Bai 07 DABTL BDT cosi p7

Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph B T Các t p tài li u đ ng NG TH C CÔ-SI (PH N 07) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: TR N PH NG c biên so n kèm theo gi ng B t đ ng th c Cô - si (Ph n 07) thu c khóa h c B i d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn c n h c tr c gi ng sau làm đ y đ t p tài li u BÀI T P PH B t đ ng th c Cô - si s d ng hi u qu , b n NG PHÁP CÂN B NG H S Cho x2  y2  5z2  88 Tìm Max c a S  xy  yz  D đoán m r i x= 4, y=3, z=2 Các b n làm t zx HD ng t nh gi ng: a thêm tham s a , b, c ax2  by2  ab xy   2   a  x  cz    a  c xz    b  y2    c  z2    b   c  yz  ng th c x y x  4, y  3, z   a  ax2  by2 16a  9b       2    a 16  4c  b    a  x  cz      b  y2    c  z2   b     c  c    x2  y2  z2  88 88   2 x  y  x  z  y2  z 2 3 1 1 x y  x  z2  y  3z2 | xy |  | zx |  | yz | xy  yz  zx  S 2 2 2  S  88  MaxS  88, "  "  x  4, y  3, z   a,b,c  Cho   a  2b  3c  2 Tìm giá Min c a bi u th c: S  2a  3b  4c HD Xét tham s x, y, z >0 a  a  x3  3a x 3b 3b   y3  yb 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si 2c  2c  z  3c z  S  x3  y3  z3  3a x  yb  3c z 4 a  x a  x     3b  D u “=” x y khi:   y  b  3 y    3  2c  z 2c  z Ta s ch n tham s cho:   x  y  c 4   x2  x2  x2   x  ,y  14 14  81  c 16   x  y 16  ,z  14 16  1  S       a  2b  3c  14 81 14 16    16   1   S         14  81 14 16     16   1  MinS          14  81 14 16    D u “=” x y b n t làm Cho a , b, c, m, n  th a mãn ab  bc  ca  Tìm Min S  ma  nb2  c2 theo tham s m, n HD Xét tham s x, y, z >0 tho mãn: m  x, n  y,1  z    S  ma  nb  c  xa  yb   m  x a  zc   n  y  b  1  z  c xa  yb  xyab  m  x a  zc   m  x zac  n  y b2  1  z  c   n  y1  z bc  S  xyab   m  x zac   n  y 1  z bc D u “=” x y ch khi:  xa  xa 2   b2 b    y  y  xa  yb 2      m  x a   m  x a 2       c2 m x a zc c      z z    2 2  n  y  b  1  z  c   n  y  xz  y 1  z  m  x  m x a   xa  1  z   n  y   y z   Ta s ch n x, y, z cho Hocmai.vn – Ngôi tr xy   m  x z   n  y1  z  k ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si  xy   m  x z   n  y 1  z   k   n  y  xz  y 1  z  m  x  k mn   x  m  x y  n  y  z   z    xy  x  n  y    m  x y   m  x n  y    z   z   xy   m  x zn   n  y 1  z  m   n  y  xz  y 1  z  m  x  k  k m  k n  2k  mn  k 1  m  n   2k Xét hàm f  t   2t  t  m  n  1  mn  f '  t   6t   m  n  1 t  0t  => hàm f(t) hàm đ ng bi n kho ng (0; +  ) => f  k0   k0 nghi m nh t => S  ma  nb2  c2  2k  ab  bc  ca   2k0  MinS  2k0 Cho a > x, y, z th a mãn x  y  z  xy  a Tìm Max: S  xy  yz  zx 16 HD tìm Max ta c n đánh tìm đ   2 c h ng s m cho: m x  y  z  16 xy  xy  yz  xz Ta s trèn thêm tham s k>0 kx  ky  2kxy 1  k  x  z2  1  k  xz 1  k  y  z2  1  k  yz  x  y  z  19 19   xy   2k   xy  1  k  xz  1  k  yz 6  Ta s ch n k cho 2k  19 55  27  1  k   k  16 32 Nh v y ta có: x  y  z  19 19  55   xy   2k    xy  yz  xz    xy  yz  xz  6  55   xy  yz  xz   a2   xy  yz  xz   MaxS= 4a 55  4a 55  D u “=” x y b n t xét  a,b,c  Cho   a  b  c  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: S = 4ab  8bc  6ca HD Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph Ta s bi n đ i bi u th c S v d ng t ng bình ph ng B t đ ng th c Cô - si ng 4ab  8bc  6ca  a  b  c   3b  a  c   5c  a  b   a   a   3b   b   5c   c      3a  a  3b  b  3c  c  2  3 3   81      a     b     c     2 2       S    81 3  x  y  z ; a   x, b   y, c   z 2 a  b  c   x  y  z  a  3 3 b c  2 2 Nh v y toán tr thành tìm Max   81  x2  y  z , x  y  z  S 9.15 135 y2 z2  x  y  z     x  y  5z  x  1 1 4.23 92 1  5 2  S  2 81 135 432   92 23  a , b, c    12 27 30  , ,   23 23 23  432 => MaxS  23 , [IMO 2006] Cho a , b, c cho a  b2  c2  Tìm Max P   a  b  a  c b  c  a  b  c  HD V i tham s x, y, z>0 ta có   3 a  b  c    y  a  c  b  c   x  a  b 2  z  a  b  c 2      2  y  a  c  b  c   x  a  b   z  a  b  c      y  a  c  b  c  x a  b z a  b  c  y xz  a  b  a  c  b  c  a  b  c    3 a  b  c    P   a  b  a  c  b  c  a  b  c    y xz Ta s tìm h s x, y z ) y  a  c  b  c   x  a  b   z  a  b  c        y ab  bc  ac  c  x a  b  2ab  z a  b  c  2ab  2bc  2ca    x  z a   x  z b2   y  z c   y  x  z ab    y  2z  bc    y  2z  ac   a  b2  c  x  z  y  z    x  y  2, z   y  2x  2z   y  2z  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph  P  9  y xz 8.2  maxS  16  ng B t đ ng th c Cô - si 16 Cho a , b, c  th a mãn u ki n 6a  3b  2c  Tìm Min S   12  13 a b c Cho a , b, c  th a mãn a  b  c  Tìm Min, Max: F  a , b, c   a  b  c   b  c  a   c  a  b  3 HD Gi s a=b ho c b=c h c c=a F  a , b, c   mà b c c a F b c nên gi s F có th phân tích thành: F  a , b, c   k  a  b  b  c  c  a  a  b  c   k  a  b b  c c  a   k  const  3 Cho a  ; b  ; c   k   F  a , b, c    a  b  b  c  c  a   F  a , c, b  Nên GTLN - GTNN s đ i t a  b  d  d  c  Xét tham s gi i đ nh  ,  Không gi m t ng quát ta gi s a>c>b Ta có:  F  a , b, c    a  b  b  c  c  a    a  b  a  c  b  c    a  b  c  a  b  c   dc  d  c     d  c  d  c     1 d     1 c      *    Ta c n ch n  ,  :      t n t i d>c>0 cho  d   c  d  c      2;     d c  1 d c d c     1;    Thay vào (*) ta đ c:  d  c  , F      18   MaxF   3 3  ,  a , b, c    ;0;  18    MinF   18 Cho a1 , a2 , , an  cho a1  a2   a n  Ch ng minh r ng: S   a1  a   a1  a  a3   a1  a   a n1   4n1 a1a 10 Cho x1 , x2 , , xn  cho x1  x2  Tìm Max P   1i  j  n  xn  x1  x2  an  xn  xi  x j Giáo viên : Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -