SKKN (2016) 3(lêhoainam)

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để các em có thể vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài toán thực tế trong cuộc sống.. Nội dung kiến thức toán học

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ sở,

là nền tảng cho các môn học khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xã hội Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kĩ năng tính toán cần thiết, mà còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy lôgíc, một phương pháp luận khoa học

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để các

em có thể vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài toán thực tế trong cuộc sống Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải các bài toán này, nhưng để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, đồng thời kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ được của bản thân

Sau nhiều năm giảng dạy môn toán, đặc biệt là trong đợt hướng dẩn học sinh tham gia ôn thi đội tuyển HSG Toán cấp tỉnh và dạy ôn thi vào lớp 10 năm học

2014 – 2015, tôi nhận thấy vấn đề giải phương trình bậc hai qua việc các em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng

hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, do đó bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm giải loại toán này Do vậy tôi mạnh dạn trình bày đề tài : “ Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi-et trong giải các dạng toán liên quan để nâng cao chất lượng thi vào

10 ”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Trong những năm gần đây, Ở cấu trúc đề thi vào lớp 10 – THPT thì phần kiến thức về phương trình, phương trình bậc hai có liên quan đến hệ thức vi-et thường chiếm khoảng từ 1,5 – 2 điểm Với suy nghĩ làm thế nào để các em học sinh

có thể hiểu và làm tốt được, tôi đã suy nghĩ và viết ra đề tài này

Khi trình bày đề tài này, tôi đã tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp cùng dạy toán để phân chia các dạng toán về phương trình bậc hai Sau đó tôi hướng dẩn từng loại toán này cùng các phương pháp có thể được sử dụng giải các dạng toán này và các bài tập để các em có thể vận dụng, đồng thời chỉ ra các sai lầm mà các

em có thể hay mắc phải trong quá trình làm bài tập Cùng với đó tôi đã liệt kê các bài tập về phương trình bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-et trong các đề thi vào

lớp 10 tỉnh Thanh hóa từ năm 2000 đến nay, hướng dẫn học sinh cách thức giải các bài tập này trong từng dạng để các em vận dụng

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi-et trong giải các dạng toán liên quan

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Chủ yếu sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm của bản thân cùng tham khảo ý kiến của một số giáo viên dạy toán cùng trường để đưa ra các dạng bài tập liên quan đến hệ thức vi-et cùng phương pháp giải từng loại

2 Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu.

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán bản thân tôi nhận thấy rằng đa số học sinh còn coi nhẹ việc giải toán, trong giờ học ít chịu suy nghĩ, tìm tòi lời giải, về nhà chưa chịu khó làm bài tập Đặc biệt là các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi-et rất phong phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo đối với từng dạng khác nhau

Việc vận dụng hệ thức Vi – ét đối với học sinh THCS là khó và mới, các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này, có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chương trình đã học

để giải toán được hiệu quả?

Với những thực trạng như vậy, tôi đã đi sâu tìm hiểu và nhận thấy rằng có thể là do những nguyên nhân sau:

+ Học toán thực chất là giải toán, nếu giáo viên không khéo léo khi giảng dạy sẽ làm cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc khi vận dụng

+ Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích, tìm tòi lời giải, hệ thống bài toán giáo viên đưa ra còn dàn trãi không mang tính đặc trưng + Trình độ nhận thức của các em còn chậm và không đồng đều cùng với điều kiện học tập chưa tốt cũng ảnh hưởng nhiều đến hoạt động dạy học

2.2 Các giải pháp

Trước khi giải bài tập cần yêu cầu học sinh học kỹ lí thuyết, nắm chắc định lí Vi-ét và các hệ quả của định lí Vi-ét Đồng thời người giáo viên cần phải hệ thống, chia nhỏ thành các dạng bài tập ứng dụng riêng, mỗi dạng học sinh được học theo chuyên đề nhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp và kĩ năng làm bài

Các dạng bài tập ứng dụng định lí Vi-ét đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh Qua mỗi dạng cần cho học sinh tự nêu

ra được kiến thức cơ bản, kỹ năng cần rèn luyện của dạng đó Với mỗi dạng bài tập

có các bài tập minh họa và các bài tập trong các đề thi những năm trước và các bài tập cho học sinh vận dụng

Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững:

1 Hệ thức Vi – ét:

- Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai : 2  

ax + bx + c = 0 a 0 �

thì 1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

�   

�

�

�

Hệ quả 1: Nếu phương trình 2  

ax + bx + c = 0 a 0 � có a + b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x1  1 còn nghiệm kia là x2 c

a

Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2  �  có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x1   1 còn nghiệm kia là x2 c

a

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 2

0

x Sx P 

Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phương trình:

x - u x - v = 0   � x - u+v x + u.v = 0 2   � x - Sx + P = 0 2

Như vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua việc giải phương trình bậc hai Điều kiện để có hai số là: S - 4P 0 2 �

Các dạng toán liên quan đến hệ thức viet.

Dạng I: Vận dụng hệ thức Vi-ét vào việc nhẫm nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 a 0 2  �  khi biết các hệ số a; b; c.

Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2  �  có a + b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x1  1còn nghiệm kia là x2 = c

a

Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2  �  có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x1 = - 1 còn nghiệm kia là x2 = - c

a

Chú ý: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2  �  có 1 2

b

x x

a

c

x x a

 thì x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) -7x2 + 4x + 3 = 0 b) 2015x2 + 2016x + 1 = 0

c) 3x - 1 - 3 x - 1 = 0 2   d) m - 1 x - 2m + 3 x + m + 4 = 0 2 

Hướng dẫn cách giải:

Đây là dạng toán cơ bản mà ta hay gặp ở trong các đề thi học kỳ và các đề thi vào lớp 10 những năm gần đây, đối với dạng toán này các em học sinh có học lực yếu cần phải nắm vững và thực hiện thành thạo các bước làm các dạng này Muốn vậy, giáo viên cần hướng dẫn.

- Muốn giải phương trình trên ta làm như thế nào ?

- Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phương trình này.

- Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 a 0 2  �  có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1  1 còn nghiệm kia là x2 c

a

 hoặc a - b + c = 0 thì

phương trình có một nghiệm x1   1còn nghiệm kia là x2 c

a

Giải: Gv hướng dẫn học sinh thực hiện

a) - 7x2 + 4x + 3 = 0 (a = - 7; b = 4; c = 3)

Vì a + b + c = (-7) + 4 + 3 = 0 � phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 =

7

3

b) 2015x2 + 2016x + 1 = 0 (a = 2015; b = 2016; c = 1)

Vì a – b + c = 2015 – 2016 + 1 = 0

�phương trình có hai nghiệm là: x1   1; x2 = -

2015

1

c) 3x - 1 - 3 x - 1 = 0 2   a 3; b = - 1 - 3 ; c = - 1  

Vì a b c   3- - 1 - 3 + - 1 �� ��    0

�phương trình có hai nghiệm là: x1   1; 2 1 1

x    �� ��

m - 1 x - 2m + 3 x + m + 4 = 0 am - 1 ;b = - 2m + 3 ; c = m + 4   

Với m �1 ta có a + b + c = m - 1   ��- 2m + 3 + m + 4 = 0 ��  

� phương trình có hai nghiệm là: x1  1; x2 =

1

4





m

m

Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a, x2 + 7x + 12 = 0 b, x2 - 7x + 12 = 0 c, x2 -11x + 28 = 0

d, x2 – 12x + 35 = 0 e, x2 + 10x + 21 = 0

Giáo viên hướng dẫn học sinh đối với dạng toán này ở mức độ khó hơn dạng trước, do đó đòi hỏi các em phải biết phân tích một cách hợp lí thì việc nhẫm nghiệm sẽ dễ dàng thực hiện được

Đối với các bài tập trên thì dạng tổng quát như sau

Cho phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm phân biệt x 1 ;

x 2 Nếu ta có m + n =

a

b

 và m.n =

a

c

thì m, n là hai nghiệm của phương trình.

Giải: Gv hướng dẫn học sinh thực hiện

a, Phương trình có a = 1, b = 7, c = 12

Ta có (-3) + (-4) =

a

b

 = -7 và (-3)(-4) =

a

c

= 12 nên phương trình có hai nghiệm

là x1 = -3; x2 = -4

b,Tương tự ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12;phương trình có hai nghiệm là x1=3; x2 = 4 Các câu c, d, e được làm hoàn toàn tương tự

GV Lưu ý: - Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi-ét

để tính nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể Nếu không tính nhẩm được nghiệm của phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải

- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi-ét vào tính toán cho phép tính nhanh tìm ra nghiệm của phương trình.

GV :Với các bài tập trong các đề thi như trên, tôi đã thay các giá trị mà bài toán cho vào phương trình rồi thực hiện giải phương trình Kết quả 90% học sinh có thể thực hiện áp dụng định lí vi-et vào tìm nghiệm, số con lại các em có thể tìm nghiệm qua công thức nghiệm Sau khi kỳ thi vào lớp 10 năm học 2015 – 2016 diễn ra, 100% học sinh đều thực hiện được câu 1a trong đề thi vào lớp 10 môn Toán.

Bài tập trích trong các đề thi vào lớp 10 – tỉnh Thanh hóa.

1 Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x +2m + 5 = 0 Giải phương trình với m =

2

5

( Trích đề thi năm 2000 – 2001)

2 Cho phương trình : x2 – 2(m-1)x – (m+1) = 0 Giải phương trình với m = 2

( Trích đề thi năm 2001 – 2002)

3 Cho phương trình : x2 – 4x + q = 0 Giải phương trình với q = 3.

( Trích đề thi năm 2009 – 2010)

4 Cho phương trình : x2 + px – 4 = 0 Giải phương trình với p = 4

( Trích đề thi năm 2010 – 2011)

5 Cho phương trình : x2 – (2p-1)x + p(p-1) = 0 Giải phương trình với p = 2

( Trích đề thi năm 2011 – 2012)

6 Giải phương trình: x2 – 6x + 5 = 0 ( Trích đề thi năm 2014 – 2015)

Bài tập vận dụng thêm : Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 5x2 – 32x + 27 = 0 b) 2x2 + ( 1 + 2) x – ( 3 + 2) = 0

c) 6x2 – 75 x – 81 = 0 d) 3x2 + (3- 2)x - 2=0

Dạng II: Vận dụng hệ thức Viet vào dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm phân biệt

x1; x2 Tìm điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn các biểu thức

 Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:

2 1 2 1

2 2 2 1

2 1

2

2

2

1 x x 2x x x 2x x x x 2x x

2 2 1 2 1

2 2 2 1

2 1 2 1

3

2

3

2

2 1

2 2 1

2 2 1

2 2

2 1 2 2 2

2 1 2 2 2 2 2 1

4

2

4

+

2 1

2 1 2

1

1

1

x x

x x x

x







…………

Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theoS  x1 x P x x2 ;  1 2

Ví dụ 1 : Cho phương trình 2

2x  7x  4 0 x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x1 x2; x x1. 2 b) 3 3

1 2

x x

GV : Đối với dạng toán này, các em cũng đã gặp trong SGK và SBT, nhưng để làm được các dạng bài tập này thì các em cần nắm vững được các hằng đẳng thức

và các phép biến đổi biểu thức ở lớp 8 để vận dụng vào biến đổi các biểu thức theo yêu cầu của từng bài ( GV lưu ý trước khi thực hiện biến đổi thì các em cần xác định xem phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt hay không, nếu có 2 nghiệm rồi mới thực hiện biến đổi) Đối với câu b thì đây là dạng toán khó đối với học sinh TB

và Yếu nên việc làm các dạng toán này với các em là khó khăn

Giải:

1) Xét phương trình 2x2  7x  4 0

a) Áp dụng định lí Vi – ét ta có: 1 2

1 2

7 2

x x

x x

�  

�

�

�

1 2

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2

x  x x  x x x  x x  x x =

1 2 3 1 2 1 2

x x  x x x x

=

3

3.2.



Vậy 3 3

1 2

x x = 175

8

GV: Qua ví dụ này chúng ta đã vận dụng điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt rồi áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình rồi thay thế vào biểu thức cần tìm.

Ví dụ 2 : Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình (m 1)x2  2mx m   4 0

Chứng minh biểu thức A 3(x1 x2 ) 2  x x1 2  8 không phụ thuộc giá trị của m

Khi làm bài cần lưu ý:

+ Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

+ Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện

Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thì

1

4

5

m

�

�



Theo định lí Vi-et ta có:

1 2

1 2

2 1 4 1

m

x x

m m

x x m

�  

�

Thay vào A ta được: A 3(x1 x2 ) 2  x x1 2  8 = 3. 2 2. 4 8 0 0



Vậy A 3(x1 x2 ) 2  x x1 2  8 = 0 với  �m 1 và 4

5

m� hay biểu thức A không phụ thuộc vào m

Ta lần lượt làm theo các bước sau:

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x x1 ; 2 ( a� 0;  � 0) + Viết hệ thức S  x1 x P x x2 ;  1 2

Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất các vế ta được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số.

Bài tập trích trong các đề thi vào lớp 10 – tỉnh Thanh hóa.

1 Cho phương trình : x2 + (m+1)x + 2m – 3 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào m ( 2005 – 2006)

Bài tập vận dụng:

1 : Cho phương trình : - x2 + 5x + 16 = 0 Không giải phương trình tính:

a) x1 + x2 ; x1.x2 b)

2 1

1 1

x

x  c) 2

2

2

1 x

x  d)  2

2

1 x

x 

2: Cho phương trình: x2 – x – 1 = 0 có 2 nghiệm x1; x2

2

2

1 x

x  b, Chứng minh : Q =  4

2

4 1

2 2

2

x     5

Muốn làm được các bài tập trên thì các em phải nắm vững phương pháp làm và cách biến đổi một số biểu thức thường gặp Sau đó tôi hướng dẩn học sinh các thực hiện giải từng bài và chú ý từng bước biến đổi Kết quả: Với dạng toán này thì đa số các em thực hiện tốt được 80 – 90%, số còn lại vẫn sai xót do chưa nắm vững được các kiến thức ở lớp 8.

Dạng III: Vận dụng định lí Viet trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thỏa mãn các yêu cầu đặt ra.

GV: Đối với dạng toán này, giáo viên hướng dẩn phương pháp thực hiện như sau:

+ Tìm điều kiện phương trình có nghiệm.

+ Sử dụng hệ thức Vi-et và điều kiện đã cho tìm x 1 ; x 2

+ Thay x 1 ; x 2 vừa tìm được vào phương trình tìm được tham số

+ Đối chiếu với điều kiện và rút ra kết luận

Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = mx – 3 và parapol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) và parapol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành

độ x1; x2 thỏa mãn : x1 x2  2 ( Trích đề thi năm 2014 – 2015)

Bài giải Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x2  mx 3  0 (*)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Ta có :  m2  12 > 0  m2 > 12  m >2 3 









 2 3

3 2





m m

Áp dụng đinh lí Viet ta có











 3 2

1

2 1

x x

m x x

Ta có : x1  x2  2 x1 x22  4  2 4 1 2 4

2

1 x  x x 

x  m2  4 3  4

m2  16 => m = 4 hoặc m = -4

Vậy với m =4 hoặc m = -4 thì đường thẳng (d) và parapol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn : x1  x2  2

GV: Đối với dạng toán này, trong những năm gần đây đều có trong cấu trúc đề thi vào lớp 10 Muốn làm tốt được dạng này, tôi đã hướng dẩn các em nắm vững được các cách biến đổi ở dạng II, sau đó tôi làm mẫu và hướng dẩn học sinh thực hiện

Kết quả: Vận dụng vào làm bài tập trong các đề thi các năm trước thì 80 – 85% học sinh đều thực hiện tốt, số còn lại vẫn còn sai xót trong khi làm Sau khi kỳ thi năm 2015 – 2016 diễn ra thì 80% số học sinh đều làm đuộc câu 3b.

Bài tập trích trong các đề thi vào lớp 10 – tỉnh Thanh hóa.

1 Cho phương trình : mx2 – (2m+1)x + m -2 = 0 Tìm m để

a, Phương trình có tổng bình phương các nghiệm bằng 22

b, Phương trình có bình phương của hiệu hai nghiệm bằng 13

( Trích đề thi năm 2002 – 2003)

2 Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 - m - m = 0 Gọi x1; x2 là hai nghiệm Tìm

2

2

1 x 

x ( Trích đề thi năm 2003 – 2004)

3 Tìm a để phương trình: x2 – (a-2)x – 2a = 0 có hai nghiệm thỏa mãn: 2x1+3x2=0

( Trích đề thi năm 2005 – 2006)

4 Cho phương trình: x2 + px – 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2

Tìm p để  1  2 1

1 2

2 2

1 x  x x 

5 Cho phương trình: x2 – (2p-1)x + p(p-1) = 0 Gọi x1; x2 là nghiệm ( x1 < x2) Chứng minh rằng : 2 2 2 3 0

1  x  

6 Cho phương trình : ax2 + 3(a+1)x + 2a + 4 = 0.Tìm a để phương trình có hai

2

2

1 x 

x ( Trích đề thi năm 2012 – 2013)

7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = 2bx + 1 và parapol

(P) y = -2x2 Tìm b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa

2

2

1 x  x x 

8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + n – 1 và parapol

(p): y = x2 Tìm n để đường thẳng (d) cắt parapol (P) tại hai điểm phân biệt

óc hoành độ lần lượt là x1; x2 thỏa mãn : 4 1 1 1 2 3 0

2 1



















x x

( Trích đề thi năm 2015 – 2016)

Bài tập vận dụng thêm :

Bài 1 : Xác định số k để các phương trình sau có 2 nghiệm x1; x2 mà x1 = 2 x2 a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + 8 = 0 c) kx2 – 3x + 2 = 0

Bài 2 : Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m2 + 3m + 2 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2

2

2

1 x

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

Bài 4: Cho phương trình: x2 – 3x + (k-1) = 0 Xác định k để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn: a) 2x1 – 5x2 = -8 b) 3

2

2

1 x

x  = 15 c)

2

2

2

1 x

x  = 3

Dạng IV: Vận dụng của hệ thức Vi-ét vào việc tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 2

x - Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số là:

2

S - 4P 0 �

Ví dụ 1: a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.

b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5

GV hướng dẫn cách giải:

Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180

Tức là ta cần tìm 2 số x1 và x2 biết 1 2

1 2

27

x x

x x

 

�

� Nếu áp dụng hệ thức Vi-ét đảo thì

1

x và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai x - 27x + 180 = 0 2 ta có lời giải như sau:

Giải: a) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 27 và tích bằng 180

Nên 2 số là nghiệm của phương trình: x - 27x + 180 = 0 2

Ta có:  = 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0 2 �   9 3