Giải pháp giúp học sinh pháp huy khả năng giải bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong kỳ thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT HUY KHẢ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG KỲ THI TH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT HUY KHẢ NĂNG

GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Lại Văn Dũng Chức vụ: Giáo viên

SKKN môn: Toán

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thác

nhiều chuyên đề về hàm số Trong SKKN này tôi xin chia sẻ : ‘‘Giải pháp giúp học sinh phát huy khả năng giải bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong

kỳ thi THPT Quốc gia ”.

Đây là một nội dung quan trọng, hay trong chương trình giải tích lớp 12 nên đã

có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học sinh saysưa nghiên cứu và học tập Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận và quy lạ vềquen đối với bài toán này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được chongười đọc Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết, làmcác em hiểu sâu hơn về bài toán và yêu thích chủ đề về tính đơn điệu của hàm sốtrong giải tích lớp 12

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọcnắm được cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, đồng thời giúp cho học sinhmột số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giảiquyết các bài toán, hình thành cho các em thói quen tìm tòi tích lũy và rèn luyện

tư duy sáng tạo, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chúng tôi tập trung nghiên cứu về định nghĩa sự đồng biến, nghịch biếncủa hàm số, nghiên cứu về cách tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và mối quan

hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi của đề tài, chúng tôi sử dụng kết hợp các phương phápnhư: phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp-đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải vàmột số phương pháp khác như phương pháp quy lạ về quen, sử dụng máy tính

để hổ trợ tìm đáp án trong câu hởi trắc nghiệm khách quan

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung số của giải tích

12 [1] Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận,liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới Các tiết dạybài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đếnkhó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tínhtích cực của học sinh Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắtnhững kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năngvận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lờigiải Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt Trong quá trình giảngdạy nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong giải tích lớp 12 củatrường THPT Nguyễn Xuân Nguyên, tôi thấy kỹ năng giải bài toán của học sinhcòn yếu, đặc biệt là những bài toán thiết lập mối liên hệ giữa tính đơn điệu của

hàm số y=f(x) và đồ thị y=f’(x), bài toán chứa tham số Do đó cần phải cho học

sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bàigiảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hìnhthành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹnăng làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất có thểđược trong kiểm tra, đánh giá và kỳ thi THPT Quốc gia

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số học sinh là nội dungkhông thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia Học sinh thường gặp khó khăn khigặp những bài toán chứa tham số hoặc những bài toán với yêu cầu đọc hiểu đồthị Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải bàitoán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai tháccác yếu đặc trưng của bài toán để tìm lời giải, học sinh phải được là quen với

việc đọc hiểu đồ thị Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về

quen, kỹ năng đọc hiểu đồ thị

Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán về sựđồng biến, nghịch biến của hàm số cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúphọc sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạocủa bản thân, tự tin giải quyết được những câu khó trong đề thi, chuẩn bị tốt cho

kỳ thi THPT Quốc gia

Vậy với đề tài này, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngàycàng vận dụng tốt các kiến thức để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bàitoán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số một cách chính xác và nhanh nhấtĐặc biệt là áp dụng những giải pháp để làm những câu hỏi dưới hình thức trắcnghiệm về tính đơn điệu của hàm số

2.3 Các biện pháp thực hiện

2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ [1]

a) Một số nhận xét từ định nghĩa về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

*) Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị đi lên từ trái sang phải trên

b) Mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm

*) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K

Nếu f’(x)  0 với x K và f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.

Nếu f’(x)0 với x K và f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K.

c)Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

*) Tìm tập xác định

*) Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm và những điểm mà đạo hàm khôngxác định

*) Lập bảng biến thiên

*) Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

d)Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x) và đồ thị hàm

Trong giải pháp này giáo viên cần ôn lại các bước tìm khoảng đồng biến, nghịchbiến của hàm số; giáo viên cần cho học sinh làm quen với nhiều loại hàm số;giáo viên cần xây dựng các ví dụ đa dạng, có ví dụ ở dạng tự luận, có ví dụ ởdạng trắc nghiệm để học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm

số và dấu của đạo hàm là một phần quan trọng trong nội dung này và trong kỳthi THPT Quốc gia

Ví dụ 1: Hàm số 2

1

x y



 D y2xcosxHD: Đáp án D

Trong 3 ví dụ trên, giáo viên ngoài việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quytắc xét tính đơn điệu của hàm số mà còn cho học sinh nắm vững định nghĩa hàm

số đồng biến, nghịch biến Đó là học sinh phải nhận thức được rằng hàm số

đồng biến, nghịch biến trên K thì phải xác định trên K và chỉ có khái niệm hàm

số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, không có khái niệm hàm số đồng biến,nghịch biến trên hợp các khoảng

Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x) có tập xác định là R và đạo hàm f’(x)=x(x-1)2(x+2).

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=g(x)=f(x2-2).

HD: g’(x)=2xf’(x2-2)=2x3(x2-2)(x2-3)2 Lập bảng xét dấu g’(x)

x    3  2 0 2 3  

y’ - 0 - 0 + 0 - 0 + 0 +

Vậy hàm số y=g(x) đồng biến trên các khoảng ( 2 ; 0 ) và ( 2 ;  )

hàm số y=g(x) nghịch biến trên các khoảng (  ;  2 ) và ( 0 ; 2 )

Trong ví dụ trên, giáo viên ngoài việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quy tắcxét tính đơn điệu của hàm số, cách xét dấu biểu thức mà còn cho học sinh nắmvững cách tính đạo hàm của hàm hợp

b) Giải pháp 2: Dựa vào đồ thị của hàm số để xác định tính đơn điệu[3].

Trong giải pháp này, giáo viên cần làm cho học sinh biết đọc hiểu đồ thị, biếtthiết lập được mối liên hệ giữa khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và đồthị của nó Từ đó học sinh sẽ hiểu sâu và nhận biết, vận dụng vào bài toán dễdàng hơn; học sinh sẽ có động lực nghiên cứu, đam mê và yêu thích nội dungnày

Ví dụ 5: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 1 Tìm khoảng đồng biến,

Ví dụ 7: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm

số f(x) trên đoạn [-2;3] biết f(3)+55f(1)=55f(0)+f(-2) y

số đi lên trên khoảng (  ;  1 ) và (  1 ; );

đồ thị đi xuống trên khoảng

Dựa vào đồ thị ở hình 3 của hàm số y=f(x) ta lập bảng

biến thiên của hàm số f(x) trên đoạn [-2;3]

Do f(3)>f(-2)>f(0) nên x Max2;3 f(x)f(3).

Trong 3 ví dụ này, học sinh phải nhận thức được đồ thị đi lên trên khoảng K thì ứng với hàm số đồng biến trên K và đồ thị đi xuống trên khoảng K thì ứng với hàm số nghịch biến trên K Ngoài ra thông qua ví dụ giúp học sinh nắm vững định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên K

c) Giải pháp 3: Khai thác từ đồ thị của hàm số y=f’(x)[5]

Thông qua giải pháp này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích,

quy lạ về quen, từ đồ thị hàm số y=f’(x) đã cho xác định được dấu của f’(x) và

thông qua đó xác định được khoảng đồng biế, nghịch biến Trong giải pháp này,giáo viên nên đưa ra các ví dụ từ mức độ đơn gian đến phức tạp để học sinh sẽnhận dạng được, hiểu sâu hơn, tự tin khi gặp bài toán tương tự

Ví dụ 8: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường

cong như hình 4 Mệnh đề nào dưới đây là đúng? y

A Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;1)

B Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;2)

C Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1) -2 O 2 x

D Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)

Ví dụ 9: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường

cong như hình 5, đặt g(x)=f(x)+4x Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-1;2)

B Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng ( ;2)

C Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2;+)

D Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;+)

HD: g’(x)=f’(x)+4

Từ đồ thị ở hình 5, ta lập được bảng xét dấu của g’(x)

- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trên đường thẳng

y=-4(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=-4 (g’(x)<0).

- Lập bảng xét dấu g’(x)

Ví dụ 10: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường

cong như hình 6, đặt g(x)=f(x+1)-2x Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0;3) 2

B Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng ( ;2)

C Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2;+)

D Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-1;+)

- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x+1) nằm phía trên đường thẳng

y=2(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=2 (g’(x)<0).

- Lập bảng xét dấu g’(x)

y

Ví dụ 11: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường

cong như hình 7, đặt g(x)=f(2-x) Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng

3 4

2 1

1 2

x

x x

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-1;3)

B Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (-1;1)

C Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-;1)

D Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;3)

- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=f’(x) và đường thẳng y=x-1 Các nghiệm là x=-1, x=1, x=3.

- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trên đường thẳng

y=x-1(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=x-1 (g’(x)<0).

- Lập bảng xét dấu g’(x)

Ví dụ 13: Cho hàm số f(x) xác định trên , liên tục trên đoạn [a;d] và có đồ thị

hàm số f’(x) là đường cong như hình 9 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên

đoạn [a;d] (a<b<c<d)

f d f a f b f dx

x f dx

Như vậy qua các ví dụ ở giải pháp 3, học sinh đã được rèn luyện kỹ năng lập

bảng biến thiên của hàm số khi biết đồ thị của hàm số y=f’(x) Qua đó học sinh

sẽ xác định được khoảng đồng biến, nghịch biến Đồng thời học sinh sẽ được

phát triển tư duy quy lạ về quen, tư duy biện chứng.

d) Giải pháp 4: Sử dụng bài toán chứa tham số để đào sâu kiến thức về tính đơn điệu của hàm số

Với giải pháp này, học sinh phải nắm được mối liên hệ giữa tính đơn điệu của

y

hàm số và dấu của đạo hàm Đồng thời hình thành và phát triển tư duy trừutượng, quy lạ về quen, kỹ năng phân tích khi giải quyết bài toán.

Ví dụ 14: Hàm số y=x3+3x2+(m-2)x+1 đồng biến trên R khi và chỉ khi giá trị m

x3+x2+(m+1)x+1 đồng biến trên khoảng (1;+) khi và

chỉ khi giá trị m thỏa mãn

x y





 sin 3

2 sin

đồng biến trên khoảng )

2

; 0 (  ?HD: Điều kiện

3

sinx  m Do x thuộc )

2

; 0 (  nên sinx thuộc (0;1) Vậy

2

; 0 ( , 0 ) sin 3

(

cos ) 6

x m

Vậy số giá trị m nguyên dương là 3

Như vậy, qua các ví dụ trong giải pháp 4 , học sinh phải nắm được điều kiện cần

và đủ để một hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng Đồng thời họcsinh cũng rèn luyện được kỹ năng khi giải toán

e) Giải pháp 5: Vận dụng kiến thức về tính đơn điệu của hàm số để giải quyết một số bài toán

Thông qua giải pháp này để tạo hứng thú cho học sinh, học sinh thấy được mốiliên hệ giữa tích phân và đời sống xã hội, học sinh cảm thấy không nhàm chánkhi học nội dung này Cũng qua đó rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích,tổng hợp, quy lạ về quen

Ví dụ 17: Chứng minh sinx<x với )

2

; 0 ( 



x nên f(x) đồng biến trên khoảng

2

; 0 (  )

Áp dụng định nghĩa hàm số đồng biến ta có f(x)>f(0), )

2

; 0 ( 



sinx<x với )

2

; 0 ( 

biến trên khoảng (0;+) phương trình log3t+2t=2 có nhiều nhất một nghiệm.

Mặt khác t=1 là nghiệm nên ta có duy nhất t=1.

Vậy bài toán quy về xét phương trình cos 3 x 3 cos 2 x m 1

Đáp án C

f) Giải pháp 6: Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số thông qua buổi thảo luận

Giáo viên tổ chức một vài buổi thảo luận trong đó giáo viên giao nhiệm vụ cho

từng nhóm chuẩn bị trước ở nhà, nên chia thành 5 nhóm và năng lực học tập ởcác nhóm là tương đương nhau

Nhóm 1: Giải quyết các bài toán vận dụng quy tắc tìm khoảng đồng biến, nghịch

biến

Nhóm 2: Giải quyết các bài toán dựa vào đồ thị hàm số để xác định khoảng

đồng biến, nghịch biến

Nhóm 3: Giải quyết các bài toán dựa vào đồ thị của hàm số y=f’(x) để xác định

khoảng đồng biến, nghịch biến

Nhóm 4: Giải quyết các bài toán có chứa tham số về sự đồng biến, nghịch biến Nhóm 5: Giải quyết các bài toán bằng cách vận dụng kiến thức về tính đơn điệu

của hàm số

Buổi thảo luận được tiến hành theo trình tự như sau:

- Đầu tiên một nhóm lên trình bày, phát kết quả của nhóm cho các nhóm khác

- Tiếp theo, các nhóm khác đưa ra câu hỏi đối với nhóm vừa trình bày, đếxuất cách giải của nhóm

- Giáo viên nhận xét và đưa ra kết luận cuối cùng, yêu cầu toàn bộ học sinhghi nhận

- Giáo viên có thể trao thưởng cho các nhóm hoàn thành tốt nhiệm vụ, có thểthưởng điểm cao hoặc những món quà ý nghĩa để khích lệ học sinh

- Giáo viên nhận xét từng học sinh trong sự chuẩn bị và tiếp thu kiến thức Buổi thảo luận tiếp theo thì yêu cấu của các nhóm được đổi cho nhau

2.3.3 Một số bài tập tham khảo

Câu 1: Hàm số y= x3-3x+3 đồng biến trên

A. R B. (-1;1) C. R\{-1;1} D. (-;-1) và (1;+)

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ?

A. y=x3-x2-10x+1 B. y=-x3+x2-10x+1

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên (0;+)

nghịch biến trên các khoảng xác định của nó khi m

A. m=-1 B. m=1 C. m=-2 D. m=-3

Câu 11: Hàm số y=

3

1

x3-x2-(m+1)x+1 đồng biến trên khoảng (3;+) khi và chỉ

khi giá trị m thỏa mãn

A. m 2 B. m>2 C. m2 D. m  2

Câu 12: Hàm số 2

1

x m y