Một số biện pháp tích cực giúp học sinh tiếp thu tốt tổ hợp xác suất trong nhà trường trung học phổ thông

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số ( Thường trực Hội đồng ghi)……………………………………… … Tên sáng kiến: “Một số biện pháp tích cực giúp học sinh tiếp thu tốt tổ hợp xác suất nhà trường Trung học phổ thông” (Đào Thị Thanh Xuân, @THPT Chê Guê-va-ra) Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Tốn học Mơ tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: - Về thực trạng vấn đề: Các em học sinh giải kiểu tập quen thuộc, chưa vận dụng linh hoạt kiến thức học vào tình cụ thể Các em học sinh gặp nhiều lúng túng khâu đọc đề giải vấn đề Do dễ dẫn đến làm khơng xác Các em học sinh thường nhầm lẫn kí hiệu khái niệm định nghĩa Các em học sinh chưa có nhìn bao qt tốn tổ hợp xác suất để giải tập sách giáo khoa đồng thời nâng cao số tập đáp ứng chương trình thi tốt nghiệp THPT Quốc gia sau - Về nguyên nhân thực trạng: Các kí hiệu, khái niệm cơng thức chương hồn toàn so với học sinh Các khái niệm trình bày dạng mơ tả làm cho em khó hình dung, khó phân biệt khó nhớ Các em học sinh chưa nắm vững kiến thức theo chuẩn kiến thức kĩ Đề tập phần lớn cho dạng mô tả, cách thức suy luận khác với đại số từ trước đến làm cho học sinh dễ nhầm lẫn khâu đọc đề phân tích tốn - Giới hạn nghiên cứu đề tài: Đề tài tập trung nghiên cứu kiến thức tổ hợp xác suất chương trình SGK lớp 11 trường THPT 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: - Mục đích giải pháp: Giúp học sinh: +Nắm vững kí hiệu, khái niệm, cơng thức tổ hợp xác suất đồng thời hệ thống lại nội dung chương trình nhằm giải tốt tốn SGK hướng tới kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia +Giải toán nhiều phương pháp khác giúp em linh hoạt việc lựa chọn phương pháp tối ưu +Chỉ sai lầm thường mắc phải giúp em hiểu rõ vấn đề hơn, triển khai ý tốn khơng sai lệch - Nội dung giải pháp: PHẦN 1: Trước hết cần tóm tắt nội dung chương Tổ hợp – Xác suất: * Quy tắc đếm: + Quy tắc cộng: Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Chú ý: Quy tắc cộng mở rộng cho nhiều hành động + Quy tắc nhân: Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu hành động thứ có m cách thực ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc Chú ý: Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp * Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp: + Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ ) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hốn vị n phần tử Kí hiệu số hốn vị n phần tử Pn , ta có cơng thức: Pn = n( n − 1)( n − 2) 3.2.1 = n ! + Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ ) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho k Kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử An , ta có cơng thức: Ank = n( n − 1)( n − 2) ( n − k + 1) = n! (n − k )! Chú ý: Quy ước 0! = + Tổ hợp: Giả sử tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ ) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho k Kí hiệu số tổ hợp chập k n phần tử Cn , ta có cơng thức: Cnk = n! k !( n − k )! Cn0 = Cnn = Chú ý: Cnk = Cnn − k Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 * Nhị thức Niu-tơn: (a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + + Cnk a n −k b k + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n Chú ý: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n Cn0 − Cn1 + Cn2 + + (−1) k Cnk + + (−1) n Cnn = * Phép thử biến cố: + Phép thử: Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử + Khơng gian mẫu: Tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu Ω + Biến cố: tập không gian mẫu + Biến cố đối: Tập W\ A gọi biến cố đối biến cố A , kí hiệu A + Biến cố xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc A ∩ B = ∅ * Xác suất biến cố: + Xác suất biến cố: Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử với không gian mẫu Ω có số hữu hạn kết đồng khả xuất Xác suất biến cố A kí hiệu P( A) P( A) = n( A) n (Ω ) + Tính chất xác suất: Giả sử A B biến cố Ta có: ≤ P ( A) ≤ P (∅) = 0, P(Ω) = P ( A) = − P ( A) Nếu A ∩ B = ∅ ta có cơng thức cộng xác suất: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) Nếu A, B hai biến cố P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) + Biến cố độc lập: A, B độc lập ⇔ P( A.B) = P( A).P( B) ( công thức nhân xác suất ) PHẦN 2: Sau số biện pháp thường dùng giảng dạy chương * Hoạt động hình thành kiến thức dựa vào hình ảnh trực quan, tốn thực tế Ví dụ 1: Hoạt động hình thành khái niệm Tổ hợp: Cho học sinh trả lời phiếu học tập Mai có năm hoa hồng đánh số từ đến 5, ba hoa cúc đánh số từ đến 8, năm hoa tulíp đánh số từ đến 13 Nhân ngày – 3, Mai định làm bó hoa gồm bơng hoa để tặng mẹ - Các em ba cách chọn giúp Mai làm thành bó hoa - Trong cách chọn, thay đổi vị trí bơng hoa có tạo thành bó hoa khơng? Ví dụ 2: Hoạt động hình thành khái niệm Xác suất biến cố: Cho học sinh hoạt động nhóm em Bài toán: Cha An mua vé số tỉnh Hậu Giang có chữ số Cơ cấu giải thưởng sau: Hỏi: - Khả cha An trúng giải đặc biệt bao nhiêu? - Khả cha An trúng giải tám bao nhiêu? * Hoạt động luyện tập phải phân biệt rõ khái niệm phán đốn tổng qt câu hỏi trắc nghiệm: Ví dụ 1: Một số hoạt động luyện tập học khái niệm Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp: Sau học khái niệm Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp phải giúp cho học sinh phân biệt: - Khi giải toán phải chọn tập hợp A có n phần tử, ta dùng hốn vị có dấu hiệu sau: + Chọn hết phần tử A + Sắp thứ tự phần tử - Khi giải toán phải chọn tập hợp A có n phần tử, ta dùng chỉnh hợp có dấu hiệu sau: + Chỉ chọn k phần tử A (1 ≤ k < n) + Sắp thứ tự phần tử chọn - Khi giải toán phải chọn tập hợp A có n phần tử, ta dùng tổ hợp có dấu hiệu sau: + Chỉ chọn k phần tử A (1 ≤ k < n) + Không thứ tự phần tử chọn - Trắc nghiệm khách quan: Câu 1: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau? A 106 B 6! C A5 D C5 Lời giải: Mỗi cách lập số tự nhiên gồm chữ số đơi khác hốn vị phần tử Số cách chọn 6! Câu 2: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác nhau? A 3.A6 B 3.A5 C 3.C5 Lời giải: Gọi số cần lập : x = abcd Vì x chẵn nên có cách chọn d Ứng với cách chọn d có A53 cách chọn a, b, c Vậy có 3.A53 số tự nhiên cần tìm D 3.103 Câu 3: Hỏi lập số tự nhiên có chữ số cho số đó, chữ số hàng ngàn lớn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hàng chục chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị B A10 A 104 C C10 D 215 Lời giải: Gọi x = a1a2a3a4 với ≥ a1 > a2 > a3 > a4 ≥ số cần lập X = { 0; 1; 2; ; 8; 9} Từ 10 phần tử X ta chọn phần tử lập số A Nghĩa khơng có hốn vị hay kết tổ hợp chập 10 Vậy có C10 số tự nhiên cần tìm Câu 4: Trong lớp học có 20 học sinh nữ 15 học sinh nam Hỏi giáo viên chủ nhiệm có cách chọn ba học sinh làm ban lớp? A.6545 B.6830 C.2475 D.6554 Lời giải: Số cách chọn ban cán sự: C = 6545 35 Câu 5: Trong lớp học có 20 học sinh nữ 15 học sinh nam Hỏi giáo viên chủ nhiệm có cách chọn ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó bí thư? A.39270 B.47599 C.14684 D.38690 Lời giải: = 39270 Số cách chọn học sinh làm lớp trưởng, lớp phó bí thư A35 Câu 6: Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có cách? A.46 B.69 C.48 Lời giải: Số cách chọn người là: C Số cách chọn người nam là: C53 Vậy số cách chọn người thỏa yêu cầu toán là: C83 − C53 = 46 cách D.40 Câu 7: Đội tuyển HSG trường gồm 18 em, có HS khối 12, HS khối 11 HS khối10 Hỏi có cách cử HS dự đại hội cho khối có HS chọn? A.41811 B.42802 C.41822 D.32023 Lời giải: Số cách chọn học sinh gồm hai khối là: 8 C13 + C11 + C12 = 1947 − 1947 = 41811 Số cách chọn thỏa yêu cầu tốn: C18 Câu 8: Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu khó ,10 câu trung bình 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ câu ( khó, dễ, trung bình) số câu dễ khơng 2? A.41811 B.42802 C.56875 D.32023 Lời giải: Ta có trường hợp sau 2 C10 C51 TH 1: Đề thi gồm D, TB, K: C15 C10 C52 TH 2: Đề thi gồm D, TB, K: C15 C10 C51 TH 3: Đề thi gồm D, TB, K: C15 Vậy có: 56875 đề kiểm tra Câu 9: Một lớp có 33 học sinh, có nữ Cần chia lớp thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia vậy? A C73C26 B C42C19 8 C53C18 C C72C26 8 C42C19 C53C18 C52C18 D C73C26 + C72C26 + C72C26 Lời giải: Số cách chia lớp thành tổ thỏa yêu cầu có trường hợp * TH1: Tổ có nữ, nam có C73C26 cách chọn Tổ có nữ, nam có C42C19 cách chọn 10 = cách chọn Tổ có nữ, 10 nam có C22C10 C42C19 Vậy có C73C26 cách chia thành tổ TH 10 8 C53C18 * TH2: Tổ có nữ hai tổ lại có nữ, tương tự tính C72C26 cách chia C52C18 * TH3: Tổ có nữ hai tổ lại có nữ, tương tự tính C72C26 cách chia 8 C42C19 C53C18 C52C18 Vậy có tất C73C26 + C72C26 + C72C26 cách chia Câu 10: Một Thầy giáo có sách Tốn, sách Văn sách anh văn sách đôi khác Thầy giáo muốn tặng sách cho học sinh Hỏi Thầy giáo có cách tặng thầy giáo muốn tặng hai thể loại? A.2233440 B.2573422 C.2536374 D.2631570 Lời giải: Tặng hai thể loại Tốn, Văn có : A cách 11 Tặng hai thể loại Tốn, Anh Văn có : A12 cách Tặng hai thể loại Văn, Anh Văn có : A13 cách 6 + A12 + A13 = 2233440 Số cách tặng: A11 Ví dụ 2: Một số hoạt động luyện tập học khái niệm Xác suất: Sau học khái niệm Xác suất phải giúp cho học sinh phân biệt: - Phép thử xác định số phần tử không gian mẫu ta tính xác suất theo cơng thức P( A) = n( A) n (Ω ) - Phép thử không xác định số phần tử không gian mẫu ta tính xác suất theo cơng thức: P ( A) = − P ( A) P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) ( A ∩ B = ∅) P ( A.B ) = P ( A).P ( B ) ( A, B độc lập) - Trắc nghiệm khách quan: Câu 1: Gieo súc sắc hai lần Số phần tử không gian mẫu là: A.36 B.40 C.38 D.35 Lời giải: Ω = { (i , j )| i , j = 1,2,3,4,5,6} n(Ω) = 36 Câu 2: Gieo súc sắc hai lần Gọi biến cố A:“ số chấm xuất hai lần gieo giống nhau” Số phần tử biến cố A là: 11 A n( A ) = 12 B n( A ) = C n( A ) = 16 D n( A ) = Lời giải: Ta có: A = { (1,1);(2,2);(3,3),(4;4),(5;5),(6;6)} , n( A ) = Câu 3: Gieo đồng tiền lần Số phần tử A: “ Lần xuất mặt sấp” là: A n( A ) = 16 B n( A ) = 18 C n( A ) = 20 D n( A ) = 22 Lời giải: Kết lần gieo dãy abcde với a,b,c,d, e nhận hai giá trị N S Lần xuất mặt sấp nên a nhận giá trị S; b,c,d, e nhận S N nên n( A ) = 1.2.2.2.2 = 16 Câu 4: Bộ tú - lơ khơ có 52 quân Rút ngẫu nhiên quân Tìm xác suất biến cố A: “Rút tứ quý K” A P( A ) = 2707 B P( A ) = 20725 C P( A ) = 70725 D P(A ) = 270725 Lời giải: = 270725 Ta có số cách chọn ngẫu nhiên quân là: C52 Suy n(Ω) = 270725 Vì có tứ q K nên ta có n( A ) = Vậy P( A ) = 270725 Câu 5: Trong hộp có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh viên bi màu vàng Các viên bi đôi khác Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất biến cố A: “ viên bi lấy màu đỏ” A P( A ) = 14 285 B P( A ) = 285 C P( A ) = 14 25 Lời giải: Gọi biến cố A :“ viên bi lấy màu đỏ” 3 Số lấy viên bi từ 20 viên bi là: C20 nên ta có: n(Ω) = C20 = 1140 Số cách lấy viên bi màu đỏ n( A ) = C8 = 56 n(A ) 56 14 Do đó: P( A ) = n(Ω) = 1140 = 285 12 D P( A ) = 285 Câu 6: Trong hộp có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh viên bi màu vàng Các viên bi đôi khác Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất biến cố B: “3 viên bi lấy có khơng q hai màu” A P(B) = B P(B) = 43 57 C P(B) = 57 D P(B) = 57 Lời giải: = 1140 Số lấy viên bi từ 20 viên bi là: C nên ta có: n(Ω) = C20 Gọi B : “3 viên bi lấy có khơng q hai màu” Ta có: • Số cách lấy viên bi có màu: C83 + C73 + C53 = 101 • Số lấy viên bi có hai màu 20 3 Đỏ xanh: C15 − ( C8 + C7 ) 3 Đỏ vàng: C13 − ( C8 + C5 ) Vàng xanh: C12 − ( C5 + C7 ) Nên số cách lấy viên bi có hai màu: ( 3 ) 3 C15 + C13 + C12 − C83 + C73 + C53 = 759 n(B) 43 Do đó: n(B) = 860 Vậy P(B) = n(Ω) = 57 Câu 7: Một bình đựng viên bi trắng , viên bi đen, viên bi đỏ Các viên bi đôi khác Lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất biến cố C: “ Lấy ba viên bi bi đỏ” A P(C) = 143 280 B P(C) = 13 280 C P(C) = 14 280 D P(C) = 13 20 Lời giải: = 560 Ta có: n(Ω) = C16 n(C) = C13 = 286 ⇒ P(C) = 143 280 Câu 8: Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi, đề thi có câu Một học sinh học thuộc 80 câu Tính xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên đề thi có câu học thuộc C80 + C20 A C100 C80 B C100 C20 C C100 Lời giải: Chọn câu làm đề n(Ω) = C 100 13 C80 C20 D C100 Gọi A: “Chọn đề thi có câu học thuộc” n( A ) = C80 C20 ⇒ P( A) = C80 C20 C100 Câu 9: Hai cầu thủ sút phạt đền Mỗi người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng 0,8 0,7 Tính xác suất để có cầu thủ làm bàn A 0,42 B 0,94 C 0,234 D 0,9 Lời giải: Gọi A biến cố “cầu thủ thứ làm bàn” B biến cố “cầu thủ thứ hai làm bàn” X biến cố “ít hai cầu thủ làm bàn” ( ) Ta có: X = ( A ∩ B) ∪ A ∩ B ∪ ( A ∩ B) ⇒ P ( X ) = P(A ).P(B) + P(B).P(A ) + P(A ).P(B) = 0,94 Câu 10: Xác suất sinh trai lần sinh 0,51 Tìm xác suất cho lần sinh có trai A 0,88 B 0,23 C 0,78 D 0,32 Lời giải: Gọi A biến cố “ba lần sinh có trai”, suy A biến cố “3 lần sinh toàn gái” Gọi Bi biến cố “lần thứ i sinh gái” ( i = 1,2,3 ) Suy P(B1) = P(B2 ) = P(B3) = 0,49 Ta có: A = B1 ∩ B2 ∩ B3 ( ) ⇒ P ( A ) = 1− P A = 1− P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) = 1− ( 0,49) ≈ 0,88 *Hệ thống số dạng tập tổ hợp xác suất: Trước tiên học sinh phải nhận dạng toán DẠNG 1: Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân: Phương pháp: Nếu công việc hồn thành hành động ta dùng quy tắc cộng Nếu cơng việc hồn thành hành động liên tiếp ta dùng quy tắc nhân 14 BÀI 1: Chợ Bến Tre có cổng vào Hỏi người chợ: a) Có cách vào chợ? b) Có cách vào chợ cổng khác nhau? Giải: a) Việc vào chợ thực hai hành đông liên tiếp: - Chọn cổng để vào chợ: có cách - Chọn cổng để chợ: có cách Vậy: Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn vào chợ 5.5 = 25 cách b) Tương tự: Số cách chọn vào chợ cổng khác là: 5.4 = 20 cách Nhận xét: Học sinh phải phân biệt hai hành động hồn thành cơng việc có liên tiếp không để áp dụng quy tắc đếm BÀI 2: Cho tập hợp A = { 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} Có số tự nhiên gồm chữ số phân biệt thuộc tập hợp A: a) Là số chẵn? b) Là số có chữ số đầu 1? Giải: Gọi abcde số tự nhiên gồm chữ số phân biệt thuộc tập hợp A a) abcde số chẵn TH1: e = e có cách chọn a có cách chọn (a ≠ 0) b có cách chọn (b ≠ a, e) c có cách chọn (c ≠ a, b, e) d có cách chọn (d ≠ a, b, c, e) 15 ⇒ Áp dụng quy tắc nhân, có 1.7.6.5.4 = 840 số TH2: e ≠ e có cách chọn (e = 2, 4, 6) a có cách chọn (a ≠ 0, a ≠ e) b có cách chọn (b ≠ a, e) c có cách chọn (c ≠ a, b, e) d có cách chọn (d ≠ a, b, c, e) ⇒ Áp dụng quy tắc nhân, có 3.6.6.5.4 = 2160 số Vậy, áp dụng quy tắc cộng, số số tự nhiên cần tìm 840 + 2160 = 3000 số b) Tương tự câu a, ta xét a = b = c = , số số tự nhiên cần tìm 1.7.6.5.4 + 6.1.6.5.4 + 6.6.1.5.4 = 2280 số Nhận xét: Học sinh việc nhận biết quy tắc đếm phải biết chia trường hợp riêng xác DẠNG 2: Sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp: Phương pháp: - Khi giải toán phải chọn tập hợp A có n phần tử, ta dùng hốn vị có dấu hiệu sau: + Chọn hết phần tử A + Sắp thứ tự phần tử - Khi giải toán phải chọn tập hợp A có n phần tử, ta dùng chỉnh hợp có dấu hiệu sau: + Chỉ chọn k phần tử A (1 ≤ k < n) + Sắp thứ tự phần tử chọn - Khi giải toán phải chọn tập hợp A có n phần tử, ta dùng tổ hợp có dấu hiệu sau: 16 + Chỉ chọn k phần tử A (1 ≤ k < n) + Không thứ tự phần tử chọn BÀI 1: Trong không gian cho tập hợp X gồm 10 điểm phân biệt kí hiệu A, B, C, D, E, F, G, H, I, J khơng có điểm thẳng hàng a) Hỏi có cách xếp điểm lên mơt đường thẳng? b) Hỏi có cách xếp điểm lên mơt đường tròn? c) Hỏi có đường thẳng tạo thành? d) Hỏi có véctơ tạo thành? e) Hỏi có tam giác tạo thành? Giải: a) Mỗi cách xếp điểm lên môt đường thẳng hoán vị 10 phần tử Số cách xếp là: P10 = 10! = 3628800 cách b) Cố định điểm đường tròn Mỗi cách xếp điểm lại lên đường tròn hốn vị phần tử Số cách xếp là: 1.P9 = 9! = 362880 cách c) Mỗi đường thẳng tạo thành tổ hợp chập 10 phần tử Số cách xếp là: C10 = 45 cách d) Mỗi véctơ tạo thành chỉnh hợp chập 10 phần tử Số cách xếp là: A10 = 90 cách e) Mỗi tam giác tạo thành tổ hợp chập 10 phần tử Số cách xếp là: C10 = 120 cách Nhận xét: Học sinh phải phân biệt dùng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp BÀI 2: Một nhóm học sinh có 10 nam nữ Cần chọn tổ học tập gồm người Hỏi: a) Có cách chọn? 17 b) Có cách chọn cho nam làm tổ trưởng, nữ làm tổ phó tổ viên nam? Giải: a) Mỗi cách chọn tổ học tập gồm người tổ hợp chập 13 phần tử Số cách chọn là: C135 = 1287 cách b) Mỗi cách chọn theo yêu cầu đề gồm bước liên tiếp: Chọn tổ trưởng: có C10 cách Chọn tổ phó: có C31 cách Chọn tổ viên: có C9 cách Vậy: số cách chọn theo yêu cầu đề C101 C31.C93 = 2520 cách Nhận xét: Học sinh việc phân biệt yếu tố dùng tổ hợp phải xác định bước chọn DẠNG 3: Tìm hệ số lũy thừa khai triển nhị thức (a + b) n Phương pháp: n n k n−k k - Đưa khai triển nhị thức dạng (a + b) = ∑ Cn a b k =0 - Xác định k cách giải phương trình - Tính hệ số theo yêu cầu đề 2  BÀI 1: Cho biểu thức  x − ÷ ( x ≠ 0) x   a) Tìm hệ số x khai triển b) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển Giải: 18 a) 6 2 k  k 6−k x − = C (3 x ) ( − ) = 36− k (−2) k C6k x 6−3k ∑ ∑  ÷ x  k =0 x  k =0 Theo yêu cầu đề ⇒ − 3k = ⇔ k = Vậy: hệ số chứa x 35.( −2).C61 = −2916 b) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển 6 2 k  k 6−k x − = C (3 x ) ( − ) = 36− k (−2) k C6k x 6−3k ∑ ∑  ÷ x  k =0 x  k =0 Theo yêu cầu đề ⇒ − 3k = ⇔ k = Vậy: số hạng không chứa x 34.(−2) C62 = 4860 k n−k k Nhận xét: Học sinh phải nắm bắt công thức số hạng tổng quát Cn a b , nhận diện a, b Đồng thời giúp học sinh nhớ lại số cơng thức lũy thừa n DẠNG 4: Tính tổng ∑C α k =0 k n k khai triển Niu-tơn cho x giá trị thích hợp Phương pháp: - Khai triển (1 + x) n - Dựa vào yêu cầu đề cho x nhận hay hai giá trị thích hợp BÀI 1: Cho n số nguyên dương chẵn Hãy tính: A = Cn0 + 3Cn1 + 32 Cn2 + + 3n Cnn B = Cn0 + 32 Cn2 + 34 Cn4 + + 3n Cnn B = 3.Cn1 + 33 Cn3 + 35 Cn5 + + 3n −1 Cnn−1 Giải: n n k k Đặt f ( x) = (1 + x) = ∑ Cn x k =0 19 n n k k Ta có: f (3) = (1 + 3) = ∑ Cn (1) k =0 n f ( −3) = (1 − 3) n = ∑ Cnk ( −1) k 3k (2) k =0 Từ (1) (2) ta suy ra: A = 4n B= n + 2n C= 4n − 2n Nhận xét: Học sinh phải ý dấu hạng tử hệ số phía trước cơng thức tính tổ hợp nhằm chọn giá trị x thích hợp DẠNG 5: Tính xác suất biến cố A theo định nghĩa P( A) = n( A) n (Ω ) Phương pháp: - Đếm số phần tử không gian mẫu - Đếm số phần tử biến cố A - Tính xác suất biến cố A theo công thức P( A) = n( A) n (Ω ) BÀI 1: Cha An mua vé số tỉnh Hậu Giang có chữ số Biết điều lệ giải thưởng sau: - Giải đặc biệt có chữ số - Giải phụ đặc biệt cho vé sai chữ số hàng trăm ngàn so với giải đặc biệt - Giải khuyến khích cho vé sai chữ số hàng so với giải đặc biệt (Ngoại trừ sai chữ số hàng trăm ngàn) Tính xác suất để cha An trúng: 20 a) Giải đặc biệt b) Giải phụ đặc biệt c) Giải khuyến khích Giải: Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 106 a) Gọi A: “Cha An trúng giải đặc biệt” n( A) = ⇒ P ( A) = n( A) = = 0, 000001 n(Ω) 10 b) Gọi B: “Cha An trúng giải phụ đặc biệt” n( B ) = ⇒ P ( B ) = n( B ) = = 0, 000009 n(Ω) 10 c) Gọi A: “Cha An trúng giải khuyến khích” n(C ) = 9.5 = 45 ⇒ P(C ) = n(C ) 45 = = 0, 000045 n(Ω) 106 Nhận xét: Ngoài việc nhớ cơng thức tính xác suất biến cố học sinh phải nắm vững quy tắc đếm; việc sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp hợp lí để xác định xác số phần tử khơng gian mẫu số phần tử biến cố Đặc biệt phải nhấn mạnh kết đồng khả xuất DẠNG 6: Tính xác suất biến cố theo tính chất P ( A) = − P ( A) P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) A B xung khắc ⇔ P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) A B độc lập ⇔ P( A.B) = P( A).P( B) Phương pháp: - Xác định tính chất biến cố: 21 A = Ω \ A ⇒ A, A đối A ∩ B = ∅ ⇒ A, B xung khắc Việc xảy không xảy biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất biến cố B ta nói hai biến cố A, B độc lập - Tính xác suất biến cố A theo tính chất BÀI 1: Xác suất để học sinh thi đỗ đại học lần đầu 0,4 Nếu thi trượt học sinh thi lại xác suất thi đỗ lần thi thứ hai 0,75 Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh đó: a) Khơng thi đỗ lần đầu b) Thi đỗ Giải: a) Gọi A: “Học sinh thi đỗ lần đầu” ⇒ P( A) = 0, ⇒ A : “Học sinh không thi đỗ lần đầu” ⇒ P ( A) = − 0, = 0, b) Gọi B: “Học sinh thi đỗ lần thứ hai” ⇒ P( B) = 0, 75 C: “Học sinh thi đỗ” ⇒ C = A ∪ AB ⇒ P(C ) = P( A) + P ( A).P ( B ) = 0, + 0, 6.0, 75 = 0,85 Nhận xét: Nắm kĩ xác định tính chất biến cố: hai biến cố xung khắc, đối độc lập Phân tích cho học sinh thấy giống khác hai biến cố đối hai biến cố xung khắc *Phân tích sai lầm thường gặp giải tốn tổ hợp - xác suất Bài 1: Một nhóm học sinh học tiếng Anh gồm 18 nam nữ Cần chọn em để khảo sát chất lượng Tính xác suất cho có nữ? Giải: Cách 1: Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C22 = 26334 22 Gọi A: “Chọn em có it nữ” n( A) = C41 C184 + C42 C183 + C43 C182 + C44 C18 = 17766 ⇒ P ( A) = n( A) 17766 = ≈ 0, 67 n(Ω) 26334 Cách 2: Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C22 = 26334 Gọi A: “Chọn em có it nữ” ⇒ A : “Chọn em khơng có em nữ nào” n( A) = C185 = 8568 ⇒ P ( A) = n( A) 8568 = ≈ 0,33 n(Ω) 26334 ⇒ P ( A) = − P ( A) = − 0,33 = 0, 67 Cách giải sai thường gặp: Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C225 = 26334 Gọi A: “Chọn em có it nữ” n( A) = C41 C214 = 23940 ⇒ P ( A) = n( A) 23940 = ≈ 0,91 n(Ω) 26334 Nhận xét: Việc chọn nữ A từ bạn nữ bạn B, C, d, e từ 21 bạn lại so với cách chọn nữ B từ bạn nữ bạn A, C, d, e từ 21 bạn lại cho kết gồm {A, B, C, d, e} Với cách làm dẫn đến lặp lại kết nên tính xác suất khơng xác Bài 2: Một hộp chứa viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp, tính xác suất để viên bi lấy có đủ ba màu (Đề thi HK1 Trường năm học 2017 - 2018) 23 Giải: Cách 1: Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C14 = 3003 Gọi A biến cố '' viên bi lấy có đủ ba màu '' ● Trường hợp 1: Chọn viên bi có màu Do trường hợp có C66 = cách ● Trường hợp 2: Chọn viên bi có hai màu xanh đỏ, có C8 cách Chọn viên bi có hai màu đỏ vàng, có C116 − C66 cách 6 Chọn viên bi có hai màu xanh vàng, có C9 − C6 cách 6 6 6 Do trường hợp có C8 + ( C11 − C6 ) + ( C9 − C6 ) = 572 cách ( ) 810 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = − P ( A ) = 1001 ( ) Suy số phần tử biến cố A n A = + 572 = 573 ⇒ P A = 573 191 = 3003 1001 Cách 2: Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C14 = 3003 Gọi A biến cố '' viên bi lấy có đủ ba màu '' ⇒ n ( A ) = C31.C54 C61 + C31.C51.C64 + C33 C52 C61 + C32 C53 C61 + C31.C53 C62 + C31.C52 C63 + C33 C51.C62 + C32 C51.C63 + C32 C52 C62 = 2430 ⇒ P ( A) = 2430 810 = 3003 1001 Cách giải sai thường gặp: Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C14 = 3003 Gọi A biến cố '' viên bi lấy có đủ ba màu '' ● Trường hợp 1: Chọn viên bi có màu Do trường hợp có C66 = cách ● Trường hợp 2: Chọn viên bi có hai màu xanh đỏ, có C8 cách Chọn viên bi có hai màu đỏ vàng, có C116 cách Chọn viên bi có hai màu xanh vàng, có C9 cách Do trường hợp có C86 + C116 + C96 = 574 cách ( ) 2428 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = − P ( A ) = 3003 ( ) Suy số phần tử biến cố A n A = + 574 = 575 ⇒ P A = 575 3003 Nhận xét: Sai sót thường gặp học sinh phân chia trường hợp riêng chưa dẫn đến lặp lại kết Việc chọn viên bi có hai màu đỏ vàng hay việc chọn viên 24 bi có hai màu xanh vàng em quên có viên bi màu vàng xét trường hợp Trên số biện pháp giúp cho thầy trò chúng tơi dạy tốt – học tốt chương tổ hợp xác suất, giúp em trang bị vốn kiến thức làm tốt tập sách giáo khoa, giải toán giáo viên đưa xây dựng tảng cho kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia sau 3.3 Khả áp dụng giải pháp: Có thể áp dụng sáng kiến vào việc giảng dạy chương tổ hợp xác suất trường trung học phổ thơng chương trình Cơ ơn tập kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: Tôi xin nêu thống kê điểm kiểm tra 45 phút chương tổ hợp xác suất năm dạy vừa qua sau: - Năm học 2015-2016: Lớp 11C10 có 7/40 học sinh điểm - Năm học 2016-2017: Lớp 11C2 có 6/40 học sinh điểm - Năm học 2017-2018: Lớp 11C6 có 3/45 học sinh điểm 3.5 Tài liệu kèm theo gồm : không Bến Tre, ngày 09 tháng 03 năm 2018 25 ... C15 Vậy có: 56875 đề kiểm tra Câu 9: Một lớp có 33 học sinh, có nữ Cần chia lớp thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia vậy? A C73C26... tính chất BÀI 1: Xác suất để học sinh thi đỗ đại học lần đầu 0,4 Nếu thi trượt học sinh thi lại xác suất thi đỗ lần thi thứ hai 0,75 Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh đó: a) Không... nghiệp trung học phổ thông quốc gia sau 3.3 Khả áp dụng giải pháp: Có thể áp dụng sáng kiến vào việc giảng dạy chương tổ hợp xác suất trường trung học phổ thông chương trình Cơ ơn tập kì thi tốt