Bai 17 DABTTL PP SOS

Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph BÀI 17 PH ng B t đ ng th c Cô - si NG PHÁP SOS ÁP ÁN BÀI T P T Giáo viên: LÊ Các t p tài li u đ LUY N C VI T c biên so n kèm theo gi ng Bài 17 Ph ng pháp SOS thu c khóa h c B i d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn c n h c tr c gi ng sau làm đ y đ t p tài li u s d ng hi u qu , b n Bài Cho x, y, z > Ch ng minh r ng:  x  y2  z  xy  yz  zx  x y2  z  y z  x  z x  y  1 Ch ng minh: 1   x  y  z    xy  yz  zx     2 x y  z  y z  x  z x  y   xy  yz  zx      x  y   2 x  y  z   x  y  z  cyc  cyc x  y  z    x  y   2 cyc  y2  z2   y  z cyc z  x  y    x  y   2 cyc 2  x  y2   x  y cyc z  x  y z  x  y  2 x y   x  y   x  y cyc  S d ng b t đ ng th c Buniakowski ta có: cyc 2 Do ta ch c n ch ng minh:  x  y  cyc  t Sx    z  x  y     z  x  y  xy xy cyc cyc 2  2 x ,S   y ,S   z , yz y zx z xy 2    Sx  y  z   Sy  z  x   Sz  x  y   Không m t tính t ng quát gi s x ≥ y ≥ z > Khi Sy, Sz > Ta có x 2Sy  y2Sx  x  y2  x2y xy2   x  y2  2xy  xz yz S d ng m nh đ suy đpcm ng th c x y ch x = y = z Bài a, b, c > th a mãn abc = Ch ng minh r ng:   111    a b c a  b  c a b2 c2 a  b2  c2 Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph Ta có    a b c ng B t đ ng th c Cô - si Ch ng minh:    12  12  12 22 a bc a b c a b c  2 2 2  ab  bc  ca  3abc  a b  b 2c 2c a abc a b c  2 2 2  ab  bc  ca  9abc  a b  b 2c 2c a  6abc abc a bc a b c   2  2    c a  b   c a 2 b c 2 bc  ca  2ab a  b  c cyc  a  b  c   a  b  c  cyc   c  a  b   a  b  2ab  bc  ca   cyc t Sa  a  b2  c2  2bc  ca  ab  ,Sb  b  c2  a  2ca  ab  bc  , Sc  c  a  b2  2ab  bc  ca  B t đ ng th c c n ch ng minh  Sa  b  c   Sb  c  a   Sc  a  b   2 Khơng m t tính t ng quát gi s a ≥ b ≥ c Khi d th y Sb, Sc ≥ Ta có a 2Sb  b2Sa  ab  a  b   a  b   2c  a  b2  ab   c  a  b2   T đây, s d ng M nh đ 4, ta suy đpcm Bài Cho a, b, c ≤ Ch ng minh r ng:  a  b  c    a  b  b  c  c  a   48 abc a  b2  c2 Ch ng minh: Ta s d ng đ ng th c sau:  2  2  2  2  a2  b 2 c  a  b 2 b 2c 2 c  a a b c a b c  a  b  b  c  c  a   b  c 2  b  c  a 2  c  a  b 2 a 8  abc abc B t đ ng th c cho t ng đ ng v i:        2   a  b b  c c  a  8  3  a2  b 2 c     82 abc bc a  b  c    a b c  cyc t Sa   bc b  c  ,Sb   82 ,Sc   82 2 ca a  b  c ab a  b  c a b c Khơng m t tính t ng quát, gi s a ≥ b ≥ c, suy Sa ≥ Sb ≥ Sc Ta có: 2  2 2   a  2c      ca Sb  a  b2  c2 28ca  a 2 2c  8ca  0 ca  a  b  c  ca  a  b  c  ca  a  b2  c2  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph  ab ng  16 a  b2  c2 Ta c n ch ng minh Sb  Sc     ca B t đ ng th c Cô - si S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:     12  12  24 2  12 2  162 ab ca a  b  c a b c a b c 2a  b  c  2a   b  c  S d ng M nh đ ta suy đpcm Nh n xét: b ng cách làm t ng t ch ng minh đ c b t đ ng th c sau: 2  a  b  c    a  b  b  c  c  a    abc a  b  c2 ng th c x y  a = b = c ho c a  2b  2c hoán v Chú ý r ng lúc 2 c ng h ng s t t nh t (l n nh t) đ b t đ ng th c cho Bài Cho a, b, c đ dài c nh c a m t tam giác c  a  b  Ch ng minh r ng a b   b2 c   c2 a   Ch ng minh:  Cách 1: Ta có b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ a 3b  b  c     c2  b  c  a  a  b   cyc cyc ng v i   đpcm ng th c x y ch a = b = c  Cách Ta có b t đ ng th c c n ch ng minh t   ng đ ng v i a 2b  a  a b  bc  2ab   a  b 2    c c 2 cyc cyc cyc cyc    2   b c  a  a  b c   c cyc a cyc t Sa  a  ,Sb  b  ,Sc  c  b c a B t đ ng th c c n ch ng minh t + Tr ng đ ng v i: Sa  b  c   Sb  c  a   Sc  a  b   2 ng h p b + c > a ≥ b ≥ c Th ta có Sa, Sb > 0, Sb  Sc  b  c   (do b ≥ c > 0) c a Do đó, adg ≥ c > 0) Do đó, áp d ng tiêu chu n 2, ta có đpcm + Tr ng h p ≤ b ≤ c < a + b Th ta có Sc, Sb >   Ta có: Sb  Sa  b  a   b  c  b   b  c   b  c  c b c b c b bc Do đó, áp d ng tiêu chu n ta có đpcm Giáo viên : Lê Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : c Vi t Hocmai.vn - Trang | -