Kinh nghiệm xử lý một số dạng tích phân “lạ” trong các đề thi THPT quốc gia 2017

CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số : ( Thường trực Hội đồng ghi) Tên sáng kiến : "Kinh nghiệm xử lý số dạng tích phân “lạ” đề thi THPT quốc gia 2017" Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Tốn học bậc Trung học phổ thơng Mơ tả chất sáng kiến 3.1 Tình trạng giải pháp biết Tốn học mơn học đòi hỏi tư logic, phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức lại với Do đó, việc hình thành phương pháp giải dạng tốn cho em học sinh cần cần thiết, đặc biệt việc thi trắc nghiệm cần nhanh lẹ xác Tích phân ứng dụng phần quan trọng mơn Tốn học ln xuất kì thi THPT Quốc gia tuyển sinh Cao đẳng – Đại học Để lĩnh hội kiến thức chuyên đề dễ dàng đòi hỏi người học phải tư tốt biết kết hợp tính tốn đại số tính chất hình học túy khơng gian Đối với tốn lạ thường gây khó khăn cho học sinh, dễ sai sót q trình tính tốn Tuy nhiên, để ý đến vài tính chất đặc trưng việc giải tốn dễ dàng hơn, giảm nhẹ việc tính tốn Vì vậy, đề tài tơi muốn trình bày hệ thống số kinh nghiệm cách giải tốn tích phân dạng “lạ” đề thi thử thi THPT quốc gia làm tài liệu tham khảo  Do thời lượng hạn chế nên SGK đề cập đến tốn dạng đồ thị hình hàm số khơng có cơng thức nên em học sinh tiếp xúc luyện tập dạng Vì gặp toán “lạ” em thường hay lúng túng gặp khơng khó khăn  Tuy nhiên, toán “lạ” lại tốn hay có phương pháp giải lý thú thường mang lại cảm giác hưng phấn cho học sinh, từ khích lệ khả tìm tòi học hỏi cho em 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến 3.2.1 Mục đích giải pháp - Nhằm hệ thống cho học sinh số dạng tốn tích phân ứng dụng, góp phần giúp em giải tốt toán thực tế - Giúp em học sinh nâng cao tư kĩ tính tốn qua hy vọng cung cấp cho học sinh dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức giúp em bước vào kì thi, đặc biệt kì thi THPT Quốc gia - Qua đề tài giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn tập cho học sinh - Kết hợp định tính định lượng nhằm giúp em hệ thống tốt kiến thức học giúp em hứng thú học toán 3.2.2 Một số giải pháp thực - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên - Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải toán học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích tốn cụ thể - Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong tốn tích phân yêu cầu học sinh thực phân tích nhận dạng đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện 3.2.3 Các biện pháp thực Cho học sinh nhận xét chứng minh số tốn tích phân Từ áp dụng vào tốn thực tế Một số kết thường dùng : f� (x)dx  f (x)  C � f (x)dx  F (x)  C � �F� (x)  f (x) Hàm số y  f (x) hàm số chẳn tập xác định D � x �D � x �D � � �f (x)  f (x) Hàm số y  f (x) hàm số lẻ tập xác định D � x �D � x �D � � �f (x)   f (x) 3.2.3 Nội dung giải pháp Dạng Bài tốn tích phân xuất f (x) giả thiết yêu cầu tính tích phân chứa f [k(x)] Phương pháp : sử dụng phương pháp đổi biến số Ví dụ Cho hàm số f (x) liên tục � thỏa mãn f (x)  f (x)   cos 2x, x �� Tính I  3 �f (x)dx  A I  6 B I  3 C I  2 D I  (Trích đề thi minh họa THPT quốc gia 2017 lần 3) Bài giải Đổi biến t  x ta có I  3  3 3 3 �f (x)dx  �f (t)(dt)  �f (t)dt  �f (x)dx  K  3 3  3  3 Suy I K  3 3 3 3 �f (x)dx  �f (x)dx  �[f (x)  f (x)]dx  �  cos 2xdx  3 3  3  3  3  3 �  � 2 � �  �cosx dx  �  �cosxdx  �cosxdx  � cosxdx � � 3 � 3   � �   � 2 �    � �  2 �   sin x 3  sin x   sin x  � 12 � �   � 2 � Vậy I  Chọn đáp án D 3 �  cos 2xdx có hàm dấu tích phân nhận giá trị Chú ý : Ta để ý  3 � 3 3 � dương, hữu hạn điểm x thuộc �  ; � Do ta chọn � 2 � nhanh đáp án D Hoặc ta dùng Casio để tính tích phân mà khơng cần phải giải cụ thể 4 Ví dụ Cho f (x)dx  16 Tính I � � f (2x)dx A I  32 B I  C I  16 D I  (Trích đề thi THPT quốc gia 2017) Giải Đổi biến t  2x ta có 14 14 I � f (2x)dx  � f (t)dt  � f (x)dx  Chọn đáp án B 2 0 � � Ví dụ Biết hàm số y  f � x  �là hàm số chẳn � 2� � � f (x)  f � x  � sin x  cosx Tính I  � 2� A B C  f (x)dx � �  �  ; �và � � 2� D 1 (trích đề thi thử THPT quốc gia Bigschool 2017) Phân tích : ta đổi biến t  x   tốn rơi vào bế tắc - bẫy hay � � toán Để ý y  f � x  �là hàm số chẳn � 2� � � f� x  � � 2� t  x  �  �  ; �nên � � 2� � �  � � f� x  �với x ��  ; � Do đổi biến phải � 2� � 2�  Giải  Đặt t  x  ta có I  �I   �  �  f (x)dx  �  � � � f  t dt � ��2 � � � f � t� dt  � f �  x� dx  K � �2 � �2 � 0 Do I K    f (x)dx  �   � � f x � dx  �� � � (sin x  cosx)dx  �  � � � � f ( x )  f x  dx � � � � � � � � �  (sin x  cosx) 02 2 Suy I  Chọn B Ví dụ Biết F (x) nguyên hàm f (x) thỏa mãn F (2018)  2017 �F (x  1)dx  Tính I 1 A I  2018 B I  2017  2018 �xf (x)dx C I  2019 D I  2016 Phân tích : xuất F (x  1) gợi ý cho ta đổi biến t  x  Giải Đổi biến t  x  Ta có  2017 2018 2018 1 0 �F (x  1)dx  �F (t)dt  �F (x)dx � �� ux u 1 � � (x)  f (x) nên ta đặt � �� Vì F � v  F (x) v� f (x) � � Do I  2018 2018 0 � �xf (x)dx  �u.vdx 2018  uv  2018 2018 �  xF (x) �vudx  2018  2018F (2018)   2017 �F (x)dx Chọn B Chú ý : Khi ta thấy I  2018 2018 (x)dx �xf (x)dx  �xF � dấu hiệu ta sử dụng tích phân phần để tính I (x) dấu tích phân Dạng Bài toán xuất f � Phương pháp sử dụng kết f� (x)dx  f (x)  C � � u  g(x) � g(x).f � (x)dx Ta đặt � Với I  � dv  f � (x)dx � Ví dụ 5: Cho hàm số f (x) có đạo hàm [1; 2], f (1)  f (2)  Tính I � f� (x)dx A I  B I  1 C I  D I  (Trích đề thi THPT quốc gia 2017) (x) dấu tích phân nhắc ta nghĩ đến tích phân Phân tích : xuất f � (x)dx phần lại dấu tích phân u phần đặt dv  f � Giải � � u 1 du  0dx � � �� Đặt � dv  f � (x)dx v  f (x) � � 2 f� (x)dx  f (x)  f(2)  (1)  Chọn A Ta có I  � (x  1)f � (x)dx  10 f(1)  (0)  Tính Ví dụ Cho hàm số f (x) thỏa mãn � I � f (x)dx A I  12 B I  C I  12 D I  8 (Trích đề thi THPT quốc gia 2017) Giải � � u  x 1 du  dx � � �� Đặt � dv  f � (x)dx v  f (x) � � Ta có 1 (x  1)f � (x)dx  (x  1)f (x)  � f (x)dx  f(1)  (0)  I   I � � I  8 Chọn D (x) So sánh giá trị Dạng Cho hàm số y  f (x) biết đồ thị hàm số y  f � hàm số Phương pháp Có thể dùng cơng thức tính diện tích hình phẳng để đưa tốn so sánh giá trị tốn so sánh diện tích hình phẳng (x) hình bên Đặt Ví dụ Cho hàm số y  f (x) Đồ thị hàm số y  f � h(x)  f (x)  x2 Mệnh đề ? A h(4)  h(2)  h(2) B h(4)  h(2)  h(2) C h(2)  h(4)  h(2) D h(2)  h(2)  h(4) (Trích đề thi THPT quốc gia 2017) Giải Gọi S1, S2 diện tích hình phẳng hình vẽ bên Ta có 2 � 2S1  � f� (x)  x � dx  � f (x)x2 � � � � �2  2 h(x) 2  h(2)  h(2)  � h(2)  h(2) ,(1) Tương tự 4 � 2S2  � x  f� (x)� dx  �   h(x)  h(2)  h(4)  x2  f (x)� � � � �2 � h(2)  h(4) ,(2) Dựa vào đồ thị ta có S1  S2 � h(2)  h(2)  h(2)  h(4) � h(4)  h(2) ,(3) Từ (1),(2),(3) � h(2)  h(4)  h(2) Chọn C Thủ thuật bác bỏ nhanh Một mệnh đề với trường hợp phải với trường hợp riêng Ví dụ Cho hàm số f (x) thỏa mãn  sin x.f (x)dx  f (0)  � Tính I   cosx.f � (x)dx � A I  C I  B I  1 D I  Giải Lấy hàm số y  f (x)  với x thỏa mãn điều kiện toán I    0 sin x.f (x)dx  � sin xdx  �   cosx 02 1 (x)  với x Khi f � Do I    0 cosx.f � (x)dx  � 0dx  � Chọn đáp án C Chú ý: toán ta giải theo dấu hiệu dạng 3.3 Khả áp dụng giải pháp Có thể mở rộng SKKN trường học khác địa bàn nhằm tăng cường hiệu chất lượng giáo dục theo tinh thần đổi phương pháp dạy học đánh giá học sinh Bộ Giáo dục đào tạo Khi áp dụng giải pháp giúp học sinh định hướng tốt hơn, xác hướng giải tốn tích phân dạng lạ, đặc biệt ơn luyện thi tốt nghiệp THPT quốc gia 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp - Sau áp dụng vào giảng dạy cho em học sinh, đa số em thích thú học tập, hiểu vận dụng tốt - Qua nhận thấy em tự tin việc giải toán tích phân Năm học 2017 – 2018 tơi áp dụng giải pháp lớp 125 trường THPT Nguyễn Đình Chiểu lớp đối chứng 127 Lớp thực nghiệm lớp đối chứng có lực học tập đợt khảo sát đầu năm tương đương 10 Một thuận lợi việc thực giải pháp lớp mà tiến hành thực nghiệm lớp có thực tăng tiết so với chuẩn quỹ thời gian đủ để tiến hành thực nghiệm Học sinh đa số biết vận dụng kiến thức để giải tích phân ứng dụng, tương đối thành thạo phát phương pháp giải + Đối với lớp thực nghiệm: Chúng tơi có buổi học trao đổi nhiều lý thuyết chương tích phân ứng dụng tích phân đưa phương pháp giải dạng tương ứng + Đối với lớp đối chứng: Chúng tơi tiến hành ơn tập bình thường, sau tiến hành kiểm tra với đề lớp thực nghiệm lớp đối chứng Kết làm kiểm tra chuyên đề học sinh lớp thực nghiệm (TN) học sinh lớp đối chứng (ĐC) thể thông qua Bảng thống kê sau: Lớp TN ĐC 7,0 điểm 5,3 điểm Tỷ lệ đạt yêu cầu 96,3% 78% Tỷ lệ điểm 3,7% 22% Tỷ lệ điểm trung bình 32,2% 68% Tỷ lệ điểm 52,9% 10% Tỷ lệ điểm giỏi 11,2% 0% Trung bình Bảng cho thấy: điểm trung bình cộng; tỷ lệ đạt yêu cầu; tỷ lệ đạt điểm khá, giỏi lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng PHẦN KẾT LUẬN  Đề tài giúp thân có thêm tư liệu để giảng dạy tài liệu nhỏ để em học sinh tham khảo  Các tốn tơi đề xuất cách giải theo quan điểm cá nhân Tuy nhiên, tốn giải theo cách khác 11 Bài học kinh nghiệm hướng phát triển  Qua viết này, hy vọng hệ thống cho em số toán nhỏ chuyên đề tích phân để giúp em học sinh thuận tiện gặp phải  Thông qua tiết dạy theo chuyên đề, mong muốn triển khai rộng rãi cho toàn khối 12 Những kiến nghị, đề xuất  Bài viết trình bày theo chủ ý cá nhân, chắn nhiều thiếu xót chưa thật hồn chỉnh, tơi mong góp ý đồng nghiệp em học sinh Việc tìm lời giải cho tốn khó việc làm đòi hỏi kiên trì có cơng cụ thích hợp phân tích tốn Kiến thức nguyên hàm, tích phân chiếm vị trí quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, q trình giải loại tốn học sinh gặp khó khăn nhiều tình Do giải pháp sáng kiến giúp cho em học sinh có cách nhìn tổng qt giải toán phức tạp Bến Tre, ngày 18 tháng 03 năm 2018 12 ĐƠN VỊ CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc PHIẾU NHẬN XÉT, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài : Tác giả : Chức vụ : Bộ phận cơng tác : TỔ CHUN MƠN HỘI ĐỒNG KHOA HỌC ĐƠN VỊ Nhận xét : Nhận xét : Xếp loại : Xếp loại : Ngày tháng năm TỔ TRƯỞNG Ngày tháng năm THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký ghi rõ họ tên, đóng dấu) 13 14 ... Cho hàm số f (x) có đạo hàm [1; 2], f (1)  f (2)  Tính I � f� (x)dx A I  B I  1 C I  D I  (Trích đề thi THPT quốc gia 2017) (x) dấu tích phân nhắc ta nghĩ đến tích phân Phân tích : xuất... ; �và � � 2� D 1 (trích đề thi thử THPT quốc gia Bigschool 2017) Phân tích : ta đổi biến t  x   tốn rơi vào bế tắc - bẫy hay � � toán Để ý y  f � x  �là hàm số chẳn � 2� � � f� x  �... Cho hàm số y  f (x) Đồ thị hàm số y  f � h(x)  f (x)  x2 Mệnh đề ? A h(4)  h(2)  h(2) B h(4)  h(2)  h(2) C h(2)  h(4)  h(2) D h(2)  h(2)  h(4) (Trích đề thi THPT quốc gia 2017)