Một số phương pháp xét chiều biến thiên của hàn số dành cho học sinh lớp 10

Mục lục Số tt Nội dung A Mở đầu Trang 2 I Lý chọn đề tài II Mục đích B Nội dung I Cơ sở lý luận Các giai đoạn của việc hình thành kỹ giải tập toán Các kỹ giải tập toán II kỹ thuật xét chiều biến thiên của hàm số Đa thức hoá 10 Dùng điểm rơi bất đẳng thức để tìm khoảng đơn điệu 11 Sử dụng phương pháp tiếp cận giới hạn đạo hàm 12 Một số tập tham khảo 12 13 Chú giải 13 14 Tài liệu tham khảo 13 15 C Kết luận 14 A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Toán học có vị trí cực kỳ quan trọng đời sống, các trường học vì nó có khả to lớn, góp phần thực hiện mục tiêu đào tạo người “làm chủ tri thức khoa học công nghệ hiện đại, có tư sáng tạo, có kỹ thực hành giỏi, có tác phong cơng nghiệp, có tính tở chức kỹ thuật Toán học trường trung học phổ thông còn môn học tương đối khó học sinh Để các em tiếp cận được với kiến thức thường phải thông qua các tập, các dạng tập cụ thể những nguồn để hình thành kiến thức cho học sinh Giải tập toán cũng giúp học sinh tìm kiếm những kiến thức kỹ Thông qua các tập toán, các dạng toán học sinh sẽ được hình thành củng cố kiến thức, kỹ giải toán, rèn luyện phát triển tư sáng tạo Do vai trò của toán học đời sống, khoa học công nghệ hiện đại, các kiến thức phương pháp toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả lĩnh vực Tuy nhiên với thời gian lớp không nhiều mà các em lại phải làm quen với nhiều dạng tập toán học khác thì vấn đề không đơn giản Là giáo viên hiện dạy toán trường trung học phổ thông thấy học sinh thường gặp những vấn đề sau: Không nắm được các dạng tập, chưa định hướng được cách giải, lúng túng trình bày lời giải, học xong quên các dạng tập Nhìn chung kỹ giải tập toán các em còn non yếu Trong chương trình toán lớp 10, phương pháp hàm số để giải các toán cực trị - toán chứa tham số…là công cụ hiệu quả Tuy nhiên, học sinh được biết tính biến thiên của vài hàm đa thức hoặc phân thức đơn giản: bậc nhất, bậc hai, … ; các toán liên quan đòi hỏi việc khảo sát số dạng hàm phức tạp mà công cụ đạo hàm lại vượt quá tầm tay của học sinh lớp 10 Vì khuôn khổ của đề tài mà sâu phần “một số phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số dành cho học sinh lớp 10” II.MỤC ĐÍCH : Toán học môn học phong phú đa dạng mà trình độ còn hạn chế, tuổi nghề còn nên tơi nghiên cứu với đề tài với mục đích đơn giản góp phần vào công tác giảng dạy học tập được tốt Giúp các em biết nhận dạng tập để làm tốt, nâng cao chất lượng dạy – học môn toán Qua số toán đặc trưng, với các kĩ thuật sơ cấp “biến khó thành dễ”, giúp học sinh dần hoàn thiện kiến thức hàm số tự tin vận dụng phương pháp hàm số B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Sự hình thành kỹ giải tập toán quá trình diễn suốt thời gian học tập toán học Quá trình gồm các giai đoạn sau Các giai đoạn của việc hình thành kỹ giải bài tập toán: - Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để giải tập toán Khi học sinh giải những tập sơ đẳng sẽ tạo nên những thao tác cần thiết để giải các toán đơn giản - Giai đoạn : Học sinh vận dụng kiến thức, thao tác đã có được để giải các toán bản - Giai đoạn : Học sinh vận dụng kiến thức, kỹ thao tác giải tập bản để giải các tập mức độ cao đó các phân hoá với sự đa dạng phức tạp Các kỹ giải bài tập toán Trong quá trình phát triển tri thức học sinh thì các kỹ cũng mở rộng phát triển theo II Kĩ thuật xét chiều biến thiên của hàm số Đa thức hoá: Bài toán [1] Tìm min, max của biểu thức: P = | 2a − b | + | a + b | a +b 2 ;(a + b > 0) Giải: Nếu a = 0, b ≠ : P = 2− Nếu a ≠ : P = b b + 1+ a a b 1+  ÷ a a Trong (−∞; −1) : P = 1− 2x 1+ x = = − x + 1+ x 1+ x 2t t − 2t + b a , với x = ∈ R , với t = − x ∈ (3; +∞) P= − +1 t2 t = 1 5u − 2u + , với u = ∈ (0; ) t Hàm số f (u ) = 5u − 2u + (0;1/3) có tập giá trị [4/5;1) Vậy < P ≤ 5, ∀x < −1 b Trong [ −1; 2] : P = + x2 Hàm số g ( x) = + x [ −1; 2] có tập giá trị [1;5] Vậy ≤ P ≤ 3, ∀x ∈ [ −1; 2] c Trong (2; +∞) : P = 2x −1 1+ x = 2t t + 2t + , với t = x − 1∈ (3; +∞) Thực hiện tương tự trường hợp a/ ta cũng có: < P < 2, ∀x > Tổng hợp các kết quả, ta có: MaxP = 3, b = 0, a ≠ MinP = , b = 2a Bài toán [ 2] Cho bất phương trình ( ẩn x ): mx − x − ≥ − x + x Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm Giải: 0 ≤ x ≤ 2 * mx + x − ≥ − x + x ⇔  (m + 1) x ≥ −3x + (1) 0 < x ≤  * x = không nghiệm của (1) với m, (1) ⇔  m ≥ x − x − 1 1  ≤t * Đặt t = , t ∈ [ ; +∞) ; (1) trở thành:  x  m ≥ 2t − 3t −  * Xét hàm số f (t ) = 2t − 3t − [ ; +∞) ; có tập giá trị [− 17 ; +∞) Kết luận: bất phương trình có nghiệm m ≥ − 17 * Nhận xét: Việc “sáng tác” toán dạng đơn giản, cần lưu ý đến vị trí tham số kết biến đổi cuối  x + y − xy = m Bài toán [ 3] Cho hệ phương trình :  2 x + y = m (1) Tìm m để hệ có nghiệm ( x; y ) thoả mãn: x < 1, y < Giải :  x + y − xy = m * Hệ (1) ⇔  ( x + y ) − xy = m S − P = m Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ :  S − 2P = m (2) ( x − 1)( y − 1) > P − S +1 > x < 1, y < ⇔  ⇔ x −1+ y −1 < S − < S − P = m  S − 2P = m  * Vậy yêu cầu của toán trở thành : Tìm m để hệ  S − P ≥ có nghiệm (S,P) P − S + >   S − < S − P = m P = S − m P = S − m     S − P = m S − 2( S − m ) = m S − S = m P = S − m        2  S − P ≥ ⇔  S − 4( S − m) ≥ ⇔  S − 4( S − S + S ) ≥ ⇔ 2 S − S = m P − S + > ( S − m ) − S + > S − 2S + >     0 ≤ S ≤ ; S ≠   S − <  S − <  S − < * Xét hàm số f ( S ) = 2S − S [0 ;4/3]\{1} ; suy kết quả : ≤ m < * Nhận xét : + Kỹ thuật toán phép biến tham số, đưa đa thức biến + Còn cách thể lời giải tương tự : đặt x = − X ; y = − Y với X > 0,Y > Dùng điểm rơi bất đẳng thức để tìm khoảng đơn điệu: Bài toán [ 4] Xét chiều biến thiên của hàm số: f ( x) = x − + x−2 Giải: * Tập xác định: D = (−∞; 2) ∪ (2; +∞) * Trong khoảng (2; +∞) : f ( x) = x − + + ≥ + = ,(bất đẳng thức Cô-si) x−2 f ( x ) = ⇔ x = Xét chiều biến thiên khoảng (2;3) (3; +∞) : f (b) − f (a ) = b−a b−a+ a−b (b − 2)( a − 2) < a < b < = 1− > b−a (b − 2)(a − 2) 2< a C : f đồng biến khoảng xác định Nếu A < < C : f nghịch biến khoảng xác định Nếu AC > : Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có f ( x) = A( x + D) + C + B − AD ≥ AC + B − AD ( f ( x ) ≤ −2 AC + B − AD x+D tuỳ theo A,C dương hay âm tuỳ theo x < -D hay x > -D)) dấu đẳng thức tại: x = − D ± C hai ”điểm rơi” để xét khoảng đơn điệu A Chú ý: nên cho tập dạng f(x) có AC < để học sinh làm quen trước với dạng hàm Bài toán [ 5] Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình x − (m + 3) x + 2m + ≥ (1) hệ quả của bất phương trình x − 3x ≤ (2) Giải: * (2) ⇔ ≤ x ≤  3 * (1) hệ quả của (2) khi: x − (m + 3) x + 2m + ≤ thoả ∀x ∈ 0;   2  3  3 ≥ m; ∀x ∈  0;  ⇔ x − x + ≤ m( x − 2); ∀x ∈  0;  ⇔ x − + x−2  2  2 * Áp dụng kết quả toán 3, ta có chiều biến thiên của f ( x) = x − + x−2  3 0;  f ( x ) = − Vậy m ≤ − Suy [min 0;3/ 2] kết quả của toán Bài toán [ 6] Xét chiều biến thiên của hàm số : f ( x) = x − x + + x + x + Giải : r r r r * Áp dụng bất đẳng thức : | a | + | b |≥| a + b | hay a + b + c + d ≥ (a + c)2 + (b + d )2 f ( x) = (1 − x ) + 12 + ( x + 1) + 2 ≥ 2 + 32 = 13 ; f ( x) = 13 ⇔ * 1− x 1 = >0⇔ x= 1+ x f (b) − f (a ) b+a−2 b+a+2 = + =A 2 b−a (1 − b) + + (1 − a) + (b + 1) + + ( a + 1) + Với a < b ≤ −1 : A < Với ≤ a < b : A > Với −1 < a < b < : < + a < 2(1 − a) & < + b < 2(1 − b) ; đặt x = − a, y = − b, z = + a, t = + b;0 < z < x, < t < y ⇒ A= z +t z +4+ t +4 Tương tự với − x+ y y + + x2 + < nên f nghịch biến (−∞;1/ 3) < a < b < , ta có A > nên f đồng biến (1/ 3; +∞) 3 Sử dụng phương pháp tiếp cận giới hạn và đạo hàm : Bài toán (Sử dụng lại toán 4) Xét chiều biến thiên của hàm số: f ( x) = x − + x−2 Giải: * Tập xác định: D = (−∞; 2) ∪ (2; +∞) Với a, b ∈ D : a < b < hoặc < a < b , xét * Khi cho b → a thì f (b) − f (a ) = 1− b−a (b − 2)(a − 2) f (b) − f (a ) → 1− b−a ( a − 2) Kết quả nhận được đạo hàm tại a của f, từ có thể dần hình thành khái niệm giới hạn đạo hàm, cũng quan hệ giữa chiều biến thiên dấu của đạo hàm cho học sinh chuyên toán Cho − a = 1 =0⇒ , ta cũng có được hai “điểm rơi” nói phương pháp (a − 2) a = Bài toán Xét chiều biến thiên của hàm số: f ( x) = x − + x −1 Giải: * Tập xác định: D = ( − ∞;1) ∪ (1;+∞) Với a, b ∈ D : a < b < hoặc < a < b , xét * Khi cho b → a thì f (b ) − f ( a ) = 1− b−a (b − 1)(a − 1) f (b ) − f ( a ) →1− b−a (a − 1) Kết quả nhận được đạo hàm tại a của f, từ có thể dần hình thành khái niệm giới hạn đạo hàm, cũng quan hệ giữa chiều biến thiên dấu của đạo hàm cho học sinh chuyên toán Cho − a = =0⇒ , ta cũng có được hai “điểm rơi” nói phương pháp (a − 1) a = Nhận xét: Bài toán tổng quát: f ( x) = Ax + B + C ; AC ≠ x+D Với − D < a < b a < b < − D : f (b) − f (a ) = b−a A(b − a ) + C ( a − b) C (b + D)(a + D ) = A− b−a (b + D )(a + D ) Nếu A > > C : f đồng biến khoảng xác định 10 Nếu A < < C : f nghịch biến khoảng xác định Nếu AC > : cho b → a f (b) − f (a ) C C → A− = ⇒ a = −D ± : ta có hai b−a ( a + D) A ”điểm rơi” để xét khoảng đơn điệu Bài toán [ 7] Xét chiều biến thiên của hàm số : f ( x) = x3 − 3x Giải : * Với a < b , xét A = f (b) − f ( a) = a + ab + b − 3(a + b) Cho b → a , ta có A → 3a − 6a b−a b a Ta có hai “điểm rơi” Biến đổi A = (a − 2)(a + ) + (b − 2)(b + ) * Nếu a < b < : A > Nếu < a < b : A > Nếu < a < b < : A < * Vậy f đồng biến các khoảng (−∞;0);(2; +∞) nghịch biến khoảng (0;2) Nhận xét: Việc “điểm rơi” khơng khó, quan trọng qua việc xét dấu biểu thức f (b) − f (a ) b−a củng cố cho học sinh kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức Có thể dùng bất đẳng thức Cơ – si để tìm điểm rơi: f ( x) = x − x = − x.x.(6 − x) ≥ −4 , ∀x ∈ (0;3) , dấu = tại x = 2 f ( x) = x − x = x (3 − x) ≤ 0, ∀x ∈ (0;3) , dấu = tại x = Tổng quát : f ( x) = ax3 + bx + cx + d , (a ≠ 0) 11 Theo phương pháp : Đặt x = t − b , biến đổi hàm số dạng 3a g (t ) = at + mt + n = t (at + m) + n Dùng bất đẳng thức Cô – si cho −2at , at + m, at + m a < 0, hoặc 2at , − at − m, − at − m a > Suy các điểm rơi t = ± −m b −m hay x = − ± ( tồn tại am < 0) 3a 3a 3a Một số tập tham khảo : BT1 Tìm m cho phương trình x − 3x − mx + 3x + = a có nghiệm b có nghiệm BT2 Tìm m cho bất phương trình ( − ( x − 1)(5 − x) ) (mx − x + 3) ≤ thoả với x thuộc tập xác định BT3 Xét chiều biến thiên hàm số f ( x) = x (1 + x + 1) Áp dụng, giải bất phương trình : x +1 + x x + + ( x +1) x + x + < BT4 Tìm a để phương trình sau có nghiệm : 1- x - 2a x + = a 1- x BT5 Tìm m để hàm số f ( x) = x − 3x + m nghịch biến (-1;1) 2x − x2 − x + m BT6 Tìm m để hàm số f ( x) = đồng biến (-2;1) x +1 Chú giải [1] : Trích từ báo toán học t̉i trẻ số 254 [ 2] : Trích từ toán nâng cao 10 của Phan Huy Khải [ 3] : Trích từ toán sơ cấp của Lê Đình Thịnh 12 x +3 + a [ 4] : Trích từ sách giáo khoa bản 12 của giáo dục [ 5] : Trích từ toán sơ cấp của Lê Đình Thịnh [ 6] : Trích từ đề thi tuyển sinh đại học năm 1996 của giáo dục [ 7] : Trích từ sách giáo khoa bản 12 của giáo dục Tài liệu tham khảo Báo toán học tuổi trẻ Toán nâng cao 10 (Phan Huy Khải) Toán sơ cấp (Lê Đình Thịnh) Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 1996 của giáo dục C KẾT LUẬN Phương pháp hàm số có hiệu ứng tốt nhiều toán đại số chương trình phổ thông, vấn đề tuỳ theo đối tượng học sinh cấp lớp mà giáo viên có thể vận dụng cách hiệu quả 13 Các phương pháp nêu có thể “ cầu kì”,” lằng nhằng” học sinh lớp 12, lại cũng thú vị học sinh lớp 10 chuyên toán mà người viết đã giảng dạy thể nghiệm Hầu hết học sinh đã nắm được các “ kĩ thuật” trên, biết vận dụng cách sáng tạo hiệu quả các toán đại số mà lời giải quá phức tạp biết dùng các phương pháp truyền thống, tuý đại số Đề tài đã được bản thân tơi các đờng nghiệp đơn vị thí điểm các em học sinh có học lực khá trở lên Kết quả thu được khả quan, các em học tập cách say mê hứng thú Một số em đã đạt được những thành tích tốt qua những đợt thi học sinh giỏi vừa qua Vì tác dụng tích cực việc bời dưỡng học sinh khá giỏi nên kính mong hội đờng khoa học q thầy cô góp ý bổ sung để đề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng quá trình dạy học trường THPT Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép người khác Xin chân thành cảm ơn! Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Người viết Lê Đình Hải 14 ... tầm tay của học sinh lớp 10 Vì khuôn khổ của đề tài mà sâu phần một số phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số dành cho học sinh lớp 10 II.MỤC ĐÍCH : Toán học môn học phong phú... giữa chiều biến thiên dấu của đạo hàm cho học sinh chuyên toán Cho − a = 1 =0⇒ , ta cũng có được hai “điểm rơi” nói phương pháp (a − 2) a = Bài toán Xét chiều biến thiên của hàm số: ... vai trò của toán học đời sống, khoa học công nghệ hiện đại, các kiến thức phương pháp toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có