠coscot gsinαα=α với sin 0α≠II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trò ()o00 ()o306π ()o454π ()o603π ()o902π sinα 0 12 22 32 1 cosα 1 32 22 12 0 tgα 0 33 1 3 || cot gα || 3 1 33 0 III. Hệ thức cơ bản 22sin cos 1α+ α= 2211tgcos+α=α với ()kkZ2πα≠ + π ∈ 221tcotgsin+=α với ( )kkZα≠ π ∈ IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo) a. Đối nhau: và −α α( )sin sin−α = − α ( )cos cos−α = α ( ) ( )tg tg−α = − α ( ) ( )cot g cot g−α = − α b. Bù nhau: và α π−α( )()()()sin sincos costg tgcotg cot gπ−α = απ−α =− απ−α =− απ−α =− α c. Sai nhau : và π+ πα α( )()()()sin sincos costg t gcotg cot gπ+α =− απ+α =− απ+α = απ+α = α d. Phụ nhau: và α2π−α sin cos2cos sin2tg cot g2cotg tg2π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠ e.Sai nhau 2π: α và 2π+α sin cos2cos sin2tg cot g2cotg tg2π⎛⎞+α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞+α =− α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞+α =− α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞+α =− α⎜⎟⎝⎠ f. ()()()()()()+π=− ∈+π=− ∈+π= ∈+π=kksin x k 1 sinx,k Zcos x k 1 cosx,k Ztg x k tgx,k Zcotg x k cot gx V. Công thức cộng ( )()()sin a b sinacosb sin b cosacos a b cosacos b sinasin btga tgbtg a b1tgatgb±= ±±=±±=mm VI. Công thức nhân đôi ==−=− ==−−=22 2 222sin2a 2sin acosacos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 12tgatg2a1tgacotg a 1cotg2a2cotga− VII. Công thức nhân ba: 33sin3a 3sin a 4sin acos3a 4 cos a 3cosa=−=− VIII. Công thức hạ bậc: ()()2221sin a 1 cos2a21cos a 1 cos2a21cos2atg a1cos2a=−=+−=+ IX. Công thức chia đôi Đặt attg2= (với ak) 2≠π+ π 22222tsina1t1tcosa1t2ttga1t=+−=+=− X. Công thức biến đổi tổng thành tích ()()ab abcosa cosb 2cos cos22ab abcosa cosb 2sin sin22ab absina sinb 2cos sin22ab absina sin b 2cos sin22sin a btga tgbcosacosbsin b acotga cotgbsina.sin b+−+=+−−=−+−+=+−−=±±=±±= XI. Công thức biển đổi tích thành tổng () ()() ()()()1cosa.cosb cos a b cos a b21sina.sin b cos a b cos a b21sina.cosb sin a b sin a b2=⎡ + + −⎤⎣⎦−=⎡ +− −⎣⎦=⎡ + + −⎤⎣⎦⎤ Bài 1: Chứng minh 4466sin a cos a 1 2sin a cos a 1 3+−=+− Ta có: ( )244 22 22 2sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=−2 Và: ( )( )()66 224224442222 2222sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1sin a cos a sin acos a 11 2sinacosa sinacosa 13sin acos a+−= + − +=+ − −=− − −=−− Do đó: 44 2266 22sin a cos a 1 2sin acos a 2sin a cos a 1 3sin acos a 3+−−==+−− Bài 2: Rút gọn biểu thức ()221cosx1cosxA1sin x sin x⎡ ⎤−+==+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Tính giá trò A nếu 1cosx2=− và x2π< <π Ta có: 2221cosxsinx12cosxcosxAsin x sin x⎛⎞++−+=⎜⎟⎝⎠ ( )221 cosx1cosxA.sin x sin x−+⇔= ( )223321 cosx2sin x 2Asin x sin x sinx−⇔= = = (với sinx 0≠) Ta có: 2213sin x 1 cos x 144= −=−= Do: x2π<<π nên sin x 0>Vậy 3sin x2= Do đó 244Asin x 33===3 Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a. 4422A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +2 b. 2cotgxBtgx1 cotgx1+=+−−1 a. Ta có: 4422A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +2 ( ) ( ) ( )()242 22 242424A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos xA 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x⇔= −− +− + −⇔= −− + + − +−2 A2⇔= (không phụ thuộc x) b. Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx1≠ ≠ Ta có: 2cotgxBtgx1 cotgx11+=+−− 11221tgxtgxB1tgx1 tgx11tgx1tgx++⇔= + = +−−−− ( )21tgx1tgxB1tgx 1 tgx 1−−−⇔= = =−−− (không phụ thuộc vào x) Bài 4: Chứng minh ()222222221cosa1cosa cosbsinc1cotg bcotg ccotga12sina sin a sin bsin c⎡⎤−+−− +−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦− Ta có: * 222222cos b sin ccotg b.cot g csin b.sin c−− 22222cotg b1cotg bcotg csin c sin b=−− ( ) ( )22 222cot g b1 cotg c1cotg bcotg bcotg c=+−+−1=− (1) * ()221cosa1cosa12sina sin a⎡⎤−+−⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()221cosa1cosa12sina 1 cos a⎡⎤−+=−⎢⎥−⎢⎥⎣⎦ 1cosa 1cosa12sina 1 cosa+−⎡⎤=−⎢⎥+⎣⎦ 1cosa2cosa.cotga2sina 1 cosa+==+ (2) Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong. Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn. ABCΔ Tìm giá trò nhỏ nhất của PtgA.tgB.tgC= Ta có: AB C+=π−Nên: ( )tg A B tgC+=− tgA tgBtgC1 tgA.tgB+⇔=−− tgAtgBtgCtgA.tgB.tgC⇔+=−+ Vậy: PtgA.tgB.tgCtgAtgBtgC==++ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB, tgC ta được 3tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥ 3P3P⇔≥ 32P3P33⇔≥⇔≥ Dấu “=” xảy ra ==⎧π⎪⇔⇔=⎨π<<⎪⎩tgA tgB tgCABC30A,B,C2== Do đó: MinP 3 3 A B C3π= ⇔=== Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của a/ 84y2sinxcos2x=+ b/ 4ysinxcos=−x a/ Ta có : 441cos2xy2 cos2x2−⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠ Đặt với thì tcos2x= 1t1−≤ ≤()441y1t8=−+t => ()331y' 1 t 4t2=− − + Ta có : Ù () y' 0=331t 8t−=⇔ 1t 2t−=⇔ 1t3= Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; 11y32⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7 Do đó : ∈=xy3Max và ∈=x1yMin27 b/ Do điều kiện : sin và co nên miền xác đònh x 0≥ s x 0≥π⎡⎤=π+π⎢⎥⎣⎦Dk2, k22 với ∈ k Đặt tcos= xx với thì 0t1≤≤42 2tcosx1sin==−Nên 4sin x 1 t=− Vậy 84y1t=−−t trên [ ]D' 0,1= Thì ()−=−<−3748ty' 1 02. 1 t [)t0;1∀∈ Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :( )∈= =xDmax y y 0 1, ( )∈= =−xDmin y y 1 1 Bài 7: Cho hàm số 44ysinxcosx2msinxcos=+− x Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x Xét 44f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+−()()222 2fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − −2 ()21f x 1 sin 2x m sin 2x2=− − Đặt : với tsin2x=[ ]t1,∈− 1 y xác đònh ⇔ x∀()fx 0x R≥∀∈⇔ 211tmt02−−≥[ ]t1,1−∀∈ ⇔ ()2gt t 2mt 2 0=+ −≤[ ]t1,∀∈− 1t Do nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 2'm 20Δ= + >m∀Lúc đó t t1 t2 g(t) + 0 - 0 Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ 12t11≤ −< ≤ ⇔ ⇔ ()()1g 1 01g 1 0−≤⎧⎪⎨≤⎪⎩2m 1 02m 1 0−−≤⎧⎨−≤⎩⇔ 1m21m2−⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ⇔ 11m22−≤ ≤ Cách khác : gt ()2t 2mt 2 0=+ −≤[ ]t1,1−∀∈ { }[,]max ( ) max ( ), ( )tgt g g∈−⇔≤ ⇔−≤110110 { }max ), )mm⇔−−−+≤21210⇔ 1m21m2−⎧≥⎪⎪⎨ ⎪≤⎪⎩m⇔− ≤ ≤1122 Bài 8 : Chứng minh 4444357A sin sin sin sin16 16 16 16 2π πππ=+++3= Ta có : 7sin sin cos16 2 16 16πππ π⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠πππ⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠55sin cos cos16 2 16 16π3 Mặt khác : ( )244 22 22cos sin cos 2sin cosα+ α= α+ α − α αsin 2212sin cos= −αα 211sin22= −α Do đó : 444473A sin sin sin sin16 16 16 16π πππ=+++5 44 4433sin cos sin cos16 16 16 16ππ π⎛⎞⎛=+++⎜⎟⎜⎝⎠⎝π⎞⎟⎠ 22111sin 1sin28 2 8ππ⎛⎞⎛=− +−⎜⎟⎜⎝⎠⎝3⎞⎟⎠ 22132 sin sin28 8ππ⎛⎞=− +⎜⎟⎝⎠ 2212sincos28 8ππ⎛⎞=− +⎜⎟⎝⎠ π π=⎝⎠3do sin cos88⎛⎞⎜⎟ 13222=− = Bài 9 : Chứng minh :oooo16 sin 10 .sin 30 . sin 50 . sin 70 1= Ta có : ooAcos10 1Acos10 cos 10==o(16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o ⇔ ()ooo11oA 8sin20 cos40 .cos202cos10⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ ⇔ ()0oo1oA 4sin20 cos20 .cos40cos10= ⇔ ()ooo1A 2sin40 cos40cos10= ⇔ oooo1cos10A sin 80 1cos10 cos10=== Bài 10 : Cho ABCΔ. Chứng minh : A BBCCAtg tg tg tg tg tg 122 22 22+ += Ta có : A BC22+π2= − Vậy : A BCtg cot g22+= ⇔ A Btg tg122A BC1tg .tg tg22 2+=− ⇔ A BC Atg tg tg 1 tg tg222 2⎡⎤+=−⎢⎥⎣⎦B2 ⇔ A CBCABtg tg tg tg tg tg 122 22 22++ = Bài 11 : Chứng minh : ()πππ π++ +=84tg 2tg tg cotg *81632 32 Ta có : (*) ⇔ 8cotg tg 2tg 4tg32 32 16 8ππ π=−−−πMà : 22cos a sin a cos a sin acot ga tgasin a cos a sin a cos a−−=−= cos 2a2cotg2a1sin 2a2== Do đó : cot g tg 2tg 4tg 832 32 16 8π⎡⎢ππ π⎤−−−=⎥⎣⎦ (*) ⇔ 2cotg 2tg 4tg 816 16 8ππ π⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦ ⇔ =4cotg 4tg 8⇔ 88π π= −8cotg 8π⇔ = (hiển nhiên đúng) 4 Bài :12 : Chứng minh : 22 222cos x cos x cos x33ππ⎛⎞⎛⎞+++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 32= a/ 111 1cot gx cot g16x b/ sin 2x sin 4x sin 8x sin16x+++ =− a/ Ta có : 22 222cos x cos x cos x33ππ⎛⎞⎛+++−⎜⎟⎜⎝⎠⎝ ⎞⎟⎠()11 4141cos2x 1cos2x 1cos 2x22 323⎡π⎤⎡π⎤⎛⎞ ⎛⎞=+ ++ + ++ −⎜⎟ ⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠ ⎝⎠⎣⎦⎣⎦ 31 4 4cos 2x cos 2x cos 2x22 3 3⎡ ππ⎤⎛⎞⎛⎞=+ + + + −⎜⎟⎜⎟⎢ ⎥⎝⎠⎝⎠⎣ ⎦ 31 4cos2x 2cos2xcos22 3π⎡ ⎤=+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ 31 1cos2x 2cos2x22 2⎡ ⎤⎛⎞=+ + −⎜⎟⎢ ⎥⎝⎠⎣ ⎦ 3= 2b/ Ta có : cos a cos b sin b cos a sin a cos bcot ga cot gbsin a sin b sin a sin b−−=−= ()sin b asin a sin b−= Do đó : ( )()sin 2x x1cot gx cot g2x 1sin x sin 2x sin 2x−−= = ( )()sin 4x 2x1cot g2x cot g4x 2sin2xsin4x sin4x−−= = . 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I. Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđAM = β. OHα= sintgcosαα=α với co s 0α≠coscot gsinαα=α với sin 0α≠II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trò ()o00 ()o306π ()o454π