Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 6 sửa những sai sót thường gặp khi áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng

I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trong nhà trường THCS, mơn Tốn giữ vai trò đặc biệt quan trọng Những tri thức kỹ toán học với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập môn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học đời sống thực tế Trong dạy học tốn việc tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với trình độ học sinh yếu tố quan trọng đòi hỏi giáo viên phải biết chọn lọc, phối hợp tốt phương pháp giảng dạy Việc lựa chọn ví dụ điển hình mang chất lý thuyết, hệ thống tập minh hoạ, áp dụng khắc sâu nâng cao cần thiết Bên cạnh việc trang bị cho học sinh kiến thức cần quan tâm đến việc kiểm tra đánh giá, phát khắc phục kịp thời sai sót học sinh Đặc biệt học sinh lớp em tiếp cận với thay đổi môi trường phương pháp học tập việc tạo niềm tin có biện pháp động viên, phát ân cần bảo uốn nắn kịp thời sai sót cho em giúp em rèn luyện kỹ làm toán tạo niềm đam mê yêu thích mơn học Trong qua trình giảng dạy việc rèn luyện cho học sinh biết sử dụng linh hoạt tính chất phép tốn cần thiết đặc biệt tính chất phân phối phép nhân phép cộng tính chất mà học sinh sử dụng nhiều nhiều dạng tập Để kết giảng dạy tốt đồng thời giúp học sinh tự tin vào thơng qua hướng dẫn giải tập giáo viên, giúp học sinh rèn luyện tính tích cực, trí thơng minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả phân tích phán đoán, khái quát học sinh đồng thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo làm tập, tránh sai sót có cách giải linh hoạt sáng tạo Là giáo viên phân cơng giảng dạy mơn tốn , kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm kết hợp với nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, tìm hiểu học sinh với mong muốn giúp học trò u thích mơn tốn, học tốt mơn tốn đạt điểm cao kì thi HSG cấp huyện mơn Tốn , tơi nghiên cứu viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp sửa sai sót thường gặp áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng vào giải toán” Mục đích của sáng kiến: Giúp học sinh đại tra hiểu kiến thức vận dụng kiến thức cách linh hoạt vào giải tập Giúp học sinh thi học sinh giỏi tiếp cận với nhiều dạng nhiều cách giải tốn để khơng thấy khó khăn gặp phải dạng tập Muốn thân, đồng nghiệp trường tham khảo để giảng dạy tốt tập dạng toán biến đôi làm xuất nhân tử chung Muốn cho học sinh học sinh Trung học sở có tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo có lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên đòi hỏi người giáo viên phải có phương pháp dạy học đạt hiệu cao dạy Và mong muốn học sinh học lên lớp 7,8 áp dụng thành thạo tính chất vào nhiều dạng tốn có sử dụng biến đổi biểu thức khơng thấy khó khăn Đới tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 6A1+ 6A2 trường THCS Lê Đình Chinh, Ngọc Lặc năm học 2018-2019 - Giúp học sinh nghiên cứu sở lý thuyết phương pháp giải tập dạng tốn có sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng sau mở rộng lên lớp 7,8,9 dạng tìm nhân tử khó 4.Phương pháp nghiên cứu: Đề tài viết dựa sở thực tế hướng dẫn học sinh giải toán sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng Từ tốn cụ thể phân tích, biến đổi tìm thừa số chung, tích tổng từ xây dựng tính chất phân phối phép nhân phép cộng - Nghiên cứu từ tài liệu sách tham khảo có liên quan - Thông qua tiết dạy trực tiếp lớp, tiết dạy phụ đạo, tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi - Hệ thống lý thuyết tiết dạy, chủ đề tính chất phân phối phép nhân phép cộng số tự nhiên , số nguyên , phân số , chốt lại vấn đề cần lưu ý, đưa ví dụ chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp -Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra đối chiếu kết học tập học sinh từ đầu năm học đến học kì II II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận KIến thức Hướng dẫn học sinh hiểu rõ chất tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo SGK): a ( b + c ) = ab + ac Liên hệ để học sinh thấy phép trừ tương tự: a ( b − c ) = ab − ac Mở rộng tính chất phân phối phép nhân phép cộng: a ( b + c − d ) = ab + ac − ad Khắc sâu cho học sinh cách biến đổi tính chất chất theo chiều ngược ab + ac = a ( b + c ) lại ab − ac = a ( b − c ) ab + ac − ad = a ( b + c − d ) Thực trạng vấn đề Mặc dù tính chất phân phối phép nhân phép cộng học sinh học từ Tiểu học, Nhưng việc vận dụng tính chất vào giải tốn nhiều lúng túng, tập nâng cao phải vận dụng tính chất để giải Bên cạnh lớp học trình độ học sinh không đồng Đồng thời em chưa có thói quen độc lập suy nghĩ, suy nghĩ sáng tạo Vì gặp tốn phải qua phép biến đổi áp dụng tính chất học sinh gặp khó khăn - Phần đơng em học sinh áp dụng kiến thức học cách máy móc, chưa xác, chưa có sáng tạo linh hoạt - Ý thức tự học, tự nghiên cứu chưa cao Đặc biệt số em sử dụng máy tính cầm tay cách tùy tiện khơng chịu suy nghĩ, áp dụng tính chất phép tốn để tìm cách giải thích hợp Một số tập nâng cao học sinh chưa nhanh nhạy phân tích để sử dụng tính chất làm số tập - Khi khảo sát lớp khác nhau, qua chấm thi thấy học sinh gặp nhiều sai sót q trình giải tốn Ví dụ tốn tính nhanh sau : 7.56 + 7.43 + 7   học sinh sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép công theo hai hướng sau: ( 56 + 43 + ) ( 56 + 43) + , với hướng biến đổi sai, hướng không nhanh, lí em chưa phân tích =7.1 để em áp dụng tính chất cách nhanh chóng xác Ngồi ra, q trình làm tập nâng cao có sử tính chất học sinh chưa nhanh chóng tìm thừa số chung thừa số chung biểu thức Kết khảo sát đầu năm: TSH Gioûi Khá Trung Yếu Kém Lớp S bình SL % SL % SL % SL % S % L 26, 15 39, 23, 10, 0 6A1 38 10 27, 11 30, 12 33, 19, 0 6A2 36 10 5 Vì tơi đưa số ví dụ số dạng toán sau mà em thường gặp q trình học tốn giúp em khơng sai sót lời giải Tính nhanh, tính hợp lí Các tốn so sánh mà khơng thực phép tính Các tốn tìm nghiệm ngun Các tốn lũy thừa Các toán phân số Từ thực trạng để nâng cao kết giảng dạy đồng thời giúp học sinh tránh sai sót biết cách trình bày lời giải tốn tơi thực theo giải pháp sau Giải pháp và tổ chức thực Từ tốn cụ thể phân tích, biến đổi tìm thừa số chung, tích tổng từ xây dựng tính chất phân phối phép nhân phép cộng Hướng dẫn vận dụng kiến thức giải tập một cách xác, nhanh ,ngắn giáo viên cần giúp học sinh định hướng kiến thức, phương pháp cần dùng để giải dạng toán cụ thể Để khắc sâu kiến thức giáo viên cần chọn tập mang tính chất mang tính phát triển kiến thức khía cạnh Qua giúp học sinh vừa nắm kiến thức vừa phát triển tư duy, sáng tạo linh hoạt làm tạo hứng thú u thích mơn học 3.1) Dạng 1: Tính nhẩm, tính nhanh : Đối với dạng toán phần lớn em có học lực từ trở lên việc thực đơn giản Tuy nhiên học sinh gặp tập nhiều em gặp khó khăn thường mắc sai sót Cụ thể: Khi yêu cầu em nhắc lại lý thuyết đa số em nêu tính chất viết dạng tổng quát Nhưng đến thực làm tập phần lớn em thực thiếu xác Ví dụ 1: Tính: a) ( 15 + 3) b) ( 11 − ) Bài làm phần lớn học sinh khảo sát: ( 15 + 3) = 8.15 + = 120 + = 123 Đối với câu a sai sót em nhân với số hạng thứ tổng mà bỏ qua không nhân với số hạng thứ tổng Còn câu b), qua khảo sát, thân phát có nhóm học sinh sai theo hai hướng bản: Nhóm 1: Thực sau: ( 11 − ) = 9.11 − = 99 − = 94 Nhóm 2: Thực sau: ( 11 − ) = 9.11 + = 99 + = 104 Đối với nhóm cách thực sai bỏ qua khơng nhân với Còn nhóm em nhầm lẫn dấu Vì q trình giảng dạy thân tơi hướng dẫn học sinh chỉnh sửa sai sót cách ôn tập lại kiến thức lý thuyết học, sử dụng làm số học sinh mắc sai sót để giáo viên nhẹ nhàng phân tích cụ thể, rõ điểm làm điểm sai lầm để lớp rút kinh nghiệm: Ví dụ 2: Tính nhanh 7.99 + Đối với tập đa phần học sinh làm theo hướng sau: Hướng 1: 7.99 + = ( 99 + ) = 7.99 = 693 Hướng 2: 7.99 + = ( 99 + ) = 7.106 = 742 Như tốn sai lầm học sinh mắc phải khơng phân tích = để từ ứng dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng mà sử dụng tính chất cách cảm tính dùng máy tính tính đáp số Cách khắc phục: Khi dạy học nhấn mạnh ý cho học sinh hiểu số a viết a = a Cụ thể vào tốn là: = Vậy lời giải sau: 7.99 + = 7.99 + 7.1 = ( 99 + 1) = 7.100 = 700 Sau học sinh làm song giáo viên yêu cầu học sinh làm tập sau: Tính nhanh: a) 63.64 + 63.14 + 63.22 b) 27.76 + 27 + 23 + 27 Ví dụ : Tính nhẩm ( + ) + 75 Lời giải học sinh: ( + 5) + 75 = + 5.5 + 75 = + 25 + 75 = + ( 25 + 75 ) = + 100 = 107 Sở dĩ học sinh mắc sai sót học sinh chưa hiểu rõ đồng a ( b + c ) với ( b + c ) a mà nhầm hiểu ( b + c ) a = b + c.a Vì dạy học cần làm rõ cho học sinh hiểu thực chất tính chất giao hốn phép nhân hiểu chất tính chất việc hướng dẫn cho học sinh làm tập sau: Bài Tính so sánh: 5.4 + 5.7 4.5 + 7.5 Bài Tính so sánh: ( + ) ( + ) Sau làm tập với hướng dẫn giáo viên đa phần học sinh hiểu rõ chất tự tin Ví dụ 4: Tính cách hợp lí: a 54.113 + 45.113 + 113 c 314.67 + 314.15 + 659.83 b 4.14.6 + 2.12.17 + 19.8 Nhận xét: +) Đối với câu a tập phần lớn học sinh giải sai theo hai hướng: Hướng 1: Chưa hiểu mở rộng tính chất a ( b + c ) = ab + ac ab + ac = a ( b + c ) sang ab + ac + ad = a ( b + c + d ) Học sinh thực hai tích đầu cộng với 113, cách tính khơng nhanh                    54 113 + 45 113 + 113                   = 113 ( 54 + 45 ) + 113                   = 113 99 + 113.1                    = 113 ( 99 + 1)                    = 113.100                   = 11300 Hướng 2: Học sinh hiểu khơng phân tích 113 = 113 nên áp dụng giải sau: 54 113 + 45 113 + 113                                     = 113 ( 54 + 45 + )  = 113 99 Biện pháp khắc phục: - Trang bị lý thuyết cho học sinh việc mở rộng tính chất a.(b + c) = a.b + a.c sang: a b + a c + a d = a (b + c + d) mở rộng tính chất cho tổng dạng nhiều hạng tử - Lưu ý học sinh ý lại tính chất a = a để học sinh áp dụng cho: 113 = 113 - Cũng cố cho học sinh toán: Cách thực tốn sau hay sai ;vì sao? - yêu cầu học sinh đọc quan sát số có liên quan tìm hướng nhanh a )    97 + 97.2 + 97.7 = 97 ( + + ) = 97.9 = 873 b)    23.42 + 23 + 57.23 = 23 ( 42 + + 57 ) = 23.100 = 230 +) Đối với câu b, toán học sinh sẻ lúng túng tìm thừa số chung em sẻ quan sát ba hạng tử tổng giáo viên hướng dẫn cho học sinh sử lí tốn với hai hạng thử đầu học sinh nhận làm sau: 341.67 + 341.16 + 659.13 = 341( 67 + 16 ) + 659.83 = 341.83 + 569.83 Nhưng làm đến nhiều học sinh tính tích cộng lại với nhau, cách tính khơng nhanh Đến giáo viên yêu cầu học sinh quan sát tiếp tổng tích lại có nhân tử chung, học sinh phát vấn đề tiếp tục làm sau: = 83 ( 341 + 659 ) = 83.1000 = 83000 Bài tập muốn nói em cần tư lơ gic có liên tục khơng tính nhanh dừng lại để củng cố dạng tập cho học sinh làm tập sau: Tính hợp lí: 42.53 + 47.156 − 47.114 +) Ở câu c toán thuộc diện nâng cao, đa phần học sinh lúng túng việc điền thừa số thích hợp để áp dụng cho tính chất học Biện pháp khắc phục: Khi giảng dạy cho học sinh quan sát đề bài, dẫn dắt để học sinh tìm thừa số chung tập việc phân tích hạng tử tổng: 14 = 14 = 24 14                                  2 12 17 = 24 17   19 = 19 = 24 19 Qua học sinh phát thừa số chung 24 áp dụng tính chất để giải Lời giải cho tập là: a )   54.113 + 45.113 + 113                                   = 113 ( 54 + 45 + 1)  = 113.100 = 11300 b) 341.67 + 341.16 + 659.13 = 341( 67 + 16 ) + 659.83 = 341.83 + 569.83 = 83 ( 341 + 659 ) = 83.1000 = 83000 c)   4.14.6 + 2.12.17+3.19.8                  =                  =                  =                  = = 24.14 +24.17 +24.19                   24 ( 14 + 17 + 19 ) 24.50 24.100 : 1200 Tuy nhiên sau cho học sinh làm song cần cho học sinh phát nhanh vấn đề tập sau: Tính nhanh: 4.9.15 + 12.3.77 + 72.4 Ở tập số học sinh mắc khơng phân tích số hạng thứ 72.4, giáo viên hướng dẫn sau : Ở hai số hạng đầu ta có 36 thừ số chung tích 72.4 có phân tích thành tích chứa 36 khơng? Khi học sinh sẻ tự giải vấn đề Trong q trình làm có ban đầu người ta chưa cho thừa số chung qua phép biến đổi ta tìm thừ số chung Để dạng toán em cần có tư duy, quan sát phân tích nhanh chóng nhận thừa số chung Ví dụ 5: (Bài tập 37-SGK) Áp dụng tính chất a(b – c) = ab – ac để tính nhẩm a, 46 99 b, 35 98 Đối với toán đa phần sai sót học sinh mắc phải tự đặt phép nhân để tính khơng biết cách để tính: 99 = 100 – 98 = 100 – để áp dụng tính chất Vì giảng dạy cần lưu ý định hướng để học sinh khơng đặt phép tính khơng dùng máy tính để tính đáp số mà cần phân tích hướng em đến việc áp dụng tính chất a (b – c) = a.b – a.c thông qua việc gợi ý để học sinh tách thừa giống Lời giải: a, 46 99 = 46 (100 – 1) = 46 100 – 46 = 4600 – 46 = 4554 b, 35 98 = 35 (100 – 2) = 35 100 – 35 = 3430  34 ( 15 –10 ) – 15 ( 34 –10 ) Ví dụ 6: Tính hợp lí: Với em sai phép biến đổi, sai dấu phép biến đổi dạy cho học sinh phải dạy dạy lại nhiều lần học sinh khơng vấp phải sai sót sau làm tương tự Nhận xét số hạng biểu thức có mối liên quan đến sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng ta đơn giản biểu thức Lời giải cụ thể sau: 34.(15 –10) – 15.(34 –10) = 34.15 - 34.10 - 15.34 + 15.10 = (34.15 – 15.34) – (34.10 – 15.10) = -10.(34 - 15) = -10.19 = - 190 Trong nhiều toán ta phải đổi dấu để làm xuất thừa số chung Ví dụ 7: Tính hợp lí: ( −23) 36 + 23 ( −63) + ( −23) Nhận xét học sinh dẽ nhận cách xuất nhân tử chung -23 cách đổi hai thừa số tích tích khơng đổi Ta có lời giải cụ thể sau: ( −23) 36 + 23 ( −63) + ( −23) = −23.36 + ( −23) 63 + ( −23) = ( −23) ( 36 + 63 + 1) = −23.100 = −2300 3.2) Dạng 2: Các bài toán về so sánh Ví dụ 1: (BT: 60 - SBT Toán Tập 1, Tr10) So sánh a b mà khơng tính cụ thể giá trị chúng a = 2002 2002; b = 2000 2004 Nhận xét: Đối với toán kiểm tra tập làm nhà học sinh, phát em chủ yếu đặt phép nhân dùng máy tính để tính đáp số so sánh mà khơng để ý đến yêu cầu cụ thể đề Vì tiết luyện tập tơi phân tích, hướng dẫn cho học sinh áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng để làm xuất tích chung so sánh: Lời giải sơ lược: a = 2002 (2000 + 2) = 2002 2000 + 4004 b = 2000 (2002 + 2) = 2000 2002 + 4000 4004 > 4000 nên a > b ví dụ 2: So sánh: A = 74 147 – 73 B = 73 147 + 74 Thực tập dạng với ví dụ nên học sinh làm dễ dàng nhiên giáo viên cần phân tích cụ thể để học sinh khơng mắc sai sót Lời giải sơ lược : A = ( 73 + 1).147 – 73 A = 73 147 + 147 – 73 A = 73 147 - 74 = B Giáo viên nhắc thêm học sinh biến đổi B A yêu cầu học sinh thực Sau để củng cố khắc phục hạn chế cho học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh làm thêm tập sau: (BT: 30 – Sách tập nâng cao số chuyên đề Toán Bùi Văn Tuyên, Tr12) So sánh A B mà khơng tính cụ thể giá trị chúng a) A = 200 200; B = 199.201 b) A = 35.53 - 18 B = 35 + 53.34 ví dụ 3: So sánh: A = 1995 1995 v B = 1991 1999 Để làm tập giáo viên hướng dẫn học sinh tách theo hướng ví dụ sau áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng so sánh A với B đưa kết luận: Cụ thể giáo viên hướng dẫn tách: 1995 = 1991 + 1999 = 1995 + tách 1995 = 1999 – 1991 = 1995 – Lời giải sơ lược: Cách 1: Ta c ó A = 1995 ( 1991 + 4) = 1995.1991 + 4.1995 B = 1991 (1995 + 4) = 1991.1995 + 1991 V ì 1995 > 1991 nên 4.1995 > 4.1991 Suy A > B Cách 2: Ta có: A = 1995 ( 1999 – 4) = 1995.1999 – 1995 B = ( 1995 – 4) 1999 = 1995 1999 - 1999.4 V ì 1995 < 1999 nên 1995.4 < 1999.4 Suy A > B Ở giáo viên lưu ý thêm học sinh tính chất a > b m - a< m - b với a,b,m số tự nhiên Ví dụ 4: (Bài tập 6.7* sách tập toán T17) So sánh: A = 1718 + 1717 + B = 1719 + 1718 + Nhận xét: ta có A = A= a a a+m 1718 + < ta sử dụng tính chất < < 19 b b b+m 17 + 1718 + ta phải cộng tử mẫu với số để có 17 thừa số 1719 + chung Hướng dẫn cụ thể sau: 1718 + < suy 1719 + 17 1718 + 1718 + + 16 1718 + 17 17 ( 17 + 1) 1717 + A = 19 < = = = =B 17 + 1719 + + 16 1719 + 17 17 ( 1718 + 1) 1718 + Cách 1: Ta có: A = Vậy A < B Cách 2: Ta nhận thấy tử có lũy thừa 17 mẫu có lũy thừa 18 , 18 17 ta biến đổi nhân biểu thức A với 10 ta làm cho tử xuất biểu thức mẫu sau ta chuyển biểu thức phần nguyên cộng với phần phân sau ta so sánh phần phân số: Hướng dẫn cụ thể sau: A= 17 ( 1718 + 1) 1719 + 17 1718 + 16 ⇒ 17 A = = 19 = + 19 19 19 17 + 17 + 17 + 17 + 17 ( 1717 + 1) 1718 + 17 1717 + 16 B = 18 ⇒ 17 B = = 18 = + 18 18 17 + 17 + 17 + 17 + 16 16 Ta có 19 < 18 nên 17 A < 17 B Hay A < B 17 + 17 + Sau học sinh làm song cho học sinh làm tập tương tự sau: 9899 + 9898 + So sánh: C = 89 D = 88 98 + 98 + 3.3) Dạng 3: Dạng toán tìm nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên biết: x ( y − ) + ( y − ) = −55 Nhận xét : tồn tìm giá trị ngun ta phải biến đổi đẳng thức vế chứa tích, vế chưa số , biến đổi tích thừa số chung số mà biểu thức nên giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi tìm biểu thức chung tốn học sinh nhận thừa số chung Lời giải cụ thể sau: Ta có: x ( y − ) + ( y − ) = −55 ⇔ ( y − ) ( x + 1) = −55 Vì x, y số nguyên nên y − x + số nguyên suy y − x + ươc −55 ∈ { ±1; ±5; ±11; ±55} mà y − chia cho dư nên y − ∈ { 1; −11;55} ta có bảng sau: 2x +1 -55 -1 3y − -11 55 x -28 -1 y -1 -3 29 Vậy cặp số nguyên x, y là: ( −28; −1) ( 2; −3) ; ( −1; 29 ) 10 Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Ngọc Lặc năm học 2018-2019) Tìm số tự nhiên x,y biết: 2xy - 5x + 2y = 148 Đối với khó nhiều so với ví dụ 1, ta phải biến đổi vế tích biểu thức chứa x,y vế số biết, nhiên để biến đổi vấn đề, học sinh phải biết phân tích nhận xét, tìm nhân tử chung Cụ thể xét hai số hạng 2xy - 5x có nhân tử chung x ta biến đổi sau: 2xy - 5x = x (2y - 5) lại số hạng 2y muốn xuất nhân tử chung (2y - 5) ta phải biến đổi xuất nhân tử 2y -5 Lời giải cụ thể sau: 2xy - 5x + 2y = 148 ⇔ (2xy - 5x) + 2y = 148 ⇔ x(2y - 5) + (2y – 5) = 148 – ⇔ (2y-5)(x + 1) = 143 Vì x, y số tự nhiên, nên 2x-5 x + số tự nhiên mà tích chúng 143 nên hai số ước 143 ∈ { 13;1;11;143} ta có bảng sau: x +1 11 13 143 2y - 143 13 11 y 74 x 10 12 142 Vậy cặp số nguyên x, y là: ( 0;74 ) ( 10;9 ) ; ( 12;8 ) ( 142;3) n2 + Ví dụ 3: Tìm số nguyên n để A = số nguyên n+3 Nhận xét: phân số số nguyên tử phải chia hết cho mẫu ta phải biến đổi biểu thức A dạng tổn phần nguyên phân phân với phân phân số chứa số nguyên tử ta phải phân tích A dạng biểu thức chứa thừa số mẫu mà lớp biến đổi dạng n − 9Mn + ta phải chọn phương pháp n ( n + 3) Mn + Lời giải cụ thể sau: n + n + 3n − 3n − + + = n+3 n+3 n ( n + 3) − ( n + 3) + 13 13 = = n −3+ n+3 n+3 13 A nguyên nguyên ⇔ 13Mn + hay n+3 A= n + ∈ U ( 13) = { 1;13; −1; −13} n ∈ { −2;10; −4; −16} 3.4) Dạng 4: Một số bài toán liên quan đến luỹ thừa Ví dụ 1: Thu gọn tổng sau: A = + + 32 + 33 + + 3100 11 Nhận xét: Đối với toán chưa hướng dẫn lần học sinh vơ lúng túng chí khơng có hướng Hướng dẫn : Ta nhân biểu thức A với có nghĩa ta nhân với hạng tử biểu thứa A hạng tử biểu thức A tăng lên lần hay 31 lần sau ta lấy 3A- A Lời giải cụ thể sau: A = + + 32 + 33 + + 3100 ⇔ A = 3.1 + 3.3 + 3.32 + 3.33 + + 3.3100 = + 32 + 33 + + 3100 + 3101 100 101 100 Ta có A − A = ( + + + + + ) − ( + + + + + ) A = 3101 − ⇔ A = 3101 − Để củng cố tập giáo viên cho học sinh làm tập sau: B = + − 32 + 33 − 34 + + 319 − 320 Đối với giáo viên cần lưu ý học sinh để biểu thức thu gọn ta tính 3B + B ta nhón tổng số đố Ví dụ 2: : (Bài tập 210 – Trang 27 - SBT Tốn ) Tổng sau có chia hết cho không ? A = + 22 + 23 + + 210 Nhận xét: Đối với tập hạn chế kiến thức liên quan đến luỹ thừa học sinh hạn chế lớn việc tư để nhóm hạng tử sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng học để tìm lời giải Thậm chí giáo viên hướng dẫn em dè dặt việc áp dụng tính chất nhiều lần tốn Để khắc phục hạn chế tơi dẫn dắt, hướng dẫn em việc nhóm hạng tử phù hợp xuất nhân tử chia hết cho 3, từ vận dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng để giải lưu ý cho em nhiều tập cần thiết phải sử dụng tính chất nhiều lần để đưa đến đáp số nhiên với toán thuộc toán nâng cao giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhóm số hạng thành tổng phải tính số hạng tổng cói số số hạng tổng có chia hết cho số số hạng nhóm khơng Lời giải sơ lược : = ( + ) + 23 ( + ) + 25 ( + ) + ( + ) + 29 ( + ) = 2.3 + 23.3 + + 29.3 = ( + 23 + + 29 ) M3 Vậy A chia hết cho Tiếp theo để củng cố khắc sâu kiến thức cho học sinh yêu cầu làm thêm ví dụ sau: Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a ,   S = + 52 + 53 + … + 599 + 5100 S có chia hết cho 6, chia hết cho 31 khơng ? 12 b, ( 16 + ) chia hết cho 33 c ,  3n+  − 2n + 2  + 3n   − 2n     chia hết cho 10 ( với n ∈ N* ) * Lời giải sơ lược: a, Nhận xét tổng S có 100 số hạng , ta biến đổi S sau: 15 +) Chứng minh S chia hết cho S = ( + ) + 53 ( + ) + 599 ( + ) S = ( + 53 + + 599 ) M6 +) Chứng minh S chia hết cho 31 Ta nhận thấy 31 = + + 25 ta phải nhón số hạng mà 100 chia cho dư nhóm thừa số hạng ta phải chọn số hạng để nhìn biết có chia hết cho 31 hay khơng, thường em làm để lại số hạng cuối , khơng xem xét 100 có chia hết cho hay khơng nên dẫn đến sai sót Nếu để lại số cuối 5100 phải chứng minh số chia hết cho 31 hay không mà chứng minh khó nhiều, giáo viên cần hướng dẫn cho hs chọn số hạng nhỏ nhìn vào biết có chia hết cho 31 hay không: Lời giải sau: + 52 + 53 + 54 + + 599 + 5100 = + ( 52 + 53 + 54 ) + + ( 598 + 599 + 5100 ) = + 52 ( + + 52 ) + + 598 ( + + 52 ) = + 52.31 + 55.31 + + 598.31 = + 31 ( 52 + 55 + + 598 ) S chia cho 31 dư , hay S không chia hết cho 31 b, Vậy ( ) + = +                                    = ( + )  = 33 33  M ( 16 + )   chia hết cho 33 167 + 230  = 30 30 35 30 30 30 3n +  − 2n + 2  + 3n   − n                         = 3n ( 32 + )  − 2 n ( 2 + c,                  = 3n 10 − n                  = 3n 10 – n −1 10 = 10 ( )                   chia hết cho 10 3n – 2n −1 )    ví dụ 4: Tìm x thuộc N biết a, 5x  + x+  = 650 b, 3x −1 + 3x −1  = 162 13 Nhận xét: Ban đầu học sinh chưa nhìn thừa số chung, phần học sinh chưa nắm kiến thúc lũy thừa, phần học sinh nhận số chung lại biến đổi cho Giáo viên hướng dẫn 5x + = 5x.52 phép nhân hai lũy thừa số Tương tự học sinh tự biến đổi 5x = 5x.1 đến học sinh tự trình bày lời giải, tương tự câu b học sinh tự làm * Lời giải sơ lược: a)     5 x + x +  = 650 x.1 + x.52 = 650 x ( + 52 ) = 650                                    5 x 26  = 650 x  = 25 = 52 x = x −1 b, + 5.3x −1  = 162        3x −1 ( + )  = 162                                    3x −1 = 27 = 33        x –1 = x =4 Ví dụ 5: ( Bài tập 47 - Trang 23 – Toán – tập ) Đố: Biết : 12 + 22 + 33 + … + 102 = 385 Đố em tính nhanh tổng: S = 22 + + 62 + … + 202 Đối với giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi S biểu thức chứa 12 + 22 + 33 + … + 102 * Lời giải sơ lược: S = 22 + + 62 + … + 202 S = ( )2 + ( )2 + ( )2 + … + ( 10 )2 S = 22 ( 12 + 22 + + … + 102 ) S = 385 S = 1540 3.5) Dạng 5: Một số bài toán liên quan đến phân sớ Ví dụ 1: BT 27 SBT Tốn Tập 2, Tr10: Rút gọn: a, b, 9.6 − 9.3 18 17.5 − 17 − 20 Nhận xét: Ngồi sai sót học sinh rút gọn cách tuỳ tiện khơng đưa tử dạng tích khơng áp dụng tính chất rút gọn phân số học học sinh mắt sai sót áp dụng tính chất phân phối: a.b - a.c = a(b- c) để biến đổi ttử số 17 - 17 = 17 (5 - 0) 14 Hoặc: 17 - 17 = 17 (5 - 17) Cách khắc phục: Thực phần hướng dẫn cụ thể học kì học lâu sang học kì 2, lại sang phần học sinh chưa cách linh hoạt nên ta cần khắc phục sau: - Nhấn mạnh cách rút gọn phân số lưu ý học sinh số lỗi thường mắc phải rút gọn phân số - Lưu ý cách áp dụng tính chất a.b - a.c = a (b - c) để học sinh hiểu vận dụng Đặc biệt cần ý lại cho học sinh với số m ta ln có m = m.1 Và áp dụng dạng tổng quát: m.a + m = m (a + 1) - Hướng dẫn lại để học sinh biết cách trình bày lời giải Ví dụ 2: : (Bài 76 - SGK Toán tập - Tr39) Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí: 12 × × × + a A= 19 11 19 11 19 Nhận xét: Khi giải tập câu a đa phần học sinh chưa biết vận dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng cách hợp lí để có lời giải gọn Do phần lớn em tính sai đáp số số tính đáp số nhờ sử dụng máy tính cầm tay × + × − × 13 13 13 Đối với câu b đa phần em nhận thừa số chung để áp dụng tính chất Tuy nhiên thực nhiều em lúng túng biểu thức đồng thời có dấu “ + ” dấu “ - ” dẫn tới giải nhiều em mắc sai sót dẫn tới đáp số sai, cụ thể sau: b B= × + × − × 13 13 13 = ( + + ) dẫn đến đáp số sai Hoặc: B= ( + )− × 13 13 13 16 = × − × 13 13 16 = ( − ) 13 13 13 = ( )= 13 B= Lời giải cho đáp số nhiên việc áp dụng tính chất có phần máy móc theo hướng dẫn giáo viên c  11 −5 11  C =  − ÷  9  33 15 Đối với câu c đa số em nhận ngoặc có thừa số chung chua biết cách trình bày lời giải cho Cách khắc phục giáo viên hướng dẫn em coi ngoặc toán quen thuộc ta thực phép toán ngoặc trước Đơi có phải đổi vị trí để làm xuất nhân tử chung ví dụ: 13 40 − 3 Tính nhanh: D = Đối với ban đầu học sinh sẻ lúng túng không nhận thừa số chung giáo viên yêu cầu học sinh quan sát đề xem có cách biến đổi để làm xuất thừa số chung không? Cách khắc phục: - Sau phát sai sót mà học sinh gặp phải làm tập trên, thân phân tích hướng dẫn học sinh hiểu rõ chất tính chất “ phân phối phép nhân phép cộng” việc linh hoạt áp dụng chúng trường hợp cụ thể Đặc biệt nhấn mạnh việc làm xuất nhân tử chung, áp dụng biểu thức có chứa dấu “ + ” dấu “ - ” như: (ab - a.c + a.d) = a (b - c + d) ab + a.c - a.d = a (b + c - d) (a.b + a.c - a.d + a.e - a.g) = a (b + c - d + e - g) Từ cho học sinh nhận xét rút lưu ý thừa số dấu Sau trình bày lời giải cụ thể toán để học sinh hiểu rõ Lời giải: A= ( + )+ 11 12 × + 19 19 19 = = + = =1 B= ×( + − ) 13 13 13 7+9−3 × 13 13 = × = 13  11 −5 11  C =  − ÷  9  33 = = 11  −5   − ÷  9  33 = 11 ( −1) = −2 33 16 13 40 D= − 3 13 40 D= − 9  13 40  D =  − ÷ = ( −9 ) = − 9 3  Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức: 2 + − A= 4 + − 1 1 + − − 0, 25 + 0, 13 B= × + 2 + − − 0,875 + 0, 7 13 Nhận xét: Đây biểu thức tương đối khó học sinh đại trà Đa phần em thường quy đồng thực phép tính nên dẫn đến nhiều sai sót q trình tính tốn Rất học sinh suy nghĩ đến việc áp dụng tính chất “phân phối phép nhân phép cộng” để giải Vì dạy tập thân tơi dẫn dắt tìm thừa số chung mối phân số phân tích để học sinh thấy hiệu áp dụng tính chất Do học sinh thấy làm tốn cần có linh hoạt áp dụng tính chất học cho trường hợp, tốn cụ thể, đơi phải qua số phép biến đổi làm xuất nhân tử chung ví dụ câu b Lời giải: 2 2 + −  + −  ÷ 9 A= =  = = 4 1 1  + − 4 + − ÷ 3 9 1 1 + − − 0, 25 + 0, 13 B= × + 2 + − − 0,875 + 0.7 7 13 = 1 1 1 + − − + 13 × + 1 7 7 2.( + − ) − + 13 10 1 2.( − + 10) = × 1 + 7.( − + ) 10 17 = 6 × + = + =1 7 7 Ví dụ 4: (Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Ngọc Lặc năm học 2018-2019) A , biết B A= + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 Tính tỉ số Nhận xét: Để lập tỉ số B= 11 + + + 19.31 19.43 23.43 23.57 A Ban đầu ta thấy dãy số chưa có quy B luật để tách hiệu hai phân số có tử 1(phần em học chuyên đề quy luật dãy số) hiệu hai thừa số mẫu tử ta phân tích phân số mẫu phải chứa hai thừa số cho hiệu 7.31 hai thừa số 4(số tử) Nhận thấy 31 – = 27 mà khơng có số nhân với 27 , 31 + = 35 mà nhân với 35, tương tự mẫu phân số lại nhân với tách thành hiệu hai phân số phân số có liên quan với nhâu theo quy luật : 1 ,hay nhân số hạng A với 5 A= + + + Lời giải cụ thể sau: 35.31 35.41 50.41 50.57 1  A=  + + + ÷  7.31 7.41 10.41 10.57  A= + + + 31.35 35.41 41.50 50.57 1 1 1 1 A= − + − + − + − 31 35 35 41 41 50 50 57 1 1  ⇔ A =  − ÷.7 A= − 31 57  31 57  Vây ta nhân A với Tương tự biểu thức A giáo viên yêu cầu học sinh tìm cách biến đơi biểu thức B Nhân biểu thức B với Suy 1 1 1  ta biên đổi B = − ⇔ B =  − ÷.2 2 31 57  31 57  A = B tốn phải sử dụng tính chất phép nhân phép cộng (nhân số hạng tổng với số) để đưa dãy số dãy số có quy luật Giáo viên lưu ý cho học sinh ta khơng cần tính A,B giá trị cụ thể ta tính tỉ số A B 3.6 Một số bài tập củng cớ Bài 1, Tính nhanh: a, 101 39 b, 8.19 c, 17.85 + 15.17 − 120 18 d, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 Bài 2, Thực phép tính a, b, 1 3 + − + − 11 + 25 125 4 4 4 + − + − 11 25 125 5 5 14 + − 11 11 11 Bài 3, Tính cách hợp lý: 5.9 − 2.6 210.38 + 8.20 2.4 + 2.4.8 + 4.8.16 + 8.16.32 b, 3.4 + 2.6.8 + 4.12.16 + 8.24.32 5 5 + + + + c, 1.3 3.5 5.7 2011.2013 2 3 32 + + + + d, 2.5 5.8 8.11 38.41 a, Bài 4, Chứng minh rằng: a, + 22 + 23 + … + 299 + 2100 chia hết cho 31 b, ( 817 – 279 – 913 ) chia hết cho 405 c, ( 3n+3 + 3n+1 + 2n+ + n+ ) chia hết cho Bài 5, Tìm x biết: a, 2x + x + = 144 b, 81x + 34x + = 324 Bài 6, Cho S = + + 22 + 23 + + 29 so sánh S với 5.28 Bài 7, a) So sánh phân số sau mà không cần thục phép tính mẫu: A= 54.107 − 53 53.107 + 54 ;B = 135.269 − 133 134.269 + 135 101102 + 101103 + 101103 + N= 101104 + Bài 8, a) Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y = b) tìm hai số nguyên a b cho: 3a − 13 = b(a − 3) c) Tìm số nguyên n , Biết n + 13n − 13 n + d) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng tích chúng b) So sánh M N biết : M = + 14 27 + 21.36 Bài 9, Rút gọn: a) A = 21.27 + 42.81 + 63.108 b) B = 3 + + + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 4.Kết thực hiện: Qua đề tài điều thân nhận thấy rõ học sinh có hứng thú học hơn, tính tích cực chủ động nâng lên đáng kể Khả trình bày lời giải em tốt nhiều, sai sót thường gặp nêu 19 đa số em khắc phục, kết học tập em nâng lên đáng kể điều thể qua hai bảng thống kê số liệu khảo sát đây: Cụ thể kết khảo sát vào tháng năm 2019 : TSH Giỏi Khá Trung Yếu Kém Lớp S bình SL % SL % SL % SL % S % L 60, 14 36, 2,6 0 0 6A1 38 23 58, 14 41, 2,9 0 0 6A2 36 20 III: KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ 1.Bài học kinh nghiệm: Trong trình tìm hiểu áp dụng chuyên đề vào thực tế dạy học thân trang bị thêm phương pháp dạy học, có thêm kỹ dẫn dắt, hướng dẫn học sinh, có kinh nghiệm việc phát sai sót cách hướng dẫn để em nhận sai sót khắc phục sai sót Khi đưa toán em nhận dạng nhanh tốn dạng Các em có kỹ tính tốn nhanh nhẹn, em biết cách biến đổi từ dạng toán phức tạp dạng đơn giản biết cách giải Qua tập rèn luyện tư sáng tạo, linh hoạt tập phù hợp kiến thức chương trình Ngồi cách hướng dẫn giải giáo viên tơi thấy em có nhiều cách giải hay thể điểm thông minh phép biến đổi Nhờ mà tăng số lượng học sinh khá, giỏi, tăng số lượng chất lượng đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện Qua chuyên đề điều thân nhận thấy rõ học sinh có hứng thú học hơn, tính tích cực chủ động nâng lên đáng kể Khả trình bày lời giải em tốt nhiều, sai sót thường gặp nêu đa số em khắc phục Đặc biệt em nhìn thấy logic kiến thức tốn học, đồng thời em thấy toán học gần gũi với sống hàng ngày em từ kích thích em chăm u thích tốn học 2.Hướng phổ biến áp dụng đề tài: Để thực có hiệu quả, xin đưa số đề xuất: + Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức phần mở rộng, phần lưu ý cần khắc sâu để học sinh khơng bị sai sót + Trong trình giảng dạy ý rèn kĩ phân tích đề xem cho điều u cầu chứng minh tìm Bài tập sau có khác so với tập trước, rèn cho em cách nhìn phân tích tốn thật nhanh + Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn tập có nội dung lồng ghép tốn thực tế, có kiến thức liên mơn để kích thích tính tò mò, muốn khám phá điều chưa biết chương trình 20 ` Với mong muốn góp phần nhỏ việc thực mục tiêu giáo dục nhà trường THCS, giáo viên giảng dạy mơn tốn tơi dành thời gian trăn trở, tìm tòi để hồn thành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tuy nhiên điều kiện lực hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót định Rất mong góp ý chân thành Hội đồng khoa học cấp để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện hơn, áp dụng có hiệu q trình dạy học Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 15 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết HIỆU TRƯỞNG Phạm Thị Duyên Lê Văn Nguyện 21 22 Tìm nghiêm nguyên Kết khảo sát đầu năm học 2014 - 2015 Lớp Loại giỏi Loại Loại TB 6A(30 HS) 17 6B(29HS) 14 Loại yếu Loại 23 2.1.3a) Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước Phương pháp giải: tìm cách biến đổi dể trở đẳng thức cần chứng minh Năm học 2018 – 2019, sau thời gian giảng dạy khảo sát chất lượng hai lớp 6A1+ 6A2 trường THCS Lê Đình Chinh Kết sau: Lớp Loại giỏi Loại Loại TB Loại yếu Loại 6A(30 HS) 17 6B(29HS) 14 24 ... tế hướng dẫn học sinh giải tốn sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng Từ toán cụ thể phân tích, biến đổi tìm thừa số chung, tích tổng từ xây dựng tính chất phân phối phép nhân phép cộng. .. tương đối khó học sinh đại trà Đa phần em thường quy đồng thực phép tính nên dẫn đến nhiều sai sót q trình tính tốn Rất học sinh suy nghĩ đến việc áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng ... khắc phục: - Sau phát sai sót mà học sinh gặp phải làm tập trên, thân phân tích hướng dẫn học sinh hiểu rõ chất tính chất “ phân phối phép nhân phép cộng việc linh hoạt áp dụng chúng trường hợp